第二章 内积空间
一、基本要求
1、掌握欧氏空间和酉空间的定义与性质，掌握Hermite 矩阵的定义，理解欧氏(酉)空间中度量的概念．
2、掌握线性无关组的Schmidt 正交化与对角化方法，理解标准正交基的性质．
3、理解Hermite 二次型的定义．
4、掌握在一组基下的度量矩阵的概念，标准正交基下度量矩阵的性质及两组标准正交基下的度量矩阵的关系．
5、了解欧氏子空间的定义．
6、掌握正交矩阵与酉矩阵的定义与性质，理解正交(酉)变换与正交(酉)矩阵的关系．
7、掌握对称矩阵与Hermite 矩阵的定义与性质，理解对称(Hermite)变换与对称(Hermite)矩阵的关系．
8、掌握矩阵可对角化的条件，会求一个正交(酉)矩阵把实对称(Hermite)矩阵化为对角形矩阵，会求一组标准正交基使线性变换在该基下对应的矩阵是对角形矩阵．
二、基本内容
1、内积空间
设数域F 上的线性空间)(F V n ，若)(F V n 中任意两个向量βα,都有一个确定的数与之对应，记为),(βα，且满足下列三个条件
(1) 对称性：),(),(αββα=，其中),(αβ表示对数),(αβ取共轭；
(2) 线性性：),(),(),(22112211βαβαβααk k k k +=+；
(3) 正定性：0),(≥αα，当且仅当0=α时，0),(=αα，
则称),(βα为向量α与β的内积．当R F =时，称)(R V n 为 欧氏空间；当C F =时，称)(C V n 为酉空间．
注意：在n R 中，),(),(βαβαk k =；在n C 中，),(),(βαβαk k =．
通常的几个内积：
(1) n R 中，αββαβαT T n
i i i y x ===∑=1
),(
n C 中，βαβαH i n
i i y x ==∑=1
),(． 其中T n T n y y y x x x ),,,(,),,,(2121 ==βα．
(2) n m R ⨯中，n m ij n m ij b B a A ⨯⨯==)(,)(，ij m i n
j ij H
b a B A tr B A ∑∑====11)(),(． (3) 在实多项式空间][x P n 及],[b a 上连续函数空间],[b a C 中，函数)(),(x g x f 的内积为
⎰=b a
dx x g x f x g x f )()())(),(( 2、向量的长度、夹角、正交性
定义 ),(ααα=，称为α的长度，长度为1的向量称为单位向量，ααα=0是α的单位向量．
长度有三个性质：
(1) 非负性：0≥α，且00),(=⇔=ααα；
(2) 齐次性：k k k ,αα=表示数k 的绝对值；
(3) 三角不等式：βαβα+≤+．
定理(Cauchy-Schwarz 不等式)βαβα≤),(．
α与β的夹角θ定义为βαβαθ)
,(arccos =．
当0),(=βα时，称α与β正交，记βα⊥．
若非零向量组s ααα,,,21 两两正交，即0),(j
i j i ≠=αα，称s ααα,,,21 是一个正交组；又若s i i ,,2,1,1 ==α，则称s ααα,,,21 为标准正交组，即 ⎩⎨⎧≠==.
,0,,1),(j i j i j i αα 定理(勾股定理) 0),(222=⇔+=+βαβαβα，即βα⊥．
3、标准正交基
标准正交基指欧氏(酉)空间中由两两正交的单位向量构成的基．
构造方法：对欧氏(酉)空间的一个基进行Schmidt 正交化可得正交基，再对
正交基进行单位化可得标准正交基．
把线性无关向量s ααα,,,21 正交化为s βββ,,,21 正交向量组：
设
.,,3,2,),(),(,
1111s k i k i i i i k k k =-==∑
-=ββββααβαβ
再把i β单位化：s i i i i ,,2,1,1
==ββε，则s εεε,,,21 为标准正交组．
在标准正交组n εεε,,,21 下，向量可表为：
=+++=n n x x x εεεα 2211n n εεαεεαεεα),(),(),(2211+++ ，
坐标),(i i x εα=表示α在i ε上的投影长度．
4、基的度量矩阵
度量矩阵是以欧氏(酉)空间的基中第i 个元素与第j 个元素的内积为i 行j 列元素构成的方阵．
设欧氏(酉)空间V 的一个基为n x x x ,,,21 ，令),,2,1,)(,(n j i x x a j i ij ==，则该基的度量矩阵为n n ij a A ⨯=)(．
基的度量矩阵是实对称(Hermite)正定矩阵，它的阶数等于欧氏(酉)空间的维数，正交基的度量矩阵是对角矩阵，标准正交基的度量矩阵是单位矩阵．
设酉空间V 的一个基为n x x x ,,,21 ，该基的度量矩阵为A ，V y x ∈,在该基下的坐标(列向量)分别为α与β，那么x 与y 的内积βαA y x T =),(．当V 为欧氏空间时，βαA y x T =),(．
当此基为标准正交基，酉空间V 的x 与y 的内积βαT y x =),(，欧氏空间V 的x 与y 的内积βαT y x =),(．
设欧氏空间n V 的两个基分别为(Ⅰ)n x x x ,,,21 和(Ⅱ)n y y y ,,,21 ，且由基(Ⅰ)改变为基(Ⅱ)的过渡矩阵为C ，基(Ⅰ)的度量矩阵为A ，基(Ⅱ)的度量矩阵为B ，则有：
(1) AC C B T =．
