求轨迹方程常用的方法南广明(甘肃省康县第一中学ꎬ甘肃陇南７４６５００)摘㊀要:求轨迹方程的问题贯穿于圆锥曲线的始终ꎬ也是高考热点内容之一.所谓求轨迹方程就是寻求动点坐标ｘꎬｙ之间的关系式.文章举例说明求轨迹方程常用的方法:直接法㊁定义法㊁参数法㊁代入法㊁交轨法㊁几何法㊁待定系数法㊁设而不求法等.关键词:轨迹方程ꎻ常用ꎻ方法中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)２８－００５７－０４收稿日期:２０２３－０７－０５作者简介:南广明(１９８３.１１－)ꎬ男ꎬ甘肃省天水人ꎬ中学一级教师ꎬ从事中学数学教学研究.㊀㊀所谓求轨迹方程就是寻求动点坐标ｘꎬｙ之间的关系式.解答这类题的关键是分析形成轨迹的动点和已知条件的内在联系ꎬ利用题设中的几何条件ꎬ用 坐标化 将其转化为寻求变量间的关系ꎬ选择最便于反映这种联系的形式ꎬ建立等式.１直接法建立适当的坐标系后ꎬ设动点为(ｘꎬｙ)ꎬ根据几何条件寻求ｘꎬｙ之间的关系式ꎬ此法称为直接法.例１㊀设Ａ(－ｃꎬ０)ꎬＢ(ｃꎬ０)(ｃ>０)为两定点ꎬ动点Ｐ到点Ａ的距离与到点Ｂ的距离的比为定值ａ(ａ>０)ꎬ求点Ｐ的轨迹.分析㊀设出点Ｐ的坐标ꎬ利用｜ＰＡ｜｜ＰＢ｜＝ａ建立方程ꎬ然后把方程化简ꎬ最后根据方程的形式说明轨迹是什么图形.解析㊀设动点Ｐ的坐标为(ｘꎬｙ)ꎬ由｜ＰＡ｜｜ＰＢ｜＝ａ(ａ>０)ꎬ得(ｘ＋ｃ)２＋ｙ２(ｘ－ｃ)２＋ｙ２＝ａ.化简ꎬ得(１－ａ２)ｘ２＋２ｃ(１＋ａ２)ｘ＋ｃ２(１－ａ２)＋(１－ａ２)ｙ２＝０.当ａʂ１时ꎬ得ｘ－１＋ａ２ａ２－１ｃæèçöø÷２＋ｙ２＝２ａｃａ２－１æèçöø÷２.当ａ＝１时ꎬ化简得ｘ＝０.所以当ａʂ１时ꎬ点Ｐ的轨迹是以１＋ａ２ａ２－１ｃꎬ０æèçöø÷为圆心ꎬ以２ａｃａ２－１为半径的圆ꎻ当ａ＝１时ꎬ点Ｐ的轨迹为ｙ轴ꎬ是线段ＡＢ的中垂线.点评㊀用直接法求出轨迹方程后ꎬ如果方程中有参数ꎬ要注意对参数的讨论ꎬ看其是否满足某种曲线对方程的特定要求. 轨迹 和 轨迹方程 是两个不同的概念ꎬ求轨迹方程只需要求出方程即可ꎬ而求轨迹则应先求出轨迹方程ꎬ再说明轨迹的形状.若题设条件有明显的等量关系ꎬ或者可运用平面几何的知识推导出等量关系ꎬ则可以通过建系㊁设点㊁列式㊁化简㊁检验 五个步骤直接求出动点的轨迹.２定义法如果所给几何条件正好符合已学曲线(例如圆㊁椭圆㊁双曲线㊁抛物线等)的定义ꎬ则可直接利用这些已知曲线的方程写出动点的轨迹方程ꎬ此法称为定义法.例２㊀已知三点Ａ(－７ꎬ０)ꎬＢ(７ꎬ０)ꎬＣ(２ꎬ－１２)ꎬ椭圆过Ａ㊁Ｂ两点且以Ｃ为其中一个焦点ꎬ求此椭圆的另一个焦点的轨迹方程.分析㊀解答本题可先根据椭圆的第一定义ꎬ再考虑另一个焦点的几何特征即可解决.解析㊀设另一个焦点为Ｍ(ｘꎬｙ)ꎬ则根据椭圆的定义ꎬ有｜ＡＣ｜＋｜ＡＭ｜＝｜ＢＣ｜＋｜ＢＭ｜.而｜ＡＣ｜＝(－７－２)２＋１２２＝１５ꎬ｜ＢＣ｜＝(７－２)２＋１２２＝１３ꎬ所以｜ＭＢ｜－｜ＭＡ｜＝｜ＡＣ｜－｜ＢＣ｜＝２.又｜ＡＢ｜＝１４>２ꎬ所以｜ＭＢ｜－｜ＭＡ｜<｜ＡＢ｜ꎬ即动点Ｍ的轨迹是以原点为中心ꎬＡꎬＢ为焦点ꎬ实轴长为２的双曲线的左支.因为ａ＝１ꎬｃ＝７ꎬ所以ｂ＝ｃ２－ａ２＝４３.故所求的方程为ｘ２－ｙ２４８＝１(ｘɤ－１).点评㊀求曲线的轨迹方程时ꎬ尽可能地利用几何条件探究轨迹的曲线类型ꎬ从而再利用待定系数法求出轨迹的方程ꎬ这样可以减少运算量ꎬ提高解题的速度与质量.在用双曲线的定义时ꎬ应特别注意定义中的条件 差的绝对值 ꎬ弄清所求轨迹是整条双曲线还是双曲线的一支ꎬ若是一支ꎬ则是哪一支?以确保轨迹的纯粹性和完备性.３参数法当动点Ｐ(ｘꎬｙ)坐标之间的关系不容易直接找到ꎬ也没有相关信息可用时ꎬ可考虑将ｘꎬｙ均用中间变量(参数)表示ꎬ得参数方程ꎬ再消去参数ꎬ得到动点轨迹的普通方程ꎬ此法称为参数法.例３㊀在圆ｘ２＋ｙ２＝４上有一定点Ａ(２ꎬ０)和两个动点ＢꎬＣ(ＡꎬＢꎬＣ按逆时针方向排列).当ＢꎬＣ两点保持øＢＡＣ＝π３时ꎬ求ΔＡＢＣ的重心Ｇ的轨迹方程.㊀分析㊀设Ｇ(ｘꎬｙ)ꎬøＡＯＢ＝θꎬ首先表示ＢꎬＣ两点坐标ꎬ再利用重心坐标公式列参数方程ꎬ消去θ即得点Ｇ的轨迹方程.解析㊀设重心Ｇ的坐标为(ｘꎬｙ)ꎬøＡＯＢ＝θ(０<θ<４π３)ꎬ则Ｂ(２ｃｏｓθꎬ２ｓｉｎθ).因为øＢＡＣ＝π３ꎬ所以øＢＯＣ＝２π３.所以点Ｃ(２ｃｏｓ(θ＋２π３)ꎬ２ｓｉｎ(θ＋２π３)).由重心的坐标公式ꎬ得点Ｇ的坐标为ｘ＝１３[２＋２ｃｏｓθ＋２ｃｏｓ(θ＋２π３)]ꎬｙ＝１３[２ｓｉｎθ＋２ｓｉｎ(θ＋２π３)].ìîíïïïï消去θꎬ得(ｘ－２３)２＋ｙ２＝４９.因为０<θ<４π３ꎬ所以π３<θ＋π３<５π３.所以－１ɤｃｏｓ(θ＋π３)<１２.所以ｘ＝１３[２＋２ｃｏｓθ＋２ｃｏｓ(θ＋２π３)]＝２３[１＋ｃｏｓ(θ＋π３)]ɪ[０ꎬ１).故所求的轨迹方程为(ｘ－２３)２＋ｙ２＝４９(０ɤｘ<１).点评㊀本题是与角有关的轨迹问题ꎬ显然可以用参数法来求解ꎬ在引入参数时要考虑参数的取值范围.４代入法(相关点法)利用所求曲线上的动点与已知曲线上动点的关系ꎬ把所求动点转换为已知动点.具体地说ꎬ就是用所求动点的坐标(ｘꎬｙ)来表示已知动点的坐标ꎬ并代入已知动点满足的曲线方程ꎬ由此可求得动点坐标(ｘꎬｙ)满足的关系ꎬ此法称为代入法.例４㊀从双曲线ｘ２－ｙ２＝１上一点Ｑ引直线ｌ:ｘ＋ｙ＝２的垂线ꎬ垂足为点Ｎꎬ求线段ＱＮ的中点Ｐ的轨迹方程.分析㊀设Ｐ(ｘꎬｙ)ꎬ因为Ｐ是ＱＮ的中点ꎬ为此需用点Ｐ的坐标表示点Ｑ的坐标ꎬ然后代入双曲线方程即可.解析㊀设点Ｐ的坐标为(ｘꎬｙ)ꎬ双曲线上点Ｑ的坐标为(ｘ０ꎬｙ０).因为点Ｐ是线段ＱＮ的中点ꎬ所以点Ｎ的坐标为(２ｘ－ｘ０ꎬ２ｙ－ｙ０).又点Ｎ在直线ｘ＋ｙ＝２上ꎬ所以２ｘ－ｘ０＋２ｙ－ｙ０＝２.即ｘ０＋ｙ０＝２ｘ＋２ｙ－２.①又ＱＮʅｌꎬ所以ｋＱＮ＝２ｙ－２ｙ０２ｘ－２ｘ０＝１.即ｘ０－ｙ０＝ｘ－ｙ.②由①②ꎬ得ｘ０＝１２(３ｘ＋ｙ－２)ꎬｙ０＝１２(ｘ＋３ｙ－２).又因为点Ｑ在双曲线上ꎬ所以１４(３ｘ＋ｙ－２)２－１４(ｘ＋３ｙ－２)２＝１.化简ꎬ得(ｘ－１２)２－(ｙ－１２)２＝１２.所以线段ＱＮ的中点Ｐ的轨迹方程为(ｘ－１２)２－(ｙ－１２)２＝１２.点评㊀本题中动点Ｐ与点Ｑ相关ꎬ而点Ｑ的轨迹确定ꎬ故解决这类问题的关键是找出ＰꎬＱ两点坐标间的关系ꎬ用相关点法求解.５交轨法在求动点轨迹方程时ꎬ经常会遇到求两动曲线的交点的轨迹方程问题ꎬ我们先列出两动曲线的方程ꎬ再设法消去曲线中的参数即可得到交点的轨迹方程ꎬ此法称为交轨法.例５㊀椭圆ｘ２４＋ｙ２＝１与ｘ轴的交点为Ａ(２ꎬ０)ꎬＡᶄ(－２ꎬ０)ꎬ与ｙ轴平行的直线交该椭圆于ＰꎬＰᶄ两点ꎬ试求ＡＰ和ＡᶄＰᶄ交点Ｑ所描绘的曲线方程.分析㊀与ｙ轴平行的直线设为ｘ＝ｘ１ꎬ点Ｐ和Ｐᶄ的纵坐标设为ｙ１和－ｙ１ꎬ写出直线ＡＰ和ＡᶄＰᶄ的方程ꎬ可以求其交点ꎬ再利用点(ｘ１ꎬｙ１)在椭圆上ꎬ消去ｘ１ꎬｙ１即可得到轨迹方程.解析㊀设平行于ｙ轴的直线为ｘ＝ｘ１ꎬ设点Ｐ和Ｐᶄ的坐标为(ｘ１ꎬｙ１)和(ｘ１ꎬ－ｙ１)ꎬ则ｘ２１４＋ｙ２１＝１.①当ｘ１ʂʃ２时ꎬ直线ＡＰ和ＡᶄＰᶄ的方程分别为ｙ＝ｙ１ｘ１－２(ｘ－２)ꎬ②ｙ＝－ｙ１ｘ１＋２(ｘ＋２)ꎬ③因为交点Ｑ满足②③ꎬ由②ˑ③得ｙ２＝－ｙ２１ｘ２１－４(ｘ２－４).④由①ꎬ得ｘ２１－４＝－４ｙ２１.代入④ꎬ得ｙ２＝１４(ｘ２－４).即ｘ２４－ｙ２＝１.⑤当ｘ１＝ʃ２时ꎬｙ＝０ꎬ满足⑤ꎬ所以ｘ２４－ｙ２＝１是交点Ｑ所描绘的曲线方程.点评㊀本题是用交轨法求得轨迹方程的.如果所求轨迹是由两条动曲线(包括直线)的交点所得ꎬ其一般解法是恰当地引进一个参数ꎬ写出两条动曲线的方程ꎬ消去参数ꎬ即得所求的轨迹方程.６几何法根据曲线的某些显著的几何特征和性质ꎬ通过推理列出等式求出轨迹方程ꎬ这种求轨迹的方法叫做几何法.例６㊀әＡＯＢ中ꎬøＡＯＢ＝π３ꎬＡＢ在直线ｘ＝３上移动ꎬ求ΔＡＯＢ外心的轨迹方程.分析㊀利用三角形外心的性质及含３０ʎ角的直角三角形的性质求解.解析㊀设外心为Ｐ(ｘꎬｙ)ꎬ因为øＡＯＢ＝π３ꎬ所以øＡＰＢ＝２π３.又因为｜ＰＡ｜＝｜ＰＢ｜ꎬ所以ΔＡＰＢ为等腰三角形.过点Ｐ作ＰＤʅＡＢ于点Ｄꎬ则øＡＰＤ＝π３.所以｜ＰＤ｜＝１２｜ＰＡ｜＝１２｜ＰＯ｜.于是３－ｘ＝１２ｘ２＋ｙ２.即(ｘ－４)２４－ｙ２１２＝１(ｘ<３).点评㊀借助于平面几何的有关定理㊁性质等ꎬ从而分析出其数量关系ꎬ这种借助几何定理的方法是求动点轨迹的重要方法.７待定系数法凡是已知曲线类型ꎬ只需利用已知条件ꎬ求出曲线方程中的待定系数就可以求出曲线方程ꎬ这种求轨迹的方法叫做待定系数法.例７㊀已知圆Ｃ在ｘ轴上的一个截距为－２ꎬ在ｙ轴上的截距为１和３ꎬ求圆Ｃ的方程.解析㊀设圆Ｃ的方程为ｘ２＋ｙ２＋Ｄｘ＋Ｅｙ＋Ｆ＝０ꎬ则由圆Ｃ过三点(－２ꎬ０)ꎬ(０ꎬ１)ꎬ(０ꎬ３)知４－２Ｄ＋Ｆ＝０ꎬ１＋Ｅ＋Ｆ＝０ꎬ９＋３Ｅ＋Ｆ＝０.ìîíïïïï解得Ｄ＝７２ꎬＥ＝－４ꎬＦ＝３.ìîíïïïï所以圆Ｃ的方程为ｘ２＋ｙ２＋７２ｘ－４ｙ＋３＝０.点评㊀求解本题的关键是根据已知条件判断出所求圆过三点的坐标.８设而不求法求弦的中点的轨迹方程ꎬ常常运用 设而不求 的技巧ꎬ通过中点坐标及斜率的代换ꎬ达到求出轨迹方程的目的[１]ꎬ这种求轨迹方程的方法叫做设而不求法ꎬ也称做 平方差法 点差法 差分法 等.例８㊀已知椭圆ｘ２２５＋ｙ２９＝１及点Ｍ(２ꎬ１)ꎬ如果过点Ｍ的直线截椭圆所得的弦ＰＱ被点Ｍ平分ꎬ求直线ＰＱ的方程.分析㊀利用弦的两端点Ｐ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＱ(ｘ２ꎬｙ２)在已知的二次曲线上ꎬ将ＰꎬＱ的坐标代入方程ꎬ然后相减ꎬ利用平方差公式可得含ｘ１＋ｘ２ꎬｙ１＋ｙ２ꎬｘ１－ｘ２ꎬｙ１－ｙ２的关系式ꎬ再利用其他条件代入整理即可得到轨迹方程.解析㊀设Ｐ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＱ(ｘ２ꎬｙ２)ꎬ直线ＰＱ的斜率为ｋꎬ由已知得ｘ２１２５＋ｙ２１９＝１ꎬｘ２２２５＋ｙ２２９＝１.两式相减ꎬ得(ｘ１＋ｘ２)(ｘ１－ｘ２)２５＋(ｙ１＋ｙ２)(ｙ１－ｙ２)９＝０.又因为ｘ１＋ｘ２＝４ꎬｙ１＋ｙ２＝２ꎬ所以４(ｘ１－ｘ２)２５＋２(ｙ１－ｙ２)９＝０.变形ꎬ得ｙ１－ｙ２ｘ１－ｘ２＝－１８２５.又因为直线ＰＱ的斜率ｋ＝ｙ１－ｙ２ｘ１－ｘ２ꎬ所以ｋ＝－１８２５.所以直线ＰＱ的方程为ｙ－１＝－１８２５(ｘ－２).即１８ｘ＋２５ｙ－６１＝０.点评㊀设而不求法求轨迹方程的步骤:(１)设点ꎻ(２)代入ꎻ(３)相减ꎻ(４)求解.运用此法要注意限制轨迹方程中变量可能的取值范围.参考文献:[１]杜红全ꎬ黄海虹.求直线方程设法有技巧[Ｊ].河北理科教学研究ꎬ２０２１(０１):１６－１７ꎬ２０.[责任编辑:李㊀璟]。
三种方法巧解一类椭圆轨迹变式问题椭圆的轨迹问题是圆锥曲线中一块重要内容，求解的方法较多，但常见的有三类轨迹问题，一般可用定义法、转移法、交轨法进行破解，下面就如何用这三种方法巧解三类相似的椭圆的轨迹问题进行举例分析：一、定义法破椭圆轨迹 所谓定义法，就是根据椭圆的定义设出椭圆的方程，若是标准型的椭圆则求出涉及到椭圆方程的二个参数,a b ；对于非标准型的椭圆则需要利用第一定义求解.例1、一个椭圆的焦点是()0,0和(4,0)F ，长半轴为3，求这个椭圆方程.分析：在所给的条件为非标准情况时，如适合椭圆定义，也可用椭圆的定义求它的方程.解：设(,)M x y 为椭圆上任意一点，根据椭圆的定义有6MO MF +=6=，移项，平方，整理可得：225920250x y x +--=，即22(2)195x y -+=为所求椭圆方程. 点评：此题中的椭圆为非标准型的，解题时主要是利用了第一定义求方程，但当已知椭圆是标准型时，求椭圆方程一般为以下三步：1、依题意设出方程22221x y a b +=或22221x y b a+=，或利用椭圆的定义；2、根据已知条件，建立关于,a b 的方程；3、解方程求出,a b ，然后代入所设方程.二、转移法破椭圆轨迹所谓转移法，就是指转移代入法，主要是利用动点M 和曲线上的点P 的关系（有相关性），通过求出点M 与点P 的坐标关系，用点M 的坐标表示点P 坐标，然后代入点P 坐标所满足方程的方法.例2、已知圆229x y +=，从这个圆上任意一点P 向x 轴作垂线段PP '，点M 在PP '上，并且2PM MP '=，求点M 的轨迹.分析：此题是一个已知P 点的轨迹求未知点M 的轨迹问题，需要通过建立已知点的坐标和未知点的坐标关系求解，即转移代入法.解：设(,)M x y ，P 的坐标为()00,x y ，则由题意如图，003x x y y=⎧⎨=⎩，因为点P 在圆229x y +=上，即满足22009x y +=，将003x x y y=⎧⎨=⎩代入得2299x y +=，即2219x y +=，所以点M 的轨迹是一个圆. 点评：此题是一个转移代入法求椭圆轨迹问题，解题的步骤是：1、先写出P 点与M 点的关系，2、用点M 的坐标表示点P 的坐标，3、代入点P 的坐标所满足的方程。
