最新高中数学典型立体几何模型的应用
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典型立体几何模型的应用
内容摘要：立体几何在高考中是重点考查的题目，考查空间想象能力、看图、画图、理解图的能力。典型的立体几何模型是我们常见的模型，如果能引入到解题中，可以将一些复杂问题简单化，另外本文介绍了一些典型立体几何模型的一些性质。
关键词：立体几何，典型，应用，立体几何模型。
学习立体几何要有准确的空间想象能力，有看图、画图、理解图能力，同时具有必要的逻辑推理能力，运算能力.在复习立体几何的时候，往往一些典型的空间模型可以起到从特殊到一般的作用，故我们可以利用典型的空间模型复习立体几何。
典型的空间模型就是典型的空间环境，利用典型的空间模型可以很顺利地解决高考中大型的立体几何题.
立体几何的概念、法则、定理都是在一定的“几何环境”中形成的，我们把它叫做几何环境，典型的空间模型就是典型的几何环境，许多同学对典型的几何环境理解地不深，他们把它当做佷一般的一道题解，所以在高考出现了很多很多与典型空间模型相关的甚至很难的大型立体几何题的时候，他们也感觉到上不去手.
下面的例题在高考中学生做得并不顺利，其原因就是典型的空间模型认识不足，利用典型的空间模型、熟悉几何环境意识不够.以下分几部分进行阐述
一、长方体模型
1.长方体1111ABCDABCD中1BD是长方体的对角线，它有几个结 2 / 16
论：
①体对角线长是：2221BDabc
②体的对角线与一个端点的三条棱所成的角分别为,,，则
222coscoscos1
③考虑四面体11BCAD是对棱长分别相等的四面体，
即111111,,ABDCBCDADBAC，对棱长分别是222222,,abbcca.
例1 某四面体异面对棱的棱长分别相等，分别是,,abc，求四面体的体积.
分析：做起来很简单，只要把这个四面体嵌入到棱长分别为,,xyz的长方体中，
如图，由222222222,,.axybyzczx把222,,xyz看作三个元，解这个三元方程组得： cbaD1C1B1A1DCBA 3 / 16 222222222222,2,2.2acbxabcybcaz这样,,xyz都可以用这个四面体的对棱长来表达.
四面的体积＝长方体的体积－4个三棱锥的体积
所以222222222124()()()6312xyzVxyzxyzabcbcaabc.
四面体中异面对棱长分别为,,abc的四面体的体积的算法——嵌入法.这种方法叫做嵌入法，“嵌入”的意思就是把不容易找到体积的空间图形放到能够嵌住的一个大的长方体，而那个大的长方体的体积是比较好求的.这就是长方体模型的一个利用.
例2如图，三棱锥PABC中，APBBPCCPA90，M在△ABC内，60,45MPAMPB，求MPC的度数.
分析：在三棱锥内部嵌入一个长方体，长方体的三个面与三棱锥的三个面是吻合的，这样PM是这个长方体的对角线.根据222coscoscos1MPBMPCMPA，可得21cos4MPC，从而60MPC.如果在图中随便连MC，解△MPC那恐怕不是好办法.
这说明思路不同常常造成解题繁简相差是很大的.我们这个题比zyxD1C1B1A1DCBAPCBAMPCBAM 4 / 16
较成功的是把长方体嵌到三棱锥里面去，而这个三棱锥是一个大长方体的一个角，以PM为对角线的长方体嵌到三棱锥PABC是完全可能的.
例3 四棱锥PABCD中，ABCD是矩形，4,12,,ABBCPAABCD面3PA，求PC与BD的成角的余弦值.
解：延长AB到E，使AB＝BE，连结EP、EC
2222222222,3873124160RtPAEPEPAAERtCBECEBCBE中中
在PCE中，cosPCE＝2222PCCEPEPCPE＝16916073213410＝161065
所以PC与BD成角的余弦值为161065.
点评：长方体模型对于确立PCE起了很大的作用.
二、长方体的“一角”模型
在三棱锥PABC中，,,PAPBPBPCPCPA，且,,PAaPBbPCc. DPCBAEDPCBAPCBAcba 5 / 16
①以P为公共点的三个面两两垂直；
②△ABC是锐角三角形
证明：设,,PAaPBbPCc
△ABC中
2222222222222()()()cos022()()ABACBCabacbcAABACabac.
所以A为锐角，同理,BC也为锐角.
③P在底面ABC的射影是△ABC的垂心
④三棱锥PABC的高
222222abchabbcca
设直线AH交BC于D点，由于H点一定在△ABC内部，所以D点一定在BC上，连结PD.
在△PAD中，
222222222222()()bcaabcbcPHbcabbccaabc
这个结果也可以这样说：如果在三棱锥PABC中，在底面上作ADBC于D，连结PD，
则PDDC.或者说：作,,PDBCAD连结则ADBC.这将来对二面角的平面角有好的影响.
⑤,,PBCAPCABPABC二面角的平面角分别是
222222arctan,arctan,arctanabcbaccabbcacab. HPCBAcbaDHPCBAcba 6 / 16
⑤体积：16Vabc;⑥它的外接球直径是222abc.
例4、四棱锥EABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，,1EAABCDEA面，求ADEB的大小.
分析：考虑三棱锥AEDB，它就是模型2－长方体的“一个角”.本来我们可以利用arctan…，这儿只要过A作AFDE，连结BF，于是BFDE.则AFB就是二面角A－DE－B的平面角，只要把这个角算出就行.首先△BAF是直角三角形，原因是BAF是直角.
在Rt△BAF中
22arctanarctanarctan3121(2)ABBFAAF
所以60BFA.
我们看到象例4这样本来是高考中大题目，可是抓到了长方体“一角”，做起来就变得很轻松了.
例5、直二面角DABE中，ABCD是边长为2的正方形（见图）AE＝BE，F为CE上的点，BF⊥面ACE，求D到面ACE的距离.
分析：这是一道高考中的大题.因为D－AB－E是直二面角，BC⊥面ABE，当然面ABCD⊥面ABE，又因为ABCD是正方形，BC要垂直于面ABE.
在ABE中，AE就是面内的一条线，而BE就是BF在该面内的射影，而AE是垂直于BF，这是因为BF垂直面ACE的，所以AE是垂直于面ACE的.所以AE垂直于BF，又有AE＝BE，所以△ABE是PDCBA 7 / 16
等腰直角三角形.这一小段是熟悉几何环境的过程.图形中特殊的位置关系约束△ABE的形状.
补充图形，在正方体1111ABCDABCD看问题.在这里看直二面角的局部图形.
问题就转化为：求D到面ACE的距离，就是求O点到面AB1C的距离.
因为O，B到面ACB1的距离相等，所以只须求B到面ACB1的距离即可，
考虑三棱锥B－ACB1，它是模型2.
3142232,323BCBABBBF
所以，D到面ACE的距离为233.
点评：比起高考评分标准给的答案那要简单得多了.这儿要注意：一个是把局部的直二面角根据它的AEB是以E为直角的等腰直角三角形和ABCD是正方形的图形特征，补足正方体，这就是一种扩大的几何环境，而正方体也就是长方体模型，另一方面又抓到这正方体的一个角B－ACB1，那么这个角的模型更高，这就使我们在运算过程中得以简化.
所以说一道看起来很复杂的几何题，用典型几何模型做就显得轻松.
例6 底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截，AB＝4，BC＝2，OD1C1B1A1FEDCBANMEDC1FCBA 8 / 16
CC1＝3，BE＝1（见图），求C点到面AEC1F的距离.
分析：这也是一道高考题，在评分标准中给出了很多的辅助线.现在我们用典型的空间模型，再对这道题解解看.
解：延长C1E，交CB的延长线于M，延长CD，交C1F延长线于N，C－C1NM是模型2.
因为13,,321CCCMCMCMCNBCBECM
同理13,,1242CCCNCNCNCNCDDFCN.
所以，C到面C1MN的距离为
3312433119991449144.
点评：利用模型解法比高考试卷评分标准中答案要简单得多.
三、公式12coscoscos的几何模型
PBPA平面，是的斜线,B,AB是PB在内的射影，BC是内一条直线12,,,PBCPBAABC则有12coscoscos.
大家要注意搞清楚那个是，那个是1，那个是2，实际上只要搞清那个是，另外两个就是12,.
内的直线不一定过B，如右图所示：
在直线AB上有一点D，过D在画一直线DC，则是直线PB与DC所成的角，21PCBA
D 21PCBA 9 / 16
12,.PBAADC则12coscoscos
那么这样的有可能利用这样的模型计算出异面直线成角.PB和DC的成角.
例7 EA⊥面ABCD，ABCD是边长为2的正方形，EA＝1，在AC上是否存在P点，使PE、BC成60角.
分析：12EPAAPMEPM
coscoscosEPAAPMEPM
即212,221APAP所以112APAC.
可见AC中点即是要找的点P
例8 长方体1111ABCDABCD中，AB＝2，AA1＝1，BD与面AA1B1B成30°角.AE⊥BD于E，F为A1B1的中点，求AE，BF成角.
解：12coscoscoscos45cos(9030)
＝212.224
所以AE，BF成角为2arccos4.
这样的一个题目，最重要的是位.在高考评分标准中，都要有很长的解题过程中.
这些结论在高考中，教材中有的可以直接用，有的可以先用，然后把结论来源说明.这样可以减少思考的时间与计算量.这就相当于电脑中的集成块一样，减少空间. PNMDCBAE
D1C1B1A1FEDCBA
