引力场的能量动量

第１期１９９３年　河北大学学报（自然科学版）　Ｖ０ｌｌ　３　／一弓７　引力场的能量动量　墼　．　（天津医学院生物医学工程系物理教研室）　摘要　

Ｚ．ｉ’　

本文给出了引力场新的能量动量表达式，利用引力辐射验证了表述的合理性，当把这　种表述应用到孤立静态球砷称的（Ｓｃｈｗａｒｚ—ｓｈｉｌｄ）星体时，得到７　异乎寻常’的重要蛄　果：星体厦其产生的引力崎的总能量为２ＭＣ　Ｊ即除星体物质本身的能量ＭＣ　外．饨　『　力场总能量也为ＭＣ　。　

关键词：引力场能量动量　１　引言　广义桷　／｛｝记　

众所周知，引力场的能量动量问题至今还未得到完满的解决，是广义相对论的基本困　难之一。　分析各种不同形式的引力场能量动量表达式　”，在其微分守恒律的形式中，为　Ｅｉｎｓｔｅｉｎ—Ｔｏｌｌｍａｎ表述为：　

ＪＩａＨ／ｌａｙ—ＪＩｕ中Ⅲｕｕ表述为　段一土等表述为　胡宁的表述为　

［√＿＝＿（ｒ，：＋　］＝０　［一ｇ（ｒ，　＋ｆ　）］，　＝０，　ａ　［√＿＝＿（ｒ，　＋ｒ　＝０　［（　＋ｒ　）（一ｇ）　］，　＝０，ｎ为任意数　

＋收稿日期：１９９１　Ｉ２　１３　本文作者：男，５８岁，讲师　

（　）　（　）　（Ｄ）　“　）　

维普资讯 http://www.cqvip.com ３２·　河北大学学报（自热科学版）　１９９３年第ｌ期　（上述各式中　：，ｒ　，ｒ　，等皆为物质能量动量张量，而ｆ：，ｆ　，ｆ　等皆为引力场能量动　量）等等，都含有一系数，统一起来为（一ｇ）“，ｇ为引力场度规行列式的值。　利用四维Ｇａｕｓｓ定理，对于封闭系统，可得各相应的积分守恒律：　

Ｐ　＝　Ｊ　（　：＋ｆ：）ｄ　＝…　．　Ｐ㈨＝　１　４　）＋ｆ　）　ｄ　＝㈣　

和　Ｐ　＝１／ｃ　ｆＯ　＋　）（一ｇ）　ｄＶ＝ｃｏｎｓｔ，等等．　这里已很明显，因　：，　或　已经有明确定义为物质能量动量　ｎ＝０，所以微分守恒律应取（我们采用逆复张量形式）：　ｃｏｎｓｔ指常量　＋　］，　＝０．　

（密度）张量。取　

自然其相应的积分守恒律为　Ｐ　＝　＋Ｔ￣）ｄＶ”＝ＣＯＲｄ；ｆ（２）　

在第２节中，我们将着重从物理意义上引导出（１）式，井寻求和定出其中ｆ　＋Ｔ　的表达式，进而得到用引力度规和Ｃｈｒｉｓｔｏｆｆｅｌ符号（对称联络７表示的ｆ　的表述式）。　

２　引力场能量动量赝张量的新的表达式　

我们知道，从Ｅｉｎｓｔｅｉｎ引力场方程尺　一　Ｉ　Ｒｇ　＝ＫＴ　，可推导出广义协变微分守　

恒律　蛐　＝ｏ将Ｔ　；卢展开，得：　＝Ｔ蚶　＋ｒ　邮＋Ｉ１　＝ｏ移项，得：一　

＝ｒ：　＋ｒ：　，注意到此式等号右边项的构成，我们把物质场能量动量散度的负值　

，在物理上唯象地解释为物质场作用在引力场上的力Ｋ　，而其反作用一Ｋ　，即为　引力场作用在物质场上的力，也应为引力场能量动量赝张量ｔ　散度的负值一ｔ筇，口，这样就　有：ｆ　，口＝”为便于比较，对于引力场度规和Ｒｉｃｍａｎｎ张量的形成，也有场方程形式。　

皆沿用ｌｒｕ【４】。以０代４，实质不变。Ｋ　＝ｒ　＋Ｉ１　”＝一　，移并项，而　得：（ｆ　＋　），　＝０，此即（１）式．　下面来决定ｔ　＋Ｔ　的表达式，我们将沿着类似于￣ｑａＨａａｙ一．ｒｌｕ　ｍｕｌｌ［　和胡宁　。］　的路线进行考虑，对引力场中某一给定时空点Ｐ，选取局部惯性系，在其中，Ｐ点的时空　曲率张量　Ｆ内所有ｇ　和ｒ　都等于零．我们有　Ｒ”＝　ｇ　ｇ　｛ｇ知　＋ｇ　—ｇ　一ｇ　｝　（３）　

维普资讯 http://www.cqvip.com 引力场的能量动量　·３３·　其中ｇ＾ｕＪ　为ａ　ｇ　／ａ　ａ　，等等。（３）式又可写成：　１　＋　，　一ｚ　，　一　

由此，又得　ｇ　月　＝一ｇ　，　一ｊ１ｇ”ｇ　ｇ：　

利用上面结果，Ｅｉｎｓｔｅｉｎ张量Ｇ　三　帅一　１　ｇ卵Ｒ可写为　Ｇ　＝＾　：　

＾　＝ｇ　（船　ｇ　一ｇｇ　ｇ　），　．　上式左边的指标　下面的折线表示＾　对　是反对称的，　性，立刻得到：　＾　一＾　，　＝０．　

由Ｅｉｎｓｔｅｉｎ引力场方程：　

（６）　（７）　利用这个反对称　

（８）　Ｇ　＝ＫＴ　，Ｋ＝８７ｒｋ／ｃ　，　（９）　ｋ＝引力常数一６．６７０　ｘ　１０一ｃ　·ｇ　．Ｓ　－２

我们得到　７１　＝　＾　（１０）　

ｋ前系数是Ｉ，这是很重要的，是我们结果的特点，将（１Ｏ）式代人（８）式，得　Ｔ￣ｆｌ＝０　ｆｌ１）　

上式正是投有引力场存在时物质场所满足的能量动量守恒定律，在（Ｉ　１）式中所以不　出现引力场的能量动量，是因为在Ｐ点已经选取了局部惯性坐标系。当通过坐标变换反　回到原来的坐标时，因为ｇ　不为零，等式９不成立，我们可以引入由下式定义的ｔ　：　

ｆ　＋７１”＝　［＾　０２）　

在重新变换到上述局部惯性系中时，和（１０）式比较，可看到在局部惯性系中　ｔ　＝０。因此ｔ　可以看作是引力场的能量动量赝张量，因为ｔ　一般不是一个在任意坐标　变换下的张量。利用（８）式立刻得到　［ｆ　＋７１　］，卢＝０．　

即得到（１）式，所以（１２）式即为我们所决定的物质场和引力场总能量动量赝张量　ｔ　＋Ｔ　的表达式。　进一步，由（１２）式和（９）式，经过相当冗长的计算，可得ｔ　用引力度规和　Ｃｈｒｉｓｔｏｆｆｅｌ符号（对称联络）的表达式如下：　１）为了便于与ＪＩａＨｎａｙ一．ｒｌｕＣｍｕｎ的表示　进行比较，这里指标采用拉丁字母。　４　ｇ－　ｆ　ｇ　一ｇ—ｇ　）（ｒ　ｒ：，一ｒ　ｒ：　）＋ｇ　ｇ“（ｒ：　ｒ：＋ｒ　ｒ　一ｒ　ｒ：　

维普资讯 http://www.cqvip.com ‘３４。　坷北大学学报（自然科学版）　１９９３年第１期　ｒ　ｒ：　）＋（窖　ｇ　ｆＪ３）　和．ｒｌａＨｎａｙ一．ｒｌｕ￣ｔｕｕａ的表达式比较，可看出：在形式上，我们的表达式也较简单和　更有规律。　

３　弱场近似下的引力辐射　当物质Ｔ　分布在有限区域，离场源Ｔ　足够远处，引力场为弱场，引力波总可以近　似看成平面波，取波矢量船ｘ　轴，这时自由度只有２个，即仅需考虑ｈ　ｈ　。　

在这个沿着ｘ　轴传播的平面波内，引力场能流密度矢量ｉ显然只有其第三分量　Ｓ３４＝Ｏ　这里和下面对已有结果的简述，见［４３。　由于物质场能量动量张量Ｔ　的分量一般理解为：　、　

（ｒ　）＝ｆ　ｃ　ｋ　ｃｇ　）　

其中　Ｔ。ｋ——动量流密度的分量　能流密度　动量密度　ｗ——能量密度，　所以我们的引力场能量动量赝张量　的分量相应地也须理解为　

（】４）　

（　）　（　ｃｇ　）　（１４　其中各项的意义也相应如上，于是，引力场能流密度　Ｓ　３＝Ｃｔ。　≠Ｏ　０５）　

将ｔ　的普遍表达式（１３）代入（１５）式；保留二阶小量，注意仅须考虑ｈｌ１，　（ｈ２２　＿ｈ１１），ｈ１２，其余　。均为０，计算的结果是（以下只写出几个主要步骤）　

～　；　ｓ”ｓ　ｓ　》》　ｓ”ｓ～ｓ　》》）　

ｃＩｇＯａｇ　Ｓ３　》　）－ｔ－（ｇｌｔｇＩＩ　＋ｓ　ｓ　＋ｓ”ｓ　＋　”　）］｝　ａｘ　ａｘ　ａｘ　ａｘ。　３ｘ、ａｘ　Ｊ　

唧　＋　维普资讯 http://www.cqvip.com 『力场的能量动量　·３５·　ｇｈｌｌ　ａｈｌ　ｚ＋争ａ　ｈｌ２］　

１［：　＋ｚ　ａｈ　ｒ２　ａｈ］２］（１６）　

至此实质上已获得与ＹｌａＨａａｙ—Ｓｌｕ￣ｔｕｕｔｔ　相同的结果。　以下可以与［４］作相同的推演而得物质体系引力辐射功率用四极矩张量的表示式　塑＝善Ｄ＿－－＇　２ｄｔ　（７）　４５

ｃ　这一辐射公式与脉冲量ＰＳＲ１９１　３＋１６的引力辐射阻尼观测数据的综合分析符合得很　好　”，从而也就为我们关于引力场能量动量的理论和引力场能量动量赝张量Ｘ　的表达　式根馔了骆五Ｆ　

４孤立静态球对称星体的Ｓｃｈｗａ　ｒｚｓｃｈｉｌｄ引力场　

我们巳知，一个弧立静态球对称星体的Ｓｃｈｗａｒｚｓｃｈｉｌｄ　９１力场，其度规在直角坐标形　式中由下式给出：　－（１　（　：２＋　一　（１８）　

其中Ｋ是引力常数，Ｍ是星体的牛顿质量，则由（１８）式得：　ｇ　＝　（１＋　）　，　

ｇ　＝　００）～＝一（卜　）一　（１　）　，　ｇ　＝ｇ　Ｍ＝０，　ｇ＝ｇ１］ｇ２２ｇ　３，ｇ∞＝一（１一　）　（１＋　）ｍ（拉丁字母如１，ｍ等表１，２，３，下同）。　我们先计算星体及其Ｓｃｈｗａｒｚｓｃｈｉｌｄ引力场的总动量Ｐ　。　按（２　式，（１４）式和（１２）式，这里星体实即物质系　

Ｐ　去ｆ（ｒ　＋Ｉ１　）　ｆｃｇ　ｇ　ｇｇ　ｇ　）＿　

由（１９）式，得：　Ｐ　＝１　睹＿。（一ｇｇ　ｇ　。）。］，，　（２０）　

利用ｇ口“　定理，把垒空间体积分化为无穷大球面上的面积分，而有Ｐ　壶Ｉ［ｇ　（　一ｇｇ　ｇ　），ｏｌ，ｄＳ因这里度规皆为静态的，即与时间ｌ无关，故有　

Ｐ　＝０　（２１）　这个结果显然是合理的。　

下面再用我们的公式计算星体及其引力场的总能量Ｐ　。由（１２）和（１４）式。取总　

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