人教版2020九年级数学下册 第1章 二次函数 1.5 二次函数的应用练习 (新版)湘教版

《二次函数的应用》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业设计旨在巩固学生对二次函数概念的理解，加深对二次函数图像及性质的认识，并初步掌握二次函数在实际问题中的应用。

通过作业练习，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，提高学生的数学思维和逻辑推理能力。

二、作业内容（一）知识点回顾复习二次函数的定义、标准形式、图像及性质，包括开口方向、顶点坐标等。

（二）基本练习1. 给出几个二次函数的标准形式，要求学生画出其图像并标出关键点。

2. 练习二次函数与一元二次方程的关系，包括求解一元二次方程的根等。

（三）应用练习1. 实际问题背景下的二次函数应用，如抛物线运动轨迹、桥梁拱形设计等。

2. 通过实际问题的数据分析，构建二次函数模型并求解相关问题。

（四）拓展延伸提供一些较复杂的实际问题，鼓励学生进行小组讨论，合作探索如何运用二次函数知识解决这些问题。

三、作业要求1. 学生在完成作业时，应注重理解题目的背景和要求，明确解题思路和步骤。

2. 作业中的基本练习部分要求独立完成，应用练习和拓展延伸部分可与同学交流讨论，但需注明思路来源。

3. 作业应书写工整，步骤清晰，逻辑严密，计算准确。

4. 遇到问题时，应主动查阅资料或请教老师、同学，不得抄袭他人作业。

5. 按时提交作业，并做好自查自纠工作。

四、作业评价1. 教师根据学生作业的完成情况、解题思路、计算准确性等方面进行评价。

2. 对于基本练习部分，重点评价学生对二次函数概念及性质的掌握情况。

3. 对于应用练习和拓展延伸部分，重点评价学生运用数学知识解决实际问题的能力及创新思维。

4. 鼓励学生在作业中提出自己的见解和思考，对于有创新性的答案给予额外加分。

五、作业反馈1. 教师将根据学生作业中出现的共性问题进行课堂讲解和答疑。

2. 对于学生在作业中表现出的优点和不足，教师将给予及时的肯定和指导，帮助学生改进学习方法，提高学习效果。

3. 学生应根据教师的反馈意见，及时调整自己的学习方法和策略，努力提高自己的数学能力和水平。

第1章二次函数1.1 二次函数知|识|目|标1．结合具体情境分析二次函数表达式的特点，理解二次函数的有关概念，并且能够判别二次函数．2．通过对实际问题进行分析，能准确地用二次函数表达式表示实际问题中的函数关系．目标一能识别二次函数例1 教材补充例题下列函数中，属于二次函数的是( )A．y＝2x＋1 B．y＝(x－1)2－x2C．y＝2x2－7 D．y＝－1 x2【归纳总结】判定二次函数的三个关键点：(1)函数表达式是整式；(2)自变量的最高次数是2；(3)二次项系数不等于0.目标二会根据实际问题列二次函数表达式例2 教材例题针对训练如图1－1－1所示，长方形ABCD的长为5 cm，宽为4 cm，如果将它的长和宽都截去x cm，那么剩下的小长方形AB′C′D′的面积为y cm2.(1)写出y与x之间的函数表达式；(2)上述函数是二次函数吗？(3)求自变量x的取值范围．图1－1－1【归纳总结】列二次函数表达式的步骤：(1)审清题意，找到实际问题中的已知量(常量)和未知量(变量)，分析数量之间的关系，找出等量关系；(2)根据实际问题中的等量关系，列出二次函数表达式，并化成一般形式；(3)根据问题的实际意义及所列函数表达式，确定自变量的取值范围．知识点一二次函数的概念定义：如果函数的表达式是自变量的二次多项式，那么，这样的函数称为二次函数，它的一般形式是y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)．其中a是____________，b是____________，c是________．[点拨] 确定二次函数表达式的各项系数时，必须先将函数表达式化为一般形式，且系数都包括它前面的符号．知识点二建立二次函数模型建立二次函数模型的步骤：①审清题意，找出实际问题中的已知量和未知量，将文字、图形语言转化为数学符号语言；②找出等量关系；③设出表示变量的字母，用含字母的代数式替换找出的等量关系，并将表达式写成用自变量表示因变量的形式；④计算并确定自变量的取值范围．[点拨] 从实际问题中建立函数模型时，自变量的取值要满足两个条件：(1)使函数表达式有意义；(2)使实际问题有意义．已知关于x的函数y＝kxk2－3k＋2＋(k－3)x＋1是二次函数，求k的值．解：令等号右边第一项x的指数为2，即k2－3k＋2＝2，化简，得k2－3k＝0，解得k1＝0，k2＝3，所以k的值为0或3.以上解答过程不完整，请你进行补充．教师详解详析【目标突破】例1 C例2 [解析] 列二次函数表达式的关键是确定题目中y与x之间的等量关系．解：(1)根据长方形的面积公式，可得y＝(5－x)(4－x)＝x2－9x＋20，所以y与x之间的函数表达式为y＝x2－9x＋20.(2)上述函数是二次函数．(3)自变量x的取值范围是0<x<4.【总结反思】[小结] 知识点一二次项系数一次项系数常数项[反思] 补充如下：又因为此函数是二次函数，所以k≠0，所以k的值为3.。

小专题(二) 二次函数的图象与字母系数的关系抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象与字母系数a，b，c之间的关系：(1)当a>0时，开口向上，当a<0时，开口向下；(2)若对称轴在y轴的左边，则a，b同号；若对称轴在y轴的右边，则a，b异号；若对称轴为y轴，则b＝0；(3)若抛物线与y轴的正半轴相交，则c>0；若抛物线与y轴的负半轴相交，则c<0；若抛物线经过原点，则c＝0；(4)当x＝1时，y＝ax2＋bx＋c＝a＋b＋c；当x＝－1时，y＝ax2＋bx＋c＝a－b＋c；当x＝2时，y＝ax2＋bx＋c＝4a＋2b＋c；当x＝－2时，y＝ax2＋bx＋c＝4a－2b＋c；…；故要比较a＋b＋c与0的大小，只需看抛物线中横坐标为1的点与x轴的位置关系即可；(5)当对称轴为直线x＝1时，x＝－b2a＝1，所以－b＝2a，此时2a＋b＝0；当对称轴为直线x＝－1时，x＝－b2a＝－1，所以b＝2a，此时2a－b＝0；判断2a＋b大于或小于0，看对称轴与直线x＝1的位置关系；判断2a－b大于或小于0，看对称轴与直线x＝－1的位置关系；(6)b2－4ac>0⇔抛物线与x轴有两个交点；b2－4ac＝0⇔抛物线与x轴有一个交点；b2－4ac<0⇔抛物线与x轴无交点．1．(2018·深圳)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，下列结论正确是(C)A．abc＞0B．2a＋b<0C．3a＋c<0D．ax2＋bx＋c－3＝0有两个不相等的实数根2．(2017·黔东南)如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的对称轴为直线x ＝－1，给出下列结论：①b 2＝4ac ；②abc＞0；③a＞c ；④4a－2b ＋c ＞0，其中正确的有(C)A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．(2018·滨州)如图，若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)图象的对称轴为直线x ＝1，与y 轴交于点C ，与x 轴交于点A ，点B(－1，0)，则：①二次函数的最大值为a ＋b ＋c ；②a－b ＋c ＜0；③b 2－4ac ＜0；④当y ＞0时，－1＜x ＜3，其中正确的个数是(B)A ．1B ．2C ．3D ．44．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则|a －b ＋c|＋|2a ＋b|＝(D)A ．a ＋bB ．a －2bC ．a －bD ．3a5．(2018·达州)如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于点A(－1，0)，与y 轴的交点B 在(0，2)与(0，3)之间(不包括这两点)，对称轴为直线x ＝2.下列结论：①abc＜0；②9a＋3b ＋c ＞0；③若点M(12，y 1)，点N(52，y 2)是函数图象上的两点，则y 1＜y 2；④－35＜a ＜－25.其中正确的有(D) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个6．(2017·乌鲁木齐)如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点(－1，0)，且对称轴为直线x ＝1，有下列结论：①abc<0；②10a＋3b ＋c>0；③抛物线经过点(4，y 1)与点(－3，y 2)，则y 1>y 2；④无论a ，b ，c取何值，抛物线都经过同一个点(－c a，0)；⑤am 2＋bm ＋a≥0.其中所有正确的结论是②④⑤．。

2017-2018学年湘教版九年级数学下册第一章 二次函数1.1 二次函数要点感知 一般地，形如________(a ，b ，c 是常数，a ≠0)的函数，叫做二次函数，其中________是自变量,a 、b 、c 分别是函数解析式的________、________和________. 预习练习1-1 (怀化中考)下列函数是二次函数的是( )A.y=2x+1B.y=-2x+1C.y=x2+2D.y=21x-2 1-2 对于y=ax 2+bx+c ，有以下四种说法，其中正确的是( )A.当b=0时，二次函数是y=ax 2+cB.当c=0时，二次函数是y=ax 2+bxC.当a=0时，一次函数是y=bx+cD.以上说法都不对1-3 已知圆柱的高为14 cm ，写出圆柱的体积V(cm 3)与底面半径r(cm)之间的函数关系式：________.知识点1 二次函数的定义1.下列函数中，是二次函数的有( )①y=1-2x 2；②y=21x ；③y=x(1-x)；④y=(1-2x)(1+2x).A.1个B.2个C.3个D.4个 2.圆的面积公式S=πR 2中，S 与R 之间的关系是( )A.S 是R 的正比例函数B.S 是R 的一次函数C.S 是R 的二次函数D.以上答案都不对3.若y=(a+2)x 2-3x+2是二次函数，则a 的取值范围是________.4.已知二次函数y=1-3x+5x 2，则二次项系数a=_______，一次项系数b=_______，常数项c=_______.5.已知两个变量x,y 之间的关系式为y=(a-2)x 2+(b+2)x-3.(1)当_______时，x,y 之间是二次函数关系；(2)当_______时，x,y 之间是一次函数关系.6.已知两个变量x 、y 之间的关系为y=(m-2)22m x +x-1，若x 、y 之间是二次函数关系，求m 的值.知识点2 实际问题中的二次函数解析式7.国家决定对某药品价格分两次降价，若设平均每次降价的百分率为x ，该药品原价为18元，降价后的价格为y 元，则y 与x 的函数关系式为( )A.y=36(1-x)B.y=36(1+x)C.y=18(1-x)2D.y=18(1+x 2)8.已知一个直角三角形两直角边的和为10，设其中一条直角边为x ，则直角三角形的面积y 与x 之间的函数关系式是( )A.y=-21x 2+5x B.y=-x 2+10x C.y=21x 2+5x D.y=x 2+10x9.边长为20 cm 的正方形铁片，中间剪去一个边长是x(cm)的小正方形铁片，剩下的四方框铁片的面积y(cm 2)与x(cm)之间的函数关系是_______.10.某校九(1)班共有x 名学生，在毕业典礼上每两名同学都握一次手，共握手y 次，试写出y 与x 之间的函数关系式_______，它_______(填“是”或“不是”)二次函数.11.如图，有一个长为24米的篱笆，一面利用墙(墙的最大长度a 为10米)围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃.设花圃的宽AB 为x 米，面积为S 平方米.(1)求S 与x 的函数关系式；(2)如果要围成面积为45平方米的花圃，AB 的长为多少米?12.函数y=(m-n)x2+mx+n是二次函数的条件是( )A.m，n为常数，且m≠0B.m，n为常数，且m≠nC.m，n为常数，且n≠0D.m，n可以为任何常数13.在一定条件下，若物体运动的路程s(米)与时间t(秒)的关系式为s=5t2+2t，则当t=4时，该物体所经过的路程为( )A.88米B.68米C.48米D.28米14.二次函数y=x2+2x-7的函数值是8，那么对应的x的值是( )A.5B.3C.3或-5D.-3或515.判断函数y=(x-2)(3-x)是否为二次函数，若是，写出它的二次项系数、一次项系数和常数项；若不是，请说明理由.16.一块矩形的草地，长为8 m，宽为6 m，若将长和宽都增加x m，设增加的面积为y m2.(1)求y与x之间的函数关系式；(2)若要使草地的面积增加32 m2，长和宽都增加多少米?17.某商店经营一种小商品，进价为2.5元，据市场调查，销售单价是13.5元时，平均每天销售量是500件，而销售单价每降低1元，平均每天就可以多售出100件.假定每件商品降价x元，商店每天销售这种小商品的利润是y元，请写出y与x之间的函数关系式，并注明x的取值范围.挑战自我18.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=12 mm，BC=24 mm，动点P从点A开始沿边AB向B以2 mm/s的速度移动(不与点B重合)，动点Q从点B开始沿边BC 向C以4 mm/s的速度移动(不与点C重合).如果P、Q分别从A、B同时出发，设运动的时间为x s,四边形APQC的面积为y mm2.(1)求y与x之间的函数关系式；(2)求自变量x的取值范围；(3)四边形APQC的面积能否等于172 mm2.若能，求出运动的时间；若不能，说明理由.参考答案要点感知 y=ax 2+bx+c,x,二次项系数、一次项系数,常数项.预习练习1-1 C 1-2 D 1-3 V=14πr 2.1.C2.C3.a ≠-2.4.5，-3，1.5.(1)a ≠2 (2)a=2且b ≠-2.6.根据题意，得m 2-2=2且m-2≠0.解得m=-2.即m 的值为-2.7.C 8.A 9.y=400-x 2. 10.y=21x 2-21x ，是 11.(1)S=x(24-3x)，即S=-3x 2+24x.(2)当S=45时，-3x 2+24x=45.解得x1=3，x2=5.又∵当x=3时，BC＞10(舍去)，∴x=5.答：AB的长为5米.12.B 13.A 14.C15.y=(x-2)(3-x)=-x2+5x-6，它是二次函数，它的二次项系数为-1，一次项系数为5，常数项为-6.16.(1)y=x2+14x.(2)当y=32时，x2+14x=32.解得x1=2，x2=-16(舍去).答：长和宽都增加2米.17.降低x元后，所销售的件数是(500+100x)，则y=(13.5-2.5-x)(500+100x).即y=-100x2+600x+5 500(0<x≤11).挑战自我18.(1)由运动可知，AP=2x，BQ=4x，则y=21BC ·AB-12BQ ·BP=21×24×12-21·4x ·(12-2x)，即y=4x 2-24x+144.(2)∵0＜AP ＜AB ，0＜BQ ＜BC ，∴0<x<6.(3)四边形APQC 的面积能否等于172 mm 2.若能，求出运动的时间；若不能，说明理由.解：当y=172时，4x 2-24x+144=172.解得x 1=7，x 2=-1.又∵0<x<6，∴四边形APQC 的面积不能等于172 mm 2.。