2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系（1）教学课时：第1课时教学目标：1、学生在初中已经掌握解一元二次方程的基础上，进一步深化对配方法的理解；2、通过对一元二次方程实根个数的讨论，进一步深入理解分类讨论的数学思想；3、引入换元法解一元二次方程的思想，体会数学学习过程中化繁为简解决问题的基本方法；4、结合具体的实际应用问题，让学生借助数学抽象转化为方程求解问题进行求解运算，提升数学抽象、数学运算的学科素养.教学重点：配方法求解一元二次方程，结合配方法深化对判别式研究一元二次方程根的判别.教学难点：对于通过换元可以化为一元二次方程的高次方程或者其他形式的方程的换元转化.教学过程：一、提出问题：《九章算术》第九章“勾股”问题二十：今有邑方不知大小，各中开门.出北门二十步有木，出南门一十四步，折而西行一千七百七十五步见木.问邑方几何.问题二十的译文：今有正方形小城，其边长是未知数，城墙各边正中都开有一门.出北门，20步处有一棵树，出南门14步，转向西走1775步恰好能看见那棵树.求正方形小城的边长是多少.根据题中的描述可作出示意图，如图所示，其中A点代表北门，B处是木，C点代表南门，而且20CD=，1775DE=，求正方形的边长.AB=，14【设计意图】1.以《九章算术》中的例子作为一元二次方程的引入，意在展示我国古代数学成就和我国数学文化悠久的历史，引导师生共同学习祖先留给我们的珍贵文化遗产，并激励学生将有关数学文化发扬光大.附.《九章算术》，我国古代数学专著，是《算术十书》（唐汉之间出现的十部算书）中最重要的一部，其作者已不可考，一般认为它是经过历代各家的增补修订而逐渐发展成为现今定本的.魏晋是刘徽为《九章算术》作注时说：“周公制礼而有九数，九数之流则《九章》是矣”，又说“汉北平侯张苍，大思农中丞耿寿昌皆以善算命世.苍等因旧文之遗残，各称删补，故校其目则与古或异，而所论多近语也”.可见《九章算术》上承先秦数学发展之源流，入汉之后又经许多学者的删补方才最后成书的，它的出现，标志着中国古代数学体系的形成.2.学生对于实际问题抽象得到的方程用上节课复习的十字相乘法求解有一定的困难，这就为引入配方法做好了准备.二、自主探索面对我们用因式分解法不容易得到解集的一元二次方程，我们该如何下手去研究呢？ 提出问题：你认为最简单的一元二次方程具有什么样的形式？可以怎样得到这种方程的解集？【设计意图】从最简单的、容易得到解集的一元二次方程出发，逐步一般化，引出配方法. 注意我们所想解决的是一类问题，而不是一个具体问题，所以我们首先研究的是可以化为2x t =的形式的一元二次方程的解集，其中t 为常数.【学生活动1】1.独立完成P48的第一个探索与发现；2.学生独立完成后相互交流下各自的答案.一般地，方程2x t =：一般地，方程()2x k t -=：【设计意图】对于大部分学生而言，答案不是问题，能否真的懂得“尝试与发现”想得到的内容才是关键，还有就是在发现过程中所蕴含的从特殊到一般的数学研究方法.书上之所以分成两个“尝试与发现”想必原因如此，交流过程中教师一定要帮助学生梳理下这类问题的研究方法：从特殊问题入手研究一类问题，然后适度放开限制条件，尝试把问题向已经掌握的特殊问题进行转化，最后彻底放开，结合前面的经验，把一般问题都转化为特殊问题进行解决.切忌不要变成背默填空的形式.【学生活动2】3.结合前面教师的讲解，学生尝试独立完成第二部分的“尝试与发现”；4.相互交流，谈谈“尝试与探究”的结果与初中所学的公式法求解的关系以及判别式研究方程根的情况的异同.一元二次方程()200ax bx c a ++=≠化为()2x k t -=的形式，过程如下：从而可知，24b ac ∆=-的符号情况决定了上述方程的解集情况：（3）当240b ac ∆=-<时，方程的解集为∅.【设计意图】本课时的主旨内容在此，数学探索过程远比数学求解过程重要的多，也是数学学习最想带给学生的最核心的“知识”，经历探索过程，体会数学的学习中从特殊到一般的研究方式和数学问题间相互转化的研究方法.三、例题讲解分析：面对一个有根号的方程，如何去掉根号化为一个普通方程是我们解决问题的关键.式是能否通过完全平方的方式去掉根号呢？所以2212y y -+=，所以()212y -=，方程两边平方得：2214x x x -+=，化简得：2610x x -+=，所以，2698x x -+=，所以，()238x -=，【设计意图】对于初中掌握的比较好的同学，这个问题初三就可以解决，这里提出这个问题我想是基于两方面的考虑（如果学生没有想到，不建议讲方法二），一个是突出换元法，另一个是关注使用换元法的限制条件（讲方法二的时候虽然不是换元法，但也要关注限制条件）.数学是一门追求严谨的科学，对于可能遇到的问题，尤其是变形中遇到的问题，一定要做好预案，这个预案可以是方式方法上的，如书上所强调的更换字母同时提出限制条件，也可以是思想上的，比如不更换字母，那么我们需要在一开始就想好我们对求解的未知数的限制.四、课堂练习1. 求下列方程的解集：（1）4220x x --=；【设计意图】巩固换元法求解一元二次方程，在求解的计算过程中，鼓励学生使用十字相乘法和配方法的求解方式的实数根，求实数m 的取值范围.参考答案： (1,0)(0,1)-【设计意图】以本节课所学内容为背景，进一步深化第一章的集合的相关内容，结合具体的问题，巩固方程根的判别.3. （课本第80页A组第15题）如图，要在长25m的墙EF的一边，通过砌墙来围一个矩形花园ABCD，与围墙平行的一边BC上要预留3m宽的入口（如图中MN所示，入口不用砌墙），用能砌46m长墙的材料砌299m？墙，当矩形的长BC为多少米时，矩形花园的面积为2【设计意图】再次体会数学抽象解决实际数学问题，学以致用.五、归纳总结：1.配方法从特殊到一般求解一般一元二次方程的过程；2.借助换元法转化为一元二次方程进行求解处理过程中的注意事项；3.中国古代数学专著《九章算术》赏析.。
“一元二次方程”学习重点一、本章知识结构1、知识结构梳理一元二次方程的定义直接开方法二元二次方程配方法一元二次方程的公式法实质问题一元二次方程解法因式分解法根的鉴别式一元二次方程的根与系数的关系应用二次三项式的可化为一元二次方程的方程因式分解列方程解应用题可化为一元二次方程的分式方程及应用2、定理公式总结(1)一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0(a≠0)(2)一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠ 0) 的求根公式：b b 2 4ac 2x 2a (b4ac 0).(3)一元二次方程的根的鉴别式：△=b2-4ac 。
* 原载于《教材全程全解同步精讲精练》(初三代数全一册 ) ，中国少年少儿第一版社,2004 年 5 月。
(4)一元二次方程的根的鉴别式定理： △＞ 0方程有两个不相等的实数根； △＝ 0方程有两个相等的实数根； △＜ 0方程没有实数根； △≥ 0方程有两个实数根。
(5)一元二次方程根与系数的关系定理：假如一元二次方程 ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两个实数根是x 1，x 2， 那么x 1 +x 2=b, x 1 x 2 c .推论 1：假如方程 x 2 a a+px+q=0 的两个实数根是 x 1，x 2，那么 x 1+x 2=-p ，x 1x 2=q.推论 2：以 x 1，x 2为根的一元二次方程 （二次项系数为1）是： x 2-( x 1+x 2)x+ x 1x 2=0(6)二次三项式因式分解公式：ax 2+bx+c=a(x-x 1)(x-x 2)。
此中x 1，x 2 是一元二次方程ax2≠ 的两个根。
+bx+c=0(a 0)(7)求一元二次方程两根 x 1，x 2 的对称式的值，常用公式：① x 12+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1x 2；② (x 1-x 2)2=(x 1+x 2)2-4x 1x 2 二、数学规律总结1、我们已学过的方程和方程组有整式方程（一元一次方程， 一元二次方程）、分式方程，二元一次方程组，二元二次方程组， 它们都属于代数方程中的有理方程。
