第8讲 正弦定理和余弦定理的应用举例
1.两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的( )
A．北偏东10° B．北偏西10°
C．南偏东80° D．南偏西80°
解析：选D.由条件及题图可知，∠A＝∠B＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.
2．(2016·郑州模拟)已知A、B两地间的距离为10 km，B、C两地间的距离为20 km，现测得∠ABC＝120°，则A，C两地间的距离为( )
A．10 km B．103 km
C．105 km D．107 km
解析：选D.如图所示，由余弦定理可得：
AC2＝100＋400－2×10×20×cos 120°＝700，
所以AC＝107(km)．
3．(2016·唐山模拟)在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝2BC＝2CD，则cos∠DAC＝( )
A.1010 B.31010
C.55 D.255
解析：选B.由已知条件可得图形，如图所示，设CD＝a，在△ACD中，CD2＝AD2＋AC2－2AD×AC×cos∠DAC，所以a2＝(2a)2＋(5a)2－2×2a×5a×cos∠DAC，
所以cos∠DAC＝31010.
4．(2016·淮北质检)
如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m、50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为( )
A．30° B．45°
C．60°
D．75°
解析：选B.依题意可得AD＝2010(m)，AC＝305(m)，又CD＝50(m)， 所以在△ACD中，由余弦定理得
cos∠CAD＝AC2＋AD2－CD22AC·AD
＝（305）2＋（2010）2－5022×305×2010
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三角函数与解三角形 第八讲 正弦定理和余弦定理应用举例
基础自测
1．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β之间的大小关系是________．
2．如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的________方向．
3．如图所示，为了测量某障碍物两侧A、B间的距离，给定下列四组数据，不能确定A、B间距离的是________(填序号)．
①α，a，b；②α，β，a；③a，b，γ；④α，β，b.
4．在200m高的山顶上，测得山下一塔的塔顶与塔底的俯角分别是30°、60°，则塔高为________m.
5．△ABC中，D为边BC上的一点，BD＝33，sinB＝513，cos∠ADC＝35，求AD.
题型分类 深度剖析
探究点一 与距离有关的问题
例1 如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距203海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时，该救援船到达D点需要多长时间？
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探究点二 与高度有关的问题
例2 如图所示，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB.
探究点三 三角形中的最值问题
例3 某兴趣小组要测量电视塔AE的高度H(单位：m)，示意图如图所示，垂直放置的标杆BC的高度h＝4m，仰角∠ABE＝α，∠ADE＝β.
(1)该小组已测得一组α、β的值，算出了tanα＝1.24，tanβ＝1.20，请据此算出H的值；
(2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d(单位：m)，使α与β之差较大，可以提高测量精度．若电视塔实际高度为125 m，试问d为多少时，α－β最大？
高中数学辅导讲义（必修五） 学员：
第 1 页 第8讲 正弦定理和余弦定理
【知识梳理】
一、正弦定理和余弦定理
定理 正弦定理 余弦定理
内容 2sinsinsinabcRABC
(其中R为ABC外接圆半径) 2a
2b
2c
变形式 ①边转角a ，b ，c
②角转边sinA ，sinB ，sinC
③::abc ；
④2sinsinsinsinsinababcRABABC cosA
cosB
cosC
应用：解三角形 ①已知两角和任一边，求另一角和其它两条边
②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其它两角
（注意：可有两解，一解或无解） ①已知三边，求各角
②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角
二.三角形面积公式
（1）12ABCS底高
（2）S△ABC＝12absin C＝12bcsin A＝12acsin B＝abc4R＝12(a＋b＋c)·r
(其中R是三角形外接圆半径，r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r.
三.三角形中常用结论
（1）三个内角和为180，即ABC
（2）sin()AB ，cos()AB ， tan()AB ，
（3）sin2AB ，cos2AB ；
（4）在三角形中，大角对大边，大边对大角，大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，
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1如有帮助欢迎下载支持 第8讲 正弦定理和余弦定理的应用举例
1．实际测量中的常见问题
求AB 图形 需要测量的元素 解法
求竖直高度 底部可达 ∠ACB＝α
BC＝a 解直角三角形AB＝atan α
底部不可达 ∠ACB＝α
∠ADB＝β
CD＝a 解两个直角三角形AB＝
atan αtan βtan β－tan α
求水平距离 山两侧 ∠ACB＝α
AC＝b
BC＝a 用余弦定理
AB＝
a2＋b2－2abcos α
河两岸 ∠ACB＝α
∠ABC＝β
CB＝a 用正弦定理
AB＝asin αsin（α＋β）
河对岸 ∠ADC＝α
∠BDC＝β
∠BCD＝δ
∠ACD＝γ
CD＝a 在△ADC中，
AC＝asin αsin（α＋γ）
在△BDC中，
BC＝asin βsin（β＋δ）
在△ABC中，应用余弦定理求AB
2.实际问题中的常用术语
术语名称 术语意义 图形表示 文档从互联网中收集，已重新修正排版，word格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。
2如有帮助欢迎下载支持 仰角与
俯角 在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角
方位角 从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角．方位角α的范围是0°≤α<360°
方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)××度
3.解三角形应用题的一般步骤
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)东北方向就是北偏东45°的方向．( )
(2)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.( )
(3)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为0，π2.( )
(4)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．( )
