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时滞微分方程解的存在性

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时滞微分方程解的存在性时滞方程更能反映真实的自然现象，关于Banach 空间中具有整数阶物质导数的时滞微分方程解的存在性的研究已有了不少，包括积分方程最优控制，边值问题，方法也都类似，但对于分数阶导数的方程的研究不多。

可能是因为分数阶导数问题还没有被应用到更广泛的领域，或者是因为分数阶导数较整数阶研究更为困难。

一般研究微分方程是在实数空间内，为了使结果更具一般性，下面本文研究抽象空间中一般分数阶物质导数的方程解的存在性，从而得到一般性的结论。

为后文的工作做理论准备。

现有的研究分数阶导数的微分方程解的存在性的文章不多，事先查得的的一篇文章是研究整数阶的有时滞项的微分方程的解的存在性的。

由于分数阶导数和整数阶导数的性质有很大差异，研究整数阶导数方程的方法不能照搬到分数阶导数方程上，所以我们研究时加上了一条限制条件，即方程右端的非线性项的范数小于一个常数加上一个常数和解函数范数的乘积，之后用了皮卡迭代方法，得到一个函数序列，然后用数学归纳法证明此序列一致有界且等度连续，然后结合相关文献，就证明了上面得到的函数序列有弱收敛子列，最后证明弱收敛子列的极限函数就是方程的解。

从而证明了该方程解的存在性。

具体过程如下：令E 为Banach 空间,E*为其对偶空间并且E 0 =C([−h,0],E),上面的范数分别为:，* 和 0E ，0[,0]max ()t h E t ϕϕ∈-=，同时, 00(,){:},X X B y r y X y y r =∈-≤其中，X E =或0E ，(), 表示E 和E*中的元素的内积。

考虑如下Banach 空间分数阶微分方程的初值问题：00()(,),0,01,(2.0.1)t D u t f t u t u E ααψ⎧=≥<<⎪⎨=∈⎪⎩其中D α是Caputo 分数阶导数。

f:[0,+∞)×E 0→E 。

同时对于任意u ∈C([−h,0],E)函数0,0,t u E t ∈≥定义为成u t (s)=u(t+s),s ∈[−h,0]。

我们现在重温[5]中的两个定义。

令E ω是E 被赋予弱拓扑的空间，我们考虑空间0,([,0],)E C h E ωω=-。

我们说0,n u u E ω→∈在0,E ω中如果()()n n u s u s →在E ω任意n s s →。

我们说函数f 是在有界集上序列弱连续的如果,n n t t s s →→在0,E ω中并且0n E u M ≤对于所有n ，意味着(,)(,)n n f t u f t u →在0,E ω中。

同时，我们说f有界，如果f 把[0,+∞)×E 0的有界子集映射到E 的有界子集。

定义2.0.1 映射:[,]u h T E -→被称为方程(2.0.1)的解如果0u ψ=，()u 连续 且满足：101()(0)()(,)()t u t u t f u d αττττα-=+-Γ⎰对于任意[0,]t T ∈ (2.0.2) 我们重提[19]中的一般的关于奇异核的Gronwall 不等式，此定理会在结果中 用到。

引理2.0.2 令0:[,][0,)v t b →+∞是实函数并且()w 非负，在0[,]t b 上局部可 积且存在正常数a>0 和0<a<1 满足：0()()()()t t v s v t w t a ds t s α≤+-⎰ 对于任意的0[,]t t b ∈，存在常数()K K α=满足：0()()()()t t w s v t w t Ka ds t s α≤+-⎰ 这个引理是我们从一篇参考文献中摘出，是推广的Gronwall 不等式。

由[5]中注3我们得到如果E 是可分的,f:[0,+∞)×E 0→E 在有界集上是序列弱连续的且映射0t t u E ∈是连续的，那么有(,)t t f t u 强可测。

更进一步，如果我们假设映射f 是有界的，那么我们有1(,)(0,;)f u L T E ⋅∈。

如果f:[0,+∞)×E 0→E 和0t t u E ∈是连续的，那么映射是连续的，因此强可测。

更进一步，如果我们假设映射f 是有界的，那么我们有1(,)(0,;)f u L T E ⋅∈。

定理2.0.3 假设E 是自反的可分空间，令f:[0,+∞)×E 0→E 在有界集合上序列弱连续,并且对于[0,)t ∈+∞和0t u E ∈存在正常数1K 和1K 满足12(,)t t E f t u K K u ≤+ (2.0.3)则存在b>0使得在区间[0,b]上方程(2.0.1)至少有一解。

证明： 我们取正常数b 满足12(1)b K αα⎛⎫Γ+< ⎪⎝⎭，对于任意[0,][0,]t b τ∈⊂，对于任意[0,][0,]t b τ∈⊂，令0u τψ=，对于任意n 我们定义如下递推关系：(1)11()(0)()(,),()()(),[,0]n n n u t t f u d u s s s h ατψττταψ--⎧=+-⎪Γ⎨⎪=∈-⎩(2.0.4) 其中[0,]t b ∈。

由(2.0.3) 中的假设,我们有00000110011201211201()(0)()(,)()1()()()(1)(1)(1)(1)t t E E i E E E i u t t f u d t K K d t K t Kt K t K αταααααψττταψτψταψψψαααα--==+-Γ≤+-+Γ⎛⎫⎛⎫=++≤+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪Γ+Γ+Γ+Γ+⎝⎭⎝⎭⎰⎰∑ 因此，对于[0,][0,]t b τ∈⊆0011112[,0]0()max ()(1)(1)iE E s h i t K t K u t u t s αατψαα∈-=⎛⎫⎛⎫=+≤+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪Γ+Γ+⎝⎭⎝⎭∑ 对n 进行数学归纳我们可得到00120()(1)(1)i n n E E i t K t K u t αατψαα=⎛⎫⎛⎫≤+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪Γ+Γ+⎝⎭⎝⎭∑ 对[0,][0,]t b τ∈⊆。

由于[0,]t b ∈，对于所有[0,][0,]t b τ∈⊆和任意n N ∈， 00120(1)(1)in n E E i b K b K u M αατψαα=⎛⎫⎛⎫≤+≤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪Γ+Γ+⎝⎭⎝⎭∑ (2.0.5) 其中，我们使用记号012(1):(1)(1)E b K M K b αααψαα⎛⎫Γ+=+ ⎪ ⎪Γ+Γ+-⎝⎭ 令,[0,]t s b ∈，并且t s >。

之后我们有11110011111011112120121()()()(,)()(,)()11()()(,)()(,)()()11()()()()()()()t s n n n n s t n n ss t su t u s t f u d s f u d s t f u d t f u d s t K K M d t K K M d K K ααττααατταααττττττατττττττααττττταα-------------=---Γ≤---+-ΓΓ≤---++-+ΓΓ+≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰122()(2())(1)(1)M K K M s t t s t s αααααα+-+-≤-Γ+Γ+(2.0.6)由于E 是自反的，由(2.0.5) 我们推断对任意[0,]t b ∈,序列在E ω 中是相对紧的.运用对角线法则和[5]中定理4的相关证明，我们得到连续解函数()u 的存在性和函数列{()}n u (仍记作n u )满足()()n u t u t →在E ω,对于任意[0,]t b ∈ (2.0.7)我们将证明如果0[0,]n t t b →∈,在E ω中有0()()n n u t u t →。

实际上，对任意*v E ∈我们有0000(()(),)(()(),)(()(),)n n n n n n u t u t v u t u t v u t u t v -=-+-由(7)和(8), 对任意0ε>,存在()N ε满足对任意()n N ε≥我们有：00(()(),)()()2n n n n n n u t u t v u t u t v ε-≤-<和 0000(()(),)()()2n n u t u t v u t u t v ε-≤-< 因此0(()(),)n n u t u t v ε-<，所以0()()n n u t u t →在E ω当0[0,]n t t b →∈。

这暗 示对于任意的[0,]b τ∈,对于[,0]n s s h →∈-,在E ω中：()()()()n n n n u s u s u s u s ττττ=+→+= 因此，n u u ττ→在0,E ω中。

最后我们证明()u 是方程(2.0.1)的解。

为了这个目的我们将利用下面积分的 极限：1101()(0)()(,),[0,]()t n n u t t f u d t b ατψτττα--=+-∈Γ⎰由于f 在有界集合上序列弱连续，对任意[0,]t b ∈ 我们有(,)(,)n f u f u ττττ→在E ω然后由01212(,)n t E f u K K u K K M ττ≤+≤+和Lebesgue 理论我们得到对于任意*v E ∈有()()1111001100()(,),()(,),()(,),()(,),t t n n t t t f u d v t f u v d t f u v d t f u d v ααττααττττττττττττττ------⎛⎫-=- ⎪⎝⎭⎛⎫→-=- ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰, 因此101((),)((0),)()(,),()t u t v v t f u d v ατψτττα-⎛⎫=+- ⎪Γ⎝⎭⎰ 其中我们使用11()(,)(0,;)t f u L t E α-⋅-⋅⋅∈。

由*v E ∈的任意性，我们得到：101()(0)()(,)()t u t t f u d ατψτττα-=+-Γ⎰对任意[0,]t b ∈， 这个定理的证明完毕。

□定理2.0.4 假设定理2.0.3 中的假设成立。

如果有(2)的某个解()u 在[0,b )上存在最大值，那么b = +∞，也就是说()u 是一个全局解。

证明：令[0,]t b ∈并且[,0]s h ∈-。

如果[,0]t s h +∈-，那么0()E u t s ψ+≤。

另一方面，[0,]t s b +∈我们有：000010112011201()(0)()(,)()1()()()()()(1)()t s t s E E t s E E u t s u t s f u d t s K K u d K t s K t s u d αταταατττταψτταψτταα+-+-+-+≤++-Γ≤++-+Γ+≤+++-Γ+Γ⎰⎰⎰因此，0001120[,0]max ()()(1)()t t E E E s h t K K u u t s t u d αατψτταα-∈-=+≤++-Γ+Γ⎰(2.0.8)应用引理2,我们推断存在K>0满足：00000000011210221211221211()(1)()(1)(1)(1)(21):(1)(1)(21)t t E E E E E E E E E t K KK K u t d KK t KK K t t KM KK t KK K t t K M ααααααααατψτψταααψψψαααψψψααα-⎛⎫≤++-+ ⎪ ⎪Γ+ΓΓ+⎝⎭≤+++≤Γ+Γ+Γ+=+++Γ+Γ+Γ+⎰(2.0.9)由(2.0.3)中的条件可得f 有界。

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一致分数阶时滞微分方程边值问题解的存在性与唯一性

一致分数阶时滞微分方程边值问题解的存在性与唯一性

第61卷 第5期吉林大学学报(理学版)V o l .61 N o .52023年9月J o u r n a l o f J i l i nU n i v e r s i t y (S c i e n c eE d i t i o n )S e p2023d o i :10.13413/j .c n k i .jd x b l x b .2023011一致分数阶时滞微分方程边值问题解的存在性与唯一性张 敏,周文学,黎文博(兰州交通大学数理学院,兰州730070)摘要:用L e r a y -S c h a u d e r 度理论和B a n a c h 压缩映射原理研究一致分数阶时滞微分方程边值问题D β0+u (t )=f (t ,u (t -τ)), t ɪ[0,1],u (t )=φ(t ), t ɪ[-τ,0],u (0)+u ᶄ(0)=0, u (1)+u ᶄ(1)=ìîíïïïï0解的存在性与唯一性.在非线性项满足增长性条件和L i p s c h i t z 条件下,分别得到了该边值问题解的存在性与唯一性结果,并举例说明所得结果的适用性.关键词:一致分数阶导数;时滞;边值问题;L e r a y -S c h a u d e r 度理论;B a n a c h 压缩映射原理中图分类号:O 175.8 文献标志码:A 文章编号:1671-5489(2023)05-1007-07E x i s t e n c e a n dU n i q u e n e s s o f S o l u t i o n s f o rB o u n d a r y Va l u eP r ob l e m s o fC o n f o r m a b l eF r ac t i o n a lD e l a y D i f f e r e n t i a l E qu a t i o n s Z H A N G M i n ,Z HO U W e n x u e ,L IW e n b o(S c h o o l o f M a t h e m a t i c s a n dP h y s i c s ,L a n z h o u J i a o t o n g U n i v e r s i t y ,L a n z h o u 730070,C h i n a )A b s t r a c t :B y u s i n g L e r a y -S c h a u d e rd e g r e et h e o r y a n d B a n a c h c o n t r a c t i o n m a p p i n g p r i n c i p l e ,w e s t u d i e dt h e e x i s t e n c e a n d u n i q u e n e s s o fs o l u t i o n sf o r b o u n d a r y va l u e p r ob l e m s o fc o n f o r m a b l e f r a c t i o n a lde l a y d if f e r e n t i a l e qu a t i o n s D β0+u (t )=f (t ,u (t -τ)), t ɪ[0,1],u (t )=φ(t ), t ɪ[-τ,0],u (0)+u ᶄ(0)=0, u (1)+u ᶄ(1)=0ìîíïïïï,w h e n t h en o n l i n e a r t e r ms a t i s f i e d t h e g r o w t hc o n d i t i o na n d t h eL i ps c h i t z c o n d i t i o n ,w eo b t a i n e d t h e r e s u l t s o f e x i s t e n c e a n du n i q u e n e s s o f s o l u t i o n f o r t h eb o u n d a r y v a l u e p r o b l e mr e s p e c t i v e l y ,a n d g a v e a ne x a m p l e t o i l l u s t r a t e t h e a p p l i c a b i l i t y of t h e o b t a i n e d r e s u l t s .K e y w o r d s :c o n f o r m a b l e f r a c t i o n a l d e r i v a t i v e ;d e l a y ;b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m ;L e r a y -S c h a u d e r d e g r e e t h e o r y ;B a n a c hc o n t r a c t i o nm a p p i n gp r i n c i pl e 收稿日期:2023-01-04. 网络首发日期:2023-07-13.第一作者简介:张 敏(1998 ),女,汉族,硕士研究生,从事分数阶微分方程的研究,E -m a i l :m z h a n g 20222022@126.c o m.通信作者简介:周文学(1976 ),男,汉族,博士,教授,从事非线性分析问题的研究,E -m a i l :w x z h o u 2006@126.c o m.基金项目:国家自然科学基金(批准号:11961039;11801243)和兰州交通大学校青年科学基金(批准号:2017012).网络首发地址:h t t ps ://k n s .c n k i .n e t /k c m s 2/d e t a i l /22.1340.o .20230713.1056.001.h t m l .Copyright ©博看网. All Rights Reserved.0 引 言分数阶微分方程的边值问题是分数阶微分系统理论的重要课题.目前,对分数阶微分方程边值问题的研究已取得了丰富成果,其中最主要的是基于R i e m a n n -L i o u v i l l e 和C a p u t o 分数阶导数的定义[1-9].但这两种导数均不满足经典链式法则,并且这两种导数的某些性质使得分数阶导数的应用很困难.因此,K h a l i l 等[10]提出了一种新的分数阶导数和分数阶积分的定义,称为一致分数阶导数和积分.这种新的分数阶导数的定义可满足经典的分数阶导数不能满足的一些性质,如乘积法则㊁商法则㊁链式法则㊁罗尔定理和中值定理等,并且其在生物物理学㊁电容理论㊁控制理论和实验数据拟合等领域应用广泛[11-13].但对带有时滞的分数阶微分方程边值问题的研究目前报道较少[14-16].Y a n g 等[17]利用S c h a e f e r 不动点定理和K r a s n o s e l s k i i s 不动点定理研究了一类非线性分数阶微分方程边值问题cD α0+u (t )=f (t ,u (t ),u ᶄ(t )),u (0)+u ᶄ(0)=0, u (1)+u ᶄ(1)={正解的存在性,其中0<t <1,1<αɤ2,f :[0,1]ˑ[0,+ɕ)ˑℝң[0,+ɕ)是连续函数,c D α0+是α阶C a p u t o 分数阶导数.X u [18]利用B a n a c h 压缩映射原理㊁L e r a y -S c h a u d e r 度理论和K r a s n o s e l s k i i s 不动点定理研究了一类分数阶微分方程边值问题cD q x (t )=f (t ,x (t )), t ɪ[0,1],x (1)=μʏ1x (s )d s , x ᶄ(0)+x ᶄ(1)={解的存在唯一性,其中1<q <2,f :[0,1]ˑX ңX 是连续函数,c D q 是q 阶C a p u t o 分数阶导数.基于上述研究,本文利用L e r a y -S c h a u d e r 度理论和B a n a c h 压缩映射原理考虑如下一类一致分数阶时滞微分方程边值问题:D β0+u (t )=f (t ,u (t -τ)), t ɪ[0,1],u (t )=φ(t ), t ɪ[-τ,0],u (0)+u ᶄ(0)=0, u (1)+u ᶄ(1)=ìîíïïïï0(1)解的存在性与唯一性,其中1<βɤ2,τ>0,f :[0,1]ˑℝңℝ是连续函数,D β0+是阶数为β的一致分数阶导数.1 预备知识定义1[10] 假设函数f :[0,ɕ)ңℝ,则f 的βɪ(n ,n +1]阶一致分数阶导数定义为D βf (t )=l i m εң0f (β⌉-1)(t +εt β⌉-β)-f (β⌉-1)(t )ε, t >0,(2)其中β是大于等于β的最小整数.式(2)右端极限存在,此时称函数f 是β阶可微的.特别地,当βɪ(1,2]时,D βf (t )=l i m εң0f ᶄ(t +εt 2-β)-f ᶄ(t )ε, t >0.(3) 注1 如果函数f 在(0,b )(b >0)上是β阶可微的,并且l i m t ң0+D βf (t )存在,则D βf (0)=l i m t ң0+D βf (t).注2 由一致分数阶导数定义可知,当β=1时,一致分数阶导数定义即为传统的一阶导数定义.引理1[10] 当βɪ(n ,n +1]并且f 在t >0处n +1阶可微时,有D βf (t )=t β⌉-βf(β⌉)(t ).(4) 证明:令k =εt β⌉-β,则ε=t β-β⌉k ,因此由定义1可得D βf (t )=l i m εң0f (β⌉-1)(t +εt β⌉-β)-f (β⌉-1)(t )ε=l i m k ң0t β⌉-βf (β⌉-1)(t +k )-f (β⌉-1)(t )k=t β⌉-βf (β⌉)(t ). 定义2[19]假设函数f :[0,ɕ)ңℝ,则f 的βɪ(n ,n +1]阶一致分数阶积分定义为8001 吉林大学学报(理学版) 第61卷Copyright ©博看网. All Rights Reserved.I βf (t )=1n!ʏt 0(t -s )n s β-n -1f (s )d s .(5)特别地,当βɪ(1,2]时,I βf (t )=ʏt 0(t -s )s β-2f (s )d s .引理2[19] 假设函数f :[0,ɕ)ңℝ连续,并且βɪ(n ,n +1],则有D βI βf (t )=f (t ).(6) 引理3[19]假设f :[0,ɕ)ңℝ是β阶可微函数,并且βɪ(n ,n +1],则有I βD βf (t )=f (t )+a 0+a 1t + +a nt n ,(7)其中a i ɪℝ,i =0,1,2, ,n .引理4 设函数f :[0,1]ˑℝңℝ是连续的,u (t )是边值问题(1)的解,则u (t )=ʏ10G (t ,s )f (s ,u (s -τ))d s ,t ɪ[0,1],φ(t ),t ɪ[-τ,0{],(8)其中格林函数G (t ,s)为G (t ,s )=(1-s )(2-t )sβ-2,0ɤs ɤt ɤ1,(1-t )(2-s )sβ-2,0ɤt ɤs ɤ1{.(9) 证明:由引理3知,有u (t )=I β0+f (t ,u (t -τ))-a 0-a 1t =ʏt 0(t -s )s β-2f (s ,u (s -τ))d s -a 0-a 1t ,(10)从而u ᶄ(t )=ʏts β-2f (s ,u (s -τ))d s -a 1.根据u (0)+u ᶄ(0)=0,有a 0+a 1=0;(11)根据u (1)+u ᶄ(1)=0,有a 0+2a 1-ʏ10(2-s )s β-2f (s ,u (s -τ))d s =0.(12)结合式(11),(12)可得a 0=-ʏ10(2-s )s β-2f (s ,u (s -τ))d s , a 1=ʏ10(2-s )s β-2f (s ,u (s -τ))d s .(13)将式(13)代入式(10)可得u (t )=ʏt 0(t -s )s β-2f (s ,u (s -τ))d s +ʏ10(2-s )s β-2f (s ,u (s -τ))d s -t ʏ1(2-s )s β-2f (s ,u (s -τ))d s =ʏt 0(1-s )(2-t )s β-2f (s ,u (s -τ))d s +ʏ1t(1-t )(2-s )sβ-2f (s ,u (s -τ))d s =ʏ10G (t ,s )f (s ,u (s -τ))d s . 引理5(A r z e l a -A s c o l i 定理)[20] 集合P ⊂C ([a ,b ])列紧的充分必要条件为:1)集合P 有界,即存在常数ψ,使得对∀u ɪP ,有u (t )ɤψ(∀t ɪ[a ,b ]);2)集合P 等度连续,即对∀ε>0,始终存在σ=σ(ε)>0,使得对于∀t 1,t 2ɪ[a ,b ],只要t 1-t 2<σ,即有u (t 1)-u (t 2)<ε(∀u ɪP ).2 主要结果设A 为C ([-τ,1],ℝ)按范数 u =m a x t ɪ[-τ,1]u (t )构成的B a n a c h 空间,在A 上定义一个算子Q ,Q u (t )=ʏ10G (t ,s )f (s ,u (s -τ))d s ,t ɪ[0,1],φ(t ),t ɪ[-τ,0]{. 假设条件:(H 1)函数f ɪC ([0,1]ˑℝ,ℝ),并且φɪC ([-τ,0],ℝ);9001 第5期张 敏,等:一致分数阶时滞微分方程边值问题解的存在性与唯一性 Copyright ©博看网. All Rights Reserved.(H 2)存在常数α,B >0,使得∀(t ,u )ɪ[0,1]ˑℝ,有f (t ,u )ɤαu +B ;(H 3)存在函数η(t )ɪL 1/2([0,1],ℝ+),使得∀t ɪ[0,1],当任取u ,v ɪℝ时,有f (t ,u )-f (t ,v )ɤη(t )u -v ,其中 η =ʏ10η2(s )d ()s 1/2.为方便,引入记号:Λ1=β+2β(β-1),Λ2=1(β-1)(2β-1)(2β-3),Λ3=2β2-β+1(β-1)(2β-1)(2β-3),32<βɤ2.定理1 如果条件(H 1)和(H 2)成立,并且αɪ(0,Λ-11),则边值问题(1)至少存在一个解.证明:由函数G (t ,s ),f (s ,u (s -τ))的连续性可知算子Q 是连续的,并且易证Q (A )⊂A .设P 是A 中的一个有界集,则存在常数M >0,使得对任意的u ɪP ,有 u ɤM .下面利用L e r a y -S c h a u d e r 度理论证明边值问题(1)正解的存在性,分以下3个步骤.1)证明算子Q (P )是一致有界的.对任意的u ɪP ,有Q u (t)=ʏ10G (t ,s )f (s ,u (s -τ))d s ɤʏ10G (t ,s )㊃f (s ,u (s -τ))d s ɤ(αu +B )ʏ10G (t ,s )d s ɤ(αM +B )ʏ10(2-s )(1-t )s β-2d s +ʏt(t -s )s β-2d []s =(αM +B )β+1β(β-1)(1-t )+1β(β-1)㊃t éëêêùûúúβɤ(αM +B )β+1β(β-1)+1β(β-1éëêêùûúú)=(αM +B )Λ1,因此,算子Q (P )是一致有界的.2)证明算子Q (P )是等度连续的.对任意的u ɪP ,t 1,t 2ɪ[-τ,1]且t 1<t 2:①当0ɤt 1<t 2ɤ1时,有Q u (t 2)-Q u (t 1)=ʏ10G (t 2,s )f (s ,u (s -τ))d s -ʏ1G (t 1,s )f (s ,u (s -τ))d s ɤʏ10G (t 2,s )-G (t 1,s )㊃f (s ,u (s -τ))d s ɤ(αu +B )ʏ10G (t 2,s )-G (t 1,s )d s ɤ (αM +B )ʏt 10G (t 2,s )-G (t 1,s )d s +ʏt 2t 1G (t 2,s )-G (t 1,s )d s +ʏ1t 2G (t 2,s )-G (t 1,s )d []s = (αM +B )ʏt 10{[(2-s )(1-t 2)s β-2-(2-s )(1-t 1)s β-2]+[(t 2-s )s β-2-(t 1-s )s β-2]}d s + (αM +B )ʏt 2t 1{[(2-s )(1-t 2)s β-2-(2-s )(1-t 1)s β-2]+(t 2-s )s β-2}d s + (αM +B )ʏ1t 2[(2-s )(1-t 2)s β-2-(2-s )(1-t 1)s β-2]d s =(αM +B )ʏt 10(t 1-t 2)(2-s )s β-2d s +ʏt 10(t 2-t 1)s β-2d s +ʏt 2t 1(t 1-t 2)(2-s )s β-2d [s + ʏt 2t 1(t 2-s )s β-2d s +ʏ1t 2(t 1-t 2)(2-s )s β-2d ]s ɤ(αM +B )(t β2-t β1)-(β+1)(t 2-t 1)β(β-1); ②当-τɤt 1<t 2ɤ0时,有Q u (t 2)-Q u (t 1)ɤφ(t 2)-φ(t 1);③当-τɤt 1<0<t 2ɤ1时,有Q u (t 2)-Q u (t 1)ɤQ u (t 2)-Q u (0)+Q u (0)-Q u (t 1)ɤʏ10G (t 2,s )-G (0,s )㊃f (s ,u (s -τ))d s +φ(0)-φ(t 1)ɤ(αM +B )ʏ10G (t 2,s )d s +φ(0)-φ(t 1)ɤ0101 吉林大学学报(理学版) 第61卷Copyright ©博看网. All Rights Reserved.(αM +B )t β2β(β-1)+φ(0)-φ(t 1)ɤ(αM +B )t β2-t β1β(β-1)+φ(0)-φ(t 1). 在上面3种情形中,当t 1ңt 2时,总有Q u (t 2)-Q u (t 1)ң0,表明Q (P )是等度连续的.故由引理5可知,Q (P )是列紧的,从而算子Q :A ңA 是全连续的.3)利用L e r a y -S c h a u d e r 度理论证明问题(1)正解的存在性.定义范数 φ [-τ,0]=m a x t ɪ[-τ,0]φ(s ).假设当γɪ[0,1],u ɪA 时,u =γQ u ,则u (t )=γQ u (t )ɤQ u (t)ɤʏ10G (t ,s )㊃f (s ,u (s -τ))d s ,t ɪ[0,1],φ(t ),t ɪ[-τ,0{],ɤʏ10G (t ,s )(αu +B )d s ,t ɪ[0,1],φ(t ),t ɪ[-τ,0{],ɤ(αu +B )ʏ10(2-s )(1-t )s β-2d s +ʏt 0(t -s )s β-2d []s ,t ɪ[0,1],φ(t ),t ɪ[-τ,0{],ɤ(α u +B )Λ1,t ɪ[0,1], φ [-τ,0],t ɪ[-τ,0{],从而 u ɤB Λ11-αΛ1 φìîíïïïɤT .令ω=T +1,B ω={u ɪA : u <ω},则u ʂγQ u ,对任意的u ɪ∂B ω,γɪ[0,1].定义一个映射:F γ(u )=u -γQ u ,则F γ(u )=u -γQ u ʂ0,对任意的u ɪ∂B ω,γɪ[0,1].因此,由L e r a y -S c h a u d e r 度的同伦不变性,有d e g (F γ,B ω,θ)=d e g (I -γQ ,B ω,θ)=d e g (F 1,B ω,θ)=d e g (F 0,B ω,θ)=d e g (I ,B ω,θ)=1ʂθ.从而根据L e r a y -S c h a u d e r 度的可解性可知,方程F 1(u )=u -Q u =0在B ω上至少存在一个解,进而边值问题(1)至少有一个正解.证毕.定理2 如果条件(H 1)和(H 3)成立,并且 η (Λ2+Λ3)<1,则边值问题(1)存在唯一解.证明:假设s u p t ɪ[0,1]f (t ,0)=ζ<ɕ.定义B δ={u ɪA : u ɤδ}为A 中的有界闭球,并选择δȡζΛ11- η (Λ2+Λ3).下面利用B a n a c h 压缩映射原理证明边值问题(1)解的存在唯一性,分以下两个步骤.1)证明Q (B δ)⊂B δ.对任意的u ɪB δ,有Q u (t)ɤʏt 0(t -s )s β-2f (s ,u (s -τ))d s +ʏ10(1-t )(2-s )s β-2f (s ,u (s -τ))d s ɤʏt 0(t -s )s β-2[f (s ,u (s -τ))-f (s ,0)+f (s ,0)]d s +ʏ10(1-t )(2-s )s β-2[f (s ,u (s -τ))-f (s ,0)+f (s ,0)]d s ɤ u ʏt(t -s )s β-2η(s )d s +ζʏt(t -s )s β-2d s +u (1-t )ʏ10(2-s )s β-2η(s )d s +ζʏ10(1-t )(2-s )s β-2d s ɤ u ʏt(t s β-2-s β-1)2d ()s 1/2ʏtη2(s )d ()s 1/2+ζβ(β-1)t β+ u (1-t )ʏ10(2s β-2-s β-1)2d []s 1/2ʏ10η2(s )d ()s 1/2+(β+1)ζβ(β-1)(1-t )ɤ1101 第5期张 敏,等:一致分数阶时滞微分方程边值问题解的存在性与唯一性 Copyright ©博看网. All Rights Reserved.1(β-1)(2β-1)(2β-3) u η t β-1/2+ζβ(β-1)t β+2β2-β+1(β-1)(2β-1)(2β-3) u η (1-t )+(β+1)ζβ(β-1)(1-t )ɤδ η (Λ2+Λ3)+ζΛ1,则 Q u ɤδ.表明算子Q 将B δ中的有界子集映为B δ中的有界子集,即Q (B δ)⊂B δ.2)证明算子Q 为压缩映射.对任意的u ,v ɪA :①当t ɪ[0,1]时,有Q u (t )-Qv (t )ɤʏt 0(t -s )s β-2f (s ,u (s -τ))-f (s ,v (s -τ))d s +ʏ10(1-t )(2-s )s β-2f (s ,u (s -τ))-f (s ,v (s -τ))d s ɤ u -v ʏt(t -s )s β-2η(s )d s + u -v (1-t )ʏ10(2-s )s β-2η(s )d s ɤu -v ʏt(t s β-2-s β-1)2d ()s 1/2ʏtη2(s )d ()s 1/2+u -v (1-t )ʏ10(2s β-2-s β-1)2d ()s 1/2ʏ10η2(s )d ()s 1/2ɤ1(β-1)(2β-1)(2β-3) u -v ㊃ ηt β-1/2+2β2-β+1(β-1)(2β-1)(2β-3) u -v ㊃ η (1-t )ɤ η (Λ2+Λ3) u -v ; ②当t ɪ[-τ,0]时,有Q u (t )-Q v (t )=φ(t )-φ(t )=0.由①,②可得Q u -Q v [-τ,1]ɤ η (Λ2+Λ3) u -v [-τ,1]. 因为 η (Λ2+Λ3)<1,所以算子Q 为压缩映射.即由B a n a c h 压缩映射原理可知算子Q 存在唯一的不动点,故边值问题(1)存在唯一解.3 应用实例考虑下列一致分数阶时滞微分方程边值问题:D 7/40+u (t )=e -3t s i n 1/2t 5(2+t )2㊃u (t -τ)1+u (t -τ), t ɪ[0,1],u (t )=φ(t ), t ɪ[-τ,0],u (0)+u ᶄ(0)=0,u (1)+u ᶄ(1)=ìîíïïïïïï0(14)解的存在性与唯一性.证明:在边值问题(14)中,β=74,函数f (t ,u (t ))=e -3t s i n 1/2t 5(2+t)2㊃u 1+u 是连续的,满足条件(H 1);对任意的u ,v ɪℝ,t ɪ[0,1],有f (t ,u (t -τ))-f (t ,v (t -τ))ɤe -3t s i n 1/2t 5(2+t )2u -v ɤe -3t s i n 1/2t ㊃u -v .所以存在η(t )=e -3t s i n 1/2t ɪL 1/2([0,1],ℝ+),满足条件(H 3),且 η =0.1667.又因为Λ2=1(β-1)(2β-1)(2β-3)ʈ1.0328, Λ3=2β2-β+1(β-1)(2β-1)(2β-3)ʈ2.3944.所以 η (Λ2+Λ3)ʈ0.5713<1.因此根据定理2可知,边值问题(14)存在唯一解.2101 吉林大学学报(理学版)第61卷Copyright ©博看网. 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S E F A ,e ta l .A N e w D e f i n i t i o no fF r a c t i o n a lD e r i v a t i v e [J ].J o u r n a lo f C o m p u t a t i o n a l a n dA p pl i e d M a t h e m a t i c s ,2014,264:65-70.[11] I Y I O L A OS ,T A S B O Z A N O ,K U R T A ,e t a l .O n t h eA n a l y t i c a l S o l u t i o n s o f t h e S y s t e mo f C o n f o r m a b l eT i m e -F r a c t i o n a lR o b e r t s o nE q u a t i o n sw i t h1-DD i f f u s i o n [J ].C h a o s ,S o l i t o n s&F r a c t a l s ,2017,94:1-7.[12] Z HO U H W ,Y A N GS ,Z HA N GSQ.C o n f o r m a b l eD e r i v a t i v eA p p r o a c ht oA n o m a l o u sD i f f u s i o n [J ].P h y s i c a A :S t a t i s t i c a lM e c h a n i c s a n d I t sA p pl i c a t i o n s ,2018,491:1001-1013.[13] H ESB ,S U N K H ,M E IX Y ,e ta l .N u m e r i c a lA n a l y s i so fa F r a c t i o n a l -O r d e rC h a o t i cS y s t e m B a s e do n C o n f o r m a b l eF r a c t i o n a l -O r d e rD e r i v a t i v e [J ].T h eE u r o p e a nP h y s i c a l J 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区间值分数阶时滞微分方程解的存在性与唯一性

区间值分数阶时滞微分方程解的存在性与唯一性

区间值分数阶时滞微分方程解的存在性与唯一性杜思嘉【摘要】通过分析分数阶时滞微积分方程理论与区间值函数,研究了区间值一阶分数阶时滞微积分方程的性质及其应用.通过运用Banach不动点定理,探究在特定条件下区间值分数阶时滞微积分方程的关系,证得区间值Caputo一阶分数阶时滞微分方程解的存在性与唯一性.【期刊名称】《河南科技大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2017(038)003【总页数】5页(P86-90)【关键词】区间值函数;存在性与唯一性;分数阶运算;时滞【作者】杜思嘉【作者单位】广西民族大学理学院,广西南宁 530006【正文语种】中文【中图分类】O175.1区间值微积分方程是区间分析理论中的重要部分，受到广泛关注，并取得了重要研究成果[1-3]。

分数阶运算作为数学工具越来越多地用于解决实际问题，分数阶微分方程的探究也得出了许多结论。

通过把时滞现象与分数阶微分方程结合进行研究，得到了许多有实际意义的结论[4-6]。

分数阶时滞微分方程和区间值微分方程都是解决区间分析实际问题的重要工具。

但是，区间值一阶分数阶时滞微分方程这个问题并未解决，并且对区间值函数的分数阶运算理论研究也非常少。

所以，分析区间值一阶分数阶时滞微分方程解的存在性与唯一性所得出的结论，将对应用区间值分数阶时滞微分方程理论来解决实际问题非常有益。

本文主要研究了以下方程解的存在性与唯一性：其中：(t)表示对区间值函数x(t):[0,H]→Kc做区间值Caputo分数阶导数，并且f(t,x(t),x(t-τ))∈C([0,H]×Kc×Kc;Kc)；τ>0是常值时间滞后量；φ(t)∈C([-τ,0],Kc)。

通过对区间值函数的概念性质、区间值分数阶运算理论的总结分析，运用Banach 压缩不动点定理，论证了区间值Caputo分数阶时滞微分方程解的存在性与唯一性。

Kc是由R上非空的紧凸集构成的空间，任取Kc中的元素]∈Kc，且∈R，满足，当时，称a为一个单值区间。

具有状态依赖时滞的脉冲微分的方程周期解的存在性

具有状态依赖时滞的脉冲微分的方程周期解的存在性


正周期解 的存 在性 ．
本 文 考 虑 具 状 态 依 赖 时 滞 脉 冲 方 程
ｚ （ ）＝～ ａ ｆｚ（） 厂（ ， （— ｒ （ ） ） ， ｔ ＝女 ￡ ＝ ＝ （） ｆ ＋ ｆ ｆ （ ｆ ） ） ＝ ｔ， ／
Ａ ｚ（ ） Ｉ （ ｔ ） ｆ 一 女 （ 一） ， ｔ ｔ ，志 １ ２ ３， — 女 一 ， ， …
则 Ａ 在 Ｋｎ（ ＼ ） 。 中有一个不 动点。
其 证 明见 ［ ］ ４．
在 ［］ １ 中研究 了一类 非 自治 时滞脉 冲方程
（） － ａ （ ） 厂（ ， ｔ ） ， ≠ ｔ ， 一 ｙ ＋ ｔ （ —ｒ ）
△ ｊ（ ） ， （ｙ ｆ ）， ￡ ｔ ， ｆ 一 ．（ ） 一 ，志： ｌ， ３， ２， …
第２ ６卷第 １ 期
２１ ０ ０年 ２月
大 学 数 学
Ｃ０ ＬＬＥＧＥ Ａ Ｔ Ｈ ＥＭ Ａ ＴＩ Ｍ ＣＳ
Ｖ０ ． ６ № ． １２ ， １
Ｆｅ ． ０１ ｂ２ ０
具 有状 态依 赖 时滞 的脉 冲微分 的方程 周 期解 的存在 性
陈攀 峰
（ 宿州 学 院 应 用 数 学 系 ， 徽 宿 州 ２ ４ Ｏ ） 安 ３ ０ Ｏ
通过 多年对 时滞泛 函微分方程 的研究 ， 绝大 多数 的结 果 是研究 滞 量 为一个 定 数或 者 为分 布时滞 的 情 形 ， 于更复杂 的情况 比如滞量依 赖于未 知 函数 ， 对 在最 近几 年才 被 引起 注意 ， 些方 程通 常 叫做 时滞 这 依 赖于状 态微分方 程． 同时 脉冲现象 在生态模 型 中也是普 遍存 在 的 ， 有着 特 别 意义 ， 冲微分 方程 正 并 脉 是 这些脉 冲现象最 直接 的反应． 然而 脉冲微 分方程 周期解 的研究有 待进一 步深入 ， 特别是 在脉 冲和时滞
几类时滞微分方程解的振动性和正解存在性的开题报告

几类时滞微分方程解的振动性和正解存在性的开题报告

几类时滞微分方程解的振动性和正解存在性的开题报告时滞微分方程（Delay Differential Equations，DDE）是一种具有时滞项的微分方程，其解的振动性和正解存在性是研究时滞微分方程的重要问题之一。

本文将介绍几类时滞微分方程解的振动性和正解存在性的研究情况。

1. 时滞线性微分方程时滞线性微分方程是一种常见的时滞微分方程形式。

对于具有时滞项的线性微分方程，可以通过矩阵指数函数的方法得到其正解存在性，并进一步确定其解的振动性。

研究表明，当时滞项小于一定值时，时滞线性微分方程的解为渐近稳定的；当时滞项在一定范围内时，时滞线性微分方程的解会出现振荡；当时滞项超过一定值时，时滞线性微分方程的解将变得不稳定。

2. Michaelis-Menten型时滞微分方程Michaelis-Menten型时滞微分方程是一种具有广泛应用的时滞微分方程形式。

研究表明，在一定参数范围内，Michaelis-Menten型时滞微分方程的解存在且唯一，并且解的振动性是有限的。

此外，当时滞项的大小超过一定值时，该方程解将趋于无穷大。

3. Hopfield型神经网络模型Hopfield型神经网络模型是模拟神经网络的常用模型之一，也是一种具有时滞项的微分方程。

研究表明，在一定条件下，Hopfield型神经网络模型的解存在唯一，并且解的振动性也是有限的。

此外，当时滞项的大小超过一定值时，该方程解将趋于发散。

4. Logistic型时滞微分方程Logistic型时滞微分方程是一种描述种群生长和传染病传播的时滞微分方程形式。

研究表明，在一定参数范围内，Logistic型时滞微分方程的解存在唯一，并且解的振动性也是有限的。

此外，当时滞项的大小超过一定值时，该方程解将趋于无穷大或消失。

综上所述，时滞微分方程的解的振动性和正解存在性受时滞项大小和模型参数等因素影响。

研究时滞微分方程解的振动性和正解存在性对于深入理解时滞微分方程模型的特性，有助于应用时滞微分方程模型解决实际问题。