2020中考数学一轮新优化复习 第一部分 第五章 四边形 第22讲 多边形与平行四边形真题精选

第一部分第五章第22讲命题点1 多边形及其性质(2018年玉林考，2017年4考，2016年5考)1．(2016·来宾4题3分)如果一个正多边形的一个外角为30°，那么这个正多边形的边数是( C )A．6 B．11C．12 D．182．(2018·玉林8题3分)在四边形ABCD中：①AB∥CD，②AD∥BC，③AB＝CD，④AD ＝BC，从以上选择两个条件使四边形ABCD为平行四边形的选法共有( B ) A．3种B．4种C．5种D．6种3．(2016·桂林16题3分)正六边形的每个外角是__60__度．4．(2017·来宾19题3分)已知一个多边形的内角和等于其外角和的2倍，则该多边形是__六__边形．命题点2 平行四边形的性质与判定(2018年百色考，2017年4考，2016年5考)5．(2016·河池8题3分)如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，∠BED＝150°，则∠A的大小为( C )A．150°B．130°C．120°D．100°6．(2016·柳州17题3分)如图，若□ABCD的面积为20，BC＝5，则边AD与BC间的距离为__4__.7．(2016·钦州21题8分)如图，DE是△ABC的中位线，延长DE到F，使EF＝DE，连接BF.(1)求证：BF＝DC；(2)求证：四边形ABFD是平行四边形．证明：(1)如答图，连接DB，CF.∵DE是△ABC的中位线，∴CE ＝BE .∵EF ＝DE ，∴四边形CDBF 是平行四边形，∴BF ＝CD .(2)∵四边形CDBF 是平行四边形，∴CD ∥FB ，∴AD ∥BF .∵DE 是△ABC 的中位线，∴DE ∥AB ，∴DF ∥AB ，∴四边形ABFD 是平行四边形．8．(2016·百色22题8分)已知平行四边形ABCD 中，CE 平分∠BCD 且交AD 于点E ，AF ∥CE ，且交BC 于点F .(1)求证：△ABF ≌△CDE ；(2)如图，若∠1＝65°，求∠B 的大小．(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ＝CD ，AD ∥BC ，∠B ＝∠D ，∴∠1＝∠BCE .∵AF ∥CE ，∴∠AFB ＝∠ECB .∵CE 平分∠BCD ，∴∠DCE ＝∠ECB ，∴∠AFB ＝∠1.在△ABF 和△CDE 中，⎩⎪⎨⎪⎧ ∠B＝∠D，∠AFB＝∠1，AB ＝CD ，∴△ABF ≌△CDE (AA S)．(2)解：由(1)得，∠1＝∠ECB ，∠DCE ＝∠ECB ，∴∠1＝∠DCE ＝65°，∴∠B ＝∠D ＝180°－2×65°＝50°.9．(2018·百色22题8分)平行四边形ABCD 中，∠A ＝60°，AB ＝2AD ，BD 的中垂线分别交AB ，CD 于点E ，F ，垂足为O .(1)求证：OE ＝OF ；(2)若AD ＝6，求t an ∠ABD 的值．(1)证明：如答图，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥DC ，∴∠1＝∠2.∵EF 是BD 的中垂线，∴OD ＝OB ，∠3＝∠4＝90°.在△DOF 和△BOE 中，⎩⎪⎨⎪⎧ ∠1＝∠2，OD ＝OB ，∠3＝∠4，∴△DOF ≌△BOE (A S A )，∴OE ＝OF .(2)解：过点D 作DG ⊥AB ，垂足为G .∵∠A ＝60°，AD ＝6，∴∠ADG ＝30°，∴AG ＝12AD ＝3， ∴DG ＝62－32＝3 3.∵AB ＝2AD ，∴AB ＝2×6＝12，∴BG ＝AB －AG ＝12－3＝9，∴t an ∠ABD ＝DG BG ＝339＝33.。

(1)AE＝CF.
(2)证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD， ∴AE∥CF， ∵AE＝CF， ∴四边形 AECF 为平行四边形．
8．(2021·怀化第 20 题 10 分)已知：如图，四边形 ABCD 为平行四边形， 点 E，A，C，F 在同一直线上，AE＝CF.求证： (1)△ADE≌△CBF； (2)ED∥BF.
命题点 1：多边形(2021 年考查 4 次，2020 年考查 4 次，2019 年考查 2
次)
1．(2021·怀化第 3 题 4 分)以下说法中错误的是
( A)
A．多边形的内角大于任何一个外角
B．图形
D．圆内接四边形的对角互补
2．(2021 ·常德第 3 题 3 分)一个多边形的内角和为 1 800°，则这个多
6．(2020·衡阳第 7 题 3 分)如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC 和 BD 相交于点 O，下列条件不能判断四边形 ABCD 是平行四边形的是( C ) A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BC C．AB∥DC，AD＝BC D．OA＝OC，OB＝OD
7．(2021·岳阳第 18 题 6 分)如图，在四边形 ABCD 中，AE⊥BD, CF⊥BD, 垂足分别为点 E, F. (1)请你只添加一个条件(不另加辅助线)，使得四边形 AECF 为平行四边 形，你添加的条件是________； (2)添加了条件后，证明四边形 AECF 为平行四边形．
【易错提醒】易误用平行四边形的判定方法 1．一组对边平行，而另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形． 2．一组对边相等且一组对角相等的四边形不一定是平行四边形． 3．一组对角相等且这组对角的顶点所连对角线被另一条对角线平分的四 边形不一定是平行四边形． 4．一组对角相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形不一定是平行 四边形．

第22讲多边形与平行四边形1. (2019，河北)下列图形为正多边形的是(D)A. B. C. D.【解析】根据正多边形的定义：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形可得答案．2. (2015，河北)如图，平面上，将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一起，则∠3＋∠1－∠2＝24°.第2题图【解析】正三角形的每个内角的度数是180°÷3＝60°，正方形的每个内角的度数是360°÷4＝90°，正五边形的每个内角的度数是[(5－2)×180°]÷5＝108°，正六边形的每个内角的度数是[(6－2)×180°]÷6＝120°，则∠3＋∠1－∠2＝(90°－60°)＋(120°－108°)－(108°－90°)＝24°.3. (2015，河北)嘉淇同学要证明命题“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”是正确的．她先用尺规作出了如图所示的四边形ABCD，并写出了如下不完整的已知和求证．已知：如图，在四边形ABCD中，BC＝AD，AB＝CD.求证：四边形ABCD是平行四边形.第3题图(2)按嘉淇的想法写出证明；(3)用文字叙述所证命题的逆命题为 平行四边形的对边相等 ．(1)解：CD 平行(2)证明：如答图，连接BD .∵AB ＝CD ，AD ＝BC ，BD ＝DB ，∴△ABD ≌△CDB .∴∠1＝∠3，∠2＝∠4.∴AB ∥CD ，AD ∥BC .∴四边形ABCD 是平行四边形．(3)解：平行四边形的对边相等第3题答图4. (2012，河北)如图，在▱ABCD 中，∠A ＝70°.将平行四边形折叠，使点D ，C 分别落在点F ，E 处(点F ，E 都在AB 所在的直线上)，折痕为MN ，则∠AMF 的度数为(B )第4题图A. 70°B. 40°C. 30°D. 20°【解析】 ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD.根据折叠的性质，可得MN ∥AE ，∠FMN ＝∠DMN.∴AB ∥CD ∥MN.∵∠A ＝70°，∴∠FMN ＝∠DMN ＝∠A ＝70°.∴∠AMF ＝180°－∠DMN －∠FMN ＝180°－70°－70°＝40°.5. (2012，河北)如图①，用4个全等的正八边形进行拼接，使相邻的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形．如图②，用n 个全等的正六边形按这种方式拼接．若围成一圈后中间也形成一个正多边形，则n 的值为 6 .第5题图【解析】 因为正六边形的每个内角都是120°，所以拼成的正多边形的每个内角的度数为360°－120°－120°＝120°.列方程，得()n －2×180°n＝120°.解得n ＝6.借助多边形边与角的性质解决问题例1 (2019，徐州)如图，A ，B ，C ，D 为一个外角为40°的正多边形的顶点．若O 为正多边形的中心，则∠OAD ＝ 30° .例1题图【解析】 如答图，连接OB ，OC.正多边形的每个外角相等，且其和为360°.据此可得该正多边形的边数为360°40°＝9.∴∠AOB ＝360°9＝40°.∴∠AOD ＝40°×3＝120°.∴∠OAD ＝180°－∠AOD 2＝30°.例1答图针对训练1 (2019，枣庄)用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结(如图①所示)，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图②所示的正五边形ABCDE .图中，∠BAC ＝ 36° .训练1题图【解析】 ∵∠ABC ＝（5－2）×180°5＝108°，△ABC 是等腰三角形，∴∠BAC ＝∠BCA ＝36°.针对训练2 (2019，铜仁)如图所示的是矩形ABCD ，一条直线将该矩形分割成两个多边形．若这两个多边形的内角和分别为a 和b ，则a ＋b 不可能是(C )训练2题图A. 360°B. 540°C. 630°D. 720°【解析】 一条直线将该矩形ABCD 分割成两个多边形，每一个多边形的内角和都是180°的倍数，都能被180整除，分析四个选项，只有630不能被180整除，所以a ＋b 不可能是630°.借助平行四边形的性质求边和角例2 (2019，邯郸模拟)如图，在▱ABCD 中，∠ADB ＝90°，AB ＝2AD ，BD 的垂直平分线分别交AB ，CD 于点E ，F ，垂足为O .(1)求tan ∠ABD 的值；(2)求证：OE ＝OF ；(3)连接DE ，BF .若AD ＝6，求四边形DEBF 的周长．例2题图(1)解：∵∠ADB ＝90°，AB ＝2AD ，∴BD ＝AB 2－AD 2＝4AD 2－AD 2＝3AD .∴tan ∠ABD ＝AD BD ＝33. (2)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD .∴∠OBE ＝∠ODF .∵EF 是BD 的垂直平分线，∴OB ＝OD .在△BOE 和△DOF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠OBE ＝∠ODF ，OB ＝OD ，∠BOE ＝∠DOF ，∴△BOE ≌△DOF (ASA)．∴OE ＝OF .(3)解：由(2)得OB ＝OD ，OE ＝OF ，∴四边形DEBF 是平行四边形．∵EF ⊥BD ，∴四边形DEBF 是菱形．∴DE ＝BE ＝BF ＝DF .由(1)得BD ＝3AD ＝63，∴OB ＝3 3.∵sin ∠ABD ＝AD AB ＝12， ∴∠OBE ＝30°.∴BE ＝OB cos 30°＝6. ∴四边形DEBF 的周长为6×4＝24.针对训练3 (2019，遂宁)如图，在▱ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，OE ⊥BD 交AD 于点E ，连接BE .若▱ABCD 的周长为28，则△ABE 的周长为(D )训练3题图A.28B.24C. 21D. 14【解析】 ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OB ＝OD ，AB ＝CD ，AD ＝BC.∵▱ABCD 的周长为28，∴AB ＋AD ＝14.∵OE ⊥BD ，∴OE 是线段BD 的垂直平分线．∴BE ＝ED.∴△ABE 的周长为AB ＋BE ＋AE ＝AB ＋AD ＝14.平行四边形的判定和性质例3 (2019，河池)如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，BC 的中点，点F 在DE 的延长线上，添加一个条件使四边形ADFC 为平行四边形，则这个条件是(B )例3题图A. ∠B ＝∠FB. ∠B ＝∠BCFC. AC ＝CFD. AD ＝CF【解析】 ∵在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，BC 的中点，∴DE 是△ABC 的中位线．∴DE 綉12AC.根据∠B ＝∠F 不能判定CF ∥AB ，即不能判定四边形ADFC 为平行四边形，故选项A 错误．根据∠B ＝∠BCF 可以判定CF ∥AB ，即CF ∥AD.由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”得到四边形ADFC 为平行四边形，故选项B 正确．根据AC ＝CF 不能判定四边形ADFC 为平行四边形，故选项C 错误．根据AD ＝CF 不能判定四边形ADFC 为平行四边形，故选项D 错误．针对训练4 (2019，唐山古冶区一模)顺次连接平面上A ，B ，C ，D 四点得到一个四边形，从①AB ∥CD ，②BC ＝AD ，③∠A ＝∠C ，④∠B ＝∠D 四个条件中任取其中两个，不一定能得出“四边形ABCD 是平行四边形”这一结论的是(A )A. ①②B. ①③C. ①④D. ③④【解析】 当①AB ∥CD ，③∠A ＝∠C 时，四边形ABCD 为平行四边形．当①AB ∥CD ，④∠B ＝∠D 时，四边形ABCD 为平行四边形．当③∠A ＝∠C ，④∠B ＝∠D 时，四边形ABCD 为平行四边形．当①AB ∥CD ，②BC ＝AD 时，四边形ABCD 可能为等腰梯形，也可能是平行四边形．针对训练5 (2019，遂宁)如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，延长BC 到点E ，使CE ＝BC ，连接AE 交CD 于点F ，F 是CD 的中点．求证：(1)△ADF ≌△ECF ；(2)四边形ABCD 是平行四边形．训练5题图证明：(1)∵AD ∥BC ，∴∠DAF ＝∠E .∵F 是CD 的中点，∴DF ＝CF .在△ADF 和△ECF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠DAF ＝∠E ，∠AFD ＝∠EFC ，DF ＝CF ，∴△ADF ≌△ECF (AAS)．(2)∵△ADF ≌△ECF ，∴AD ＝EC .∵CE ＝BC ，∴AD ＝BC .∵AD ∥BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形．一、 选择题1. (2019，白银)如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是(C )第1题图A. 180°B. 360°C. 540°D. 720°【解析】 正五边形的内角和为(5－2)×180°＝540°.2. (2019，湘西州)已知一个多边形的内角和是1 080°，则这个多边形是(D )A. 五边形B. 六边形C. 七边形D. 八边形【解析】设这个多边形的边数为n，则(n－2)·180°＝1 080°，解得n＝8.3. (2019，福建)已知正多边形的一个外角为36°，则该正多边形的边数为(B)A. 12B. 10C. 8D. 6【解析】360°÷36°＝10，所以这个正多边形的边数为10.4. (2019，邯郸一模)如图，P为▱ABCD边AD上一点，E，F分别为PB，PC的中点，△PEF，△PDC，△P AB的面积分别为S，S1，S2.若S＝2，则S1＋S2的值为(C)第4题图A. 4B. 6C. 8D. 不能确定【解析】∵E，F分别是PB，PC的中点，∴EF为△PCB的中位线．∴EF∥BC，EF ＝1∶S△PBC＝1∶4.∵S△PEF＝2，∴S△PBC＝8.∵四2BC.∴△PEF∽△PBC，且相似比为1∶2.∴S△PEF边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC.∴S1＋S2＝S△PBC＝8.5. (2019，石家庄模拟)证明：平行四边形的对角线互相平分．已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O.求证：AO＝CO，BO＝DO.以下是排乱的证明过程，正确的顺序应是(C)①∴∠ABO＝∠CDO，∠BAC＝∠DCA.②∵四边形ABCD是平行四边形．③∴AB∥CD，AB＝DC.④∴△AOB≌△COD.⑤∴OA＝OC，OB＝OD.第5题图A. ②①③④⑤B. ②③⑤①④C. ②③①④⑤D. ③②①④⑤【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝DC.∴∠ABO＝∠CDO，∠BAC＝∠DCA.∴△AOB≌△COD.∴OA＝OC，OB＝OD.∴正确的顺序为②③①④⑤.6. (2019，邯郸模拟)如图，在▱ABCD中，E，F分别在BC，AD上．若想要使四边形AECF 为平行四边形，需添加一个条件，这个条件不可以是(B)第6题图A. AF ＝ECB. AE ＝CFC.∠BAE ＝∠FCDD. ∠BEA ＝∠FCE【解析】 ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AF ∥EC.∵AF ＝EC ，∴四边形AECF 是平行四边形．故选项A 不符合题意．根据AE ＝CF ，四边形AECF 可能是平行四边形，也可能是等腰梯形．故选项B 符合题意．由∠BAE ＝∠FCD ，∠B ＝∠D ，AB ＝CD ，可以推出△ABE ≌△CDF ，∴BE ＝DF.∵AD ＝BC ，∴AF ＝EC.∵AF ∥EC ，∴四边形AECF 是平行四边形．故选项C 不符合题意．∵∠BEA ＝∠FCE ，∴AE ∥CF.∵AF ∥EC ，∴四边形AECF 是平行四边形．故选项D 不符合题意．7. (2019，盘锦大洼区一模)已知▱ABCD ，根据图中尺规作图的痕迹，判断下列结论不一定成立的是(C )第7题图A. ∠DAE ＝∠BAEB. ∠DEA ＝12∠DAB C. DE ＝BE D. BC ＝DE【解析】 由作法可知AE 平分∠DAB ，∴∠DAE ＝∠BAE.故选项A 不符合题意．∵CD∥AB ，∴∠DEA ＝∠BAE ＝12∠DAB.故选项B 不符合题意．无法证明DE ＝BE ，故选项C 符合题意．∵∠DAE ＝∠DEA ，∴AD ＝DE.∵AD ＝BC ，∴BC ＝DE.故选项D 不符合题意．8. (2019，葫芦岛连山区一模)如图，一个平行四边形被分成面积为S 1，S 2，S 3，S 4的四个小平行四边形．当CD 沿AB 自左向右在平行四边形内平行滑动时，S 1S 4与S 2S 3的大小关系为(C )第8题图A. S 1S 4＞S 2S 3B. S 1S 4＜S 2S 3C. S 1S 4＝S 2S 3D. 无法确定【解析】 如答图，设直线CG 到EF 的距离为h 1，EF 到AB 的距离为h 2.根据平行四边形的性质知，S 1＝AD·h 1，S 4＝BD·h 2，S 2＝AD·h 2，S 3＝BD·h 1，∴S 1S 4＝AD·BD·h 1·h 2，S 2S 3＝AD ·BD ·h 1·h 2.∴S 1S 4＝S 2S 3.第8题答图 9. (2019，广州)如图，在▱ABCD 中，AB ＝2，AD ＝4，对角线AC ，BD 相交于点O ，且E ，F ，G ，H 分别是AO ，BO ，CO ，DO 的中点，则下列说法正确的是(B )第9题图A. EH ＝HGB. 四边形EFGH 是平行四边形C. AC ⊥BDD. △ABO 的面积是△EFO 的面积的2倍【解析】 ∵E ，F ，G ，H 分别是AO ，BO ，CO ，DO 的中点，在▱ABCD 中，AB ＝2，AD ＝4，∴EH ＝12AD ＝2，HG ＝12CD ＝12AB ＝1.∴EH ≠HG .故选项A 错误．∵E ，F ，G ，H 分别是AO ，BO ，CO ，DO 的中点，∴EH ＝12AD ＝12BC ＝FG ，EH ∥AD ，FG ∥BC.∵AD ∥BC ，∴EH ∥FG.∴四边形EFGH 是平行四边形．故选项B 正确．由题目中的条件，无法判断AC和BD 是否垂直，故选项C 错误．∵E ，F 分别为OA ，OB 的中点，∴EF ＝12AB ，EF ∥AB.∴△EFO ∽△ABO.∴S △EFOS △ABO ＝⎝⎛⎭⎫EF AB 2＝14，即△ABO 的面积是△EFO 的面积的4倍．故选项D 错误．10. (2019，威海)如图，E 是▱ABCD 边AD 延长线上一点，连接BE ，CE ，BD ，BE 交CD 于点F .添加以下条件，不能判定四边形BCED 为平行四边形的是(C )第10题图A. ∠ABD ＝∠DCEB. DF ＝CFC. ∠AEB ＝∠BCDD. ∠AEC ＝∠CBD【解析】 ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AB ∥CD.∴DE ∥BC ，∠ABD ＝∠CDB.∵∠ABD ＝∠DCE ，∴∠DCE ＝∠CDB.∴BD ∥CE.∴四边形BCED 为平行四边形．故选项A 不符合题意．∵DE ∥BC ，∴∠DEF ＝∠CBF.在△DEF 和△CBF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠DEF ＝∠CBF ，∠DFE ＝∠CFB ，DF ＝CF ，∴△DEF ≌△CBF(AAS )．∴EF ＝BF.∵DF ＝CF ，∴四边形BCED 为平行四边形．故选项B 不符合题意．∵AE ∥BC ，∴∠AEB ＝∠CBF.∵∠AEB ＝∠BCD ，∴∠CBF ＝∠BCD.∴CF ＝BF.同理，EF ＝DF.∴不能判定四边形BCED 为平行四边形．故选项C 符合题意．∵AE ∥BC ，∴∠DEC ＋∠BCE ＝∠EDB ＋∠DBC ＝180°.∵∠AEC ＝∠CBD ，∴∠EDB ＝∠BCE.∴四边形BCED 为平行四边形．故选项D 不符合题意．二、 填空题11. (2019，济宁)如图，该硬币边缘镌刻的正九边形每个内角的度数是 140°.第11题图【解析】 该正九边形的内角和为180°×(9－2)＝1 260°，则每个内角的度数＝1 260°9＝140°.12. (2019，百色)四边形具有不稳定性．如图，矩形ABCD 按箭头方向变形成▱A ′B ′C ′D ′.当变形后图形面积是原图形面积的一半时，∠A ′＝ 30°.第12题图【解析】 ∵S ▱A ′B ′C ′D ′＝12S 矩形ABCD ，∴▱A ′B ′C ′D ′的底边A′D′上的高等于AB 的一半．∵A ′B ′＝AB ，∴∠A′＝30°.13. (2019，广安)如图，在正五边形ABCDE 中，对角线AC 与BE 相交于点F ，则∠AFE ＝ 72 °.第13题图【解析】 ∵五边形ABCDE 是正五边形，∴∠EAB ＝∠ABC ＝（5－2）×180°5＝108°.∵BA ＝BC ，∴∠BAC ＝∠BCA ＝36°.同理∠ABE ＝36°.∴∠AFE ＝∠ABF ＋∠BAF ＝36°＋36°＝72°.14. (2019，梧州)如图，在▱ABCD 中，∠ADC ＝119°，BE ⊥DC 于点E ，DF ⊥BC 于点F ，BE 与DF 相交于点H ，则∠BHF ＝ 61 °.第14题图【解析】 ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC.∵∠ADC ＝119°，∴∠C ＝61°.∵BE ⊥DC ，DF ⊥BC ，∴∠C ＋∠CBE ＝∠FBH ＋∠BHF ＝90°.∴∠BHF ＝∠C ＝61°.15. (2019，达州)如图，▱ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E 是AB 的中点，△BEO 的周长是8，则△BCD 的周长为 16 .第15题图【解析】 ∵▱ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，∴BO ＝DO ＝12BD.∴BD ＝2OB ，O为BD 的中点．∵E 是AB 的中点，∴AB ＝2BE ，BC ＝2OE.∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ＝CD.∴CD ＝2BE.∵△BEO 的周长为8，∴OB ＋OE ＋BE ＝8.∴BD ＋BC ＋CD ＝2OB ＋2OE ＋2BE ＝16.∴△BCD 的周长是16.16. (2019，株洲)如图，过正五边形ABCDE 的顶点B 作一条射线与其内角∠EAB 的平分线相交于点P ，且∠ABP ＝60°，则∠APB ＝ 66 °.第16题图【解析】 ∵五边形ABCDE 为正五边形，∴∠EAB ＝108°.∵AP 是∠EAB 的平分线，∴∠PAB ＝54°.∵∠ABP ＝60°，∴∠APB ＝180°－60°－54°＝66°.17. (2019，武汉)如图，在▱ABCD 中，E ，F 是对角线AC 上两点，AE ＝EF ＝CD ，∠ADF ＝90°，∠BCD ＝63°，则∠ADE 的度数为 21° .第17题图【解析】 设∠ADE ＝x.∵AE ＝EF ，∠ADF ＝90°，∴DE ＝12AF ＝AE ＝EF.∴∠DAE ＝∠ADE ＝x.∵AE ＝EF ＝CD ，∴DE ＝CD.∴∠DCE ＝∠DEC ＝2x.∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC.∴∠DAE ＝∠BCA ＝x.∴∠DCE ＝∠BCD －∠BCA ＝63°－x.∴2x ＝63°－x.解得x ＝21°，即∠ADE ＝21°.18. (2019，宜宾)如图，六边形ABCDEF 的内角都相等，AD ∥BC ，则∠DAB ＝ 60° .第18题图【解析】 六边形ABCDEF 的内角和为(6－2)×180°＝720°.∵六边形ABCDEF 的内角都相等，∴∠B ＝120°.∵AD ∥BC ，∴∠DAB ＝180°－∠B ＝60°.三、 解答题19. (2019，安徽)如图，点E 在▱ABCD 内部，AF ∥BE ，DF ∥CE . (1)求证：△BCE ≌△ADF ；(2)设▱ABCD 的面积为S ，四边形AEDF 的面积为T ，求ST的值．第19题图(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ＝BC ，AD ∥BC .∴∠ABC ＋∠BAD ＝180°.∵AF ∥BE ，∴∠EBA ＋∠BAF ＝180°. ∴∠CBE ＝∠DAF . 同理∠BCE ＝∠ADF .在△BCE 和△ADF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠CBE ＝∠DAF ，BC ＝AD ，∠BCE ＝∠ADF ，∴△BCE ≌△ADF (ASA)．(2)解：∵点E 在▱ABCD 内部， ∴S △BCE ＋S △AED ＝12S ▱ABCD .由(1)知△BCE ≌△ADF ，∴S △BCE ＝S △ADF . ∴S 四边形AEDF ＝S △ADF ＋S △AED ＝S △BCE ＋S △AED ＝12S ▱ABCD . ∵▱ABCD 的面积为S ，四边形AEDF 的面积为T ， ∴S T ＝S12S ＝2. 20. (2019，保定二模)如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，D 为AB 边上一点，连接CD ，E 为CD 的中点，连接BE 并延长至点F ，使得EF ＝EB ，连接DF 交AC 于点G ，连接CF .(1)求证：四边形DBCF 是平行四边形；(2)若∠A ＝30°，BC ＝4，CF ＝6，求CD 的长．第20题图(1)证明：∵E 为CD 的中点， ∴CE ＝DE . ∵EF ＝BE ，∴四边形DBCF 是平行四边形．(2)解：∵四边形DBCF 是平行四边形， ∴CF ∥AB ，DF ∥BC .∴∠FCG ＝∠A ＝30°，∠CGF ＝∠ACB ＝90°.∴∠CGD ＝90°. 在Rt △FCG 中，CF ＝6， ∴FG ＝12CF ＝3，CG ＝3 3.∵DF ＝BC ＝4， ∴DG ＝1.在Rt △DCG 中，由勾股定理，得CD ＝27.21. (2019，唐山丰润区二模)如图，点B ，F ，C ，E 在一条直线上，FB ＝CE ，AB ∥ED ，AC ∥FD .求证：(1)△ABC ≌△DEF ； (2)AD 与BE 互相平分．第21题图证明：(1)∵FB＝CE，∴FB＋FC＝CE＋FC.∴BC＝EF.∵AB∥ED，∴∠ABC＝∠DEF.∵AC∥FD，∴∠ACB＝∠DFE.∴△ABC≌△DEF.(2)如答图，连接BD，AE.∵△ABC≌△DEF，∴AB＝DE.又∵AB∥DE，∴四边形ABDE是平行四边形．∴AD与BE互相平分．第21题答图22. (2019，邢台二模)如图，在四边形ABCD中，E是BC上一点，AE交BD于点O，AD＝BD，∠ADB＝∠EDC，DE＝DC.(1)求证：△ADE≌△BDC；(2)若∠AEB＝36°，求∠EDC的度数；(3)若OB＝OE，求证：四边形ABCD是平行四边形．第22题图(1)证明：∵∠ADB＝∠EDC，∴∠ADE＝∠BDC.∵DA＝DB，DE＝DC，∴△ADE≌△BDC.(2)解：∵△ADE≌△BDC，∴∠AED＝∠C.∵DE＝DC，∴∠DEC＝∠C.∵∠AEB＝36°，∴∠AED＝∠DEC＝∠C＝72°.∴∠EDC＝36°.(3)证明：∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB.∵△ADE≌△BDC，∴AE＝BC，∠DAE＝∠OBE.∴∠OEB＝∠DAE.∴DA∥BC.∴∠ADB＝∠OBE.∴∠ADB＝∠DAE.∴OA＝OD.∴AE＝BD.∴AE＝AD.∴AD＝BC.∴四边形ABCD是平行四边形．1. (2019，云南)在▱ABCD 中，∠A ＝30°，AD ＝43，BD ＝4，则▱ABCD 的面积为( 163或83 ).【解析】 过点D 作DE ⊥AB 于点E.在Rt △ADE 中，∵∠A ＝30°，AD ＝43，∴DE ＝12AD ＝23，AE ＝32AD ＝6.在Rt △BDE 中，∵BD ＝4，∴BE ＝BD 2－DE 2＝42－（23）2＝2.如答图①，AB ＝8.∴▱ABCD 的面积为AB ·DE ＝8×23＝16 3.如答图②，AB ＝4，∴▱ABCD 的面积为AB·DE ＝4×23＝8 3.综上所述，▱ABCD 的面积为163或8 3.第1题答图2. (2019，秦皇岛海港区模拟)如图，已知∠XOY ＝60°，点A 在边OX 上，OA ＝2.过点A 作AC ⊥OY 于点C ，以AC 为一边在∠XOY 内作等边三角形ABC ，P 是△ABC 围成的区域(包括各边)内的一点，过点P 作PD ∥OY 交OX 于点D ，作PE ∥OX 交OY 于点E .设OD ＝a ，OE ＝b ，则a ＋2b 的取值范围是 2≤a ＋2b ≤5 .第2题图【解析】 如答图①，过点P 作PH ⊥OY 于点H.∵PD ∥OY ，PE ∥OX ，∴四边形EODP是平行四边形，∠HEP ＝∠XOY ＝60°.∴EP ＝OD ＝a.在Rt △HEP 中，∠EPH ＝30°，∴EH ＝12EP＝12a.∴a ＋2b ＝2⎝⎛⎭⎫12a ＋b ＝2(EH ＋EO)＝2OH.当点P 在AC 边上时，点H 与点C 重合，此时OH 的最小值为OC ＝12OA ＝1，即a ＋2b 的最小值是2.当点P 在点B 时，如答图②，OC ＝1，AC ＝BC ＝ 3.在Rt △CHP 中，∠HCP ＝30°，∴CH ＝32.∴OH 的最大值是OC ＋CH ＝1＋32＝52，即a ＋2b 的最大值是5.∴2≤a ＋2b ≤5.第2题答图3. (2019，玉林)如图，在正方形ABCD 中，分别过顶点B ，D 作BE ∥DF 交对角线AC所在直线于E，F两点，并分别延长EB，FD到点H，G，使BH＝DG，连接EG，FH.(1)求证：四边形EHFG是平行四边形；(2)已知AB＝22，EB＝4，tan∠GEH＝23，求四边形EHFG的周长．第3题图(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD，AB∥CD.∴∠DCA＝∠BAC.∵DF∥BE，∴∠CFD＝∠BEA.∵∠BAC＝∠BEA＋∠ABE，∠DCA＝∠CFD＋∠CDF，∴∠ABE＝∠CDF.∴△ABE≌△CDF(AAS)．∴BE＝DF.∵BH＝DG，∴EH＝GF.∵EH∥GF，∴四边形EHFG是平行四边形．(2)解：如答图，连接BD，交EF于点O，过点F作FM⊥EH，交EH的延长线于点M.∵四边形ABCD是正方形，∴BD⊥AC，OD＝OB.∴∠AOB＝∠COD＝90°.∵AB＝22，∴OA＝OB＝2.在Rt△BOE中，EB＝4，∴∠OEB＝30°.∴EO＝2 3.∵DF∥EB，∴∠DFC＝∠BEA，∠FDO＝∠EBO.∴△DOF≌△BOE(AAS)．∴OF＝OE＝2 3.∴EF＝4 3.∴FM＝23，EM＝6.∵EG∥FH，∴∠FHM＝∠GEH.∴tan∠GEH＝tan∠FHM＝FMHM＝2 3.∴23HM＝2 3.∴HM＝1.∴EH＝EM－HM＝6－1＝5，FH＝FM2＋HM2＝（23）2＋12＝13.∴四边形EHFG的周长为2EH＋2FH＝2×5＋2×13＝10＋213.第3题答图。

第一部分第五章第22讲命题点1 多边形及其性质(2018年玉林考，2017年4考，2016年5考)1．(2016·来宾4题3分)如果一个正多边形的一个外角为30°，那么这个正多边形的边数是( C ) A．6 B．11C．12 D．182．(2018·玉林8题3分)在四边形ABCD中：①AB∥CD，②AD∥BC，③AB＝CD，④AD＝BC，从以上选择两个条件使四边形ABCD为平行四边形的选法共有( B )A．3种B．4种C．5种D．6种3．(2016·桂林16题3分)正六边形的每个外角是__60__度．4．(2017·来宾19题3分)已知一个多边形的内角和等于其外角和的2倍，则该多边形是__六__边形．命题点2 平行四边形的性质与判定(2018年百色考，2017年4考，2016年5考)5．(2016·河池8题3分)如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，∠BED＝150°，则∠A的大小为( C )A．150°B．130°C．120°D．100°6．(2016·柳州17题3分)如图，若□ABCD的面积为20，BC＝5，则边AD与BC间的距离为__4__.7．(2016·钦州21题8分)如图，DE是△ABC的中位线，延长DE到F，使EF＝DE，连接BF.(1)求证：BF＝DC；(2)求证：四边形ABFD是平行四边形．证明：(1)如答图，连接DB，CF.∵DE是△ABC的中位线，∴CE＝BE.∵EF＝DE，∴四边形CDBF是平行四边形，∴BF＝CD.(2)∵四边形CDBF是平行四边形，∴CD∥FB，∴AD∥BF.∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB，∴DF∥AB，∴四边形ABFD是平行四边形．8．(2016·百色22题8分)已知平行四边形ABCD 中，CE 平分∠BCD 且交AD 于点E ，AF ∥CE ，且交BC 于点F .(1)求证：△ABF ≌△CDE ；(2)如图，若∠1＝65°，求∠B 的大小． (1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ＝CD ，AD ∥BC ，∠B ＝∠D ，∴∠1＝∠BCE . ∵AF ∥CE ，∴∠AFB ＝∠ECB . ∵CE 平分∠BCD ，∴∠DCE ＝∠ECB ， ∴∠AFB ＝∠1.在△ABF 和△CDE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠B ＝∠D ，∠AFB ＝∠1，AB ＝CD ，∴△ABF ≌△CDE (AA S)．(2)解：由(1)得，∠1＝∠ECB ，∠DCE ＝∠ECB ， ∴∠1＝∠DCE ＝65°，∴∠B ＝∠D ＝180°－2×65°＝50°.9．(2018·百色22题8分)平行四边形ABCD 中，∠A ＝60°，AB ＝2AD ，BD 的中垂线分别交AB ，CD 于点E ，F ，垂足为O .(1)求证：OE ＝OF ；(2)若AD ＝6，求t an ∠ABD 的值． (1)证明：如答图，∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥DC ，∴∠1＝∠2. ∵EF 是BD 的中垂线， ∴OD ＝OB ，∠3＝∠4＝90°. 在△DOF 和△BOE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠1＝∠2，OD ＝OB ，∠3＝∠4，∴△DOF ≌△BOE (A S A )，∴OE ＝OF .(2)解：过点D 作DG ⊥AB ，垂足为G .∵∠A ＝60°，AD ＝6，∴∠ADG ＝30°， ∴AG ＝12AD ＝3，∴DG ＝62－32＝3 3.∵AB ＝2AD ，∴AB ＝2×6＝12，∴BG ＝AB －AG ＝12－3＝9，∴t an ∠ABD ＝DG BG ＝339＝33.。