2019年信阳市高中必修二数学下期末试题(带答案)
一、选择题
1．ABC V 中，已知sin cos cos a b c
A B C
==，则ABC V 为（ ） A ．等边三角形
B ．等腰直角三角形
C ．有一个内角为30°的直角三角形
D ．有一个内角为30°的等腰三角形
2．如图，在ABC V 中，90BAC ?∠=，AD 是边BC 上的高，PA ⊥平面ABC ，则图中
直角三角形的个数是（ ）
A ．5
B ．6
C ．8
D ．10
3．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是 A ．甲地：总体均值为3，中位数为4 B ．乙地：总体均值为1，总体方差大于0 C ．丙地：中位数为2，众数为3
D ．丁地：总体均值为2，总体方差为3
4．设集合{}1,2,4A =，{}
2
40B x x x m =-+=．若{}1A B ?=，则B = ( ) A ．{}1,3-
B ．{}1,0
C ．{}1,3
D ．{}1,5
5．已知集合{
}
22
(,)1A x y x y =+=，{}
(,)B x y y x ==，则A B I 中元素的个数为（ ） A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
6．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A ．
7
3
B ．
8π
3
- C ．83
D ．
7π
3
-
7．已知集合 ，则
A ．
B ．
C ．
D ．
8．有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为 A ．
45
B ．
35
C ．
25
D ．
15
9．已知()20191
1,0
2log ,0x x f x x x ?+≤?=??>?
，若存在三个不同实数a ，b ，c 使得
()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围是（ ） A ．(0,1)
B ．[-2,0)
C ．(]2,0-
D ．（0,1）
10．已知0,0a b >>，并且111
,,2a b 成等差数列，则4a b +的最小值为（ ） A ．2
B ．4
C ．5
D ．9
11．已知二项式2(*)n
x n N x ?
-∈ ??
?的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰
5，则3x 的系数为（ ） A ．14
B ．14-
C ．240
D ．240-
12．与直线40x y --=和圆2
2
220x y x y ++-=都相切的半径最小的圆的方程是 A ．()()2
2
112x y +++= B ．()()22
114x y -++= C ．()()2
2
112x y -++=
D ．()()2
2
114x y +++=
二、填空题
13．已知数列{}n a 前n 项和为n S ，若22n
n n S a =-，则n S =__________．
14．在ABC △ 中，若223a b bc -= ，sin 23sin C B = ，则A 等于__________． 15．在区间[﹣2，4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x|≤m 的概率为，则m= _________ ．
16．某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________ 件. 17．已知函数())
2ln
11f x x x =++，()4f a =，则()f a -=________．
18．如图，在等腰三角形ABC 中，已知1AB AC ==，120A ∠=?，E F 、分别是边
AB AC 、上的点，且,AE AB AF AC λμ==u u u v u u u v u u u v u u u v
,其中(),0,1λμ∈且41λμ+=，若线段
EF BC 、的中点分别为M N 、，则MN u u u u v
的最小值是_____.
19．在ABC ?中，120B =o ，1BC =，且ABC ?3
AC =__________． 20．设12a =，121n n a a +=
+，2
1
n n n a b a +=-，*n N ∈，则数列{}n b 的通项公式n b = ．
三、解答题
21．已知数列{a n }是一个等差数列，且a 2＝1，a 5＝－5. (1)求{a n }的通项a n ；
(2)求{a n }前n 项和S n 的最大值． 22．已知关于x 的不等式2
3
20,08
kx kx k +-
<≠ （1）若不等式的解集为3,12??- ???
，求k 的值． （2）若不等式的解集为R ，求k 的取值范围．
23．在ABC ?中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c ，且a c >，已知2BA BC ?=u u u r u u u r
，
1
cos 3
B =，3b =，求：
（1）a 和c 的值； （2）cos()B C -的值.
24．设ABC ?的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且4
cos ,25
B b ==. （1）当π
6
A =
时，求a 的值； （2）当ABC ?的面积为3时，求a+c 的值．
25．ABC ?是边长为3的等边三角形，2BE BA λ=u u u r u u u r ,1(1)2
BF BC λλ=<
r u u u r ,过点F 作
DF BC ⊥交AC 边于点D ，交BA 的延长线于点E ．
（1）当2
3
λ=
时，设,BA a BC b ==u u u r r u u u r r ，用向量,a b r r 表示EF u u u r ； （2）当λ为何值时，AE FC ?u u u r u u u r
取得最大值，并求出最大值．
26．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，1,2,1,,AB BC AA AC BC E F ⊥===分别是11,AC BC 的中点．
（1）求证: 平面ABE ⊥平面11B BCC ； （2）求证:1C F ∥平面ABE ； （3）求三棱锥E ABC -体积．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】 【详解】 因为
sin cos cos a b c A B C
==，所以
sin sin sin sin cos cos 4A B C B C A B C π
==∴== , 即ABC V 为等腰直角三角形.
故选：B .
2．C
解析：C 【解析】 【分析】
根据线面垂直得出一些相交直线垂直，以及找出题中一些已知的相交直线垂直，由这些条件找出图中的直角三角形． 【详解】
①PA ⊥Q 平面ABC ，,,,PA AB PA AD PA AC PAB ∴⊥⊥⊥∴?,,PAD PAC ??都是直角三角形；
②90,BAC ABC ?∠=∴Q V 是直角三角形； ③,,AD BC ABD ACD ⊥∴??Q 是直角三角形；
④由,PA BC AD BC ⊥⊥得BC ⊥平面PAD ，可知：,,BC PD PBD PCD ⊥∴??也是直角三角形.
综上可知：直角三角形的个数是8个，故选C ．
【点睛】
本题考查直角三角形个数的确定，考查相交直线垂直，解题时可以充分利用直线与平面垂直的性质得到，考查推理能力，属于中等题．
3．D
解析：D 【解析】
试题分析：由于甲地总体均值为，中位数为，即中间两个数（第
天）人数的平均数
为，因此后面的人数可以大于，故甲地不符合.乙地中总体均值为，因此这天的感
染人数总数为
，又由于方差大于，故这
天中不可能每天都是，可以有一天大于
，故乙地不符合，丙地中中位数为，众数为，出现的最多，并且可以出现，故丙地不符合，故丁地符合.
考点：众数、中位数、平均数、方差
4．C
解析：C 【解析】
∵ 集合{}1
24A ，，=，{}
2
|40B x x x m =-+=，{}1A B ?= ∴1x =是方程240x x m -+=的解，即140m -+= ∴3m =
∴{}{}
{}2
2
|40|43013B x x x m x x x =-+==-+==，，故选C
5．B
解析：B 【解析】
试题分析：集合中的元素为点集，由题意，可知集合A 表示以()0,0为圆心，1为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合B 表示直线y x =上所有的点组成的集合，又圆
221x y +=与直线y x =相交于两点22,22?? ? ???，22,22??
-- ? ???
，则A B I 中有2个元素.故选B.
【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.
6．B
解析：B 【解析】 【分析】
由三视图可知，该几何体是由一个四棱锥挖掉半个圆锥所得，故利用棱锥的体积减去半个圆锥的体积，就可求得几何体的体积. 【详解】
由三视图可知，该几何体是由一个四棱锥挖掉半个圆锥所得，故其体积为
21118222123233π
π-???-????=
.故选B. 【点睛】
本小题主要考查由三视图判断几何体的结构，考查不规则几何体体积的求解方法，属于基础题.
7．D
解析：D 【解析】 试题分析：由
得
，所以
，因为
，所以
，故选D.
【考点】 一元二次不等式的解法，集合的运算
【名师点睛】对于集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图处理.
8．C
解析：C 【解析】
选取两支彩笔的方法有2
5C 种，含有红色彩笔的选法为1
4C 种，
由古典概型公式，满足题意的概率值为142542
10
5
C p C ==
=. 本题选择C 选项. 考点：古典概型
名师点睛：对于古典概型问题主要把握基本事件的种数和符合要求的事件种数，基本事件的种数要注意区别是排列问题还是组合问题，看抽取时是有、无顺序，本题从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，是组合问题，当然简单问题建议采取列举法更直观一些.
9．C
解析：C 【解析】 【分析】
画出函数图像，根据图像得到20a -<≤，1bc =，得到答案. 【详解】
()20191
1,02log ,0x x f x x x ?+≤?=??>?
，画出函数图像，如图所示：
根据图像知：20a -<≤，20192019log log b c -=，故1bc =，故20abc -<≤. 故选：C .
【点睛】
本题考查了分段函数的零点问题，画出函数图像是解题的关键.
10．D
解析：D 【解析】
∵
111
,,2a b
成等差数列，
()11114144559a b a b a b a b a b b a ??∴+=∴+=++=+++= ???
，…， 当且仅当a =2b 即3
3,2
a b ==时“=“成立， 本题选择D 选项.
点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
11．C
解析：C 【解析】 【分析】
由二项展开式的通项公式为()
12r
n r
r r n
T C x -+?= ?
及展开式中第2项与第3项的二项
式系数之比是2︰5可得：6n =，令展开式通项中x 的指数为3，即可求得2r =，问题
得解． 【详解】
二项展开式的第1r +项的通项公式为()
12r
n r
r r n
T C
x -+?= ?
由展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，可得：1
2
:2:5n n C C =. 解得：6n =. 所以()
()3662
16221r
r n r
r r
r r r n
T C x C x
---+?==- ? 令3
632
r -
=，解得：2r =， 所以3x 的系数为()2
262
621240C --=
故选C 【点睛】
本题主要考查了二项式定理及其展开式，考查了方程思想及计算能力，还考查了分析能力，属于中档题．
12．C
解析：C 【解析】
圆2
2
220x y x y ++-=的圆心坐标为()1,1-，过圆心()1,1-与直线
40x y --=垂直的直线方程为0x y +=，所求圆的圆心在此直线上，又圆心()1,1-到直
线40x y --=
=，设所求圆的圆心为
()
,a b ，且圆心在直线40x y --==0a b +=，解得
1,1a b ==-（3,3a b ==-不符合题意，舍去 ），故所求圆的方程为
()()
2
2
112x y -++=.
故选C ．
【名师点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查了数形结合的思想，考查了计算能力，属于中档题．
二、填空题
13．【解析】分析：令得当时由此推导出数列是首项为1公差为的等差数列从而得到从而得到详解：令得解得当时由）得两式相减得整理得且∴数列是首项为1公差为的等差数列可得所以点睛：本题考查数列的通项公式的求法是中
解析：*
2()n n S n n N =∈g
【解析】
分析：令1n =，得12a =，当2n ≥ 时，1
1122n n n S a ---=-，由此推导出数列{}2n n
a 是首项为1公差为
12
的等差数列，从而得到()1
12n n a n -+＝，从而得到n S . 详解：令1n =，得1
1122a a =-，解得12a = ，
当2n ≥ 时，
由22n n n S a =-），得1
1122n n n S a ---=-，
两式相减得(
)()
111
22
22,n
n n n n n n a S S a a
---=-=--- 整理得111222n n n n a a ---=，且1
1
1,2a = ∴数列{}2n n a
是首项为1公差为12
的等差数列， ()111,22
n n a n ∴
=+- 可得()112,n n a n -=+ 所以()1
2221222.n
n n n
n n S a n n -??=-=+-=???
点睛：本题考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法的合
理运用．
14．【解析】由得所以即则又所以故答案为 解析：6
π
【解析】
由23sinC sinB = 得23c b =， 所以2223323a b bc b -==?，即227a b =， 则
2222222
3
243b c a cosA bc b
+-=== ，又0A π∈（，）， 所以6A π=． 故答案为
6
π
. 15．3【解析】【分析】【详解】如图区间长度是6区间﹣24上随机地取一个数x 若x 满足|x|≤m 的概率为若m 对于3概率大于若m 小于3概率小于所以m=3故答案为3
解析：3 【解析】 【分析】 【详解】
如图区间长度是6，区间[﹣2，4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x|≤m 的概率为，若m 对于3概率大于，若m 小于3，概率小于，所以m=3． 故答案为3．
16．18【解析】应从丙种型号的产品中抽取件故答案为18点睛:在分层抽样的过程中为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比即ni
解析：18 【解析】
应从丙种型号的产品中抽取300
60181000
?
=件，故答案为18． 点睛:在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即n i ∶N i ＝
n ∶N ．
17．【解析】【分析】发现计算可得结果【详解】因为且则故答案为-2【点睛】本题主要考查函数的性质由函数解析式计算发现是关键属于中档题 解析：2-
【解析】 【分析】
发现()()f x f x 2+-=，计算可得结果. 【详解】
因为()()(
)()()22
2
2
f x f x ln
1x 1ln
1x 1ln 122x x x x +-=+-+++++=+-+=，
()()f a f a 2∴+-=，且()f a 4=，则()f a 2-=-.
故答案为-2 【点睛】
本题主要考查函数的性质，由函数解析式，计算发现()()f x f x 2+-=是关键，属于中档题.
18．【解析】【分析】根据条件及向量数量积运算求得连接由三角形中线的性质表示出根据向量的线性运算及数量积公式表示出结合二次函数性质即可求得最小值【详解】根据题意连接如下图所示:在等腰三角形中已知则由向量数 解析：
7 【解析】 【分析】
根据条件及向量数量积运算求得AB AC ?uu u r uuu r
,连接,AM AN ,由三角形中线的性质表示出
,AM AN u u u u r u u u r .根据向量的线性运算及数量积公式表示出2
MN u u u u r ,结合二次函数性质即可求得最小
值. 【详解】
根据题意,连接,AM AN ,如下图所示:
在等腰三角形ABC 中,已知1AB AC ==,120A ∠=?
则由向量数量积运算可知1cos 11cos1202
AB AC AB AC A ?=?=??=-o
u u u r u u u r u u u r u u u r
线段EF BC 、的中点分别为M N 、则
(
)()
1122
AM AE AF AB AC λμ=
+=+u u u u r u u u r u u u r u u u
r u u u r
(
)
12
AN AB AC =
+u u u r u u u r u u u r
由向量减法的线性运算可得11112222MN AN AM AB AC λμ????=-=-+- ? ?????
u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r
所以2
211112222MN AB AC λμ??????=-+- ? ?????????
u u u u r u u u r u u u r
222211111111222222222AB AC AB AC λμλμ????????=-+-+?-?-?? ? ? ? ?????????
u u u r u u u r u u u
r u u u r 22
1111111112222222222λμλμ??????????=-+-+?-?-?- ? ? ? ? ???????????
因为41λμ+=,代入化简可得22221312111424477
MN μμμ??=-+=-+ ???u u u u r
因为(),0,1λμ∈ 所以当17μ=
时, 2MN u u u u r 取得最小值1
7
因而min
MN
=
=u u u u r
故答案为
: 7
【点睛】
本题考查了平面向量数量积的综合应用,向量的线性运算及模的求法,二次函数最值的应用,属于中档题.
19．【解析】【分析】根据三角形面积公式得到再由余弦定理得到AC 长【详解】在中且的面积为由正弦定理的面积公式得到：再由余弦定理得到故得到故答案为：【点睛】本题主要考查余弦定理的应用以及三角形面积公式;在解
【解析】 【分析】
根据三角形面积公式得到11 2.222
S AB AB =???=?=再由余弦定理得到AC 长. 【详解】
在ABC ?中，120B =o ，1BC =，且ABC ?
的面积为
2
，由正弦定理的面积公式得
到：11 2.2S AB AB =
??=?= 再由余弦定理得到22202cos1207AC AB BC AB BC =+-???=
故得到AC =
.
【点睛】
本题主要考查余弦定理的应用以及三角形面积公式;在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应
注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.
20．2n+1【解析】由条件得且所以数列是首项为4公比为2的等比数列则
解析：2n+1 【解析】
由条件得11111
22
22
222111n n n n n n n n a a a b b a a a ++++++++=
===---，且14b =，所以数列{}n b 是首项为4，公比为2的等比数列，则11
422n n n b -+=?=．
三、解答题
21．（1）a n ＝－2n ＋5.（2）4 【解析】
（Ⅰ）设{a n }的公差为d ，由已知条件，，解出a 1＝3，d ＝－2． 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－2n ＋5．
（Ⅱ）S n ＝na 1＋d ＝－n 2＋4n ＝－(n －2)2＋4，所以n ＝2时，S n 取到最大值4． 22．（1）1
8
k =；（2）(3,0)- 【解析】 【分析】
（1）根据关于x 的不等式2
3208kx kx +-
<的解集为3,12??
- ???
，得到32-和1是方程23
208
kx kx +-=的两个实数根，再利用韦达定理求解.
（2）根据关于x 的不等式2
3208
kx kx +-<的解集为R ．又因为0k ≠ ，利用判别式法求
解.
【详解】
（1）因为关于x 的不等式2
3208kx kx +-<的解集为3,12??- ???
，
所以32-
和1是方程2
3208
kx kx +-=的两个实数根， 由韦达定理可得3
38122k
-
-?=，得18k =．
（2）因为关于x 的不等式2
3
208
kx kx +-
<的解集为R ． 因为0k ≠
所以2
20,30k k k
V ，解得30k -<<， 故k 的取值范围为(3,0)-． 【点睛】
本题主要考查一元二次不等式的解集和恒成立问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
23．（1）3,2a c ==；（2）23
27
【解析】
试题分析：（1）由2BA BC ?=u u u r u u u r
和1
cos 3
B =
，得ac=6.由余弦定理，得2213a c +=. 解
，即可求出a ，c ；（2） 在ABC ?中，利用同角基本关系得
22
sin .3
B =
由正弦定理，得42
sin sin 9
c C B b =
=
，又因为a b c =>，所以C 为锐角，因此27
cos 1sin 9
C C =-=
，利用cos()cos cos sin sin B C B C B C -=+，即可求出结果. （1）由2BA BC ?=u u u r u u u r
得，
，又1
cos 3
B =
，所以ac=6. 由余弦定理，得2222cos a c b ac B +=+. 又b=3，所以2292213a c +=+?=. 解
，得a=2，c=3或a=3，c=2.
因为a>c,∴ a=3，c=2.
（2）在ABC ?中，22122
sin 1cos 1()3B B =-=-= 由正弦定理，得22242
sin sin 339
c C B b =
=?=
，又因为a b c =>，所以C 为锐角，因此22427cos 1sin 1(
)99
C C =-=-=.
于是cos()cos cos sin sin B C B C B C -=+
=1723
393927
?+?=
. 考点：1.解三角形；2.三角恒等变换. 24．（1）5
3
a =（2
）a c +=【解析】
试题分析：（1）利用同角三角函数的基本关系式，求出sin B ，利用正弦定理求出a 即可．
（2）通过三角形的面积求出ac 的值，然后利用余弦定理即可求出a +c 的值． 试题解析: 解：（1）43cos ,sin 55
B B =
∴=Q . 由正弦定理得10,sin sin 3sin 6a b a A B π==
可得. 53
a ∴=
. （2）ABC ?Q 的面积13sin ,sin 25
S ac B B =
=， 3
3,1010
ac ac ∴
==. 由余弦定理2222cos b a c ac B =+-， 得4=2
2
228
165
a c ac a c +-
=+- ,即2220a c +=. ∴()()22
220,40a c ac a c +-=+=，
∴a c +=点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：
第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果.
25．（1）4233
a b -+r r ；（2）9
16
【解析】 【分析】 【详解】
（Ⅰ）由题意可知：23
BF b =u u u r r ，且2
323BF =?=u u u r ，
4BE =u u u r ，故4433
BE BA a ==u u u r u u u r r ，
4233EF BF BE a b =-=-+u u u r u u u r u u u r r r
（Ⅱ）由题意，
3,33BF FC λλ==-u u u r u u u r ， 6,63BE AE λλ==-u u u r u u u r
，
2279(63)(33)cos60922
AE FC λλλλ?=--?=-+-u u u r u u u r
当
27
32924
λ=-=-?1(,1)2
∈时， AE FC ?u u u r u u u r 有最大值9
16
．
、
26．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3
）3
． 【解析】
试题分析：（1）由直线与平面垂直证明直线与平行的垂直；（2）证明直线与平面平行；（3）求三棱锥的体积就用体积公式.
（1）在三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥底面ABC ，所以1BB ⊥AB ，
又因为AB ⊥BC ，所以AB ⊥平面11B BCC ，因为AB ?平面ABE ，所以平面ABE ⊥平面
11B BCC .
（2）取AB 中点G ，连结EG ，FG ，
因为E ，F 分别是11A C 、BC 的中点，所以FG ∥AC ，且FG=
1
2
AC ， 因为AC ∥11A C ，且AC=11A C ，所以FG ∥1EC ，且FG=1EC ， 所以四边形1FGEC 为平行四边形，所以1//C F EG ， 又因为EG ?平面ABE ，1C F ?平面ABE ， 所以1//C F 平面ABE .
（3）因为1AA =AC=2，BC=1，AB ⊥BC ，所以
，
所以三棱锥E ABC -的体积为：113ABC V S AA ?=
?
=111232??
考点：本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直与平行的证明；考查几何体的体积的求解等基础知识，考查同学们的空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力、逻辑推理能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．