金山区２０１7学年第一学期质量监控
高三数学试卷
(满分:150分，完卷时间:12０分钟)
(答题请写在答题纸上）
一、填空题(本大题共有1２题,满分５4分，第1–6题每题4分，第7–１2题每题５分) 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．
１.若全集U =R ,集合A ={x ｜x ≤0或x ≥2},则U A = ． 2.不等式
01
<-x
x 的解为 . 3．方程组??
?=+=-5
321
23y x y x 的增广矩阵是 ．
４．若复数z =2–ｉ(i 为虚数单位),则z z z +?= ．
５.已知F 1、F 2是椭圆
19
252
2=+y x 的两个焦点，P 是椭圆上的一个动点，则|PF 1｜?｜ＰF 2｜的最大值是_______.
６．已知x ,y 满足??
?
??≤≥-+≥+-20301x y x y x ，则目标函数k =２x +y 的最大值为 .
7．从一副混合后的扑克牌（５2张)中随机抽取1张，事件A 为“抽得红桃K ”，事件
Ｂ为“抽得为黑桃”，则概率P (A ∪B ）= (结果用最简分数表示）.
8．已知点A （2,３）、点B (–２，3)，直线l 过点P (–1，０),若直线l 与线段AB 相交,则直线l 的倾斜角的取值范围是 .
9. 数列｛a n ｝的通项公式是a n =２n –1(n ∈N *
)，数列{b ｎ}的通项公式是b n =3n (ｎ∈Ｎ*
),令
集合A ＝{ａ１，a 2，…,ａｎ,…}，Ｂ={b 1,ｂ2,…,b ｎ,…｝,ｎ∈N ＊
.将集合Ａ∪Ｂ中的所有元素按从小到大的顺序排列，构成的数列记为{c n ｝.则数列{ｃn }的前28项的和S
２8
＝ ．
10．向量、是平面直角坐标系x 轴、y 轴的基本单位向量,且｜–|+|–2｜＝5,
则|2|+的取值范围为 .
1１．某地区原有森林木材存有量为a ，且每年增长率为25%，因生产建设的需要,每年
年末要砍伐的木材量为
10
1
a ，设a n 为第n 年末后该地区森林木材存量,则ａn =
.
12.关于函数()1
x f x x =-,给出以下四个命题:（１）当ｘ>０时，y=f (x ）单调递减且没
有最值；(2）方程f （x )＝kx+b (ｋ≠0)一定有实数解；(3)如果方程f （x )=m (m 为常数)有解，则解的个数一定是偶数；(4) y=f （ｘ)是偶函数且有最小值．其中假命题的序号是 ．
二、选择题(本大题共4小题,满分2０分,每小题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13．若非空集合A 、B 、C 满足A ∪B =C ,且B 不是A 的子集，则（ )．
（A) “x ∈C ”是“x ∈A ”的充分条件但不是必要条件 (B ） “x ∈C ”是“x ∈Ａ”的必要条件但不是充分条件 (C ） “x ∈C ”是“ｘ∈A ”的充要条件
(Ｄ) “x ∈Ｃ”既不是“x ∈Ａ”的充分条件也不是“x ∈A ”的必要条件
１４．将如图所示的一个Ｒｔ△AB Ｃ（∠C =９0°）绕斜边AB 旋转一周,所得到的几何
体的主视图是下面四个图形中的（ ).
第14题图
(A) (B) (C)
(D)
C
B
A
１5.二项式(3i –ｘ)10(i 为虚数单位)的展开式中第８项是( ）.
（A ） –135x ７
(B)135x 7 (C)3６03i ｘ7 (D)–3６03i ｘ7
16.给出下列四个命题:(1)函数y =a ｒc ｃos x (–１≤ｘ≤1)的反函数为y =co ｓx (x ∈Ｒ)；(2)
函数1
2-+=m m x y (m ∈Ｎ)为奇函数;（３)参数方程???
????+=+-=2221211t t y t t x (t ∈Ｒ)所表示的曲线是
圆;(４)函数ｆ(x )＝ｓin 2x –21)3
2
(+x
，当x >2０17时，f （x )>2
1
恒成立.其中真命题的个数为（ )．
(A) 4个 （B) 3个 (C) 2个 (D) 1个
三、解答题(本大题共有５题,满分７６分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
17.(本题满分1４分，第1小题满分7分,第2小题满分7分)
如图，已知正方体ＡBC Ｄ–A １Ｂ1C 1D 1的棱长为２,E ,Ｆ分别是BB 1、ＣD 的中点． (1) 求三棱锥F –A Ａ1E 的体积；
(2) 求异面直线ＥF 与AB 所成角的大小（结果用反三角函数值表示)．
１8.(本题满分14分，第１小题满分６分,第2小题满分8分）
已知函数ｆ(x )=3ｓin ２x+cos2ｘ–1 (x ∈Ｒ）． （1) 写出函数f （x )的最小正周期以及单调递增区间;
（2） 在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为ａ，b ,c ,若ｆ(B )=0,2
3
=
?BC BA ,
且B 1
B
E
a+c ＝４,求b 的值．
19.(本题满分14分,第1小题满分6分，第2小题满分8分）
设P (x , y )为函数f （x )=a x x -2(x ∈Ｄ，D 为定义域)图像上的一个动点,O 为坐标原点，|OP |为点Ｏ与点P 两点间的距离．
(１) 若a =3,Ｄ=[3,4］,求|OP |的最大值与最小值;
(2) 若D ＝[１，2］,是否存在实数a ，使得｜O Ｐ｜的最小值不小于２？若存在,请求出a 的取值范围;若不存在,则说明理由.
20．(本题满分１6分,第1小题满分4分,第2小题满分5分,第３小题满分7分)
给出定理:在圆锥曲线中， A Ｂ是抛物线Γ：y 2＝２px （p ＞0)的一条弦，C 是AB 的中点，过点Ｃ且平行于x 轴的直线与抛物线的交点为D ，若Ａ、B 两点纵坐标之差的
绝对值||B A y y -=a (ａ>0),则△AD Ｂ的面积 S △AD Ｂ=p
a 163
．试运用上述定理求解以下
各题:
(1) 若p =2，AB 所在直线的方程为y =2x –4,C 是AB 的中点,过C 且平行于x 轴的直线与抛物线Γ的交点为Ｄ,求Ｓ△AD Ｂ;
（２） 已知ＡB 是抛物线Γ:y 2=2px (p ＞0)的一条弦,C 是A Ｂ的中点，过点C 且平行于ｘ轴的直线与抛物线的交点为D ,E 、Ｆ分别为A Ｄ和BD 的中点,过E 、Ｆ且平行于x 轴的直线与抛物线Γ:y ２
=2p ｘ (ｐ>０）分别交于点M 、N ，若A 、B 两点纵坐标之差的绝对值||B A y y -=a (a >０)，求Ｓ△AMD 和S △BND ；
（3) 请你在上述问题的启发下,设计一种方法求抛物线：y 2=２ｐｘ (ｐ>0)与弦AB 围成的“弓形”的面积，并求出相应面积．
２1.（本题满分1８分，第１小题满分４分，第2小题满分6分,第３小题满分8分)
若数列｛a n ｝中存在三项，按一定次序排列构成等比数列,则称｛a n }为“等比源数列”. (１) 已知数列｛ａn }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n –1．求数列｛a n }的通项公式;
（２) 在（1)的结论下,试判断数列{a n }是否为“等比源数列”，并证明你的结论； (３) 已知数列｛a n }为等差数列,且a 1≠0，a n ∈Z (ｎ∈N *)，求证:{a ｎ}为“等比源数列”．
金山区20１7学年第一学期期末考试
高三数学试卷评分参考答案
(满分：150分，完卷时间:１20分钟)
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第１–6题每题４分，第7–1２题每题5分)
1.A ＝{x ｜0＜ｘ<２};2．0＜ｘ<1;3. ???
? ??-513223；4．７–ｉ;5.2５；6．7；7.7
26； ８ ［
4π，32π]．；9．820；
10.?
??
；11． a a a n n 52)45(53+=；12.（１)、(3) 二、选择题(本大题共4小题，满分２０分，每小题5分） １3.Ｂ; 14.B ； 15．C ； 16．D
三、解答题（本大题共有５题，满分76分)
17. 解：(1）因为△A Ａ1E 的面积为Ｓ=2,……………………………………………2分 点Ｆ到平面ＡＢB 1A 1的距离即ｈ=２，……………………………………………………4分
所以E AA F V 1-=
h S ?31=3
4
；………………………………………………………………7分 （2)连结ＥC ,可知∠ＥFC 为异面直线E Ｆ与A Ｂ所成角,…………………………１０分 在Rt △ＥFC 中,ＥC =5,FC =1,所以tan ∠EFC =5，…………………………13分 即∠E ＦC =ａrctan 5，故异面直线EF 与A Ｂ所成角的大小为ａｒc ｔan 5.…………14分
1８.解：（1）f （x ）=2s ｉn(２ｘ＋6
π
）–1,………………………………………………………2分
所以,f （x ）的最小正周期T = π，………………………………………………………4分
ｆ(ｘ)的单调递增区间是[k π–
3π,ｋπ+6
π
],k ∈Ｚ;………………………………………6分 （
２
)
ｆ（
B )＝2ｓin(２B +6
π
）–1=0,故sin
（2B +6π)=2
1
，………………………………………8分 所以，2Ｂ+6π=2k π+6π或2B ＋6π=2k π+6
5π
,k ∈Z ,
因为Ｂ是三角形内角,所以B =3π
; 0
而BC BA ?＝ac c ｏs B =2
3
，所以，ａc =3,又a ＋c =４，所以a 2＋c 2=10,………………１2
分
所以，b 2=ａ2＋c 2–2a ｃcos B =7，所以ｂ=7．…………………………………………14分
１9.解:(1) 当a ＝３，D ＝[3,４], |OP |=
]4,3[,3)1(363)3(2222∈--=-=-+x x x x x x x ，
……………………4分 3||min =OP ，62||max =OP ； ………………………………………………………6分
(2) ]2,1[,2||2∈-+=
x a x x x OP ，因为|OP |的最小值不小于2，即x 2+2x |x –a |≥4
对于x ∈[１,2]恒成立，……………………………………………………………………8分 当a ≥２时,ａ≥
)4(21x x +对于x ∈［1,2]恒成立,所以a ≥2
5
,………………………10分 当1≤a <2时，取ｘ=a 即可知,显然不成立，………………………………………11分 当a <１时,a ≤)43(21x x -对于x ∈[１,２]恒成立,所以a ≤2
1
-， (3)
综上知,a ≤21-
或a ≥2
5
………………………………………………………………14分 (２)或解:]2,1[,2||2∈-+=
x a x x x OP ，…………………………………………7分
当ａ≥2时, 222)(2||a a x ax x OP +--=+-=
在[１,2］为增函数，
12||min -=a OP ≥2,所以a ≥
2
5
,…………………………………………………9分 当1≤a <2时，取x=a ,|OP |=a 不可能大于或等于2，………………………………11分 当a <１时,222
3
1
)3(323||a a x ax x OP --=
-=在[１,2］为增函数,
a OP 23||min -=≥2 ,a ≤2
1
-……………………………………………………13分
综上知,a ≤21-或ａ≥2
5
………………………………………………………………14分
2０．解：(1) 联立直线与抛物线方程???=-=x
y x y 44
22,解得|y A –y B |＝6，………………2分
S △ADB =
8
27
;……………………………………………………………………………4分 （2)设点Ｄ、Ｍ、N 的纵坐标分别为y D 、y Ｍ、y N ,易知ＡD 为抛物线Γ:ｙ2=2px （p >０)的一条弦，M 是ＡＤ的中点,且Ａ、D 两点纵坐标之差为定值,｜y A –ｙＤ｜=2
a （a >0)，……６分
由已知的结论,得S △ＡM Ｄ=p a p a
168116)2(33
?=,…………………………………………8分
同理可得S △B ＮD =p
a p a 168116)2(33
?=；……………………………………………………9分
(3） 将(2)的结果看作是一次操作，操作继续下去,取每段新弦的中点作平行于x 轴的直线与抛物线得到交点,并与弦端点连接,计算得到新三角形面积。操作无限重复下去.
第一次操作，增加的面积为S △AMD 和S △BND =p
a p a 164116)21(233
?=?,………………1０分
第二次操作,增加了4个三角形,面积共增加了p a p a 1616116)41(233
2?
=?,………12分 第三次操作,增加了８个三角形，面积共增加了p
a p a 1664116)81(233
3?
=?，………1４分 ……
可得到一个公比为
1
4
的无穷等比数列,随着操作继续充分下去，这些三角形逐渐填满抛物线与弦AB 围成的“弓形”, (5)
因此“弓形面积”])41(161411[16lim 13-∞→+?+++=n n p a S p
a 123
=．………………1６分
21．解(1) 由ａn ＋１=2a n –1，得a n +1–1=2(ａｎ–1)，且a 1–1＝1，
所以数列{a ｎ–1}是首项为1,公比为２的等比数列，……………………………………２分 所以a n –1=2n –1,
所以，数列{a ｎ｝的通项公式为ａ n =2n –１
+1．………………………………………………4分
(2)数列{a n ｝不是“等比源数列”，用反证法证明如下:
假设数列{a n }是“等比源数列”,则存在三项a m ,ａn ,a k （ｍ 因为a n =2n –1＋1，所以a m ＜a n ＜a k ， ………………………………………………………7分 所以a n 2=ａm ·a k ，得 (2n –1＋1）2＝(2m –1＋1）（２k –1+１),即22n –m –1＋２n –m +1–2ｋ–1 –２k –ｍ =１, 又m ＜ｎ＜ｋ，m ，n ，k ∈Ｎ＊， 所以２n –m –1≥1，n –m +1≥1,ｋ–1≥1,k –ｍ≥1， 所以2 ２n –ｍ–1 ＋2n –m +1–2 ｋ–1 –2k –m 为偶数，与2 ２n –m –１ +2n –m ＋ 1–2k –1–2 ｋ–m ＝1矛盾， 所以,数列｛a n }中不存在任何三项,按一定次序排列构成等比数列， 综上可得，数列{ａn ｝不是“等比源数列”; …………………………………………1０ 分 (3)不妨设等差数列｛ａｎ}的公差d≥０， 当d＝0时,等差数列｛a n}为非零常数数列,数列{a n}为“等比源数列”； 当d＞0时,因为a n∈Ｚ，则d≥1,且d∈Z，所以数列{a n}中必有一项a m>0， (2) 为了使得{a n}为“等比源数列”， 只需要｛aｎ}中存在第n项,第k项(m<ｎ＜k),使得a n２＝a m a k成立， 即[a m+(n–m)d]２=ａm[a m+(k–m）d],即（ｎ–ｍ)［2a m+（n–m)ｄ]=a m（k–m)成立， (5) 当n=a m＋ｍ，k＝2a m＋a m d+m时，上式成立,所以｛ａn}中存在ａｍ,a n,a k成等比数列, 所以，数列{a n｝为“等比源数列”.……………………………………………………18分注意:第(3）题批改时注意答案的验证.
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