平面向量在我国的这一次课程改革中之所以被列入高中数学必学内容

1 对平面向量的教学研究 一、教材的研究 向量是近代数学中重要和基础的数学概念之一，它具有几何形式和代数形式的“双重身份”，因而成为数形结合的桥梁，成为沟通代数、几何、三角的得力工具.向量的概念从大量的生活实例和丰富的物理素材中抽象出来，反过来，它的理论和方法又成为解决生活实际问题和的物理学重要工具.它之所以有用，关键是它具有一套良好的运算性质，可以使复杂问题简单化、直观化，使代数问题几何化、几何问题代数化.正是由于向量所特有的数形二重性，使它成为中学数学知识的一个交汇点，成为联系多项内容的媒介，在高中数学教学内容中有广泛的应用.本节课是向量的入门课，概念较多，但难度不大，学生可借鉴对物理学中的位移、力、速度等的认识来学习. 平面向量在我国的这一次课程改革中之所以被列入高中数学必学内容，主要基于以下几个原因： 1．平面向量这部分知识本身很重要，作为工具性知识广泛应用于三角、解析几何、立体几何的教学中，可以利用向量处理传统内容．例如在三角部分，利用向量证明正弦定理、余弦定理，既简捷又易于接受；在立体几何、解析几何部分，利用空间向量证明直线与平面的性质定理，较好地处理直线与平面、平面与平面的位置关系以及平面上涉及相关点的轨迹问题等；在复数中，向量与复数结合，使复数更形象化，复数运算具有几何意义． 2．平面向量是数形结合的桥梁．利用向量，可以将形的关系转化为代数运算。通过建立有向线段、向量、坐标表示之间的联系，使平行、垂直、投影、两点间距离、线段定比分点，图形平移等问题代数化．因此，通过本章的学习，要使学生深刻体会形数结合的数学思想． 3．平面向量的观点、方法在物理和其它学科中有广泛的应用，如在位移（三角形法则）、力的合成与分解（平行四边形法则、平面向量基本定理）、功（向量的数量积）中的应用．更重要的是，通过学习要使学生明确之所以有这样广泛的应用，是因为数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学，来源于生产生活实际，又为解决生产生活实际中的问题服务． 下面具体对教材分析： （一）教材编写以实例为背景，关注了学生的现有认知水平 人教A版教材特别注意知识的实际背景和发生发展过程，对涉及到的概念、法则、公式，都力求通过学生熟悉的实物、事例、知识，并由学生自己观察、比较、分析、综合、抽象、概括得出结论。如： 1、向量的概念是通过物理中的位移、力的概念引出来的，在分析了位移和力这两种量都有大小、方向这两个共同属性后，概括出了向量的基本特征及概念。 2、向量的加法三角形法则是通过让学生观察位移的合成，平行四边形法则是通过让学生观察力的合成自然得出结论来的。 3、平面向量的正交分解是通过物理学中力的分解引出来的。 4、向量的数量积是通过物理学中力做“功”的概念引出来的。 教材正是注重了向量的这些实际背景，从学生熟悉的事例出发，才使这样一个崭新陌生的概念更加接近学生的现有认知水平，使学生理解起来感觉并不困难。 （二）重视学生思维能力的培养 教材对概念的引入、公式结论的推导，都尽量以问题的形式出现，引导学生进行观察、分析、概括得了结论，培养学生的思维能力。如： 1、在介绍向量加法运算时，先让学生观察实例：力 与力 在拉动橡皮条产生的效果与力 拉动橡皮条产生的效果完全一样，进而引导学生得出 的结论，在这个过程中，学生经历了观察、猜想、抽象、分析、归纳的思维过程，思维能力得到了锻炼和提高。 2、在推导平面向量基本定理时，先让学生思考平面内向量 与平面内两个不共线的向量 和 的关系，联想到向量加法的平行四边形法则和向量的数乘运算，通过作图和推理，得出一定存在两个实数 和 ，使得 ，进而归纳出平面向量的基本定理。这一过程要求学生用旧知识，通过逻辑推理得出新结论，培养了 2

学生的逻辑推理能力。 （三）注意数学思想方法的渗透 向量是用一种几何图形——可用有向线段来表示。向量有方向，可以用来刻画直线、平面等几何对象及它们的位置关系；向量是一个有长度的量，可以用来研究与长度、面积、体积有关的几何问题。其次，向量有自己的运算和运算规律，可以进行加、减、数乘、数量积等运算，在引入了向量坐标后，其运算更是转化为了一种数的运算。正是因为向量具有“数”与“形”的双重属性，才使向量成了“数形结合”的桥梁，使得我们可以用代数方法来研究几何问题，用几何观点来处理代数问题。本章教材内容也很好地体现了“数形结合”的思想。

二、教学内容 、目标、重难点的研究 本章教材主要包括这样三部分：首先介绍向量的几何表示（包括向量的加、减、数乘）；然后通过平面向量基本定理这一桥梁（虽然没有证明），引入向量的坐标表示，特别是突出了向量的数量积 与坐标形式 之间的关系，以及两个向量平行与垂直的条件；最后是应用，主要包括线段的定比分点坐标公式等，体现了教材在编写时不分学科（代数、几何）的特点。在这一章，向量的数量积是本章的一个重头戏，因为建立了向量的数量积的概念后，从几何意义上说，我们可以研究向量垂直以及向量之间的夹角。 具体来说： （一）、本章教学内容可分成两块：第一向量及其运算，第二解斜三角形。 1、 平面向量基本知识，向量运算。具体教学内容有: 向量的概念、向量的加法与减法、实数与向量的积、平面向量的数量积及运算律。 2、 平面向量的坐标运算, 联结几何运算与数量运算的桥梁。具体教学内容体有: 平面向量的坐标运算, 向量加减运算、实数与向量的积运算、平面向量的数量积的坐标表示。 3、 平面向量的应用, 具体教学内容有:线段的定比分点，向量垂直以及向量之间的夹角。 （二）、教学目标： 1、理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。 2、掌握向量的加法和减法。 3、掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件。 4、了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。 5、掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。 6、掌握平面两点间的距离公式以及线段的定比分点和中点坐标公式，并能熟练运用。 （三）、教学重点 向量的几何表示，向量的加、减运算及实数与向量的积的运算，平面向量的数量积，向量的坐标运算，向量垂直的条件，平面两点间的距离公式及线段的定比分点和中点坐标公式， （四）、教学难点 向量的概念，向量运算法则及几何意义的理解和应用等。

三、教学过程的研究 教材编排的特点决定了在教学中处理本章时，有别于其它章节。 1、教材在本章处理上，充分体现了数形结合的思想。 首先教材通过求小船由A地到B地的位移来引入向量，根据学生思维特点，由具体到抽象，以平面几何知识为背景。在概念、法则及例题的编辑上都尽量配了图形，并安排了较多的作图练习、看图练习及作图验证练习等，为学生积极参与教学活动提供了条件，为发挥学生学习的主体作用提供了条件，这样既抓住了平面向量的特点，又使学生通过操作性练习达到对新概念的理解。其次，本章各节的例题、练习、习题等配备量适中，可以使教学有较充分的自主空间，为教学提供了师生互动的空间，为学生提供了探究、发现与归纳的机会, 也为教师根据教学目标，对教材进行再加工提供了可能。 2、利用"向量法"解决实际问题是本章的显著特点之一。向量与几何之间存在着密切联系；向量又有加、 3

减、数乘积及数量积等运算，也有平面向量的坐标运算，因而向量具有几何和代数的双重属性，能联系几何与代数，从而给了我们一种新的数学方法——向量法； 向量法能将技巧性解题化成算法性解题，正、余弦定理的推导就采用了向量法，为以后学习解析几何与立体几何打下了基础。 3、强化数学能力是本章的另一显著特点。由于本章的向量法的精髓就是将技巧性解题思路化成算法性解题思路；利用所学知识解决实际问题的能力作为本章的重要教学要求；为了更好地培养学生应用数学知识解决实际问题的能力和实际操作能力， 教材还安排了"实习作业", 通过实际测量, 使学生能运用正、余弦定理来解决实际问题，既体现了数学的工具作用和应用性，又从另一个方面促进了学生对知识的理解与掌握。 以此来强化学生根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理；能根据问题的条件和目标，寻找与设计合理、简捷的运算途径；能根据要求对数据进行估计和近似计算，即运算能力。以此来强化学生能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，能理解对问题陈述的材料，并对所提供的信息资料进行归纳、整理和分类，将实际问题抽象为数学问题，建立数学模型；能应用相关的数学方法解决问题并加以验证，并能用数学语言正确地表述和说明，即实践能力。 依据教学内容、要求及本章的特点，根据学生认知水平和近几年的教学实践，对"平面向量"教学有如下的教学体会和教学建议： 教学体会： 1、认真研究《考试大纲》及教学要求和目标，分析本章节特点，根据学生原有知识结构对学习本章可能会产生的正负迁移作用，有针对性地设计教学计划，组织教学过程，做好学法指导。 2、在教学中重基础知识，重基本方法，重基本技能，重教材，重应用，重工具作用，不拔高，不选偏题和难题，遵循学生认知规律和按大纲要求进行。 3、抓住向量的数形结合和具有几何与代数的双重属性的特点，提高"向量法"的运用能力，充分发挥工具作用。在教学中引导学生理解向量怎样用有向线段来表示，掌握向量的三种运算，理解向量运算和实数运算的联系和区别，强化本章基础。 4、利用解三角形的应用问题，结合教学过程进行数学建模的训练，要引导学生识记、区分和理解正、余弦定理的应用范围，会对公式进行变形；在运用公式解三角形时，会分类讨论三角形类型；指导学生在解三角形时掌握正、余弦定理的选用与寻找合理、简捷的运算途径的关系，总结出解与三角形有关的应用问题 5、强化数形结合的思想，化归的思想，分类与讨论的思想，方程的思想等；加强学生运算能力的培养和提高。引导学生理解本章平移知识与函数图像平移的联系和区别；理解解三角形与三角函数的联系；注意区分两向量的夹角与直线的夹角概念。 教学建议： （一）深刻理解课程标准，准确把握教学要求 根据课标要求，在教学中要力求把握好以下几个层次的要求： 了解层次：向量的实际背景；共线向量的概念；向量的线性运算性质；平面向量的基本定理及意义。 理解层次：向量的概念及几何表示；向量的加法、减法、数乘运算的几何意义；共线向量的含义，共线条件的坐标表示；平面向量的数量积的含义及其物理意义。 掌握层次：向量的加法、减法、数乘运算；平面向量的正交分解及坐标表示；数量积的坐标表达式；向量垂直、平行的充要条件；平面向量的坐标运算；距离公式、夹角公式。 （二）夯实基础，训练技巧，培养能力 向量这一章涉及的新概念、新运算、新公式、新符号、新定理较多，特别是向量的运算及运算规律又很容易与实数的运算及运算规律相混淆，教学中应特别注重基础知识的教学和基本技能的训练，并对容易出错的知识板块，以专题的形式进行强化。可以将本章基础知识进行分类归纳为： 概念类：向量、相等向量、相反向量、平行向量（共线向量）、向量的模、两向量的夹角、一个向量在另一个向量方向上的投影、向量的坐标等。 运算类：向量的加法、减法、数乘、数量积运算及其几何意义、坐标表示。 结论类：平面向量的基本定理；两个向量平行或垂直的充要条件。 应用类：用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学及其它一些实际问题；体会向量“数”“形”的