积商的变化规律

积和商的变化规律
例1 两个数相乘，一个 因数扩大3倍，要使积 扩大9倍，另一个因数 应该怎样变化？
例 2 两数相乘，如果一个 因数扩大3倍，另一个因
数缩小12倍，积将有什么 变化？
例3 两数相乘，积是48。如
果一个因数扩大2倍，另一 个因数相乘，如果一 个因数增加3，积就增加 36，另一个因数减少5， 积就减少100，问原来两 个乘数的积是多少？
例5 两数相除，被除数 扩大30倍，除数缩小6 倍，商将怎样变化？
例6 两数相除，如果被除数
扩大30倍，要使商扩大60 倍，除数应该怎样变化？
例7 两数相除，商是13，如 果被除数扩大10倍，除数缩 小6倍，商应该怎样变化？ 商变为多少？
例8 两数相除，商是6，余 数是30，如果被除数和除 数同时扩大10倍，商是多 少？余数是多少？

四年级上册积和商的变化规律
在四年级上册，学生开始学习关于积和商的变化规律。

积是指两个或多个数相乘得到的结果，而商则是指一个数被另一个数除后得到的结果。

当学生开始学习乘法时，他们会逐渐掌握乘法表，并了解基本的乘法规律。

例如，当乘数为0时，无论被乘数是多少，积都为0。

当乘数为1时，积等于被乘数本身。

当乘数为10的倍数时，积具有特殊的规律，只需在被乘数末尾添加相应数量的0即可。

随着学生学习进程的推进，他们开始接触更复杂的乘法运算，并学习如何使用分配律、结合律和交换律来简化计算过程。

他们还会学习如何将大数进行估算以及如何使用近似值来计算积。

在商的部分，学生会学习如何用除法来计算两个数之间的商。

他们会学习长除法的方法，并逐步理解如何进行整数除法和小数除法。

学生也会学习如何将分数转化为小数，并通过除法运算来完成这一过程。

总之，在四年级上册，学生会逐步掌握积和商的变化规律，并学会运用这些规律来解决实际问题。

五年级数学培优-积商的变化规律【专题分析】积商的变化规律见下表：（m≠0）表1：一个因数（a）另一个因数（b）积（c）不变不变表2：被除数（a ）除数（b ）商（c）不变不变不变【名题精讲】例1、两数相乘，一个因数扩大3倍，要使积扩大9倍，另一个因数应该怎样变化？分析：一个因数扩大3倍，假设另一个因数不变，积就扩大3被；现在积要扩大9倍，另一个因数应怎样扩大3倍.9÷3=3答：另一个扩大3倍.两数相乘，一个因数扩大8倍，要使积缩小2倍，另一个因数应该怎样变化？例2、两数相乘，积是96，如果一个因数缩小4倍，另一个因数扩大3倍，那么积是多少？分析：一个因数缩小4倍，假设另一个因数不变，积缩小4倍.如果另一个因数再扩大3倍，则积又扩大3倍.此题也可用特殊值代入法.×÷m×÷m×÷m×÷m×÷m×÷m×÷m×÷m×÷m×÷m96÷4×3=72答：积是72.两数相乘，积是56，如果一个因数缩小2倍，另一个因数扩大3倍，那么积是多少？例3、两数相除，如果被除数缩小3倍，除数扩大2倍，商将怎样变化？分析：如果被除数缩小3倍，除数不变，商缩小3倍；除数扩大2倍，被除数不变，商缩小2倍.所以商最终缩小6倍.3×2=6答：商缩小6倍.两数相除，被除数扩大3倍，除数扩大15倍，商将怎样变化？例4、两数相除，被除数扩大30倍，要使商扩大60倍，除数应该怎样变化？分析：被除数扩大30倍，假设除数不变，商扩大30倍，现要使商扩大60倍，则除数应该缩小2倍.60÷30=2答：商缩小2倍.两数相除，除数扩大9倍，要使商缩小3倍，被除数应该怎样变化？例5、两数相除，商是4，余数是10，如果被除数和除数同时扩大50倍，商是多少？余数是多少？分析：被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数，商不变，但余数要扩大或缩小相同的倍数.10×50=500.10×50=500答：商是4，余数是50.两数相除，商是5，余数是15，被除数除数同时扩大10倍，商是多少？余数是多少？例6、 6÷2=3 如果被除数增加12，要想使商不变，除数增加几？分析：被除数增加12后，被除数是18，扩大了3倍，要想使商不变，除数也要扩大3倍，除数是6，除数增加了6-2=4.或者被除数增加12，增加了12÷6=2倍，要想使商不变，除数也要增加2倍，即2×2=4.（6+12）÷6=32×3-2=4答：除数增加4.12÷4=3，被除数增加48，要想使商不变，除数增加几？【实战演练】1、两数相乘，一个因数缩小5倍，要使积扩大10倍，另一个因数应该怎样变化？2、两数相乘，积是60，一个因数扩大10倍，另一个因数缩小2倍，积是多少？3、两数相除，被除数扩大10倍，除数缩小5倍，商将怎样变化？4、两数相除，被除数缩小12倍，要想使商缩小2倍，除数应该怎样边变化？5、两数相除，商是12，余数是120，如果被除数和除数同时缩小10倍，商是多少？余数是多少？6、18÷6=3，被除数减少12，要想使商不变，除数减少几？。

大胆的猜测一下：除法中有 没有类似的规律？如果有会是什 么规律呢？
验证第一个猜测：除数不变，被除 数和商的变化规律。
除数不变，被除数扩大（或缩 小）若干倍，商也相应的扩大 （或缩小）相同的倍数。
验证第二个猜测：被除数不变， 除数扩大或缩小，商会随之缩小 或扩大吗？
被除数不变，除数扩大（或 缩小）若干倍，商会相应的缩 小（或扩大）相同的倍数。
我们一起学习过积的变化规律，谁 还记得？
两数相乘（积不为0），一个因数不变， 另一个因数扩大（或缩小）若干倍，积也 相应的扩大（或缩小）相同的倍数；
两数相乘（积不为0），一个因数扩大若 干倍，另一个因数缩小相同的倍数，积不变。
我们都知道乘法和除法有着密切的 关系，现在我们发现了乘法中有这样 的规律，大家有什么想法？
三条变化规律：
除数不变，被除数扩大（或缩小） 若干倍，商也相应的扩大（或缩小） 相同的倍数；
被除数不变，除数扩大（或缩小） 若干倍，商会相应的缩小（或扩大） 相同的倍数；
被除数和除数同时扩大或缩小相 同的倍数时商不变。
有余数除法的变化规律
在有余数的除法里，如果 被除数和除数同时乘以（或除 以）相同的数（0除外），商不 变，余数也要乘以（或除以） 相同的数。
76800÷24= 34Βιβλιοθήκη ÷57=76800÷2400=
例2 小明在计算除法时，把除 数末尾的“0”漏写了，结果得到 的商是500，正确的商应该是多 少？
解： 50010=50 答：正确的商是50。
例3 除法算式1550200=7…150， 如果被除数和除数同时除以5，商是 多少，余数多少？
解：1505=30 答：商是7，余数是30。
3、验证第三个猜测：被除数扩大 （或缩小）若干倍，除数缩小（ 或 扩大）相同的倍数，商不变吗？