第五章+弯曲内力——南昌航空大学材料力学课件PPT

⑵ 自由端无集中力偶作用，端截面弯矩等于零：M=0 。
2020/5/24
×
例2 求图示梁1、2、3 截面的内力。
m1=2kN.m m2=14kN.m
1 A1
23 23
B
2m C 2m
FA
FB
m1 A 1
1
M1
FA Fs1
解：取整体，m0;
F A4m 1m 20 FAFB3kN
1－1截面
Fy 0; FAFs1 0
Fs1 3kN
m10; M1m10
M12kN.m
2020/5/24
×
m1=2kN.m m2=14kN.m
A
1 1
23 23
B
2m C 2m
FA
FB
m1 A FA
2
2 M2 Fs2
M3
3 3
B
Fs3
FB
2－2截面
Fy 0; FAFs2 0
Fs2 3kN
m2 0; M 2m 1R A20
M2 8k N.m 3－3截面
2. 梁：以弯曲变形为主的构件通常称为梁。
2020/5/24
×
3. 工程实例
2020/5/24
×
二、平面弯曲
F1
q
F2
M
纵向对称面
杆件具有纵向对称面，荷载作用在纵向对称面内，梁弯 曲后轴线弯成一条平面曲线，称为平面弯曲。在后几章中， 将主要研究平面弯曲的内力，应力及变形等。
2020/5/24
×
三、简单静定梁
×
计算梁内力的步骤： ⒈ 取整体，求支座反力（悬臂梁此步可省）； ⒉ 将梁在要求内力的部位截开，选简单一側作研究对象； ⒊ 画受力图，截面的剪力、弯矩一定要按正的规定画；

A A
s

A

（对称面）
2 Ey E2 EI z M ( d A ) y d A y d A M z A A
s
A

EIz
A

2 Iz y A 轴 惯 性矩 d
1 Mz EI z
M y s x I z
… …(3)
杆的抗弯刚度。
. . . . . . ( 4 )
d4
64
d
Iz d3 W z ym a x 32
4 D 4 空心圆 I ( 1 a ) z
d D
ad
64
D
3 I D 4 z W ( 1 a ) z y max 32
11
三、常见截面的IZ和WZ：
3 bh 矩形 Iz 12
b b
2 Iz bh W z y 6 m ax
§5－3 横力弯曲时梁横截面上的正应力 一、正应力近似公式：
M y s x I z . . . . . . ( 4 )
二、横截面上最大正应力：
M s max Wz
… …(5)
I z W z 抗 弯 截 面 模 量 。 y m a x
10
三、常见截面的IZ和WZ：
圆 Iz
M 60 4 1 s 10 92 . 6 MP 1 max
M 67 . 5 4 max s 10 104 . 2 MP max W 6 . 48 z
120 M
求曲率半径
qL 8
+
2
EI 5 . 832 z 200 10 194 . 4 m 1 M 60 1
力状态。

第四章弯曲内力授课学时：10学时主要内容：弯曲内力；Q 、M 与q 之间的微分关系；Q,M 方向的确定；突变位置,方向,大小数值。

$5.1概述1．平面弯曲受力特点是：所有外力都作用在杆件的纵向平面上且与杆轴线垂直。

变形特点是：杆的轴线由原来的直线弯曲成与外力在同一平面上的曲线。

轴线2．支承简化3．静定梁的分类4．载荷的简化集中载荷、载荷、集中力偶、分布力偶 例 求悬臂梁的约束反力。

解：（1）分析受力受集中力P ，分布力q ，力偶m ，固定端简化为A m 、A X 、A Y 。

（2）列平衡方程可动铰固定铰支固定端剪支梁 悬臂梁外伸梁043.2,002,00,0=++--==--===∑∑∑A AAA m m l l q Pl m ql P Y Y X X解得287,23,0ql m ql Y X A A A ===$5.2梁横截面的内力——剪力和弯矩1．剪力和弯矩根据梁的平衡条件，列以下方程0)(=∑F MA，0)(=∑F M B得出静定梁在载荷作用下的支反力A R ，B R ；并将其作为已知量。

作载面m m -，考虑左侧平衡，列平衡方程。

()()a x P x RM x R a x P M x M PR Q O Q P R Y AAoAA--==--+=-==--=∑∑1111,0,0)(,,0从上式可以看出，截面上的剪力Q 在数值上等于此截面左侧或右侧梁上所有外力在梁轴的垂线（y 轴）上投影的代数和。

截面上的弯矩在数值上等于此截面左侧或右侧梁上所有外力对于该截面形心的力矩的代数和。

2．剪力和弯矩方向的确定取梁内一小段dx ，其错动趋势为“左上右下” 时，对于剪力Q 规定为正号；反之，为负号。

对于弯矩，在图所示的变形情况下，小段的弯曲变形向下凹进，截面的弯矩M 规定为正号；反之，为负号。

BAXAB例 已知m N q /105.126⨯=，求跨度截面中点截面E 上的弯矩和截面C 上的剪力。

解：（1）求支座反力N R R B A 6105⨯==（2）列平衡方程，求剪力和弯矩N R Q A 6105⨯==m N q R M A .1015.324.04.083.06⨯=⨯⨯-⨯= 3．剪力方程弯矩方程 剪力图和弯矩图 1）剪力方程和弯矩方程 一般情况下，剪力和弯矩随截面位置变化，则横截面上的剪力和弯矩可以表示为x 的函数。

而对各段梁的近似微分方程积分时，都将出现两个积 分常数。要确定这些积分常数，除利用支座处的约束条件 (constraint condition)外，还需利用相邻两段梁在交界处的 连续条件(continuity condition)。这两类条件统称为边界条 件。
11
第五章 梁弯曲时的位移
例题5-1 试求图示等直梁的挠曲线方程和转角方程，
6
第五章 梁弯曲时的位移
从几何方面来看，平面曲线的曲率可写作
1
x
1
w w2
3/ 2
1/为非负值的量，而w“是q = w' 沿
x方向的变化率，是有正负的。
w
1 w2
3/ 2
M x
EI
由于梁的挠曲线为一平坦的曲线，上式中的w2与1相比可略
去，于是得挠曲线近似微分方程 w M x
7
EI
第五章 梁弯曲时的位移
第五章 梁弯曲时的位移
§5-1 梁的位移——挠度和转角
梁的横截面形心(即轴线AB上的点)在垂直于x轴方向的 线位移w称为挠度(deflection)，横截面对其原来位置的角
位移q 称为横截面的转角(angle of rotation)。
1
第五章 梁弯曲时的位移
挠曲线(deflection curve)为一平坦而光滑的曲线，它 可以表达为: w=f(x)，此式称为挠曲线方程。
由于梁变形后的横截面仍与挠曲线保持垂直，故横截面 的转角θ也就是挠曲线在该相应点的切线与x轴之间的夹角， 从而有转角方程：
q tanq w f x
2
第五章 梁弯曲时的位移
(a)
(b)
直梁弯曲时的挠度和转角这两个位移不但与梁的弯曲
变形程度(挠曲线曲率的大小)有关，也与支座约束的条件