(精品)学而思七年级数学培优讲义版(全年级章节培优-绝对经典)

学而思八年级数学培优讲义

学而思八年级数学培优讲义旨在帮助学生巩固课堂所学知识，提高数学素养，为初中阶段的学习打下坚实基础。以下是八年级数学培优讲义的部分内容：

一、有理数及其运算

1. 有理数的分类：整数、分数、正有理数、负有理数、零。

2. 有理数的加法：同号相加，异号相减；绝对值相加，符号决定和的大小。

3. 有理数的减法：减法转化为加法，被减数、减数与差的的关系。

4. 有理数的乘法：符号规律，绝对值相乘。

5. 有理数的除法：除法转化为乘法，商的变化规律。

6. 有理数的乘方：乘方的意义，乘方运算规则。

二、几何知识

1.点、线、面的基本概念：点的坐标，线段的平行、垂直，平面的性质。

2.三角形的基本概念：三角形的分类，三角形的边角关系，三角形的判定。

3. 四边形的基本概念：四边形的分类，四边形的对边、对角线、内角和。

4.平行四边形的性质：对边平行且相等，对角线互相平分，平行

四边形的判定。

5.矩形、菱形、正方形的性质：矩形的对角线相等，菱形的对角线垂直，正方形的性质。

三、函数与方程

1.函数的基本概念：函数的定义，函数的图像，函数的性质。

2.一次函数：一次函数的解析式，一次函数的图像，一次函数与直线。

3.方程的基本概念：方程的定义，方程的解法，方程的应用。

4. 一元一次方程：一元一次方程的解法，一元一次方程的应用。

5. 一元二次方程：一元二次方程的解法，一元二次方程的应用。

四、三角形和四边形的几何证明

1.三角形的证明：全等三角形的判定，相似三角形的判定。

2. 四边形的证明：平行四边形的判定，矩形、菱形、正方形的判定。

3.几何证明的方法：综合法、分析法、反证法。

五、统计与概率

1.统计的基本概念：数据的收集、整理、分析。

2.频数与频率：频数分布表，频率分布表，概率的基本概念。

3.事件的概率：等可能事件的概率，条件概率，独立事件的概率。

第一讲数系扩张--有理数（一）

一、【典型例题解析】：

1、若

ab》

O,则旦?凹_空的值等于多少?

a b ab

2、如果m是大于1的有理数，那么m —定小于它的（）

A.相反数B. 倒数C. 绝对值D. 平方

3、已知两数a、

b互为相反数，c、

d互为倒数，x的绝对值是2 ,求x2

—（a+b+c）d X（ a2

）

0

^6

X - C的值。

11Jao b

4、如果在数轴上表示a、

b两上实数点的位置，如下图所

示，那么

|a —b| |a b|化简的结果等于（

A.

2a B.

-2 a C. 0 D.

2b

5、已知（a -3）2

? |b -2|=0，求

ab

的值是（）

A.2 B.3 C.9 D.6

6、有3个有理数a,b,c，两两不等，那么口，口，口中有几个负数？

b —c c —a a —b

7、设三个互不相等的有理数，既可表示为1，

a b, a的形式式，又可表示为0，-，

b的

a

2006 2007

形式，求

a b 。

8. 三个有理数

a,b,c的积为负数，

和为正数，且

X =—- c

J-ab|

J-ac|

则

| a | |b | | c| ab bc ac

ax3

bx2

cx 1的值是多少?

9、若

a,b,c为整数，且|a -b|2007

? |c-a|2007

= 1，试求

|c-a| |a-b「

|b-c|的值

三、课堂备用练习题。

1、计算：1+2-3-4+5+6-7-8+ …+2005+2006 2、计算：1 X

2+2X

3+3X

4+…+n(n+1)

3、计

算: 5 9 17 33 65 129

—r —r ---------------- r ---------- 十-------j --------------

2 4 8 16 32 64 -13

4、已知

a,b为非负整数，且满足

|a-b|，ab =1 ,求

a,b的所有可能值。5、若三个有理数

a,b,c

满足回.也.?」，求d

a b c abc

第二讲数系扩张--有理数(二)

尖子生培优教材数学七年级上第四讲。平方根与立方根讲义及答案

第四讲：平方根与立方根

知识导引：

平方根和立方根的概念在数学中起到了十分重要的作用。这些概念是通过逆运算来建立的，并且有多种不同的情况。因此，理解这些概念的最好方法是从平方和立方的概念开始。此外，还应该学会使用平方根、立方根等知识去解决一些简单的实际问题。

1.有关平方根：

1) 一个正数有正负两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。

2) 算术平方根a的双重非负性：a≥0；a≥0.

3) a的三层含义：开方的运算符号，表示对a进行开方运算；特征符号，表示a的算术平方根；表示一种新的数，是开不尽方的数（即无理数）的表示形式。

2.有关立方根：

一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。因此，任何数都有立方根。

3.实数的几种非负形式：

1) a≥0（a为实数）；

2) a < 0，|a|≥0（a为实数）。

4.算术平方根的主要性质：

1) (√a)²=a；

2) a≥0，√(a²)=a；

3) ab≥0，√(ab)=√a·√b（a≥0，b≥0）；

4) a≥0，b>0，(√a/√b)²=a/b。

典例精析：

例1：填空题：

1) (-3)的算术平方根是______。

2) 平方根等于它本身的数是______。

3) 和数轴上的点一一对应的数是______。

例1-1：下列说法正确的有：(填入相应的序号)。

①-8是64的平方根；②4的算术平方根是2；③任何数都有立方根；④6根2是2；⑤根是±8；⑥9=±3.

例1-2：已知x+2+y-3+(z+1)²=______，求x+y+z的平方根。

例2：比较大小：

1) -23与-32.

2) 1/2，x，x，x(

例2-1：设a=3-2，b=2-3，c=3-2，则a、b、c的大小关系是( )。

A、a>b>c B、a>c>b C、c>b>a D、b>c>a

() 第二十讲 点共线与线共点

趣题引路】

例1 证明梅涅劳斯定理：

如图20-1，在△ABC中，一直线截△ABC的三边AB、AC及BC的延长线于D、E、F三点。

求证：1DBADEACEFCBF

解析:左边是比值的积，而右边是1，转化比值使其能约简，想到平行线分线段成比例作平行线即可.

证明过点C作CG/∥EF交AB于G.

,,BFBDECDGCFDGAEAD

∴1BDADADDGDGBDBDADEACEFCBF

例2 证明塞瓦定理：

如图20-2，在△ABC内任取一点P，直线AP、BP、CP分别与BC、CA、AB相交于D、E、F，求证：

1FBAFEACEDCBD

证明,,.BCPACPABPACPBAPBCPSSSBDCEAFDCSEASFBS

∴1BCPACPABPBCPACPABPSSSSSSFBAFEACEDCBD

知识拓展】

1.证明三点共线和三线共点的问题，是几何中常遇到的困难而有趣的问题，解这类问题一定要掌握好证三点共线和三线共点的基本方法。

2.证明三点共线的方法是：

（1）利用平角的概念，证明相邻两角互补、

（2）当AB±BC=AC时，A、B、C三点共线。

（3）用同一方法证明A、B、C中一点必在另两点的连线上。

（4）当AB、BC平行于同一直线时，A、B、C三点共线。

（5）若B在PQ上，A、C在P、Q两侧，∠ABP=∠CBQ时，A、B、C三点共线.

（6）利用梅涅劳斯定理的逆定理.

3.证明三线共点的基本方法是：

（1）证明其中两条直线的交点在第三条直线上

（2）证明三条直线都经过某一个特定的点.

（3）利用已知定理，例如任意三角形三边的中垂线交于一点，三条内角平分线交于一点，三条中线交于一点以及三条高所在直线交于一点等。

（4）利用塞瓦定理的逆定理。

在证题过程中要根据题意灵活选用方法。

例1 如图20-3，已知BD=CE，求证：AC·EF=AB·DF. 图20-1EABFCDG图20-2PABCFED