二元函数泰勒公式

多元函数的泰勒公式与极限

多元函数的泰勒公式是数学中重要的概念，它与极限有密切关系。在本文中，我们将介绍多元函数的泰勒公式以及其与极限的关联。

首先，让我们回顾一元函数的泰勒公式。对于一元函数$f(x)$，其在$x=a$处的泰勒展开式可以表示为：

$$f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + \cdots$$

其中$f'(a)$表示函数$f(x)$在$x=a$处的一阶导数，$f''(a)$表示二阶导数，以此类推。泰勒公式可以将函数在$x=a$附近的值用无穷项级数展开，使我们能够近似计算函数在该点的值。

现在我们将泰勒公式推广到多元函数。考虑一个二元函数$f(x,y)$，我们希望在点$(x=a,y=b)$处进行泰勒展开。多元函数的泰勒公式可以表示为：

$$f(x,y) = f(a,b) + \frac{\partial f}{\partial x}(a,b)(x-a) + \frac{\partial

f}{\partial y}(a,b)(y-b) + \frac{1}{2!} \left( \frac{\partial^2 f}{\partial

x^2}(a,b)(x-a)^2 + \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(a,b)(x-a)(y-b) +

\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(a,b)(y-b)^2 \right) + \cdots$$

其中$\frac{\partial f}{\partial x}(a,b)$表示函数$f(x,y)$在点$(x=a,y=b)$处对$x$的偏导数，$\frac{\partial f}{\partial y}(a,b)$表示对$y$的偏导数，类似地，$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(a,b)$表示二阶偏导数，以此类推。 泰勒公式的这个推广使我们可以在多元函数的某一点附近进行近似计算，从而更好地理解函数的性质。比如，我们可以利用泰勒公式来计算函数在特定点的极限。对于函数$f(x,y)$，如果存在一个实数$L$，使得当$(x,y)$趋近于某一点$(x_0,y_0)$时，$f(x,y)$趋近于$L$，则称$L$为$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处的极限，记作$\lim_{(x,y)\to (x_0,y_0)}

§ 4泰勒公式与极值问题

教学计划：6课时.

教学目的：让学生掌握多元函数高阶偏导数的求法；二元函数的中值定理和泰勒公式；二 元函数取极值的必要和充分条件.

教学重点：高阶偏导数、泰勒公式和极值的判定条件.

教学难点：复合函数高阶偏导数的求法；二元函数的泰勒公式. 教学方法：讲授法.

教学步骤：

一 高阶偏导数

由于z = f(x, y)的偏导函数fx(x, y), fy(x, y)仍然是自变量x与y的函数，如果它们 关于x与y的偏导数也存在，则说函数 f具有二阶偏导数，二元函数的二阶偏导数有如下

四种情形：

.:x: y fy；：x

但这个结论并不对任何函数都成立，例如函数

2 2 x - y 2 2

xy飞 2，x y - 0,

x y

0,x2 +y2 =0.

它的一阶偏导数为

y(x4 +4x2y2 _y4 ) 2 + 2」o

(x2 + y2 2,x y ,

. 0,x2+y2=0,

,仪4 _4x2y2 _ y4 ) 2 + 2

* (x2 + y22 ,x 『

2 2

L 0,x +y =0,

进而求f在(0, 0)处关于x和y的两个不同顺序的混合偏导数，得

fx 0, y - fx 0,0 y 4

fxyO,o =啊— 厂 啊可=7

以0,0)=慎 ------------ Zx ------------ 瓦"

由此看到，这里的f x, y在原点处的两个二阶混合偏导数与求导顺序有关，那么，在什么 条件下混合偏导数与求导顺序无关呢？为此， 我们按定义先把fxy x0, y0与fyx x0, y0表

成极限形式•由于 ；2Z

.\jy

?z

-：y ；：x -y

2 2 创 lx +y

x

* +

这些函数关于 一 x2 y2 2,

2 2

x - y

=~ ( 2 . 2 2 ,

x y

-2xy . :y : y

注意 从上面两个例子看到， 种既有关于x又有关于y的高阶偏导数称为 已2z 2 _ r o 2

泰勒公式及其应用

共25页 第1页 泰勒公式及其应用

许文锋

华南师范大学 数学科学学院 信息与计算科学专业 2007级6班

指导老师：谢骊玲

中文摘要

文章简要介绍了泰勒公式的证明及其推导过程，详细讨论了泰勒公式在高等数学、数值分析、数值最优化理论、其他非数学领域等应用,其中包括利用泰勒公式求近似值、证明积分、不等式、求行列式等高等数学问题；在数值分析问题上面主要讨论了泰勒公式在数值微积分及微分方程数值解上的应用；在最优化问题上面，分别讨论了泰勒公式在理论证明和算法设计上面的应用.

关键词 ：泰勒公式，高等数学，数值分析，数值最优化，应用

泰勒公式及其应用

共25页 第2页 Taylor Formula and its Application

Xu WenFeng

（Grade 07,Class 6, Major in Information and Computing Science,School of

Mathematics,

South China Normal University)

Tutor:Xie LiLing

Abstract

This paper briefly introduces the proof of Taylor and its derivation.

And we discuss the application of Taylor formula in detail in some fields

such as advanced mathematics, numerical analysis, numerical optimization

theory and other applications in some non—mathematical fields ,including

using Taylor formula to solve some advanced mathematical problems such

§10.4 二元函数的泰勒公式

一.高阶偏导数

二元函数zf),(yx的两个（一阶）偏导函数xz，yz 仍是x与y的二元函数。若他们存在关于x和y的偏导数，即

x（xz）， y（xz）， x（yz）， y（yz）.

称它们是二元函数zf),(yx的二阶偏导（函）数.二阶偏导数至多有22个。通常将

x（xz）记为22xz或''xxf),(yx.

y（xz）记为yxz2或''xyf),(yx. (混合偏导数)

x（yz）记为xyx2或''yxf),(yx. (混合偏导数)

y（yz）记为22yz或''yyf),(yx.

一般地，二元函数zf),(yx的1n阶偏导数的偏导数称为二元函数的n阶偏导数.二元函数的n阶偏导数至多有2n个.二元函数z=f(x,y)的n阶偏导数的符号与二阶偏导数类似.例如,符号

kknnyxz或 )(nyxkknf),(yx

表示二元函数zf),(yx的n阶偏导数，首先对x求kn阶偏导数,其次对y求k阶偏导数.

二阶与二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.

类似可定义三元函数、一般n元函数的高阶偏导数.

例1 求函数332233xyyxyxz的二阶偏导数.

解 xz=23263yxyyx， yz=xyxyx233223.

22xz=yxy663.

yxz2=yxyx26922.

xyz2=yxyx26922. (yxz2=xyz2)

22yz=xyx263.

例2 证明：若u=r1,r=222)()()(czbyax,则

22xu+22yu+22zu=0.

证明 由§10.3例2，有