2017_2018学年高中数学第一章三角函数1.3三角函数的诱导公式第1课时三角函数的诱导公式一～四优化练习

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第1课时 三角函数的诱导公式一～四
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．sin 120°cos 210°的值为( )

A．－34 B.34
C．－32 D.14
解析：由诱导公式可得，sin 120°cos 210°＝sin 60°×(－cos 30°)＝－32×32＝－
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，故选A.

答案：A
2．若α＋β＝π，则下列各等式不成立的是( )
A．sin α＝sin β B．cos α＋cos β＝0
C．tan α＋tan β＝0 D．sin α＝cos β
解析：sin α＝sin(π－β)＝sin β，A成立；
cos α＝cos(π－β)＝－cos β，∴cos α＋cos β＝0，B成立；
tan α＝tan(π－β)＝－tan β，∴tan α＋tan β＝0，C成立；
sin α＝sin β≠cos β，∴D不成立．
答案：D

3．已知α为第二象限角，且sin α＝35，则tan(π＋α)的值是( )

A.43 B.34
C．－43 D．－34
解析：因为α为第二象限角，所以cos α＝－ 1－352＝－45，所以tan(π＋α)＝tan
α＝sin αcos α＝－34.
答案：D
4．已知sin(θ＋π)<0，cos(θ－π)>0，则θ是第________象限角( )
A．一 B．二
C．三 D．四
解析：由sin(θ＋π)＝－sin θ<0⇒sin θ>0，cos(θ－π)＝－cos θ>0⇒cos θ<0，
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由 sin θ>0cos θ<0，可知θ是第二象限角，故选B.
答案：B
5．若角α和β的终边关于y轴对称，则下列各式中正确的是( )
A．sin α＝sin β B．cos α＝cos β
C．tan α＝tan β D．cos (2π－α)＝cos β
解析：∵α和β的终边关于y轴对称，∴不妨取α＝π－β，∴sin α＝sin (π－β)
＝sin β.
答案：A
6．计算sin(－1 560°)cos(－930°)－cos(－1 380°)· sin 1 410°等于________．
解析：sin(－1 560°)cos(－930°)－cos(－1 380°)·sin 1 410 °
＝sin(－4×360°－120°)cos(－3×360°＋150°)－cos(－4×360°＋
60°)sin(4×360 °－30°)
＝sin(－120°)cos 150°－cos 60°sin(－30°)

＝－32×(－32)＋12×12＝34＋14＝1.
答案：1
7．若tan(5π＋α)＝m，则α－3π＋π－α－α－π＋α的值为________．

解析：由tan(5π＋α)＝m，得tan α＝m.于是原式＝－sin α－cos α－sin α＋cos α＝tan α＋1tan α－1＝m＋1m－1.
答案：m＋1m－1
8．已知sin(125°－α)＝13，则sin(55°＋α)的值为________．
解析：因为(125°－α)＋(55°＋α)＝180°，所以sin(55°＋α)＝sin[180°－(125°
－α)]＝sin(125°－α)＝13.

答案：13
9．已知cos(α－75°)＝－13，且α为第四象限角，求sin(105°＋α)的值．
解析：∵cos(α－75°)＝－13＜0，且α为第四象限角，
∴α－75°是第三象限角，
∴sin(α－75°)＝－1－cos2α－
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＝－1－－132＝－223.
∴sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)]
＝－sin(α－75°)＝223.
10．设f(θ)＝π＋θ2π＋θ2π＋θθ－4ππ＋θ2－π＋θ.
(1)化简f(θ)；
(2)若θ＝660°，求f(θ)的值．

解析：(1)原式＝cos θ·cos2θ·sin2θsin θπ＋θ2θ

＝cos3θ·sin2θsin θ－sin θ2θ＝－cos θ.
(2)因为θ＝660°，
所以f(θ)＝f(660°)＝－cos 660°
＝－cos(720°－60°)＝－cos(－60°)＝－cos 60°

＝－12.
[B组 能力提升]
1．记cos(－80°)＝k，那么tan 100°＝( )

A.1－k2k B．－1－k2k
C.k1－k2 D．－k1－k2
解析：∵cos(－80°)＝cos 80°＝k，
∴sin 80°＝1－cos280°＝1－k2.

∴tan 80°＝sin 80°cos 80°＝1－k2k.

∴tan 100°＝tan(180°－80°)＝－tan 80°＝－1－k2k.
答案：B
2．在△ABC中，若sin(A＋B－C)＝sin(A－B＋C)，则△ABC必是( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形
解析：因为sin(A＋B－C)＝sin(A－B＋C)，所以sin(π－2C)＝sin(π－2B)，
即sin 2C＝sin 2B，所以2C＝2B或2C＝π－2B，
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即C＝B或C＋B＝π2，
所以△ABC是等腰或直角三角形．
答案：C
3.1－π＋π－＝________.
解析：1－2sinπ＋2cosπ－2＝1－2sin 2cos 2
＝|sin 2－cos 2|，

又∵π2＜2＜π，∴sin 2＞0，cos 2＜0，
∴原式＝sin 2－cos 2.
答案：sin 2－cos 2
4．设f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a，b，α，β∈R，且ab≠0，α≠kπ(
k
∈Z)．若f(2 009)＝5，则f(2 010)等于________．
解析：∵f(2 009)＝asin(2 009 π＋α)＋bcos(2 009 π＋β)＝－asin α－bcos β＝5，
∴asin α＋bcos β＝－5.∴f(2 010)＝asin α＋bcos β＝－5.
答案：－5

5．已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝23(π2<α<π)，求：
(1)sin α－cos α；
(2)sin3(2π－α)＋cos3(2π－α)的值．

解析：由sin(π－α)－cos(π＋α)＝23，

得sin α＋c os α＝23.
∴1＋2sin αcos α＝29，2sin αcos α＝－79.
(1)(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋79＝169，
∵π2<α<π，∴sin α>0，cos α<0.
∴sin α－cos α>0，∴sin α－cos α＝43.
(2)原式＝cos3α－sin3α
＝(cos α－sin α)( cos2α＋cos αsin α＋sin2α)
＝(cos α－sin α)(1＋cos αsin α)
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＝－43×(1－718)
＝－43×1118＝－2227.
6．在△ABC中，已知sin(2π－A)＝－2sin(π－B)，3cos A＝－2 cos(π－B)，求△
ABC
的三个内角．

解析：由已知得sin A＝2sin B，3cos A＝2cos B，上式两端分别平方，再相加得2cos
2
A

＝1，

所以cos A＝±22.

若cos A＝－22，则cos B＝－32，
此时A，B均为钝角，不符合题意．
所以cos A＝22，

所以cos B＝32cos A＝32.
所以A＝π4，B＝π6，C＝π－(A＋B)＝7π12.