当前位置：文档之家 › 高一数学专题讲解：集合问题中求参数取值范围(一)

高一数学专题讲解：集合问题中求参数取值范围(一)

  • 格式：doc
  • 大小：1.34 MB
  • 文档页数：23

高一数学专题讲解集合问题中求参数的取值范围（一）主编：宁永辉老师主编单位：永辉中学生教育学习中心高考数学研究中心一、第一种题型： 【题型】：已知集合}|{b x a x A ≤≤=（其中a ，b 为实数，在具体题目中a ，b 两个实数的值是已知的），集合)}()(|{m g x m f x B ≤≤=（其中m 为参数，在具体的题目中参数m 是未知的，)(m f 、)(m g 都是关于参数m 的代数式），且满足B A ⊆。

求：参数m 的取值范围。

【解法】：第一步：画出数轴，在数轴上标出集合A 的区间，如下图所示：第二步：解析：B A ⊆：（1）、B A ⊆，表示集合A 中的所有元素都在集合B 中；（2）、B A ⊆，表示在数轴上集合B 的区间包含集合A 的区间，如下图所示：第三步：根据条件：B A ⊆在数轴上画出集合B 的区间，如下图所示：第四步：初步确定关于参数m 的不等式组。

根据数轴中各个数字的大小得到以下两个不等式： a m f <)(（1） b m g >)(（2）第五步：确定两个不等式是否可以取等号。

（1）、当a m f =)(时：在数轴上画出集合A 和集合B 的区间，如下图所示：如上图可以知道：B A ⊆成立，所以：a m f =)(成立。

（2）、当b m g =)(时：在数轴上画出集合A 和集合B 的区间，如下图所示：如上图可以知道：B A ⊆成立，所以：b m g =)(成立。

第六步：最终确定关于参数m 的两个不等式。

因为：题目已知)}()(|{m g x m f x B ≤≤=； 所以：得到第三个不等式：)()(m g m f ≤。

根据第四步、第五步和第六步的结论得到以上两个不等式： a m f ≤)( （1） b m g ≥)( （2） )()(m g m f ≤（3）第七步：解不等式组，得到参数m 的取值范围。

首先解每一个不等式，然后对三个不等式的解在数轴上求交集。

【经典例题】：【例题一】：已知集合}21|{≤≤-=x x A ，集合}2321{+≤≤-=m x m B ，且满足B A ⊆。

求：参数m 的取值范围。

【解析】：（1）、初步确定关于参数m 的两个不等式：数轴如下图所示：由图可以知道： 121-<-m （1） 223>+m （2） （2）、确定两个不等式是否可以取等号： 分类讨论：当121-=-m 时：数轴如下图所示：因为：满足B A ⊆；所以：121-=-m 成立。

②当223=+m 时：数轴如下图所示：因为：满足B A ⊆；所以：223=+m 成立。

（3）、最终确定关于参数m 的三个不等式： 因为：集合}2321{+≤≤-=m x m B ； 所以：2321+≤-m m （3）。

121-≤-m （1） 223≥+m （2） 2321+≤-m m （3） （4）、解不等式组求参数m 的取值范围： ①解不等式：121-≤-m 。

12222112121≥⇒--≥⇒-≤-⇒--≤-⇒-≤-m m m m m 。

所以：不等式：121-≤-m 的解为：),1[+∞∈m 。

②解不等式：223≥+m 。

003223223≥⇒≥⇒-≥⇒≥+m m m m 。

所以：不等式：223≥+m 的解为：),0[+∞∈m 。

③解不等式：2321+≤-m m511512322321-≥⇒≤-⇒-≤--⇒+≤-m m m m m m 。

所以：不等式：2321+≤-m m 的解为：),51[+∞-∈m 。

画出数轴，求三个不等式解的交集，如下图所示：所以：参数m 的取值范围：),1[+∞∈m 。

【例题二】：已知集合}043|{2≤--=x x x A ，集合}22|{22m m x m m x B +≤≤-=，且满足B A ⊆。

求：参数m 的取值范围。

【解析】：（1）、计算集合A 的取值范围。

解不等式：0432≤--x x 。

计算判别式0525)4(14)3(22>==-⨯⨯--=∆。

解一元二次方程：0432=--x x 的两个解分别为：41=x ，12-=x 。

二次函数：432--=x x y 的图像如下图所示：所以：不等式：0432≤--x x 的解为：]4,1[-∈x 。

（2）、初步确定关于参数m 的两个不等式：如下图所示：由图可以知道： 122-<-m m （1） 422>+m m （2）（3）、确定两个不等式是否可以取等号： 当122-=-m m 时：数轴如下图所示：因为：满足：B A ⊆；所以：122-=-m m 成立。

②当422=+m m 时：数轴如下图所示：因为：满足：B A ⊆；所以：422=+m m 成立。

（4）、最终确定关于参数m 的三个不等式。

因为：}22|{22m m x m m x B +≤≤-=； 所以：m m m m 2222+≤-（3）。

最终的三个不等式如下： 122-≤-m m （1） 422≥+m m （2） m m m m 2222+≤- （3） （5）、解不等式组得到参数m 的取值范围。

①解不等式：0121222≤++-⇒-≤-m m m m 。

计算判别式081)1(422>=⨯-⨯-=∆。

解一元二次方程：0122=++-m m 的两个解分别为：211-=m ，212+=m 。

二次函数：122++-=m m y 的图像如下图所示：所以：不等式：0121222≤++-⇒-≤-m m m m 的解为：]21,21[+-∈m 。

②解不等式：0424222≥-+⇒≥+m m m m 。

计算判别式018)4(1422>=-⨯⨯-=∆。

解一元二次方程：0422=-+m m 的两个解分别为：22321+-=m ，22322--=m 。

二次函数：422-+=m m y 的图像，如下图所示：所以：不等式：0424222≥-+⇒≥+m m m m 的解为：),2232[]2232,(+∞+-⋃---∞∈m 。

解不等式：002222222≥⇒≤-⇒+≤-m m m m m m 。

不等式：R m m ∈⇒≥02。

画出数轴，求三个不等式解的交集，如下图所示：所以：参数m 的取值范围：]2232,21[+--∈m 。

【跟踪训练】：【训练一】：已知集合}0232|{2≥++-=x x x A ，集合}1253|{+≤≤--=m x m x B ，且满足B A ⊆。

求：参数m 的取值范围。

【训练二】：已知集合}35|{≤≤-=x x A ，集合}325{+≤≤--=m x m B ，且满足B A ⊆。

求：参数m 的取值范围。

【训练三】：已知集合}0274|{2≤--=x x x A ，集合}23{22m m x m B +≤≤-=，且满足B A ⊆。

求：参数m 的取值范围。

【跟踪训练参考答案】： 【训练一答案】：（1）、计算集合A 的取值范围。

解不等式：02322≥++-x x 。

计算判别式05252)2(4322>==⨯-⨯-=∆。

解一元二次方程：02322=++-x x 的两个解分别为：211-=x ，22=x 。

二次函数：2322++-=x x y 的图像，如下图所示：所以：不等式：02322≥++-x x 的解为：]2,21[-∈x 。

（2）、初步确定关于参数m 的两个不等式。

关于参数m 的两个不等式： 2153-<--m （1） 212>+m （2） （3）、确定两个不等式是否可以取等号。

①当2153-=--m 时：数轴如下图所示：所以：因为：B A ⊆；所以：2153-=--m 成立。

②当212=+m 时：数轴如下图所示：所以：因为：B A ⊆；所以：212=+m 成立。

（4）、最终确定关于参数m 的三个不等式。

因为：集合}1253|{+≤≤--=m x m x B ； 所以：1253+≤--m m （3）。

最终关于参数m 的三个不等式如下： 2153-≤--m （1） 212≥+m （2） 1253+≤--m m （3）（5）、解不等式组，得到参数m 的取值范围。

①解不等式：2153-≤--m 。

2329321532153-≥⇒≤-⇒-≤-⇒-≤--m m m m 。

所以：不等式：2153-≤--m 的解为：),23[+∞-∈m 。

②解不等式：212≥+m 。

2112122212≥⇒≥⇒-≥⇒≥+m m m m 。

所以：不等式：212≥+m 的解为：),21[+∞∈m 。

③解不等式：1253+≤--m m 。

566551231253-≥⇒≤-⇒+≤--⇒+≤--m m m m m m所以：不等式：1253+≤--m m 的解为：),56[+∞-∈m 。

求三个不等式解的交集得到参数m 的取值范围，数轴如下图所示：所以：参数m 的取值范围：),21[+∞∈m 。

【训练二答案】：（1）、初步确定关于参数m 的两个不等式。

集合A 和集合B 满足：B A ⊆，在数轴上两个集合的区间如下图所示：如图可以知道： 55-<--m （1） 332>+m （2）（2）、确定两个不等式是否可以取等号。

①当55-=--m 时：数轴如下图所示：因为：满足：B A ⊆；所以：55-=--m 成立。

②当332=+m 时：数轴如下图所示：因为：满足：B A ⊆；所以：332=+m 成立。

（3）、最终确定三个不等式。

因为：集合}325{+≤≤--=m x m B ； 所以：325+≤--m m （3）。

55-≤--m （1） 332≥+m （2） 325+≤--m m （3） （4）、解不等式组得到参数m 的取值范围。

①解不等式：55-≤--m 。

005555≥⇒≤-⇒+-≤-⇒-≤--m m m m 。

所以：不等式：55-≤--m 的解为：),0[+∞∈x 。

②解不等式：332≥+m 。

002332332≥⇒≥⇒-≥⇒≥+m m m m 。

所以：不等式：332≥+m 的解为：),0[+∞∈x 。

解不等式：325+≤--m m 。

3883532325-≥⇒≤-⇒+≤--⇒+≤--m m m m m m 。

所以：不等式：325+≤--m m 的解为：),38[+∞-∈x 。

对三个不等式的解求交集得到参数m 的取值范围，如下图所示：所以：参数m 的取值范围：),0[+∞∈m 。

【训练三答案】：已知集合}0274|{2≤--=x x x A ，集合}23{22m m x m B +≤≤-=，且满足B A ⊆。

求：参数m 的取值范围。

（1）、求集合A 的取值范围。

解不等式：02842≤--x x 。

计算判别式09813249)2(44)7(22>==+=-⨯⨯--=∆。

合集下载

集合关系中的参数取值问题-高中数学知识点讲解

集合关系中的参数取值问题-高中数学知识点讲解

集合关系中的参数取值问题
1．集合关系中的参数取值问题
【知识点的认识】
两个或两个以上的集合中，元素含有待确定的变量，需要通过集合的子集、相等、交集、并集、补集等关系求出变量的取值等问题．
【解题方法点拨】
求参数的取值或取值范围的关健，是转化条件得到相应参数的方程或不等式．本题根据元素与集合之间的从属关系得到参数的方程，然后通过解方程求解．求解中需注意两个方面：一是考虑集合元素的无序性，由此按分类讨论解答，二是涉及其它知识点例如函数与方程的思想，函数的零点，恒成立问题等等．
【命题方向】
集合中的参数取值范围问题，一般难度比较大，几乎与高中数学的所以知识相联系，特别是与函数问题结合的题目，涉及恒成立，函数的导数等知识命题，值得重视．
2．并集及其运算
【知识点的认识】
由所有属于集合A 或属于集合B 的元素的组成的集合叫做A 与B 的并集，记作A∪B．
符号语言：A∪B＝{x|x∈A 或x∈B}．
图形语言：．
A∪B 实际理解为：①x 仅是A 中元素；②x 仅是B 中的元素；③x 是A 且是B 中的元素．
运算形状：
①A∪B＝B∪A．②A∪∅＝A．③A∪A＝A．④A∪B⊇A，A∪B⊇B．⑤A∪B＝B⇔A⊆B．⑥A∪B＝∅，两个集合都是空集．⑦A∪（∁U A）＝U．⑧∁U（A∪B）＝（CUA）∩（CUB）．
【解题方法点拨】解答并集问题，需要注意并集中：“或”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；注意并集中元素的互异性．不能重复．
【命题方向】掌握并集的表示法，会求两个集合的并集，命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域联合命题．。

根据集合求参数范围

根据集合求参数范围

根据集合求参数范围嘿，朋友们！咱们今天来聊聊“根据集合求参数范围”这事儿。

咱先来说说集合是啥？集合就像是一个大口袋，里面装着各种各样的东西。

那参数呢，就像是决定这个口袋大小和装啥东西的神秘密码。

比如说，有个集合 A = {x | 2 < x < 5}，另一个集合 B = {x | a < x <2a - 1}。

如果 A 包含于 B，那这参数 a 得是啥范围？这就好比 A 是个小箱子，B 是个大柜子，小箱子要能完全装进大柜子里，那大柜子不得足够大呀！咱们先看最小的数，A 里最小是 2，那 B 里的 a 就得小于等于 2 才行，不然 A 里的开头部分不就没地方放啦？再看最大的数，A 里最大是 5，那 B 里的 2a - 1 就得大于等于 5，要不然 A 里的尾巴不就露在外面啦？那要是两个集合相等呢？这就像两个一模一样的盒子，里面装的东西得完全一样。

那参数就得让两个集合的范围丝毫不差。

有时候，给的条件是两个集合没有交集。

这就好比两条平行线，永远碰不到一块儿。

那参数就得保证它们各走各的路，谁也别挨着谁。

再比如说，集合 A 是一些整数，集合 B 是关于某个参数的不等式的解集。

要让 A 和 B 有特定的关系，这就得好好琢磨琢磨那个不等式，找出参数的范围，就像给一个调皮的孩子定规矩一样，得恰到好处。

求参数范围可不能马虎，得仔细分析条件，就像走迷宫一样，一步一步找对路。

要是不小心走错了，那可就找不到正确答案啦！反正啊，根据集合求参数范围，得有耐心，有细心，还得有那么点儿小聪明。

多做几道题，多琢磨琢磨，您就会发现，这也没那么难，对吧？我的观点就是，只要掌握了方法，多练习，根据集合求参数范围这事儿就难不倒咱！。

高中数学求参数取值范围题型与方法总结归纳

高中数学求参数取值范围题型与方法总结归纳

参数取值问题的题型与方法一、若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。

例1．已知当x ∈R 时，不等式a+cos2x<5-4sinx+45-a 恒成立，求实数a 的取值范围。

解：原不等式即：4sinx+cos2x<45-a -a+5，要使上式恒成立，只需45-a -a+5大于4sinx+cos2x 的最大值，故上述问题转化成求f(x)=4sinx+cos2x 的最值问题。

f(x)= 4sinx+cos2x=-2sin 2x+4sinx+1=-2(sinx -1)2+3≤3,∴45-a -a+5>3即45-a >a+2，上式等价于⎪⎩⎪⎨⎧->-≥-≥-2)2(4504502a a a a 或⎩⎨⎧≥-<-04502a a ，解得≤54a<8. 另解：a+cos2x<5-4sinx+45-a 即a+1-2sin 2x<5-4sinx+45-a ,令sinx=t,则t ∈[-1,1],整理得2t2-4t+4-a+45-a >0,( t ∈[-1,1])恒成立。

设f(t)= 2t 2-4t+4-a+45-a 则二次函数的对称轴为t=1,∴f(x)在[-1，1]内单调递减。

∴只需f(1)>0,即45-a >a -2.(下同)例3．设直线l 过点P （0，3），和椭圆x y 22941+=顺次交于A 、B 两点，试求APPB的取值范围. 分析：本题中，绝大多数同学不难得到：AP PB =BAx x -，但从此后却一筹莫展, 问题的根源在于对题目的整体把握不够. 事实上，所谓求取值范围，不外乎两条路：其一是构造所求变量关于某个（或某几个）参数的函数关系式（或方程），这只需利用对应的思想实施；其二则是构造关于所求量的一个不等关系.思路1: 从第一条想法入手，AP PB =BA x x -已经是一个关系式，但由于有两个变量B A x x ,，同时这两个变量的范围不好控制，所以自然想到利用第3个变量——直线AB 的斜率k . 问题就转化为如何将B A x x ,转化为关于k 的表达式，到此为止，将直线方程代入椭圆方程，消去y 得出关于x 的一元二次方程，其求根公式呼之欲出.解1：当直线l 垂直于x 轴时，可求得51-=PB AP ；当l与x 轴不垂直时，设())(,,2211y x B y x A ，，直线l的方程为：3+=kx y ，代入椭圆方程，消去y得()045544922=+++kx x k，解之得 .4959627222,1+-±-=k k k x 因为椭圆关于y 轴对称，点P 在y 轴上，所以只需考虑0>k 的情形.当>k 时，4959627221+-+-=k k k x ，4959627222+---=k k k x ，所以21x x PB AP -==5929592922-+-+-k k k k =59291812-+-k k k =25929181k -+-.由 ()049180)54(22≥+--=∆k k , 解得952≥k ，所以51592918112-<-+-≤-k ，综上 511-≤≤-PB AP . 思路2: 如果想构造关于所求量的不等式，则应该考虑到：判别式往往是产生不等的根源. 由判别式值的非负性可以很快确定k 的取值范围，于是问题转化为如何将所求量与k 联系起来. 一般来说，韦达定理总是充当这种问题的桥梁，但本题无法直接应用韦达定理，原因在于21x x PB AP-=不是关于21,x x 的对称关系式。

集合求参数的取值范围技巧

集合求参数的取值范围技巧

集合求参数的取值范围技巧在数学和物理等学科中，我们经常遇到需要求解参数的取值范围的问题。

这些问题包括方程的解集、不等式的解集等等。

本文将介绍一些集合求参数取值范围的常见技巧，希望对读者有所帮助。

一、方程的解集在求解方程的解集时，我们常常需要确定参数的取值范围。

以一元二次方程为例，假设方程为 ax^2 + bx + c = 0。

其中，a、b、c均为已知常数，x为未知数。

我们可以利用二次函数图像的性质来求解方程的解集。

当且仅当二次函数图像与x轴有交点时，方程才有实数解。

首先，我们可以根据二次函数的开口方向和对称轴的位置来判断方程是否有解。

如果a>0，二次函数图像开口向上，对称轴在图像下方，方程有两个实数解。

如果a<0，二次函数图像开口向下，对称轴在图像上方，方程没有实数解。

其次，如果方程有解，则对称轴必定在x轴的上方或下方。

以二次函数的顶点坐标（h，k）为中心，向上画一条与x轴平行的直线。

如果该直线与二次函数图像有交点，说明方程有解；如果该直线与二次函数图像没有交点，说明方程无解。

因此，我们可以通过求解方程f(x) = k来确定参数的取值范围。

二、不等式的解集当求解不等式的解集时，我们也常常需要确定参数的取值范围。

不同类型的不等式有不同的解法，下面我们以一些常见的不等式类型进行讨论。

1. 一元一次不等式对于一元一次不等式，我们可以通过移项变换和分析函数的正负性来求解。

假设不等式为ax + b > 0。

首先，我们可以通过移项变换将不等式转化为等价的形式，即 ax > -b。

然后，我们根据a的正负来确定解集。

如果a>0，则x > -b/a，解集为(-b/a, +∞)；如果a<0，则x < -b/a，解集为(-∞, -b/a)。

2. 一元二次不等式对于一元二次不等式，我们可以通过求解二次函数的解集和分析函数的正负性来求解。

假设不等式为 ax^2 + bx + c > 0。