山东省冠县武训高级中学高中数学《3.1.2用二分法求方程的近似解(1课时)》课件 新人教A版必修1

第1页 共7页 课题：§3.1.2用二分法求方程的近似解

教学目标：

知识与技能 通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用．

过程与方法 能借助计算器用二分法求方程的近似解，并了解这一数学思想，为学习算法做准备．

情感、态度、价值观 体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一．

教学重点：

重点 通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识．

难点 恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解．

教学程序与环节设计：

创设情境

组织探究

探索发现

尝试练习

作业回馈

课外活动 由二分查找及高次多项式方程的求问题引入．

二分法的意义、算法思想及方法步骤．

体会函数零点的意义，明确二分法的适用范围．

二分法的算法思想及方法步骤，初步应用二分法解决简单问题．

二分法应用于实际．

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1． 二分法为什么可以逼近零点的再分析；

2． 追寻阿贝尔和伽罗瓦．

第3页 共7页 教学过程与操作设计：

环节 教学内容设计 师生双边互动

创

设

情

境 材料一：二分查找(binary-search)

（第六届全国青少年信息学（计算机）奥林匹克分区联赛提高组初赛试题第15题）某数列有1000个各不相同的单元，由低至高按序排列；现要对该数列进行二分法检索(binary-search)，在最坏的情况下，需检索（ ）个单元。

Ａ．1000 Ｂ．10 Ｃ．100 Ｄ．500

二分法检索（二分查找或折半查找）演示．

材料二：高次多项式方程公式解的探索史料

由于实际问题的需要，我们经常需要寻求函数)(xfy的零点（即0)(xf的根），对于)(xf为一次或二次函数，我们有熟知的公式解法（二次时，称为求根公式）．

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学习目标

1.

根据具体函数图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解；

2.

通过用二分法求方程的近似解，使学生体会函数零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识.

学习重点

利用二分法求方程的近似解

学习难点

判断函数零点所在的区间

教学设计

一、目标展示

二、自主学习

预习课本第89到第91页，并完成导学预案自主预习内容

三、合作探究

探究任务：二分法的思想及步骤

问题：有12个小球，质量均匀，只有一个是比别的球重的，你用天平称几次可以找出这个球的，要求次数越少越好.

解法：

第一次，两端各放 个球，低的那一端一定有重球；

第二次，两端各放 个球，低的那一端一定有重球；

第三次，两端各放 个球，如果平衡，剩下的就是重球，否则，低的就是重球.

思考：以上的方法其实这就是一种二分法的思想，采用类似的方法，如何求ln26yxx的零点所在区间？如何找出这个零点？

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①确定区间[,]ab，验证0)()(•bfaf，给定精度ε；

②求区间(,)ab的中点1x；

③计算1()fx：若1()0fx，则1x就是函数的零点； 若0)()(1•xfaf，则令1bx（此时零点01(,)xax）； 若0)()(1•bfxf，则令1ax（此时零点01(,)xxb）；

④判断是否达到精度ε；即若||ab，则得到零点零点值a（或b）；否则重复步骤②~④．

四、精讲点拨

例1 借助计算器或计算机，利用二分法求方程237xx的近似解.

变式：求方程237xx的根大致所在区间.

五、达标检测

1. 求方程3log3xx的解的个数及其大致所在区间.

2.求函数32()22fxxxx的一个正数零点（精确到0.1）

零点所在区间 中点函数值符号 区间长度

3. 用二分法求33的近似值.

1 3.1.2 用二分法求方程的近似解

一、用二分法求函数()fx零点近似值的步骤

通过上述问题的分析解答总结：在给定精确度，用二分法求函数()fx零点的近似值的步骤是：

1．确定区间[,]ab，验证()()0fafb，给定精确度；

2．求区间(,)ab的中点12abx；

3．计算1()fx：

（1）若1()fx=0，则1x就是函数的零点，计算终止；

（2）若1()()0fafx，则令1bx（此时零点01(,))xax；

（3）若1()()0fxfb，则令1ax（此时零点01(,))xxb。

4．判断是否达到精确度：即若ab，则得到零点近似值ab或；否则重复2~4。

由函数的零点与相应方程根的关系，我们可以用二分法来求方程的近似解。由于计算量较大，而且是重复相同的步骤，因此，我们可以通过设计一定的计算程序，借助计算器或计算机完成计算。

二、二分法的评注

1．用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适合，对函数的不变号零点不使用；

2．从引入函数零点的概念到函数零点的研究和求解，应用到由特殊到一般的转化思想，通过学习提高函数思想和数形结合的能力。

三、例题讲解

例1．借助计算器或计算机用二分法求方程237xx的近似解（精确到0.1）。

解：原方程即2370,()237xxxfxx令，用计算器或计算机作出函数()237xfxx的对应值表与图象：

x

0 1 2 3 4 5 6 7

237xyx -6 -2 3 10 21 40 75

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观察右图和表格，可知(1)(2)0ff，说明在区间（1，2）内有零点0x。 y

取区间（1，2）的中点11.5x，用计算器可的得(1.5)0.33f。 o x

因为(1)(1.5)0ff，所以0(1,1.5)x，再取(1,1.5)的中点21.25x， 2 用计算器求得(1.25)0.87f，因此(1.25)(1.5)0ff，所以0(1.25,1.5)x。

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3.1.2 用二分法求方程的近似解

（一）教学目标

1、知识与技能

掌握应用二分法求方程近似解的原理与步骤，会用二分法求方程的近似解。

2、过程与方法

体会通过取区间中点，应用零点存在性定理，逐步缩小零点所属区间的范围，而获得零点的近似值即方程的近似解的过程中理解二分法的基本思想，渗透算法思想。

3、情感、态度及价值观

在灵活调整算法，在由特殊到一般的认识过程中，养成良好的学习品质和思维品质，享受数学的无穷魅力。

（二）教学重点与难点

重点：用二分法求方程的近似解；

难点：二分法原理的理解

（三）教学过程

1、复习引入

（1）知识回顾

（a）函数的零点及其等价关系。

＊对于函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。

方程f(x)=0有实数根

函数y=f(x)的图象与x轴有交点

函数y=f(x)有零点 学习好资料 欢迎下载

（b）连续函数在某个区间上存在零点的判别方法：

＊如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点。即存在c∈(a,b)，使得f(c )=0，这个c也就是方程f(x)=0的根。

（2）引例

（a）从学校电房到学校食堂的电缆有5个接点。现在某处发生故障，需及时修理。为了尽快把故障缩小在两个接点之间，一般至少需要检查多少2次？

（b）猜数字游戏，看谁先猜中

从1～1000这1000个自然数随机抽出１个数，谁能根据提示“大了”“小了”“对了”先猜出这个数？10次以内猜出，你们能做到吗 ？

2、新课内容

设疑：一元二次方程可以用公式求根,但没有公式可用来求lnx+2x-6=0的根,能否利用函数的有关知识来求它根的近似值呢？