运用三角形内角和及外角知识解题
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运用三角形内角和及外角知识解题
山西 马志君
一、角的计算
例1 如图1所示，在△ABC中，∠B的平分线与∠C的外角平分线交于D，
且∠D=30°，求∠A的度数．
分析：∠D位于△BCD中，∠A位于△ABC中，它们位于两个不同的三角形之中，欲利用三角形角的相关定理解决问题，就必须寻求两个三角形之中内角之间的关系，角平分线的条件为我们提供了信息，事实上∠DBC=21∠ABC，∠DCB=∠ACB+∠ACD
解：由已知，∠D=30°
故在△BCD中，∠CBD+∠BCD=180°-30°=150° ①
∵BD是∠ABC的平分线
所以∠CBD=21∠ABC ②
又因为CD是∠ACE的平分线
所以∠ACD=21∠ACE
从而∠BCD=∠ACB+21∠ACE=∠ACB+21（∠A+∠ABC）（三角形外角定理） ③
由①、②、③得
21∠ABC+∠ACB+21（∠A+∠ABC）=150°
即21∠A+∠ABC+∠ACB=150°
21∠A=180°-150°=30° A
B C D
E
图1 ∴∠A=60°
点评：解决本题的关键在于两条角平分线架起了与之间的桥梁，完成了从已知向未知的过渡，细心审题，发现已知与所求之间的联系常是解题的关键．
例2 如图2所示，∠A=10°，∠ABC=90°，∠ACB=∠DCE，∠ADC=∠EDF，∠CED=∠FEG，求∠F的度数．
分析：如果我们能注意到所给的一系列等角条件正反映了内角与外角的关系，问题就不难解决，例如，在∠ACB=∠DCE中，∠ACB是△ABC的一个内角，∠DCE是△ACD的外角，∠ADC=∠EDF及∠CED=∠FEG两个等式两边的角边是类似情况，这就为我们利用外角定理解题创造了条件．
解：在△ABC中，∠A=10°，∠ABC=90°，所以∠ACB=80°
因为∠DCE=∠ACB=80°
对△ACD而言，因为∠DCE是它的一个外角
所以∠DCE=∠A+∠ADC
即80°=10°+∠ADC
所以∠ADC=70°，∠EDF=∠ADC=70°
对△ADE而言，因为∠EDF是它的一个外角
所以∠EDF=∠A+∠AED
即70°=10°+∠AED
所以∠AED=60°
∠EFG=∠CED=∠AED=60°
对△AEF而言，因为∠FEG是它的一个外角
所以∠FEG=∠A+∠F
所以∠F=∠FEG-∠A=60°-10°=50°
二、证明与角有关的问题
例3 如图3，△ABC中，AD、BE交于点F
求证：∠AFB=∠1+∠2+∠C
证明：因为∠AFB=∠1+∠AEB是的外角
所以∠AEF因为是△BCE的外角
所以∠AEF=∠2+∠C
所以∠AFB=∠1+∠2+∠C A B D F
G C G
图2
A
B
D C E
F 1
2 ）
图3
