判断抽象函数单调性的四种策略

判断抽象函数单调性的四种策略
抽象函数问题是指没有明确给出具体函数表达式的问题。这类问题对发展学生思维能 力，
进行数学思想方法的渗透有较好的作用。本文准备就四种常见的抽象函数单调性的判 断策略做
一小结，供大家解题时参考。
1凑差策略

紧扣单调函数的定义，利用赋值，设法从题设中“凑出” “f(Xi)-f(X2)”，然后判断符
号。
例1已知函数f(x)对任意实数x、y均有f(x+y)=f(x)+f(y)，且当x>0时，f(x)>0，试判 断函
数f(x)的单调性。
解：由 f(x+y)=f(x)+f(y)得，f(x+y)-f(x)=f(y)
令 x+y=x2，x=X!，且 x产x2，
则有 f(X2)-f(Xi)=f(y)
■/
y=X2-x 1>0，二 f(y)=f(x 2-x i)>0，
即f(x i)例2设函数f(x)的定义域为(0，+X)，对任意正实数X、y均有f(xy)=f(x)+f(y)，且当 x>1
时f(x)>0，判断函数f(x)的单调性并说明理由。
解：由 f(xy)=f(x)+f(y)得，f(xy)-f(x)=f(y)
令 x+y=x 1，x=X2，且 X1>X2>0，
则有 f(xd-f(X2)=f(y)，
••• y弋 1，「• f(y) = fG) 0
即f(X 1)>f(x 2)，因此f(x)为增函数。
2添项策略

瞄准题设中的结构特点，采用加减添项或乘除添项，以达到确定“ f(Xi)-f(X2)”的符号
的目的。
例3 (题同例1)
解：设 X产X2，则 X2-Xi>0 ,
•••当 X>0 时，f(X)>0 ,.•• f(X 2-X i)>0
• •• f(X 2)-f(X i)=f[(X 2-X i)+X i]-f(X i)=f(X 2-X i)+f(X i)-f(X i)=f(X 2-X i)>0
即f(X i)例4 (题同例2)
解：设 0X
i

•••当 X>i 时 f(X)>0，• f(#) 0

• f(X2)-f(xi) = f & Xi) -f(xi) = f(^) 0
即f(X 2)>f(X i)，因此f(X)为增函数。
3增量策略

由单调性的定义出发，假设Xi例5 (题同例i)
解：对任意的 Xi、X2，设 Xi0)，
由题设 f(x+y)=f(x)+f(y)得
f(x 2)-f(X i)=f (Xi+ 3) -f(x i)=f(x i)+f( ®-f(x i)=f(
•••»0, • f( »0
，
即f(x 2)>f(x i)，因此f(x)为增函数。
例6设函数f(x)的定义域为 R，当x>0时，f(x)>i，且对任意的x、y R，均有
f(x+y)=f(x)f(y)成立。试判断函数f(x)的单调性并说明理由。
解：对任意的 Xi、X2，设 Xi0)， 则 f(x 2)-f(X i)=f (Xi+S)-f(X i)=f(x
I)f( ®-f(X I)=[f( ®-1]f(X 1
)

•••当 X>0 时，f(X)>1，二 f( S)-1>0
下面判断f(X 1)的符号：
••• f(x)二 fQ 昜二 f2(J)二 f(x) _0
若存在 X0 R 使 f(x 0)=0,则对任意的 x, f(x)=f[(x-x o)+x o]=f(x-x o)f(x 0)=0，这与
题设条件矛盾。因此f(x) 0，即
f(xj .0

这样，f(x 2)-f(x 1) >0，所以f(x)为增函数。
4放缩策略
结合添项策略，利用放缩法，判断f(Xj与f(X2)的大小关系，从而得f(x)的单调性。
例7 (题同例6)
解：设 x产X2，贝U X2-Xi>0，
■/当 x>0 时，f(x)>1，二 f(x 2-x i)>0，
二 f(x 2)=f[(x 2-x i)+X i]=f(x 2-x i)f(x i)>f(x i)(由上题知 f(x i)>0 )
即f(x)为增函数。
例8已知函数f(x)的定义域为(0，+X)，对任意正实数X、y均有f(xy)=f(x)f(y)，且 当x>1
时0解：设0•••当 x>1 时 0又由 f(xy)=f(x)f(y)中令 x>1，y=1 得 f(1)=1
当 01，
这样，f(x)>0恒成立。
••• f(X2)= fG X1)= f(¥)f(X1)：： f (X1)
即f(x)在(0, +x)上单调递减函数