函数奇偶性

函数的奇偶性概念
1、偶函数的定义：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．例如：函数
，等都是偶函数．
2、奇函数的定义：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)=－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．例如：函
数f(x)=x，都是奇函数．
3、奇偶性的定义：如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f(x)具有奇偶性．
说明：从函数奇偶性的定义可以看出，具有奇偶性的函数：（1）其定义域关于原点对称；
（2）f(－x)=f(x)或f(－x)=－f(x)必有一成立．
因此，判断某一函数的奇偶性时，首先看其定义域是否关于原点对称，若对称，再计算f(－x)，看是等于f(x)还是等于－f(x)，然后下结论；若定义域关于原点不对称，则函数没有奇偶性．（3）无奇偶性的函数是非奇非偶函数．
（4）函数f(x)=0既是奇函数也是偶函数，因为其定义域关于原点对称且既满足f(－x)=f(x)也满足f(－x)=－f(x)．
（5）一般的，奇函数的图象关于原点对称，反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数．偶函数的图象关于y轴对称，反过来，如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．
（6）奇函数若在x=0时有定义，则f(0)=0．。

2、函数奇偶性的判定方法：定义法、图像法
（1）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：
①首先确定函数的定义域是否关于原点对称；②确定f(－x)与f(x)的关系；③作出相应结论：
若f(－x) =f(x)或f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；
若f(－x) =－f(x)或f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数。
(14).设函数f(x)(x∈R)为奇函数，f(1)＝ ，f(x＋2)＝f(x)＋f(2)，则f(5)＝()
A.0B.1C. D.5
(15)．若 ，g（x）都是奇函数， 在（0，＋∞）上有最大值5，
则f（x）在（－∞，0）上有（ ）
A．最小值－5 B．最大值－5 C．最小值－1 D．最大值－3
（16）定义在R上的函数f(x)满足：f(x)·f(x＋2)＝13，f(1)＝2，则f(99)＝( )
①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；
②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，定义域关于原点对称。
(2)利用图像判断函数奇偶性的方法：
图像关于原点对称的函数为奇函数，图像关于y轴对称的函数为偶函数，
（3）简单性质：
设 ， 的定义域分别是 ，那么在它们的公共定义域上：
A．13B．2 C.13/2D.2/13
（17）定义在R上的函数f(x)满足：对于任意α，β∈R，总有f(α＋β)－[f(α)＋f(β)]＝2010，则下列说法正确的是( )
A．f(x)－1是奇函数 B．f(x)＋1是奇函数
C．f(x)－2010是奇函数 D．f(x)＋2010是奇函数
（18）设f(x)是定义在R上以2为周期的偶函数，已知x∈(0,1)时，f(x)＝log (1－x)，则函数f(x)在(1,2)上( )

一. 函数的奇偶性
2．对函数奇偶性的理解 ． （1）函数的奇偶性是函数在整个定义域上的性质，是函 ）函数的奇偶性是函数在整个定义域上的性质， 数的整体性质. 数的整体性质 （2）函数奇偶性中对定义域内任意一个 ，都有 (－x) = ）函数奇偶性中对定义域内任意一个x，都有f － f (x)，f (－x) = －f (x)的实质是：函数的定义域关于原点 的实质是： ， － 的实质是 对称，这是函数具备奇偶性的必要条件. 对称，这是函数具备奇偶性的必要条件 函数的奇偶性是 其相应图象特殊的对称性的反映. 其相应图象特殊的对称性的反映
A.关于原点对称 A.关于原点对称 C.关于y C.关于y轴对称 关于
B.关于直线y B.关于直线y=-x对称 关于直线 D.关于直线y D.关于直线y=x对称 关于直线
解析: 解析:
由于定义域为（ 由于定义域为（-2，2）关于原点对称，又 关于原点对称，
f(x)=-f(-x),故函数为奇函数,图象关于原点对称. )=),故函数为奇函数,图象关于原点对称. 故函数为奇函数
例3：(2008·山东)函数y=ln cos x (2008·山东)函数y 山东
(−
π
2
<x<
π
2
)
的图象是 （A ）
解析: 解析:
为偶函数, y=ln cos x为偶函数,且函数图象在 [ 0 , π )上单
2
调递减. 调递减.
若函数f 的导函数 若函数 (x)的导函数 f ′(x) 在D上的函数 上的函数
值为正,则称 上为增函数； 值为正 则称y = f (x)在D上为增函数； 则称 在 上为增函数
四.函数的单调性
2. 函数单调性的等价定义

函数的奇偶性【知识要点】1、函数奇偶性的定义：若函数()f x 的定义域D 关于原点对称，对于函数()f x 的定义域D 内任意一个x ，如果都有()f x -=－()f x (或()f x +()f x -=0)则称()f x 为奇函数；对于函数()f x 的定义域内D 任意一个x ，如果都有()f x -= ()f x 〔或()f x －()f x -=0〕，则称()f x 为偶函数.2、注意：函数的定义域关于原点对称是该函数具有奇偶性的前提.3、奇偶函数图像的性质（1）奇函数的图像关于原点对称。

反过来，如果一个函数的图像关于原点对称，那么这个函数为奇函数. 奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同（2）偶函数的图像关于y 轴对称。

反过来，如果一个函数的图像关于y 轴对称，那么这个函数为偶函数. 偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反（3）若奇函数的定义域包含数0，则)0(f =0.4、判断函数奇偶性的步骤：（1）首先看函数)(x f 的定义域是否关于原点对称，若不对称，则函数)(x f 一定既不是奇函数也不是偶函数，若对称，则进行下一步.(2)写出)(x f -的表达式，并整理.(3) 若)(x f -=-)(x f ，则函数)(x f 为奇函数；若)(x f -=)(x f ，则函数)(x f 为偶函数.【典型例题】例1、画出下列函数的图象，并观察图像的特点（从对称性角度）（1）x x f 2)(= (2) x x f 2)(-= （3）2)(x x f =例2、根据函数奇偶性的定义，判断下列函数是奇函数、偶函数还是非奇非偶函数. (1) x y 41= (2) x y 41= , )0,(-∞∈x (3) 2()1f x x =- (4) 2()1f x x =- , ),0(+∞∈x (5)23212+-=x y (6) 23212+-=x y , [1,3]x ∈-例3、证明函数xx x f 1)(+=在定义域上是奇函数例4、已知函数mx x x f +=22)(的定义域为全体实数，且)(x f 是偶函数，求m 的值.例5、已知)(x f 为定义在R 上的奇函数，当0>x 时，x x x f -=2)(，求)(x f 的表达式例6、已知函数cbx ax x f ++=1)(2(c b a ,,∈Z )是奇函数，又2)1(=f ，3)2(<f ，求c b a ,,的值【经典练习】1、指出下列函数的奇偶性 (1) x x f 21)(-= (2)4)(2+-=x x f (3) xx f 2)(-=2、奇函数()f x 在区间[3,7]上是增函数，且最小值为17，则()f x 在区间[7,3]--上的最大值为________3、已知函数)(x f 的定义域为R ，且对任意的R y x ∈,都有)()()(y f x f y x f +=+成立，试写出一个满足条件的函数解析式 .4、如图，函数()f x 的图像由两射线和一抛物线的一部分组成，（1）求函数()f x 的解析式。