有界时滞分数阶微分方程解的存在性

第２５卷第４期　２Ｏ１５年１２月　Ｖｏ１．２５．Ｎｏ．４　Ｄｅｃ．２Ｏ１５　

有界时滞分数阶微分方程解的存在性　

王　佩　（湖南工程学院理学院，湘潭４１１１０４）　

摘　要：考虑有界时滞分数阶泛函微分方程初值问题Ｄ　（ｚ（￡）一ｇ（ｔ，ｚ　））一ｆ（ｔ，ｚ　），ｚ　一　，ｔ。≥Ｏ，通　

过构造全连续算子，利用Ｓｃｈａｕｄｅｒ不动点定理，获得了解存在的充分条件，其中Ｄ口是ａ（０口＜１）阶Ｃａ—　ｐｕｔｏ导数．　

关键词：分数阶；有界时滞；存在性．　中图分类号：Ｏ１７５．１　文献标识码：Ａ　文章编号ｉ１６７１—１１９Ｘ（２０１５）０４—００５９—０３　

０　引　言　

本文考虑有界时滞分数阶泛函微分方程初值问　题　

』Ｄ　‘ｚ　－－ｇ（　，ｚ　一ｆ‘　，Ｉｚｔ　，　（１）　

Ｉｚ　一　，ｔｏ≥ｏ，　其中Ｄ　是口（０＜ａ＜１）阶Ｃａｐｕｔｏ导数，ｆ，ｇ：　

［　，＋。。）×Ｃ（［一ｒ，０］，Ｒ”）一Ｒ　是给定函数，　Ｅ　

ｃ（［一ｒ，０］，Ｒ”）．当ｚ　Ｅ　ｃ（Ｅｔ。一ｒ，ｔ。＋ａ］，Ｒ　）对任　

意ｔＥ　Ｅｔ。，ｔ。＋ａ］定义ｚ　为　（　）一ｚ（￡＋　），０Ｅ　

［一ｒ，０］．定义Ｒ”空间范数为Ｉｌ　Ｘ　ｌｌ—ｓｕｐＩＬｚ（￡）Ｊ．　近年来，分数阶微分方程理论发展迅速，一些专　

著［１，２］和文献［３—５］不断涌现．在Ｅｓ－Ｉ中，作者利用　

Ｋｒａｓｎｏｓｅｌｓｋｉｉ不动点定理证明了初值问题（１）解的　存在性．本文利用Ｓｃｈａｕｄｅｒ不动点定理，获得了初　

值问题（１）解存在的充分条件．　定义１　函数厂的阶数为　的带积分下限ｔ。的　

分数阶积分为　

Ｐｆ（　＞　＞０，　

这里Ｉ１表示ｇａｍｍａ函数．　定义２函数厂：Ｅｏ，ＣＸＤ）一Ｒ的阶数为　的带积分　下限ｔ０的Ｃａｐｕｔｏ导数为　

。　㈤一而　』　

ｐ－．ｆ　（￡），ｔ＞ｔｏ，０≤７ｚ一１≤　，　

收稿日期：２０１５—０４—２７　作者简介：王佩（１９８１一），女，硕士，助教，研究方向：泛函微分方程　显然任意常数的Ｃａｐｕｔｏ导数为Ｏ．　

下面给出对本文讨论有用的几个引理．　

１　引理１　（ＨＯｌｄｅｒ不等式）假设　，Ｐ≥１满足　＋　

１　÷一１．如果ｚ∈　（Ｊ，Ｒ），ｍ　Ｅ　Ｌ　（Ｊ，Ｒ），于是对于　

１≤ｐ≤ＣＸＤ，我们有　∈Ｌ　（Ｊ，Ｒ），并且　ｌ　Ｊ　ｌ『　Ｊ≤ｌｌ２　ｌｌ　ｌＩ　ｍ　ｌ１　一　

引理２（Ｓｃｈａｕｄｅｒ不动点定理）设Ｅ是　Ｂａｎａｃｈ空间Ｘ的非空凸闭子集，如果映射Ｓ：Ｅ—Ｅ　是连续映射，使ＳＥ是Ｘ的相对紧子集，则Ｓ在Ｅ上　

至少有一个不动点．即存在ｚ　Ｅ　Ｅ使得Ｓｘ—ｚ．　、　－●　ｌ　主要结果　

令　Ａ（　，ｙ）一｛ｚ　Ｅ　Ｃ（Ｅｔ。一ｒ，ｔ。＋胡，Ｒ　）ｌ　ｚ　一　，ｓｕｐ　ｌ　（　）一　（０）≤ｙ　ｌ｝　。　￡ｎ≤ｔ≤ｔｎ＋６　其中　，ｙ是正常数．　在证明主要结论前，我们先介绍以下假设．　

（Ｈ　）ｆ（ｔ，　）在Ｅｔ。，ｔ。＋胡上关于ｔ可测．　（Ｈｚ）　ｆ（ｔ，　）在Ｃ（［一ｒ，Ｏ］，Ｒ　）上关于　连　续．　

（Ｈ。）假设存在口　Ｅ（０，口）和实值函数ｍ（￡）Ｅ　

Ｌ　Ｅｔ。，ｔ。＋胡，使对任意ｚ　Ｅ　Ａ（　，ｙ），ｔ　Ｅ　Ｅｔ。，ｔ。＋　胡，Ｉ　ｆ（ｔ，　）Ｉ≤ｒｅ（ｔ）成立．　（Ｈ　）ｇ是连续的，对于Ａ（８，刀）中有界子集Ａ　，

　６０　湖南工程学院学报　２０１５正　

集合｛ｚ一管（ｆ，五）：　Ｅ　Ａ　）在ｃ（［　。，ｔ。＋胡，Ｒ　）上　

是等度连续的．　定理　假设（Ｈ　）一（Ｈ　）成立，则初值问题　

（１）在［￡。，ｔ。＋　上至少有一个解，其中　＞０．　证明　首先，由假设（Ｈ　）和（Ｈ　）我们得到　ｆ（ｔ，ｚ　）在［　，ｔ。十胡上是Ｌｅｂｅｓｇｕｅ可测的．直接计　

算可得当ｔ　Ｅ［　，ｔ。＋胡时，（　一ｓ）　Ｅ　Ｌ　１［　，　］　

．由Ｈ６１ｄｅｒ不等式和（Ｈ。），我们得到对任意Ｓ　Ｅ　

［　０，　］，ｔ　Ｅ　Ｅｔｏ，ｔ０＋胡，ｚ　Ｅ　Ａ（ａ，ｙ），（￡一ｓ）一ｆ（ｓ，　３２　）是Ｌｅｂｅｓｇｕｅ可积的，　

ｌ　Ｉ（￡一５）一ｆ（ｓ，ｚ　）１　ｄｓ≤　

ｆｌ（ｆ—ｓ）一　ｆＩ　Ｌ　ｌ＿［　］ｌｌ　ｍ　ｆｆ　Ｌ寺［　。．　。＋胡　

其中　

ｌｌ　Ｈ　ｆｌ　』＝＝＝ｆ　ｌｆ　Ｈ（　）ｆ　ｄｔ１　，Ｈ：Ｊ－－＊Ｒ是任　＼Ｊ　Ｊ　，　

意Ｌ一积分函数．　因此初值问题（１）等价于以下方程　

』ｚ（￡）一　（ｏ）一ｇ（ｔ。，　）＋ｇ（ｔ，ｚ　）＋　ｊ。（　—ｓ）　厂（ｓ，ｚｓ）ｄｓ，　Ｅ［　，　。＋　（２）　

ｌｚ　一　令　∈Ａ（　，ｙ），　一　，　（　。＋　）一　（０）一Ｅ　Ｉ　ｇ（　。＋￡，　＋￣～Ｏｔｏ＋ｔ）一ｇ（￡。，　）Ｉ＜　９　（４）　ＬＯ，　．如果　是边值问题（１）的解，令ｌｚ（ｔｏ＋　）一　（　＋￡）＋　（￡），￡∈Ｅ－ｒ，ａ］，则ｚ　一　。　＋　，　选择　

ｌ因此　满　程　。　，～、　＝　’（　）一｝㈣　（　）一一ｇ（ｔｏ，　）＋ｇ（ｔ０＋ｔ，Ｙ　＋　）＋　ｌ　＼　…　／　Ｊ　０＋ｓ　＋　）ｄ５　［ｏ，胡　其中卢一　’。　Ｍ＿　ｍ　ＩＩ　１‰　埘・　

（３）　定义Ｅ（ｒ／，ｙ）一｛　Ｅ　Ｃ（［－ｒ，　］，Ｒ”）ｆ　（　）一　由ｇ是连续的，ｚ　关于￡连续，存在　，＞Ｏ，　０，ｓ　Ｅ［一ｒ，０］，ＩＩ　ＩＩ≤ｙ），则Ｅ（ｒ／，ｙ）是ｃ（［一ｒ，　

当Ｏ＜　＜　，时，有　］，Ｒ　）的有界凸闭子集・在Ｅ（　，ｙ）上定义算子　

ｒｏ，ｔ　Ｅ　Ｌ—ｒ，０ｊ　一｛一　。　＋　。　）＋而』。ｔ（ｔ－ｓ）￣－１　。　＋　，￡∈Ｅｏ，　

如果算子方程　

Ｙ一５　有一个解Ｙ　Ｅ　Ｅ（ｑ，ｙ）当且仅当方程（３）有一个　解ｙ，从而ｘ（ｔ。＋　）一　（　）＋　（￡。＋　）是方程（１）的　

一个解．因此初值问题（１）解的存在性等价于Ｓ在　Ｅ（刀，ｙ）有不动点．　

对于任意ｔ　Ｅ　Ｅｏ，），］，由（４）、（５）和条件（Ｈ。），　

我们有　Ｉ　Ｓｙ（￡）Ｉ≤Ｉ—ｇ（ｔｏ，　）－Ｆｇ（ｔｏ＋　，Ｙ　＋　＋　）Ｉ＋　

ｊ。Ｉ（￡一５）　ｆ（ｔ。＋５，　＋　ｓ）ｌ　ｄｓ≤　

号＋　（　）ｈ　（　础））音　）　≤　

号＋　≤ｙ，　

因此　Ｊ　Ｊ　５　ｌｌ＝ｓｕＥＩ（ｓｙ）（￡）Ｉ≤ｙ，　ｔＣ－Ｌｕ，　Ｓｙ　Ｅ　Ｅ（ｒ／，），），Ｓ是映Ｅ（ｒ／，ｙ）到自身的映射．　接卜采我们让明Ｓ是全连续算子．　令　

ｓ　（　）一＼一ｏ，ｔ

ｇＥ（岛［

，　￣＋，ｏ

ｇＪ

（，岛＋￡，　＋　），　∈［０，　，　

ｒ０，￡Ｅ［＿ｒ，０３，　。　１　ｓ　＋　∈　，　

显然Ｓ—Ｓ　＋Ｓｚ．　

由条件（Ｈ　），Ｓ　是全连续算子．　

对任意ｔ∈［ｏ，　，有　

Ｉ　ｓｚ　（　）Ｉ≤　ｊ。（　一５）　Ｉ　ｆ（ｔ。＋ｓ，　＋　

≤　（　号出）　（　㈤）音出）　≤　

，因此，｛Ｓ￣ｙ：ｙ∈Ｅ（ｒＩ，），））是一致有　

界的．　对任意Ｙ　Ｅ　Ｅ（　，ｙ），０≤ｔ１＜ｔ

２≤叩，有　第４期　王　佩：有界时滞分数阶微分方程解的存在性　６１　

Ｉ　Ｓ２ｙ　）　１）ｌ≤１志胁　ｓ　一　

（　，一ｓ）一　］厂（　。＋ｓ，Ｙ　＋　ｆｎ＋　）ｄｓ＋　

志　ｓ　ｌ≤　

而Ｍ（　一　。　叫　１　ｄ　）　＋　

而Ｍ（　］　ｄｓ）卜　≤　

Ｍ　Ｉ１（口）（１＋／３）　Ｍ　Ｆ（ａ）（１＋　）卜　ｔ　２Ｍ　ｒ（ａ）（１＋　）卜　（　１　＋ｆｌ—ｔ２　邮＋（　一ｔ１）　邯）　一　１＋　

（￡２一ｔ１）‘　（１－ａ１　≤　

（￡２一ｔ１）‘　邯川一。ｌ’，　

因此，｛Ｓ。Ｙ：Ｙ∈Ｅ（叩，ｙ））是等度连续的．显然Ｓ。是　

连续的，故Ｓ　是全连续算子．于是Ｓ＝＝＝Ｓ　＋Ｓ　是全　连续算子．　

根据Ｓｃｈａｕｄｅｒ不动点定理，Ｓ在Ｅ（ｒ／，ｙ）上至　

少有一个不动点，即初值问题（１）至少有一个解　ｚ（　）＝＝＝　（０）＋Ｙ（ｔ—ｔｏ），ｔ∈Ｅｔｏ，ｔｏ＋　．　

参考　文　献　

［１］Ｉ．Ｐｏｄｌｕｂｎｙ．Ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ　Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ［Ｍ］．Ａｃ—　Ｅ２］　

［３］　

Ｅ４］　

［５］　

［６］　

［７３　

Ｅ８］　ａｄｅｍｉｃ　Ｐｒｅｓｓ，Ｓａｎ　Ｄｉｅｇｏ，１９９９．　Ｖ．Ｌａｋｓｈｍｉｋａｎｔｈａｍ．Ｓ．Ｌｅｅｌａ　ａｎｄ　Ｊ．Ｖａｓｕｎｄｈａｒａ　Ｄｅｖｉ．　Ｔｈｅｏｒｙ　ｏｆ　Ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ　Ｄｙｎａｍｉｃ　Ｓｙｓｔｅｍｓ［Ｍ］．Ｃａｍ—　ｂｒｉｄｇｅ　Ｓｃｉｅｎｔｉｆｉｃ　Ｐｕｂｌｉｓｈｅｒｓ，２００９．　Ｖ．Ｌａｋｓｈｍｉｋａｎｔｈａｍ．Ｔｈｅｏｒｙ　ｏｆ　Ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ　Ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ　Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ＥＪ］．Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　Ａｎａ１．２００８，６９：　３３３７—３３４３．　Ｚｈｏｕ　Ｙｏｎｇ．Ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ　ａｎｄ　Ｕｎｉｑｕｅｎｅｓｓ　ｏｆ　Ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ　Ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ　Ｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌ　Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ｗｉｔｈ　Ｕｎｂｏｕｎｄｅｄ　Ｄｅ—　ｌａｙＥＪ］．Ｉｎｔ．Ｊ．Ｄｙｎ．Ｓｙｓｔ．Ｄｉｆｆｅｒ．Ｅｑｕ．２００８，１（４）：２２６—　２３Ｏ．　Ｒ．ＰＡｇａｒｗａｌ，Ｚｈｏｕ　Ｙｏｎｇ，Ｈｅ　Ｙｕｎｙｕｎ．Ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ　ｏｆ　Ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ　Ｎｅｕｔｒａｌ　Ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ　Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　Ｉ－Ｊ］．Ｃｏｍｐｕｔｅｒｓ＆Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　ｗｉｔｈ　Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ．　２０１０，５９（３）：１０９５—１１００．　Ｊ．Ｋ．Ｈａｌｅ．Ｔｈｅｏｒｙ　ｏｆ　Ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ　Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ＥＭ］．Ｓｐｒｉｎｇｅｒ－Ｖｅｌａｇ，Ｎｅｗ　Ｙｏｒｋ，１９９７．　Ｖ．Ｌａｋｓｈｍｉｋａｎｔｈａｍ，Ｌ．Ｗｅｎ　ａｎｄ　Ｂ．Ｚｈａｎｇ．Ｔｈｅｏｒｙ　ｏｆ　Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ｗｉｔｈ　Ｕｎｂｏｕｎｄｅｄ　Ｄｅｌａｙ［Ｍ］．　Ｋｌｕｗｅｒ　Ａｃａｄｅｍｉｃ　Ｐｕｂｌｉｓｈｓ，Ｄｏｒｄｒｅｃｈｔ，１　９９４．　李森林．泛函微分方程ＥＭ］．湖南科学技术出版社，　】９８５．　

Ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ　ｏｆ　Ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ　Ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ　Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　

Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ｗｉｔｈ　Ｂｏｕｎｄｅｄ　Ｄｅｌａｙ　

ＷＡＮＧ　Ｐｅｉ　

（Ｃｏｌｌｅｇｅ　ｏｆ　Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｈｕｎａｎ　Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ　ｏｆ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｘｉａｎｇｔａｎ　４１１１０４，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ，ｗｅ　ｃｏｎｓｉｄｅｒ　ｔｈｅ　ｉｎｉｔｉａｌ　ｖａｌｕｅ　ｐｒｏｂｌｅｍ　ｏｆ　ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ｗｉｔｈ　ｂｏｕｎｄｅｄ　ｄｅｌａｙ，Ｄ　（ｚ（￡）一ｇ（ｔ，Ｘ　）：ｆ（ｔ，　ｆ），　：　，ｔｏ≥０．Ｄｕｓｉｎｇ　Ｓｃｈａｕｄｅｒ　ｆｉｘｅｄ　ｐｏｉｎｔ　ｔｈｅｏｒｅｍ，ｔｈｅ　ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ　ｉＳ　ｏｂｔａｉｎｅｄ，ｗｈｅｒｅ　Ｄ　ｉＳ　ｔｈｅ　ｓｔａｎｄａｒｄ　Ｃａｐｕｔｏ＇ｓ　ｆｒａｃｔｉｏｎａ　ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ　ｏｆ　ｏｒｄｅｒ　（Ｏ＜　口＜１）．　Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｆｒａｃｔｉｏｎａ１；ｂｏｕｎｄｅｄ　ｄｅｌａｙ；ｅｘｉ

ｓｔｅｎｃｅ