4.2(5)专题3--方程思想

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高三数学寒假课程 函数与方程思想2（教师版） 高三数学寒假班（教师版）

教师 日期

学生

课程编号 课型 专题

课题 函数与方程思想2

教学目标

1．掌握函数、方程、不等式之间的联系；

2．掌握函数与方程思想在数列、解析几何和立体几何中的应用．

教学重点

1．函数与方程思想的实质；

2．如何用函数与方程思想解决高中数学各种类型题目．

教学安排

版块 时长

1 知识梳理 10

2 例题解析 60

3 巩固训练 30

4 师生总结 20

5 课后练习 30

2 / 16 专业

引领

共成长

高三数学寒假课程 函数与方程思想2（教师版）

知识要点

1、 函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决．

2、 方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决．

1、函数与方程思想在立体几何中的应用

【例1】若三棱锥SABC的底面是边长为2的正三角形，且ASSBC平面，则三棱锥-SABC 的体积的最大值是___________．

【难度】★★

【答案】12

【例2】设A、B、C、D是球面上的四个点，且在同一个平面内，1DACDBCAB，球心到该平面的距离是球半径的23倍，则球的体积是 ．

【难度】★★

【答案】328

【例3】如图，长方体1111DCBAABCD中，2ADAB，41AA，点P为面11AADD的对角线函数与方程思想2

知识梳理

例题解析

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高三数学寒假课程 函数与方程思想2（教师版） 1AD上的动点（不包括端点）.PM平面ABCD交AD于点M，BDMN于点N．

学必求其心得，业必贵于专精

反表示法

今天我们来学习反表示法求函数值域.借助方程的思想，把函数看做关于x的方程,利用方程有解的充要条件求出y的取值范围，同学们要注意体会方程思想，也要注意反表示法与反函数的区别与联系。

先看例题：

1。求函数11xxeye 的值域

注意到函数定义域为R，可以进行如下转化,用y表示x

(1)1xxyee

(1)1xeyy

注意y=1时方程不成立,所以y≠1，可将y—1除到等式右边得：

11xyey

因为0xe，即101yy,解得：11y

所以函数的值域为(1,1)y

注意：我们不必完全写出反函数，只需要能确定出关于y的函数的取值范围即可.

2.函数2211xyx的值域为______ 学必求其心得，业必贵于专精

22(1)1yxx

2221(1)1yxyxyxy

注意y=1时方程不成立，所以y≠1，可将y-1除到等式右边得:

2101yxy

(1)(1)0yy解得11y

所以函数的值域为[1,1)y

总结：

用方程思想求函数值域

把函数看做关于x的方程，

利用方程有解的充要条件求出y的取值范围

练习：

1.求函数21xyx的值域

2.求函数313xxy的值域

答案：

1。反表示函数得：22(2)yxyxyxyxxy 学必求其心得，业必贵于专精

整理得：2yxy ，注意到原函数定义域为x≠-1,即12yy，注意到y取任意值,原式值都不会为—1，所以只需2—y≠0,即y≠2

所以原函数值域为(,2)(2,)y

2.反表示函数得:33xxyy

整理得：31xyy，对于指数函数()3xfx恒大于0，只需使得0(1)01yyyy

解得：01y

所以函数值域为:(0,1)y

第 1 页 共 2 页 数学思想方法专题一 函数与方程思想

1． (2013·陕西)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于

300 m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范

围是 ( )

A．[15,20] B．[12,25] C．[10,30] D．[20,30]

2． (2012·浙江)设a>0，b>0，e是自然对数的底数 ( )

A．若ea＋2a＝eb＋3b，则a>b B．若ea＋2a＝eb＋3b，则a

C．若ea－2a＝eb－3b，则a>b D．若ea－2a＝eb－3b，则a

3． (2013·安徽)已知直线y＝a交抛物线y＝x2于A，B两点．若该抛物线上存在点C，使得

∠ACB为直角，则a的取值范围为________．

题型一 利用函数与方程思想求解最值、范围问题

例1 设直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝ln x的图象分别交于点M、N，则当|MN|达到最小时t的值为 ( )

A．1 B.12 C.52 D.22

变式训练1 若点O和点F(－2,0)分别是双曲线x2a2－y2＝1 (a>0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则OP→·FP→的取值范围为 ( )

A．[3－23，＋∞) B．[3＋23，＋∞) C.－74，＋∞ D．74，＋∞

题型二 利用函数与方程思想研究方程根的问题

例2 如果方程cos2x－sin x＋a＝0在(0，π2]上有解，求a的取值范围．

变式训练2 已知方程9x－2·3x＋(3k－1)＝0有两个实根，求实数k的取值范围．

题型三 利用函数与方程思想求解不等式问题 例3 已知f(t)＝log2t，t∈[2，8]，对于f(t)值域内的所有实数m，不等式x2＋mx＋4>2m＋4x恒成立，求x的取值范围．

高考专题 数学精练

【考点定位】函数与方程的思想一般通过函数与导数、三角函数、数列、解析几何等知识进行考查；数形结合思想一般在选择题、填空题中考查.

【命题热点突破一】函数与方程思想

1.函数与方程思想的含义

(1)函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决的思想方法.

(2)方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决的思想方法.

2.函数与方程的思想在解题中的应用

(1)函数与不等式的相互转化，对于函数y＝f(x)，当y＞0时，就转化为不等式f(x)＞0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式.

(2)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处文数列问题十分重要.

(3)解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决，这都涉及二次方程与二次函数的有关理论.

方法一 点坐标代入函数(方程)法

点坐标代入函数(方程)法是指把点“放到”函数图象中去“入套”，通过构造方程求解参数的方法．此方法适用于已知函数或函数图象，给出满足条件的点坐标，求其中的参数问题．破解此类题的关键点：

①点代入函数，把所给点坐标代入已知函数的解析式中，得到关于参数的方程或不等式．

②解含参方程，求解关于参数的方程或不等式．

③检验得结论，得出参数的值或取值范围，最后代入方程或不等式进行检验．

例1、函数y＝ax (a>0，且a≠1)的反函数的图象过点(a，a)，则a的值为( )

A．2 B．3

C．2或12 D.12

解析 因为函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数为y＝logax(a>0，且a≠1)，且y＝logax的图象过点(a，a)，