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北师大版九年级数学第四章 图形的相似 专题复习指导(含答案)

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图形的相似专题复习一、复习准备1、内容分析相似形知识是在全等三角形知识的基础上的拓展和发展，也是沟通直线型和圆的重要桥梁和纽带，它采用类比的方法，从比例到比例线段再到相似三角形，由浅入深，减缓坡度，分散难点，逐步揭示本章的重要知识——相似三角形的判定以及相似三角形的应用.在近几年中考试题中常以选择题、填空题及解答题的形式来考查本章内容，各种难度都有可能，单独出现的题目至多为中等难度，但依托三角形、四边形、函数、方程等内容编拟的综合性题目多数为中等难度试题或较难题，有时这部分内容也会出现在压轴题中，难度一般较大.2、复习目标（1）了解比例的基本性质，了解线段的比、成比例线段，通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割.（2）通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，知道相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积的比等于对应边比的平方.（3）了解两个三角形相似的概念，探索两个三角形相似的条件.（4）了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小.（5）通过典型实例观察和认识现实生活中物体的相似，利用图形的相似解决一些实际问题（如利用相似测量旗杆的高度）.3、知识结构二、复习过程■考点1.比例的性质及黄金分割 比例性质：性质（1）：d cb a =⇒bc ad =（比例的基本性质）； 性质（2）：d c b a =⇒d d c b b a +=+；d c b a =⇒ddc b b a -=-. 黄金分割：点C 把线段AB 分成两部分，如果满足：ABAC AC BC =（或AB BC AC •=2）。

那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 为线段AB 的黄金分割点.AC 与AB （或BC 与AC ）的比值约为0.618，这个比值称为黄金比.注意：1.较长的线段AC=215-AB ≈ 0.618 AB ；较短的线段BC=253-AB.2.若矩形的宽与长的比值约为0.618，则这种矩形称为“黄金矩形”； 若等腰三角形的顶角是36°，则这种等腰三角形称为“黄金三角形”. 例1.（2009山东枣庄）宽与长的比是215-的矩形叫黄金矩形．心理测试表明：黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调，匀称的美感．现将小波同学在数学活动课中，折叠黄金矩形的方法归纳如下（如图所示）： 第一步：作一个正方形ABCD ；第二步：分别取AD ，BC 的中点M ，N ，连接MN ；第三步：以N 为圆心，ND 长为半径画弧，交BC 的延长线于E ； 第四步：过E 作EF ⊥AD ，交AD 的延长线于F ． 请你根据以上作法，证明矩形DCEF 为黄金矩形．A BC ABCDEFMN【思维点拨】本题关键是要理解黄金分割的定义，然后去证明215-=CD CE.需注意的是这里黄金比不能取0.618，而要取215-. 在正方形ABCD 中，取2AB a =， ∵ N 为BC 的中点，∴ 12NC BC a ==． 在Rt DNC △中，ND ===．又∵ NE ND =，∴ 1)CE NE NC a =-=．∴CE CD ==．由黄金分割的定义可知： 矩形DCEF 为黄金矩形． 【小试牛刀】 1. 若58=+b b a ，则ba= . 2. 在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比.已知这本书的长为20cm ，则它的宽约为（ ）A.12.36cmB.13.6cmC.32.36cmD.7.64cm 3. 美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．如图，某女士身高165cm ，下半身长x 与身高l 的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（ ） A ．4cmB ．6cmC ．8cm D.10cm4. 如图是一种贝壳的俯视图，点C 分线段AB 近似于黄金分割．已知AB =10cm ，则AC 的长约为 cm ．（结果精确到0.1cm ）5. 一般认为，如果一个人的肚脐以上的高度与肚脐以下的高度符合黄金分割，则这个人好看。

如图，是一个参加空姐选拔活动的选手情况，那么她应该穿多高的鞋子好看？（精确到1cm ）（参考数据:黄金分割数：236.25,215≈-） 6． 如图1，点C 将线段AB 分成两．部分，如果AC BCAB AC=，那么称点C 为线段AB 的黄金分割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l 将一个面积为S 的图形分成两部分，这两部分的面积分别为1S ，2S ，如果121S S S S =，那么称直线l 为该图形的黄金分割线． （1）研究小组猜想：在ABC △中，若点D 为AB 边上的黄金分割点（如图2），则直线CD 是ABC △的黄金分割线．你认为对吗？为什么？（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？（3）研究小组在进一步探究中发现：过点C 任作一条直线交AB 于点D ，再过点D 作直线DF CE ∥，交AC 于点F ，连接EF （如图3），则直线EF 也是ABC △的黄金分割线．请你说明理由．（4）如图4，点E 是□ABCD 的边AB 的黄金分割点，过点E 作EF AD ∥，交DC 于点F ，显然直线EF 是□ABCD 的黄金分割线．请你画一条□ABCD 的黄金分割线，第3题图第4题图第5题图使它不经过□ABCD 各边黄金分割点．【参考答案】 1.532. A3.C4. 6.25.设应穿xcm 鞋子 根据题意，得2159565-+x ,解得cm x 10=.6.（1）直线CD 是ABC △的黄金分割线．理由如下： 设ABC △的边AB 上的高为h ． h AD S ADC •=∆21，h BD S BDC •=∆21，h AB S ABC •=∆21， 所以，ADC ABC S AD S AB =△△，BDC ADC S BDS AD=△△．又因为点D 为边AB 的黄金分割点，所以有AD BDAB AD=．因此ADC BDC ABC ADC S S S S =△△△△． 所以，直线CD 是ABC △的黄金分割线．（2）因为三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，此时1212s s s ==，即 121s s s s ≠，所以三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线． （3）因为DF CE ∥，所以DEC △和FCE △的公共边CE 上的高也相等，所以有DEC FCE S S =△△．设直线EF 与CD 交于点G ．所以DGE FGC S S =△△．AＣ Ｂ图1AD B图2CA DB 图3CFE 图4所以ADC FGC AFGD S S S =+△△四边形DGE AEF AFGD S S S =+=△△四边形，BDC BEFC S S =△四边形．又因为ADC BDCABC ADCS S S S =△△△△，所以BEFC AEF ABC AEF S S S S =四边形△△△．因此，直线EF 也是ABC △的黄金分割线． （4）画法不惟一，现提供两种画法；画法一：如答图1，取EF 的中点G ，再过点G 作一条直线分别交AB ，DC 于M ，N 点，则直线MN 就是□ABCD 的黄金分割线．画法二：如答图2，在DF 上取一点N ，连接EN ，再过点F 作FM NE ∥交AB 于点M ，连接MN ，则直线MN 就是□ABCD 的黄金分割线．■考点2.相似三角形的判定（1）平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）两组角对应的两个三角形相似；（3）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似； （4）三边对应成比例的两个三角形相似. 注意：要熟悉相似三角形中常见的“基本图形”：①平行线型：如图1—图2（A 型图和X 型图）.若DE ∥BC,则△ADE ∽△ABC.②斜截线型：如图3—图 4.若∠1=∠C （或∠2=∠B 或AD·AB=AE·AC 、AC 2=AD·AB ），E M （第6题答图1）E M （第6题答图2）则△ADE ∽△ACB.③旋转型： 如图5.若∠1=∠2，∠D=∠B （或∠E=∠C 或AD·AC=AB·AE ）,则△ADE ∽△ABC.-----要善于从一些复杂图形中分解出“基本图形”，然后从“基本图形”出发去求解或求证！例2. 如图，在△ABC 和△ADE 中，∠BAD=∠CAE ，∠ABC=∠ADE ． （1）写出图中两对相似三角形（不得添加辅助线）； （2）请分别说明两对三角形相似的理由．【思维点拨】本题考查了相似三角形的判定（2）和（3）. 特别是证明第2对相似三角形时，要建立在第1对三角 形相似的基础上.两者相辅相成.（1）△ABC ∽△ADE, △ABD ∽△ACE （2）①证△ABC ∽△ADE ．∵∠BAD=∠CAE ， ∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC ， 即∠BAC=∠DAE又∵∠ABC=∠ADE ， ∴△ABC ∽△ADE ． ②证△ABD ∽△ACE ． ∵△ABC ∽△ADE ， ∴AEACAD AB 又∵∠BAD=∠CAE ， ∴△ABD ∽△ACE【小试牛刀】图1图2C图5图3图4(E)1. 下列说法中，错误的是（ ）A ．等边三角形都相似B ．等腰直角三角形都相似C ．矩形都相似D ．正方形都相似2. 如图，在△ABC 中，D 是AB 边上一点，连接CD ，要使△ADC 与△ABC 相似，应添加的条件是 。

3. 如图，∠1=∠2，添加一个条件使得△ADE ∽△ACB ．4. 如图2，△ABC 中，点D 在边AB 上，满足∠ACD =∠ABC ，若AC = 2，AD = 1，则DB = _________.5. 一个铝质三角形框架三条边长分别为24cm 、30cm 、36cm ，要做一个与它相似的铝质三角形框架，现有长为27cm 、45cm 的两根铝材，要求以其中的一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为另外两边．截法有（ ）A.0种B.1种C.2种D. 3种6. 如图，BD 为⊙O 的直径，点A 是弧BC 的中点，AD 交BC 于E 点，AE=2，ED=4. （1）求证: ABE ∆～ABD ∆； （2）求tan ADB ∠的值；（3）延长BC 至F ，连接FD ，使BDF ∆的面积等于83， 求EDF ∠的度数. 【参考答案】1.C2.∠ACD=∠B 或∠ADC=∠AOB 或AD ACAC AB= 3. ∠D=∠B 或∠E=∠C FOEADBC 第3题图第2题图第4题图A CD或ACAEAB AD =4. 35. B6.（1）∵点A 是弧BC 的中点 ∴∠ABC ＝∠ADB又∵∠BAE ＝∠BAE ∴△ABE ∽△ABD（2）∵△ABE ∽△ABD ∴AB ２＝2×6＝12 ∴AB ＝２3在Rt △ADB 中， tan ∠ADB ＝33632= （3）连接CD ，可得BF ＝8，BE ＝4，则EF ＝4，△DEF 是正三角形，∠EDF ＝60°. ■考点3.相似三角形的性质（1）相似三角形的对应边成比例，对应角相等；（2）相似三角形的对应角平分线，对应边上的中线，对应边上的高的比等于相似比； （3）相似三角形的周长之比等于相似比； （4）相似三角形的面积比等于相似比的平方．注意：相似三角形和全等三角形的区别和联系（类比思想）：例3. 问题背景（1）如图1，△ABC 中，DE ∥BC 分别交AB ，AC 于D ，E 两点，过点E 作EF ∥AB 交BC 于点F ．请按图示数据填空： 四边形DBFE 的面积S = ， △EFC 的面积1S = ， △ADE 的面积2S = ． 探究发现图1（2）在（1）中，若BF a =，FC b =，DE 与BC 间的距离为h ．请证明2124S S S =． 拓展迁移（3）如图2，□DEFG 的四个顶点在△ABC 的三边上，若△ADG 、△DBE 、△GFC 的面积分别为2、5、3，试 利用．．（2．）中的结论．．．．求△ABC 的面积． 【思维点拨】本题考查了三角形全等、相似三角形的判定和性质， 是本章的重点之一。

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北师大版九年级上数学《第四章图形的相似》专题练习（含答案）

北师大版九年级上数学《第四章图形的相似》专题练习（含答案）

图形的相似专题练习1．已知△ABC∽△DEF，AB＝1，BC＝3，EF＝5，则△ABC与△DEF的面积比是()A．1∶9 B．1∶25C．9∶25 D．3∶52．如图，四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，若OB∶OB′＝2∶3，则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为()图2A．4∶9 B．2∶5C．2∶3 D．2∶ 33．如果3A＝2B(AB≠0)，那么下列比例式中正确的是()A．ab＝32B．ba＝23C．a2＝b3D．a3＝b24．如图，在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC上的点，且DE∥B C．若AD＝5，BD＝10，AE＝3，则CE的长为()图4A．3 B．6C．9 D．125．在下面的图形中，相似的一组是(),A) ,B),C) ,D)图56．如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC相似的是(),A) ,B),C) ,D)图67．为测量某河的宽度，小在河对岸选定一个目标点A，再在他所在的这一侧选点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，然后找出AD与BC的交点E，如图所示．若测得BE＝90 m，EC＝45 m，CD＝60 m，则这条河的宽AB等于()图7A．120 m B．67.5 mC．40 m D．30 m8．如图，在△ABC中，∠A＝70°，AB＝4，AC＝6，将△ABC沿图中的虚线剪开，则剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是(),A) ,B),C) ,D)图89．如图，在△ABC 中，D ，E 两点分别在AB ，AC 边上，DE ∥B C ．如果ADDB ＝32，AC ＝10，那么EC ＝________．图910．如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P 处放一水平的平面镜，光线从点A 出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD 的顶端C 处．已知AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，测得AB ＝2米，BP ＝3米，PD ＝15米，那么该古城墙的高度CD 是_________米．图1011．如图，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚AD 和BC 交叉构成，利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短．如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方(即同时使OA ＝3OD ，OB ＝3OC )，然后张开两脚，使A ，B 两个尖端分别在线段l 的两个端点上，若CD ＝3.2 cm ，则AB 的长为_________ cm.图1112．如图，已知矩形纸片ABCD 中，AB ＝1，剪去正方形ABEF ，得到的矩形ECDF 与矩形ABCD 相似，则AD 的长为__________．图1213．如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点为位似中心，线段AB与线段A′B′是位似图形，若A(－1，2)，B(－1，0)，A′(－2，4)，则B′的坐标为___________．图1314．如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为O(0，0)，A(2，1)，B(1，－2)．(1)以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出△OAB的一个位似△OA1B1，使它与△OAB的位似比为2∶1，并分别写出点A，B的对应点A1，B1的坐标；(2)画出将△OAB向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得△O2A2B2，并写出点A，B的对应点A2，B2的坐标；(3)△OA1B1和△O2A2B2是位似图形吗？若是，请在图中标出位似中心M，并写出点M的坐标．图1415．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，点E在AB上，∠DEC ＝90°.(1)求证：△ADE∽△BEC；(2)若AD＝1，BC＝3，AE＝2，求AB的长．图1516．如图，在正方形ABCD中，点E在边BC上(点E不与点B重合)，连接AE，过点B作BF⊥AE于点F，交CD于点G.(1)求证：△ABF∽△BGC；(2)若AB＝2，G是CD的中点，求AF的长．图1617．如图，BD，CE分别是△ABC的两边上的高，过D作DG⊥BC于G，分别交CE及BA的延长线于F，H，求证：(1)DG2＝BG·CG；(2)BG·CG＝GF·GH.图1718．如图，一圆柱形油桶，高1.5 m，用一根2 m长的木棒从桶盖小口斜插桶内，至另一端的B处，抽出木棒后，量得上面没浸油的部分为1.2 m，求桶内油面高度．图1819．如图，操场上有一根旗杆AH，为测量它的高度，在B和D处各立一根高1.5米的标杆BC，DE，两杆相距30米．测得视线AC与地面的交点为F，视线AE与地面的交点为G，并且H，B，F，D，G都在同一直线上，测得BF为3米，DG为5米，求旗杆AH的高度．图1920．如图1，把两块全等的含45°角的直角三角板ABC和DEF叠放在一起，使三角板DEF的锐角顶点D与三角板ABC的斜边中点O重合．把三角板ABC 固定不动，让三角板DEF绕点D旋转，两边分别与线段AB，BC相交于点P，Q，易说明△APD∽△CDQ.根据以上内容，回答下列问题：(1)如图2，将含30°角的三角板DEF(其中∠EDF＝30°)的锐角顶点D与等腰△ABC(其中∠ABC＝120°)的底边中点O重合，两边DF，DE分别与边AB，BC 相交于点P，Q.写出图中的相似三角形__△APD∽△CDQ__(直接填在横线上)；(2)其他条件不变，将三角板DEF旋转至两边DF，DE分别与边AB的延长线、边BC相交于点P，Q.上述结论还成立吗？请你在图3上补全图形，并说明理由；(3)在(2)的条件下，连接PQ，△APD与△DPQ是否相似？请说明理由；(4)根据(1)(2)的解答过程，你能否将两三角板改为更一般的三角形，使得(1)中的结论仍然成立？若能，请说明两个三角形应满足的条件；若不能，请简要说明理由．,图1),图2),图3)图20参考答案【过关训练】1．C2．A3．C4．B5．C6．A7．A8．D 9．__4__10．__10__11．_9.6__12．_1＋52__13．(－2，0)_14．解：(1)如答图，△OA1B1为所作，点A1，B1的坐标分别为(4，2)，(2，－4)；(2)如答图，△O2A2B2为所作，点A2，B2的坐标分别为(0，2)，(－1，－1)；(3)△OA1B1和△O2A2B2是位似图形，如答图，点M为所，位似中心M的坐标为(－4，2)．15．[解：(1)证明：∵AD∥BC，AB⊥BC，∴AB⊥AD，∠A＝∠B＝90°，∴∠ADE＋∠AED＝90°.∵∠DEC＝90°，∴∠AED＋∠BEC＝90°，∴∠ADE＝∠BEC，∴△ADE∽△BE C．(2)∵△ADE∽△BEC，∴BEAD＝BCAE，即BE1＝32，∴BE＝3 2，∴AB＝AE＋BE＝7 2.16．解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABE＝∠BCG＝90°.∵BF⊥AE，∴∠BAE＋∠ABF＝90°，∠CBG＋∠ABF＝90°，∴∠BAE＝∠CBG，∴△ABF∽△GB C．(2)∵△ABF∽△BG C．∴ABBG＝AFBC.∵AB＝2，G是CD的中点，四边形ABCD是正方形，∴BC＝2，CG＝1，∴BG＝BC2＋CG2＝5，∴25＝AF2，解得AF＝45 5.17．证明：(1)∵BD⊥AC，DG⊥BC，∴∠BDC＝∠DGC＝90°，∴∠DBC＋∠DCG＝∠GDC＋∠DCG，∴∠GDC＝∠DBC，∴△BDG∽△DCG，∴BG∶DG＝DG∶CG，即DG2＝BG·CG.(2)同(1)中的方法，同理可证△BGH∽△FGC，∴BG∶GF＝GH∶CG，∴BG·CG＝GF·GH.18．解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴AEAC＝ADAB，即AE1.5＝1.22，解得AE＝0.9 m，∴EC＝1.5－0.9＝0.6(m)，即油面高0.6 m. 19．解：设AH＝x，BH＝y，由题意知，△AHF∽△CBF，△AHG∽△EDG，∴BFHF＝CBAH，DGHG＝DEAH，∴3x＝1.5×(y＋3)，5x＝1.5×(y＋30＋5)，解得x＝24.则旗杆AH的高度为24 m.20．__△APD∽△CDQ__解：(2)成立，如答图．理由如下：∵AB＝BC，∴∠BAC＝∠BC A．∵∠ABC＝120°，∴∠BAC＝∠BCA＝30°，∴∠ADP＋∠APD＝180°－30°＝150°.∵∠EDF＝30°，∴∠ADP＋∠CDQ＝150°，∴∠APD＝∠CDQ，∴△APD∽△CDQ. (3)△APD∽△DPQ.理由如下：∵△APD∽△CDQ，∴APCD＝DPDQ.∵点D为AC的中点，∴CD＝AD，∴APAD＝DPDQ，即APDP＝ADDQ.又∵∠P AD＝∠PDQ＝30°，∴△APD∽△DPQ.(4)△DEF满足∠EDF＝α，△ABC满足顶角为(180°－2α)的等腰三角形即可．理由：∵∠ABC＝180°－2α，∴∠A＝∠C＝α.∵∠ADP＋∠APD＝180°－α，∠ADP＋∠QDC＝180°－α，∴∠APD＝∠CDQ.又∵∠A＝∠C，∴△APD∽△CDQ.。

北师大版九年级上册数学第四章 图形的相似 含答案

北师大版九年级上册数学第四章 图形的相似 含答案

北师大版九年级上册数学第四章图形的相似含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、一个三角形三边之比为3：5：7，与它相似的三角形的最长边为21cm，则其余两边之和为（）A.24cmB.21cmC.13cmD.9cm2、如图所示，下列条件中能单独判断△ABC∽△ACD的个数是（）个．①∠ABC＝∠ACD；②∠ADC＝∠ACB；③＝；④AC2＝AD•ABA.1B.2C.3D.43、如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交AD的延长线于点E.若AB=12，BM=5，则DE的长为( )A.18B.C.D.4、如图，已知Rt△ABC中，AC=b，BC=a，D1是斜边AB的中点，过D1作D1E1⊥AC于E1，连结BE1交CD1于D2；过D2作D2E2⊥AC于E2，连结BE2交CD1于D 3；过D3作D3E3⊥AC于E3，…，如此继续，可以依次得到点D4，D 5，…，Dn，分别记△BD1E1，△BD2E2，△BD3E3，…，△BDnEn的面积为S1， S2， S3，…Sn．则Sn为（）A. B. C. D.5、下列判断正确的是（）A.任意两个等腰直角三角形相似B.任意两个直角三角形相似C.任意两个等腰三角形相似D.菱形都相似6、《九章算术》是我国数学经典，上面记载：“今有邑方不知大小，各中开门．出北门三十步有木，出西门七百五十步见木．问邑方几何？”其意思是：如图，已知正方形小城ABCD，点E，G分别为CD，AD的中点，EF⊥CD，GH⊥AD，点F，D，H在一条直线上，EF＝30步，GH＝750步．正方形小城ABCD的边长是（）A.150步B.200步C.250步D.300步7、如图所示，给出下列条件：①∠B=∠ACD；②∠ADC=∠ACB；③；④AC2=AD•AB．其中单独能够判定△ABC∽△ACD的个数为( )A.1B.2C.3D.48、如图，AB是⊙O的直径，弦BC=2cm，F 是弦BC的中点，∠ABC=60°。

九年级数学上册 第四章 图形的相似全章复习与巩固巩固练习(含解析)(新版)北师大版

九年级数学上册 第四章 图形的相似全章复习与巩固巩固练习(含解析)(新版)北师大版

《图形的相似》全章复习与巩固——巩固练习【巩固练习】 一、选择题1．如图所示，给出下列条件： ①； ②；③； ④.其中单独能够判定的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．42. 如图，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，M 、N 分别是边AB 、AD 的中点，连接OM 、ON 、MN ，则下列叙述正确的是( )A ．△AOM 和△AON 都是等边三角形B ．四边形MBON 和四边形MODN 都是菱形C ．四边形AMON 与四边形ABCD 是位似图形 D ．四边形MBCO 和四边形NDCO 都是等腰梯形3．在平面直角坐标系中，已知点A （﹣4，2），B （﹣6，﹣4），以原点O 为位似中心，相似比为21，把△ABO 缩小，则点A 的对应点A′的坐标是（ ） A ．（﹣2，1） B ．（﹣8，4） C ．（﹣8，4）或（8，﹣4） D ．（﹣2，1）或（2，﹣1） 4.如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于O ，且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形．若OA ∶OC = OB ∶OD ，则下列结论中一定正确的是( )A ．①和②相似B ．①和③相似C ．①和④相似D ．②和④相似5．如图，在正方形网格上有6个斜三角形：①△ABC，②△BCD，③△BDE，④△BFG， ⑤△FGH，⑥△EFK，其中②～⑥中与三角形①相似的是( )A ．②③④B ．③④⑤C ．④⑤⑥D ．②③⑥6. 如图，四边形ABCD 中，∠BAD =∠ADC =90°，AB =AD =22，CD，点P 在四边形ABCD 的边上．若P到BD 的距离为32，则点P 的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．47. 如图，路灯距地面8米，身高1.6米的小明从距离灯的底部(点O)20米的点A 处，沿OA 所在的直线行走14米到点B 时，人影的长度( ).A ．增大1.5米B ．减小1.5米C ．增大3.5米D ．减小3.5米8. 已知矩形ABCD 中，AB=1，在BC 上取一点E ，沿AE 将△ABE向上折叠，使B 点落在AD 上的F 点，若四边形EFDC 与矩形ABCD 相似，则AD=（ ）.AC ．2二、填空题9. 如图，Rt△ABC 中，AC⊥BC，CD⊥AB 于D ，AC=8，BC=6，则AD=_________.10. 如图，M 是ABCD 的边AB 的中点，CM 交BD 于E ，则图中阴影部分的面积与ABCD 的面积之比为___ __.11. 在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比。

新北师大版九年级数学上册第四章《图形的相似》章末练习题含答案解析 (40)

新北师大版九年级数学上册第四章《图形的相似》章末练习题含答案解析 (40)

一、选择题1.如图，△ABC中，D为边AB上一点，E是CD的中点，且∠ACD=∠ABE．已知AC=2，设AB=x，AD=y，则y与x满足的关系式为( )A．xy=4B．2xy−y2=4C．xy−y2=4D．x2+xy−2y2=42.如图，在正方形ABCD中，△AEF的顶点E，F分别在BC，CD边上，高AG与正方形的边长相等，连接BD分别交AE，AF于点M，N，下列说法：① ∠EAF=45∘；②连接MG，NG，则△MGN为直角三角形；③ △AMN∽△AFE；√2．④若BE=2，FD=3，则MN的长为52其中正确结论的个数是( )A．4B．3C．2D．13.如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=10，点E在BC边上，DF⊥AE，垂足为F，若DF=6，则线段EF的长为( )A．2B．3C．4D．54.将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数，得到的三角形是()A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．等腰三角形5.如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，DE∥BC，DF∥AC，设S△ADE=a，S△BDF=b，S DECF=c，S△ABC=s．有如下对于a，b，c，s的描述：① a+b+c=s；② ab=c2；③ √a+√b=√s；④ 12abc2=s2．上述结论中正确的是( )A．①②③B．①③C．②③④D．①④6.如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF 于点G，连接DG．给出以下结论：① DG=DF；②四边形EFDG是菱形；③ EG2=1 2GF×AF；④当AG=6，EG=2√5时，BE的长为125√5，其中正确的结论个数是( )A．1B．2C．3D．47.如图，菱形ABCD的对角线AC=3cm，把它沿对角线AC方向平移1cm得到菱形EFGH，则图中阴影部分图形的面积与四边形ENCM的面积之比为( )A．9:4B．12:5C．3:1D．5:28.如图，某班上体育课，甲、乙两名同学分别站在C，D的位置时，乙的影子DA恰好与甲影子CA在同一条直线上，已知甲身高1.8米，乙身高1.5米，甲的影长是6米，则甲、乙两同学相距( )米．A．1B．2C．3D．59.如图，△ABC中，∠A=78∘，AB=4，AC=6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是( )A．B．C．D．10.如图，在剧场中，坐在小明（AB）前面一排的女士（CD）戴着高帽子（DE=0.2m），此时小明的眼睛B，帽顶E以及舞台上方横梁的某点H在同一条直线上；女士发现帽子挡住了小明的视线，于是摘掉帽子，此时小明的眼睛B，女士头顶D以及舞台下方地面上某点F在同一条直线上．已知舞台的高FG=1m，A，C，F在同一条直线上，F，G，H在同一条直线上，AC= 1m，CF=15m，则舞台横梁到舞台的距离GH为( )A．3.2m B．3m C．2m D．2.2m二、填空题11.网球单打比赛场地宽度为8米，长度在球网的两侧各为12米，球网高度为0.9米（如图AB的高度）．中网比赛中，某运动员退出场地在距球网14米的D点处接球，设计打出直线穿越球，使球落在对方底线上C处，用刁钻的落点牵制对方．在这次进攻过程中，为保证战术成功，该运动员击球点高度至少为．12.在△ABC中，AB=4√2，∠B=45∘，∠C=60∘．点D为线段AB的中点，点E在边AC上，连接DE，沿直线DE将△ADE折叠得到△AʹDE．连接AAʹ，当AʹE⊥AC时，则线段AAʹ的长为．13.如图，在矩形ABCD中，AB=2，CB=1，点E是DC上一点，∠DAE=∠BAC，则EC的长为．14.如图是小孔成像原理的示意图，根据图中标注的尺寸，如果物体AB的高度为36cm，那么它在暗盒中所成的像CD的高度应为cm．15.如图，在等腰△ABC中，AB=AC=4，BC=6，点D在底边BC上，且∠DAC=∠ACD，将△ACD沿着AD所在直线翻折，使得点C落到点E处，连接BE，那么BE的长为．16.如图，点A1、A2、A3、⋯，点B1、B2、B3、⋯，分别在射线OM、ON上，A1B1∥A2B2∥A3B3∥A4B4∥⋯，如果A1B1=2，A1A2=2OA1，A2A3=3OA1，A3A4=4OA1，⋯．那么A2B2=，A n B n=．（n为正整数）17.如图所示为某种型号的台灯的横截面图，已知台灯灯柱AB长30cm，且与水平桌面垂直，灯臂AC长为10cm，灯头的横截面△CEF为直角三角形，当灯臂AC与灯柱AB垂直时，沿CE 边射出的光线刚好射到底座B点．若不考虑其它因素，则该台灯在桌面可照亮的宽度BD的长为cm．三、解答题18.阅读理解，并解决问题：小明同学在一次教学活动中发现，存在一组都不为0的数a，b，c，d，使得ab =cd成立（即a，b，c，d成比例）．小明同学还有新的发现：若ab =cd，则a−bb=c−dd（分比性质）．已知① ac =bd；② ba=dc．问题解决：(1) 仿照上例，从①②中选一组数据写出分比性质等式；(2) 证明（1）中的分比性质等式成立．19.书籍和纸张的长与宽比值都有固定的尺寸，如常用的A3，A4，A5的纸张长与宽的比值都相等．一长方形纸张对折后的小长方形的长与宽的比值与原长方形的长与宽的比值相等．(1) 求满足这样条件的长方形的长与宽的比值；(2) 如图所示的长方形ABCD长与宽之比也满足以上条件，其中宽AB=2．①点P是AD上一点，将△BPA沿BP折叠得到△BPE，当BE垂直AC时，求AP的长；②若将长方形ABCD绕点B旋转得到长方形A1BC1D1，直线CC1交DD1于点M，N为BC的中点，直接写出MN的最大值：．20.如图，教学楼旁边有一棵大树，课外兴趣小组的同学在阳光下测得一根长为1 m的竹竿的影长为0.9 m，同一时刻这棵树落在地上的影长为2.7 m，落在墙上的影长为1.2 m，请你计算树高为多少．21.如图，工地上竖立着两根电线杆AB，CD，它们相距15m，分别从两杆上高出地面4m，6m的A，C处向两侧地面上的E，D和B，F处用钢丝绳拉紧，以固定电线杆．钢丝绳AD与BC的交点P离地面的高度为多少米？22.在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点D在边AB上，DE⊥AB，点E在边BC，点F在边AC上，且∠DEF=∠B．(1) 求证△FCE∽△EBD；(2) 当点D在线段AB上运动时，是否有可能使S△FCE=4S△EBD，如果有可能，那么求出BD的长，如果不可能，请说明理由．23.如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC的边长为AO=6，BO=8，如图①，动点P以每秒2个单位的速度由点C向点A沿线段CA运动，同时点Q以每秒4个单位的速度由点O向点C沿线段OC运动．(1) 用含t的代数式表示：CP=，QC=；(2) 在运动过程中，P，Q，C三点是否能构成等腰三角形？若能，请求出点P的坐标；(3) 如图②，E是OB的中点，将△AOE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形AOBC内部，延长AF交BC于点G．求点G的坐标．24.如图，在△ABC中，AB=AC，AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E．(1) 求证：△AED∽△ADC；(2) 若AB=13，BC=10，求线段DE的长．25.我们把四个顶点都在三角形的三边上的矩形叫做三角形的内接矩形，四个顶点都在三角形的三边上的正方形叫做三角形的内接正方形．(1) 如图①，矩形DEFG，点D在边AB上，点E，F在边BC上，画出一个与矩形DEFG相似的内接矩形（画图工具不限，保留画图痕迹）；(2) 若一个△ABC中恰有两个内接正方形，则这个三角形一定是．A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上三种情况都有可能(3) 如图②，在△ABC中，BC=4，BC边上的高AD=3，AD与△ABC的内接矩形EPQF的EF边相交于点G，以EF为斜边向下作Rt△HEF，使HE=HF，求△EFH与四边形EPQF重合部分的面积的最大值；(4) 若在一个面积为16的三角形内画出一个面积最大的内接正方形，则这个正方形的边长为，若又要使得三角形周长最小，则三角形三边长为．答案一、选择题1. 【答案】B【解析】过C作CF∥EB交AB的延长线于F，由于E为CD中点，故BF=BD，∠F=∠ABE，而∠ACD=∠ABE，∴∠ACD=∠F，∴在△AFC和△ACD中，∠ACD=∠F，∠A=∠A，∴△AFC∽△ACD，∴ACAD =AFAC，∴AC2=AD⋅AF，又∵BE∥CF，DE=CE，∴DB=BF=x−y，∴22=y(2x−y)，∴2xy−y2=4．【知识点】两角分别相等2. 【答案】A【解析】①在Rt△ABE和Rt△AGE中，{AB=AG, AE=AE,∴Rt△ABE≌Rt△AGE(HL)．∴∠BAE=∠GAE，BE=EG，同理，∠GAF=∠DAF，GF=DF，∴∠EAF=12∠BAD=45∘，故①正确；②连将△ADN绕点A顺时针旋转90∘至△ABH位置，得到图②，连接HM，由旋转知：∠BAH=∠DAN，AH=AN，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=90∘，∵∠EAF=45∘，∴∠BAM+∠DAN=45∘，∴∠HAM=∠BAM+∠BAH=45∘，∴∠HAM=∠NAM，又AM=AM，∴△AHM≌△ANM(SAS)，∴MN=MH∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADB=∠ABD=45∘由旋转知：∠ABH=∠ADB=45∘，HB=ND，∴∠HBM=∠ABH+∠ABD=90∘，∴MH2=HB2+BM2，∴MN2=ND2+BM2∵Rt△ABE≌Rt△AGE，∴∠BAM=∠GAM．在△ABM和△AGM中，{AB=AG,∠BAM=∠GAM, AM=AM,∴△ABM≌Rt△AGM(SAS)．∴MG=MB，同理NG=ND，∴MN2=NG2+MG2∴△MGN为直角三角形，故②正确；③ ∵∠AEB+∠BME+∠DBC=180∘，∠AEF+∠AFE+∠EAF=180∘∵∠DBC=∠EAF=45∘，∠AEB=∠AEF，∴∠AFE=∠BME，∴∠AFE=∠AMN，∵∠EAF=∠NAM，∴△AMN∽△AFE，故③正确；④ ∵BE=EG，GF=FD，BE=2，FD=3，∴EF=EG+FG=5，设正方形的边长为a，则EC=a−2，FC=a−3，∵EF2=EC2+FC2，∴52=(a−2)2+(a−3)2，解得a=6，∴AB=AD=6，∴BD=6√2，作AH⊥BD于H，则AH=3√2，∵△AMN∼△AFE，∴MNEF =AHAG，∵AG=AB=6，∴MN5=3√26，∴MN=52√2，故④正确．综上正确结论的个数是4个．【知识点】正方形的性质、两角分别相等3. 【答案】B【解析】∵四边形ABCD为矩形，∴AB=CD=3，BC=AD=10，AD∥BC，∴∠AEB=∠DAF，∴△AFD∽△EBA，∴AFBE =ADAE=DFAB，∵DF=6，∴AF=√102−62=8，∴8BE =10AE=63，∴AE=5，∴EF=AF−AE=8−5=3．【知识点】两角分别相等4. 【答案】C【解析】【分析】根据三组对应边的比相等的三角形相似，依据相似三角形的性质就可以求解．【解析】解：将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数，得到的三角形与原三角形相似，因而得到的三角形是直角三角形．故选：C．【点评】本题主要考查相似三角形的判定以及性质．【知识点】相似三角形的性质5. 【答案】B【解析】作AP⊥DE于点P，DH⊥BF于点H．设AD:DE=1:k，AP=y，FC=x，∵DF∥AC，∴△BDF∽△BAC，∴BD:AD=BF:FC，BF=kx，∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∵AP⊥DE，DH⊥BF，∴△APD∽△DHB，∴DH=ky，S△ADE=a=12xy，S△BDF=b=12ky⋅kx=12k2xy，S四边形DECF=c=kx−y，S△ABC=s=12(kx+x)(ky+y)=12xy(k+1)2，故①正确；② ab=12xy⋅12k2xy=14k2x2y2，c2=k2x2y2≠ab，故②错误；③ √a+√b=√12xy+√12k2xy=√12xy(k+1)，√s=√12xy(k+1)2=√12xy(k+1)=√a+√b，故③正确；④ 12abc2=12⋅12xy⋅12k2xy−k2x2y2=18k4x4y4，s2=14x2y2(k+1)2≠12abc2，故④错误．【知识点】基本定理、两角分别相等6. 【答案】D【知识点】两角分别相等、菱形的判定7. 【答案】D【知识点】菱形的性质、两角分别相等8. 【答案】A【解析】设两个同学相距x米，∵△ADE∽△ACB，∴DEBC =ADAC，∴1.51.8=6−x6，解得：x=1．【知识点】相似三角形的应用9. 【答案】C【知识点】两角分别相等、两边成比例且夹角相等10. 【答案】D【解析】由题意知，AB，CE，FH都垂直于地面AF，∴DE∥FH，∴△BDE∽△BFH，∴DEFH =BDBF．∵AB∥CD，∴ACAF =BDBF，∴DEFH =ACAF．∵AC=1m，CF=15m，DE=0.2m，FG=1m，∴0.2FH =11+15，∴FH=3.2(m)，∴GH=FH−FG=3.2−1=2.2(m)．【知识点】相似三角形的应用二、填空题11. 【答案】1.95米【解析】如图，由题知：AB∥DE，∴ABDE =CBCD，解得：DE=1.95米．【知识点】相似三角形的应用12. 【答案】2√6【知识点】两角分别相等13. 【答案】1.5【知识点】两角分别相等14. 【答案】16【解析】∵△ABO∽△CDO∴ABCD =4520又∵AB=36∴CD=16．【知识点】相似三角形的应用15. 【答案】1【知识点】两角分别相等16. 【答案】6；n(n+1)【解析】设OA1=1，∴A1A2=2×1=2，A2A3=3×1=3，A3A4=4×1=4，⋯，A n−2A n−1=n−1，A n−1A n=n．∵A1B1∥A2B2∥A3B3∥A4B4∥⋯，∴OA1OA2=A1B1A2B2，∴11+2=2×1A2B2，∴A2B2=6=2×(2+1)，A3B3=12=3×(3+1)，A4B4=20=4×(4+1)，⋯，∴A n B n=n(n+1)．【知识点】平行线分线段成比例定理17. 【答案】100【解析】∵AB⊥BD，AC⊥AB，∴AC∥BD．∴∠ACB=∠DBC．∵∠A=∠BCD=90∘，∴△ABC∽△CDB．∴ACBC =BCBD，∴BC2=AC⋅BD，在Rt△ABC中，BC2=AC2+AB2=102+302=1000，∴10BD=1000．∴BD=100(cm)．【知识点】相似三角形的应用三、解答题18. 【答案】(1) ①若ac =bd，则a−cc=b−dd．②若ba =dc，则b−aa=d−cc．(2) ①若ac =bd，则a−cc=b−dd．理由：设ac =bd=k，则a=kc，b=kd，∴a−cc =kc−cc=k−1，b−dd=kd−dd=k−1，∴a−cc =b−dd．同理可证结论②成立．【知识点】比例的性质与比例线段的概念及运算19. 【答案】(1) 设长方形的长与宽分别为a，b．由题意：ab =b a2，∴a2=2b2，∴ab=√2．(2) ①如图1中，延长PE，BC交于点G，∵∠PEB=90∘，∴PE⊥BE，∵BE⊥AC，BE⊥PE，∴PG∥AC，∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=2，AD=BC=2√2，AD∥BG，∠ABC=90∘，∴四边形APGC是平行四边形，∴PG=AC=√AB2+BC2=√22+(2√2)2=2√3，∵AD∥BC，∴∠APB=∠GBP，∵∠APB=∠GPB，∴∠GBP=∠GPB，∴GP=GB=2√3，∴AP=CG=BG=BC=2√3−2√2．② √3+1．【解析】(2) ②如图2中，连接BM，取BD的中点O，连接OM，ON，延长CC1到K，使得C1K=CC1在MK的延长线上取一点J，使得D1J=D1K，连接BD1．∵BC=BC1，∴∠BCC1=∠BC1C，∵∠BC1D1=∠BCD=90∘，∴∠D1C1K+∠BC1C=90∘，∠BCC1+∠DCC1=90∘，∴∠D1C2K=∠DCC1，∵CD=C1D1，CC1=C1K，∴△DCC1≌△D1C1K(SAS)，∴DC1=KD1=JD1，∠CC1D=∠C1KD1，∵∠JKD1+∠C1KD1=180∘，∠CC1D+∠DC1M=180∘，∴∠DC1M=∠D1KJ，∵D1J=D1K，∴∠J=∠D1KJ，∴∠J=∠DC1M，∵∠D1MJ=∠DMC1，∴△D1MJ≌△DMC1(AAS)，∴D1M=DMʹ，∵BD=BD1，∴BM⊥DD1，取BD的中点O，连接OM，ON，∵∠BMD=90∘，BD=√3，∴OM=12∵BO=OD，BN=CN，CD=1，∴ON=12∵MN≤OM+ON，∴MN≤√3+1．∴MN的最大值为√3+1．【知识点】矩形的判定、勾股定理、旋转及其性质、平行四边形的概念、角角边、边角边、比例的性质与比例线段的概念及运算20. 【答案】根据题意画出示意图（如图），延长AD，BE相交于点C．由题意，得△PQR∽△DEC，∴PQDE =QREC，即11.2=0.9CE，∴CE=1.08(m)，∴BC=BE+CE=2.7+1.08=3.78(m)，又∵△PQR∽△ABC，∴PQAB =QRBC，即1AB=0.93.78，∴AB=4.2(m)，即树高为4.2 m．【知识点】相似三角形的应用21. 【答案】过点P作PQ⊥BD于点Q，易得△PQD∽△ABD，△PBQ∽△CBD，可以得到PQAB =DQBD，PQCD=BQBD，则PQAB +PQCD=1，求得PQ=2.4（m）．【知识点】相似三角形的应用22. 【答案】(1) ∵AB=AC=5，DE⊥AB，∴∠B=∠C，∠BDE=90∘，∵∠B=∠DEF，∴∠B+∠BDE=∠DEF+∠FEC，∴∠BDE=∠FEC=90∘，∵在△FCE和△EBD中，∠B=∠C，∠BDE=∠FEC，∴△FCE∽△EBD．(2) 作AG⊥BC，∵AB=AC=5，BC=6，AG⊥BC，∴BG=3，∵S△FCE=4S△EBD，∴S△EBDS△FCE =14，∵△FCE∽△EBD，∴BDCE =12，∵在△BDE和△BGA中，∠B=∠B，∠BDE=∠BGA，∴△BDE∽△BGA，∴BDBG =BEBA，设BD=x，CE=2x，x 3=6−2x5，x=1811，∴BD=1811，CE=2×BD=2×1811=3611，∵△ECF∽△GCA，∴CF3611=53，CF=6011>5，∴不可能在线段AB上存在D点，使S△FCE=4S△EBD．【知识点】面积比等于相似比的平方、两角分别相等23. 【答案】(1) 2t；10−4t(2) 设运动的时间为t秒，当CQ=CP时，2t=10−4t，解得，t=53，此时CP=2×53=103，∴AP=8−103=143，P点坐标为(143,6)；当PC=PQ时，如图①，过点Q作AC的垂线交AC于点E，CQ=10−4t，CP=2t．∵△CEQ ∽△CAO ，∴EQ =35CQ =35(10−4t )=6−125t ，PE =45(10−4t )−2t =8−165t −2t =8−265t ，由勾股定理得，(6−125t)2+(8−265t)2=(2t )2，整理得：36t 2−140t +125=0，解得，t 1=2518，t 2=52（舍去）， 此时，AP =8×2518×2=479，∴P 点坐标为 (479,6)；当 QC =PQ 时，如图②，过点 Q 作 AC 的垂线交 AC 于点 F ， CQ =10−4t ，CP =2t ， ∵△CFQ ∽△CAO ， ∴QF =35(10−4t )=6−125t ，PF =2t −45(10−4t )=265t −8，则 (6−125t)2+(265t −8)2=(10−4t )2，整理得，21t 2−40t =0，解得，t 1=4021，t 2=0（舍去）， 此时，AP =8−4021×2=8821，则 P 点坐标为 (8821,6)．综上所述，P 点坐标为 (143,6)，(479,6)，(8821,6)． (3) 如图③，连接 EG ， 由题意得：△AOE ≌△AFE ， ∴∠EFG =∠OBC =90∘， ∵E 是 OB 的中点， ∴EG =EG ，EF =EB =4， 在 Rt △EFG 和 Rt △EBG 中， {EF =EB,EG =EG,∴Rt △EFG ≌Rt △EBG (HL )，∴∠FEG =∠BEG ，∠AOB =∠AEG =90∘， ∴△AOE ∽△AEG ，∴AE 2=AO ⋅AG ，即 36+16=6×AG ，解得，AG =263，由勾股定理得，CG =√AG 2−AC 2=103，∴BG=6−103=83，G的坐标为(8,83)．【解析】(1) 由Rt△AOC中，根据勾股定理得，OC=10，由运动知CP=2t，OQ=4t，∴QC=10−4t．【知识点】两角分别相等、勾股定理、平面直角坐标系及点的坐标、斜边、直角边24. 【答案】(1) ∵AB=AC，AD为BC边上的中线，∴∠BAD=∠CAD，AD⊥BC，∵AD⊥BC，DE⊥AB，∴∠AED=∠ADC=90∘，∴△AED∽△ADC．(2) ∵AD为BC边上的中线，∴BD=DC=12BC=5，∵在Rt△ADB中，∴AD=√AB2−DB2=12，由（1）得△AED∽△ADC，∴DEDC =ADAC，∴DE5=1213，∴DE=6013．【知识点】两角分别相等、等腰三角形的性质、勾股定理、对应边成比例25. 【答案】(1) 如图①中，矩形EʹFʹGʹDʹ即为所求．(2) B(3) ∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴EFBC =AGAD，∴x4=AG3，∴AG=34x，①如图②中，当点G在矩形EPQF的内部或边上时，过点H作HT⊥EF于T．∵△EFH是等腰直角三角形，∴HT=12x，∴y=12⋅EF⋅HT=14x2，∵HT≤DG，∴12x≤3−34x，∴0<x≤125，由增减性可知，当x=125时，y最大值=14×(125)2=3625．②如图③中，当点H在矩形外部时，125<x<4．过点H作HT⊥EF于T，交MN于K．∵EF∥BC，∴∠KTG=∠TKD=∠GDK=90∘，∴四边形TKGD是矩形，∴TK=DG=3−34x，∵EF∥BC，∴△HMN∽△HEF，∴HMHE =HNHF，∵△HMN是等腰直角三角形，∴S△HMN=12⋅MN⋅HK=(54x−3)2，∴y=14x2−(2516x2−152x+9)=−2116x2+152x−9=−2116(x−207)2+127，∵−2116<0，∴当x=207时，y最大值=127．综上所述，x=207时，y最大值=127．(4) 2√2；4√2，2√10，2√10【解析】(2) 由题意，锐角三角形有三个内接正方形，直角三角形有两个内接正方形，钝角三角形有一个内接正方形，故选B．(4) 如图④中，正方形EFGH是△ABC的内接正方形，AD是△ABC的高，AD交EH于K，设BC=a，AD=ℎ，正方形的边长为x．由题意：12⋅BC⋅AD=16，∴aℎ=32，∵EH∥BC，∴△AEH∽△ABC，∴EHBC =AKAD，∴xa =ℎ−xℎ，整理得x=32a+ℎ，∵a+ℎ≥2√aℎ，∴a+ℎ≥8√2，∴当a=ℎ=4√2时，a+ℎ的最小值为8√2，可得x的最大值=8√2=2√2，∴BC=AD=4√2，设BD=m，则AB+AC=√m2+(4√2)2+√(4√2−m)2+(4√2)2，要使得△ABC的周长最小，只要AB+AC最小即可，欲求AB+AC=√m2+(4√2)2+√(4√2−m)2+(4√2)2的最小值，相当于在x轴上找一点M(m,0)，使得M(m,0)到P(0,4√2)，Q(4√2,4√2)的距离和最小，如图⑤中，作点Q关于x轴的对称点T，连接QT交x轴于M，连接MP，此时MP+MQ的值最小，∴T(0,−4√2)，Q(4√2,4√2)，∴M(2√2,0)，∴m=2√2时，AB+BC的值最小，此时BD=CD=2√2，AB=AC=√BD2+AD2=√(2√2)2+(4√2)2=2√10，∴满足条件的△ABC的边长为4√2，2√10，2√10．【知识点】勾股定理、相似三角形的性质与判定、二次函数的最值、等腰直角三角形的性质、相似图形的定义、轴对称之最短路径。