(全国通用版)2020高考数学二轮复习 12+4分项练7 概率 文

12＋4分项练11 直线与圆1．(2018·襄阳调研)已知点P (1,2)和圆C ：x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，过点P 作圆C 的切线有两条，则k 的取值范围是( ) A ．RB.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，233C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，233D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，0 答案 C解析 圆C ：⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k 22＋()y ＋12＝1－34k 2，因为过P 有两条切线，所以P 在圆外，从而⎩⎪⎨⎪⎧1＋4＋k ＋4＋k 2>0，1－34k 2>0，解得－233<k <233.2．(2018·贵州省遵义航天高级中学模拟)在直角坐标平面内，过定点P 的直线l ：ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线m ：x －ay ＋3＝0相交于点M ，则||MP 2＋||MQ 2的值为( )A.102B.10 C ．5 D ．10 答案 D解析 ∵在平面内，过定点P 的直线ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线x －ay ＋3＝0相交于点M ， ∴P (0,1)，Q (－3,0)，∵过定点P 的直线ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线x －ay ＋3＝0垂直， ∴M 位于以PQ 为直径的圆上， ∵|PQ |＝9＋1＝10， ∴||MP 2＋||MQ 2＝10.3．(2018·泉州质检)已知直线l ：y ＝k (x －1)，圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2(r >0)，现给出下列四个命题：p 1：∀k ∈R ，l 与C 相交； p 2：∃k 0∈R ，l 与C 相切； p 3：∀r >0，l 与C 相交； p 4：∃r 0>0，l 与C 相切．其中真命题为( )A ．p 1，p 3B ．p 1，p 4C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4答案 A解析 因为圆C 是以(1,0)为圆心，以r 为半径的圆， 而直线l 是过点(1,0)，且斜率是k 的直线， 所以无论k ，r 取何值，都有直线过圆心，所以有∀k ∈R ，∀r >0，都有l 与 C 相交，所以真命题有p 1，p 3.4．(2018·西安市长安区联考)已知直线x ＋y －k ＝0(k >0)与圆x 2＋y 2＝4交于不同的两点A ，B ，O 是坐标原点，且有||OA →＋OB →≥33||AB →，那么k 的取值范围是( )A.()3，＋∞B.[)2，＋∞C.[)2，22D.[)3，22答案 C解析 设AB 的中点为D ，则OD ⊥AB ， 因为|OA →＋OB →|≥33|AB →|，所以|2OD →|≥33|AB →|，所以||AB →||≤23OD →， 因为||OD →2＋14||AB→2＝4， 所以||OD→2≥1，因为直线x ＋y －k ＝0(k >0)与圆x 2＋y 2＝4交于不同的两点， 所以||OD →2<4，所以1≤||OD →2<4，即1≤⎝⎛⎭⎪⎫||－k 22<4，且k >0， 解得2≤k <2 2.5．(2018·湖南师大附中月考)与圆x 2＋(y －2)2＝2相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有( ) A ．2条 B ．3条 C ．4条 D ．6条答案 B解析 直线过原点时，设方程为y ＝kx ，利用点到直线的距离等于半径可求得k ＝±1，即直线方程为y ＝±x ；直线不过原点时，设其方程为x a ＋ya＝1(a ≠0)，同理可求得a ＝4，直线方程为x ＋y ＝4，所以符合题意的直线共3条，故选B.6．(2018·湖北省荆、荆、襄、宜四地七校联考)若圆O 1：x 2＋y 2＝5与圆O 2：()x ＋m 2＋y 2＝20相交于A ，B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是( )A ．3B ．4C ．2 3D ．8 答案 B解析 由题意可知，O 1(0,0)，O 2(－m,0)， 根据圆心距大于半径之差而小于半径之和， 可得5<|m |<3 5. 再根据题意可得O 1A ⊥AO 2， ∴m 2＝5＋20＝25，∴m ＝±5， ∴利用|AB |2·5＝25×5＝10，解得|AB |＝4.7．(2018·河北省衡水中学模拟)若平面内两定点A ，B 间的距离为2，动点P 与A ，B 的距离之比为2，当P ，A ，B 不共线时，△PAB 面积的最大值是( )A ．2 2 B. 2 C.223 D.23答案 A解析 以线段AB 的中点O 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立如图所示的坐标系，则A (1,0)，B ()－1，0， 设P (x ，y )， 则(x －1)2＋y 2(x ＋1)2＋y2＝2，化简得()x ＋32＋y 2＝8， 当点P 到AB (x 轴)距离最大时，△PAB 的面积取得最大值，由圆的性质可得， △PAB 面积的最大值为12×2×22＝2 2.8．已知点A (2,3)，B (－3，－2)，若直线kx －y ＋1－k ＝0与线段AB 相交，则k 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，2 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，34∪[2，＋∞) C ．(－∞，1]∪[2，＋∞) D ．[1,2]答案 B解析 直线kx －y ＋1－k ＝0恒过点P (1,1)，k PA ＝3－12－1＝2，k PB ＝－2－1－3－1＝34，若直线kx －y ＋1－k ＝0与线段AB 相交，结合图象(图略)得k ≤34或k ≥2，故选B.9．已知点Q ()－1，m ，P 是圆C ：(x －a )2＋()y －2a ＋42＝4上任意一点，若线段PQ 的中点M 的轨迹方程为x2＋()y －12＝1，则m 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 D解析 设P (x ，y )，PQ 的中点为M ()x 0，y 0，则由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x －12，y 0＝y ＋m2.因为点M ()x 0，y 0在圆x 2＋()y －12＝1上， 所以⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋m 2－12＝1，即(x －1)2＋()y ＋m －22＝4.将此方程与方程(x －a )2＋()y －2a ＋42＝4比较可得⎩⎨⎧a ＝1，2a －4＝－()m －2，解得m ＝4.10．(2018·四川省绵阳市南山中学模拟)若圆x 2＋y 2＋4x －4y －10＝0上至少有三个不同的点到直线l ：ax ＋by ＝0的距离为22，则直线l 的斜率的取值范围是( ) A ．[2－3，2＋3] B ．[－2－3，3－2] C ．[－2－3，2＋3] D ．[－2－3，2－3]答案 B解析 圆x 2＋y 2＋4x －4y －10＝0可化为(x ＋2)2＋()y －22＝18，则圆心为(－2,2)，半径为32，则由圆x 2＋y 2＋4x －4y －10＝0上至少有三个不同的点到直线l ：ax ＋by ＝0的距离为22可得， 圆心到直线l ：ax ＋by ＝0的距离d ≤32－22＝2， 即||－2a ＋2b a 2＋b 2≤2，则a 2＋b 2－4ab ≤0，若b ＝0，则a ＝0，故不成立， 故b ≠0，则上式可化为 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ≤0.由直线l 的斜率k ＝－a b，可知上式可化为k 2＋4k ＋1≤0， 解得－2－3≤k ≤－2＋ 3.11．(2018·甘肃省西北师范大学附属中学诊断)若直线l ：ax ＋by ＋1＝0始终平分圆M ：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0的周长，则(a －2)2＋(b －2)2的最小值为( ) A. 5 B ．5 C ．2 5 D ．10 答案 B解析 由直线ax ＋by ＋1＝0始终平分圆M 的周长， 可知直线必过圆M 的圆心，由圆的方程可得圆M 的圆心坐标为(－2，－1)， 代入直线方程ax ＋by ＋1＝0可得2a ＋b －1＝0，又由(a －2)2＋(b －2)2表示点(2,2)与直线2a ＋b －1＝0上的任一点的距离的平方， 由点到直线的距离公式得d ＝||2×2＋2－15＝5，所以(a －2)2＋(b －2)2的最小值为d 2＝()52＝5.12．(2017·全国Ⅲ)在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP →＝λAB →＋μAD →，则λ＋μ的最大值为( )A ．3B ．2 2 C. 5 D ．2 答案 A解析 以A 为坐标原点，分别以AD ，AB 所在直线为x 轴，y 轴，建立如图所示的直角坐标系，则C 点坐标为(2,1)．设BD 与圆C 切于点E ，连接CE ，则CE ⊥BD . ∵CD ＝1，BC ＝2， ∴BD ＝12＋22＝5，EC ＝BC ·CD BD ＝25＝255，即圆C 的半径为255，∴P 点的轨迹方程为(x －2)2＋(y －1)2＝45.设P (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2＋255cos θ，y 0＝1＋255sin θ(θ为参数)，而AP →＝(x 0，y 0)，AB →＝(0,1)，AD →＝(2,0)．∵AP →＝λAB →＋μAD →＝λ(0,1)＋μ(2,0)＝(2μ，λ)， ∴μ＝12x 0＝1＋55cos θ，λ＝y 0＝1＋255sin θ.两式相加，得λ＋μ＝1＋255sin θ＋1＋55cos θ＝2＋sin(θ＋φ)≤3⎝⎛⎭⎪⎫其中sin φ＝55，cos φ＝255， 当且仅当θ＝π2＋2k π－φ，k ∈Z 时，λ＋μ取得最大值3.故选A.13．设直线l 1：(a ＋1)x ＋3y ＋2－a ＝0，直线l 2：2x ＋(a ＋2)·y ＋1＝0.若l 1⊥l 2，则实数a 的值为________，若l 1∥l 2，则实数a 的值为________． 答案 －85－4解析 若l 1⊥l 2，则2(a ＋1)＋3()a ＋2＝0， 整理可得5a ＋8＝0，求解关于实数a 的方程可得a ＝－85.若l 1∥l 2，则a ＋12＝3a ＋2≠2－a 1， 据此可得a ＝－4.14．在平面直角坐标系xOy 中，点P 是直线3x ＋4y ＋3＝0上的动点，过点P 作圆C ：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，切点分别是A ，B ，则|AB |的取值范围为__________． 答案 [3，2)解析 由题意知，圆心坐标为(1,1)，半径为1，要使AB 的长度最小，则∠ACB 最小，即∠PCB 最小，即PC 最小，由点到直线的距离公式可得点C 到直线3x ＋4y ＋3＝0的距离d ＝|3＋4＋3|5＝2，则∠PCB ＝60°，∠ACB ＝120°，即|AB |＝3，当P 在直线3x ＋4y ＋3＝0上无限远时，∠ACB 趋近180°，此时|AB |趋近直径2. 故|AB |的取值范围为[3，2)．15．在平面直角坐标系xOy 中，圆M ：x 2＋y 2－6x －4y ＋8＝0与x 轴的两个交点分别为A ，B ，其中A 在B 的右侧，以AB 为直径的圆记为圆N ，过点A 作直线l 与圆M ，圆N 分别交于C ，D 两点．若D 为线段AC 的中点，则直线l 的方程为________．答案 x ＋2y －4＝0解析 由题意得圆M 的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝5， 令y ＝0，得x ＝2或x ＝4，所以A (4,0)，B (2,0)． 则圆N 的方程为(x －3)2＋y 2＝1，由题意得直线l 的斜率存在，所以设直线l ：y ＝k (x －4)． 联立直线l 的方程和圆M 的方程消去y ， 得(1＋k 2)x 2－(8k 2＋4k ＋6)x ＋16k 2＋16k ＋8＝0， 所以4＋x C ＝8k 2＋4k ＋61＋k2，① 联立⎩⎪⎨⎪⎧(x －3)2＋y 2＝1，y ＝kx －4k ，得(1＋k 2)x 2－(8k 2＋6)x ＋16k 2＋8＝0， 所以4＋x D ＝8k 2＋61＋k 2，②依题意得x C ＋4＝2x D ，③ 解①②③得k ＝－12.所以直线l 的方程为x ＋2y －4＝0.16．已知圆C 1：(x －2cos θ)2＋(y －2sin θ)2＝1与圆C 2：x 2＋y 2＝1，下列说法中： ①对于任意的θ，圆C 1与圆C 2始终外切； ②对于任意的θ，圆C 1与圆C 2始终有四条公切线；③当θ＝π6时，圆C 1被直线l ：3x －y －1＝0截得的弦长为3；④若点P ，Q 分别为圆C 1与圆C 2上的动点，则|PQ |的最大值为4. 正确命题的序号为________． 答案 ①③④解析 对于①，我们知道两个圆外切等价于两个圆的圆心距刚好等于两个圆的半径之和，由题意，得圆C 1的半径为1，圆心坐标为(2cos θ，2sin θ)，圆C 2的半径为1，圆心坐标为(0,0)， 所以两个圆的圆心距为(2cos θ－0)2＋(2sin θ－0)2＝4cos 2θ＋4sin 2θ＝2. 又因为两圆的半径之和为1＋1＝2，所以对于任意θ，圆C 1和圆C 2始终外切，所以①正确；对于②，由①得，两圆外切，所以两圆只有三条公切线，所以②错误； 对于③，此时圆C 1的方程为：(x －3)2＋(y －1)2＝1， 故圆C 1的圆心坐标为(3，1)， 所以圆心到直线l 的距离为|(3)2－1－1|(3)2＋(－1)2＝12.又因为圆C 1的半径为1， 所以其所截的弦长为212－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝3，所以③正确；对于④，由①得，两圆外切，所以两圆上的点的最大距离就是两圆的直径之和， 因为C 1的直径为2，C 2的直径也为2， 故|PQ |的最大值为2＋2＝4.所以④正确． 故正确命题的序号为①③④.。

80分小题精准练(七)(建议用时：50分钟)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M ＝[－1,1]，N ＝{y |y ＝x 2，x ∈M }，则M ∩N ＝( )A ．[0,1]B ．[－1,1]C ．[0,1)D ．(0,1]2．(2019·武汉模拟)i 为虚数单位，复数z ＝1＋(1－i)2，则|z |＝( )A ．1B ．2 C.2 D.53．已知p ：1x ＜1，q ：2 019x ＞2 019，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．(2019·济南模拟)某地区某村的前3年的经济收入(单位：万元)分别为100,200,300，其统计数据的中位数为x ，平均数为y .今年经过政府新农村建设后，该村经济收入(单位：万元)在上年基础上翻番，则在这4年里经济收入的统计数据中，下列说法正确的是( )A ．中位数为x ，平均数为1.5yB ．中位数为1.25x ，平均数为yC ．中位数为1.25x ，平均数为1.5yD ．中位数为1.5x ，平均数为2y5．设向量a ＝(1，－1)，b ＝(sin 2α，cos 2α)，α∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2，a·b ＝12，则α＝( ) A.π6 B.π3 C.π4 D.π26．已知点P (3，2)为双曲线x 2a 2－y 2＝1(a ＞0)上一点，则它的离心率为( )A.32B.233C. 3 D ．237．(2019·贵阳模拟)小华的爱好是玩飞镖，现有如图所示的由两个边长都为2的正方形ABCD 和OPQR 构成的标靶图形，如果O 正好是正方形ABCD 的中点，而正方形OPQR 可以绕O 点旋转．若小华随机向标靶投飞镖，一定能射中标靶，则他射中阴影部分的概率是( )A.13B.14C.16D.178．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中x 的值是( )A ．2 B.92 C.32D ．3 9．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧ x －y －1≤0，x ＋y －3≥0，y －2≤0，则z ＝y 2－x 2xy 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－56，32 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，52 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，136 10．(2019·兰州模拟)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(0＜ω＜1，|φ|＜π2)的图象经过点(0,1)，且关于直线x ＝2π3对称，则下列结论正确的是( )A ．f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，2π3上是减函数 B ．若x ＝x 0是f (x )图象的对称轴，则一定有f ′(x 0)≠0C ．f (x )≥1的解集是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π，2k π＋π3，k ∈Z D ．f (x )图象的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0 11．(2019·四平模拟)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足x ＞0时，f (x )＝2πx －ln x ＋ln π2，则函数g (x )＝f (x )－sin x 的零点个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．512．(2019·郑州模拟)已知曲线C 1是以原点O 为中心，F 1，F 2为焦点的椭圆，曲线C 2是以O 为顶点，F 2为焦点的抛物线，A 是曲线C 1与C 2的交点，且∠AF 2F 1为钝角，若|AF 1|＝72，|AF 2|＝52，则△AF 1F 2的面积是( ) A. 3 B. 6 C ．2 D ．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．函数f (x )＝1－ln x 2x －2的定义域为________． 14．已知曲线y ＝1x ＋ln x a 在x ＝1处的切线l 与直线2x ＋3y ＝0垂直，则实数a 的值为________．15．(2019·洛阳模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若3sin A ＋cos A ＝2，c ＝2b ，|AB →＋2AC →|＝6，则边长a 的值为________．16．如图，已知多面体P ABCDE 的底面ABCD 是边长为1的正方形，P A ⊥平面ABCD ，ED ∥P A ，且P A ＝3ED ＝3AB ，现将△CDE以直线DE 为轴旋转一周，则直线BP 与动直线CE 所成角的范围为________．80分小题精准练(七)(建议用时：50分钟)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M ＝[－1,1]，N ＝{y |y ＝x 2，x ∈M }，则M ∩N ＝( )A ．[0,1]B ．[－1,1]C ．[0,1)D ．(0,1]A [因为M ＝[－1,1]，N ＝{y |y ＝x 2，x ∈M }＝{y |0≤y ≤1}，所以M ∩N ＝[0,1]，故选A.]2．(2019·武汉模拟)i 为虚数单位，复数z ＝1＋(1－i)2，则|z |＝( )A ．1B ．2 C.2 D.5D [z ＝1＋(1－i)2＝1－2i ，则|z |＝12＋(－2)2＝5，故选D.]3．已知p ：1x ＜1，q ：2 019x ＞2 019，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件B [由1x ＜1得，1－x x ＜0，即x －1x ＞0，得x ＜0或x ＞1，故p ：x ＜0或x ＞1；由2 019x ＞2 019得，x ＞1，故q ：x ＞1.所以p 是q 的必要不充分条件．]4．(2019·济南模拟)某地区某村的前3年的经济收入(单位：万元)分别为100,200,300，其统计数据的中位数为x ，平均数为y .今年经过政府新农村建设后，该村经济收入(单位：万元)在上年基础上翻番，则在这4年里经济收入的统计数据中，下列说法正确的是( )A ．中位数为x ，平均数为1.5yB ．中位数为1.25x ，平均数为yC ．中位数为1.25x ，平均数为1.5yD ．中位数为1.5x ，平均数为2yC [由数据100,200,300可得，前3年统计数据的中位数x ＝200，平均数y＝100＋200＋3003＝200.根据题意得第4年该村的经济收入的统计数据为600，则由数据100,200,300,600可得，这4年统计数据的中位数为200＋3002＝250＝1.25x ，平均数为100＋200＋300＋6004＝300＝1.5y ，故选C.] 5．设向量a ＝(1，－1)，b ＝(sin 2α，cos 2α)，α∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2，a·b ＝12，则α＝( ) A.π6 B.π3 C.π4 D.π2B [由题意，得a·b ＝sin 2α－cos 2α＝12，即cos 2α＝－12，又α∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2，所以2α∈(0，π]，则2α＝2π3，所以α＝π3，故选B.]6．已知点P (3，2)为双曲线x 2a 2－y 2＝1(a ＞0)上一点，则它的离心率为( ) A.32 B.233 C. 3 D ．23B [由双曲线x 2a 2－y 2＝1(a ＞0)可得b 2＝1.根据点P (3，2)在双曲线上可得9a 2－2＝1，得a 2＝3.e 2＝1＋b 2a 2＝1＋13＝43，得e ＝233，故选B.] 7．(2019·贵阳模拟)小华的爱好是玩飞镖，现有如图所示的由两个边长都为2的正方形ABCD 和OPQR 构成的标靶图形，如果O 正好是正方形ABCD 的中点，而正方形OPQR 可以绕O 点旋转．若小华随机向标靶投飞镖，一定能射中标靶，则他射中阴影部分的概率是( )A.13B.14C.16D.17D [如图，记OP 交AB 于H ，OR 交BC 于G .当H 不为AB 的中点时，过O 分别作OE ⊥AB 于E ，OF ⊥BC 于F ，则∠OEH ＝∠OFG＝90°，又O 正好是正方形ABCD 的中点，所以OE ＝OF ，∠EOF ＝90°，又∠GOH ＝90°，所以∠GOF ＝∠EOH ，所以△OEH 和△OFG 全等，所以阴影部分的面积与正方形OEBF 的面积相等，所以阴影部分的面积亦为标靶面积的17.当H 为AB 的中点时，阴影部分的面积为标靶面积的17.所以小华射中阴影部分的概率为17，故选D.]8．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中x 的值是()A ．2 B.92 C.32 D ．3D [如图，在长、宽、高分别为2,2，x 的长方体中还原该几何体，得该几何体为四棱锥，记为四棱锥S -ABCD ，则四棱锥S -ABCD 的体积V ＝13×12×(1＋2)×2×x ＝3，得x ＝3，故选D.]9．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧ x －y －1≤0，x ＋y －3≥0，y －2≤0，则z ＝y 2－x 2xy 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－56，32 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，52 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，136 A [作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，x ＋y －3≥0，y －2≤0表示的平面区域如图中阴影部分所示，其中A (2,1)，B (3,2)，C (1,2)．z ＝y 2－x 2xy ＝y x －x y ，令t ＝y x ，则z ＝t －1t ，因为t＝y x 表示可行域内任意一点(x ，y )与原点(0,0)的连线的斜率，所以t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，又z ＝t －1t 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上是单调递增函数，所以z ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32，故选A.]10．(2019·兰州模拟)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(0＜ω＜1，|φ|＜π2)的图象经过点(0,1)，且关于直线x ＝2π3对称，则下列结论正确的是( )A ．f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，2π3上是减函数 B ．若x ＝x 0是f (x )图象的对称轴，则一定有f ′(x 0)≠0C ．f (x )≥1的解集是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π，2k π＋π3，k ∈Z D ．f (x )图象的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0 D [由f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的图象经过点(0,1)，得sin φ＝12，又|φ|＜π2，所以φ＝π6，则f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6.因为f (x )的图象关于直线x ＝2π3对称，所以存在m ∈Z 使得2π3ω＋π6＝m π＋π2，得ω＝3m 2＋12(m ∈Z )，又0＜ω＜1，所以ω＝12，则f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6.令2n π＋π2≤12x ＋π6≤2n π＋3π2，n ∈Z ，得4n π＋2π3≤x ≤4n π＋8π3，n ∈Z ，故A 错误；若x ＝x 0是f (x )图象的对称轴，则f (x )在x ＝x 0处取得极值，所以一定有f ′(x 0)＝0，故B 错误；由f (x )≥1得4k π≤x ≤4k π＋4π3，k ∈Z ，故C 错误；因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0是其图象的一个对称中心，故D 正确．选D.]11．(2019·四平模拟)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足x ＞0时，f (x )＝2πx －ln x ＋ln π2，则函数g (x )＝f (x )－sin x 的零点个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．5C [函数g (x )＝f (x )－sin x 的零点个数即函数f (x )的图象与y ＝sin x 图象的交点个数．当x ＞0时，f (x )＝2πx －ln x ＋ln π2，则f ′(x )＝2π－1x ＝2x －ππx ，令f ′(x )＝0，则x ＝π2.当0＜x ＜π2时，f ′(x )＜0；当x ＞π2时，f ′(x )＞0，则f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，＋∞上单调递增，所以当x ＝π2时，f (x )取得最小值，且最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1，函数y ＝sin x 在x ＝π2处取得最大值1，所以当x ＞0时，f (x )的图象与y ＝sinx 的图象的交点有且只有一个，即⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1.又f (x )和y ＝sin x 均为奇函数，所以根据对称性知当x ＜0时，两函数图象有且只有一个交点．又两函数图象均过原点，所以函数f (x )的图象与y ＝sin x 图象的交点个数为3，即函数g (x )＝f (x )－sin x 的零点个数是3.]12．(2019·郑州模拟)已知曲线C 1是以原点O 为中心，F 1，F 2为焦点的椭圆，曲线C 2是以O 为顶点，F 2为焦点的抛物线，A 是曲线C 1与C 2的交点，且∠AF 2F 1为钝角，若|AF 1|＝72，|AF 2|＝52，则△AF 1F 2的面积是( ) A. 3 B. 6 C ．2 D ．4B [不妨设F 1位于x 轴负半轴，F 2位于x 轴正半轴，A (x 0，y 0)位于第一象限，如图所示．设抛物线的方程为y 2＝2px (p ＞0)．作抛物线的准线l ，则l 过F 1，过A 作AD 垂直于准线l 于点D ，由抛物线的定义可得|AD |＝x 0＋p 2＝|AF 2|＝52，所以y 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫722－⎝ ⎛⎭⎪⎫522＝ 6.因为点A 在抛物线上，所以y 20＝2px 0＝6.由⎩⎨⎧ 2px 0＝6，x 0＋p 2＝52，得⎩⎨⎧ p ＝2，x 0＝32或⎩⎪⎨⎪⎧p ＝3，x 0＝1，又∠AF 2F 1为钝角，所以p ＝2，所以F 2(1,0)，所以|F 1F 2|＝2，所以△AF 1F 2的面积S ＝12×2×6＝ 6.]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．函数f (x )＝1－ln x 2x －2的定义域为________． {x |0＜x ≤e ，且x ≠1} [由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1－ln x ≥0，2x －2≠0，解得0＜x ≤e ，且x ≠1，故函数f (x )的定义域为{x |0＜x ≤e ，且x ≠1}．]14．已知曲线y ＝1x ＋ln x a 在x ＝1处的切线l 与直线2x ＋3y ＝0垂直，则实数a 的值为________．25[因为y ＝f (x )＝1x ＋ln x a ，所以f ′(x )＝－1x 2＋1ax ，所以曲线y ＝1x ＋ln x a 在x ＝1处的切线l 的斜率k ＝f ′(1)＝－1＋1a .直线2x ＋3y ＝0的斜率k ′＝－23.因为切线l 与直线2x ＋3y ＝0垂直，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋1a ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝－1，得a ＝25.] 15．(2019·洛阳模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若3sin A ＋cos A ＝2，c ＝2b ，|AB →＋2AC →|＝6，则边长a 的值为________．3 [由3sin A ＋cos A ＝2得，sin(A ＋30°)＝1，又0°＜A ＜180°，所以A ＝60°.由|AB →＋2AC →|＝6，得(AB →＋2AC →)2＝36，即|AB →|2＋4AB →·AC →＋4|AC →|2＝36，又c ＝2b ，所以4b 2＋4×2b ×b ×cos 60°＋4b 2＝36，得b ＝3，则c ＝2 3.在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝3＋12－2×3×23×12＝9，得a ＝3.] 16．如图，已知多面体P ABCDE 的底面ABCD 是边长为1的正方形，P A ⊥平面ABCD ，ED ∥P A ，且P A ＝3ED ＝3AB ，现将△CDE以直线DE 为轴旋转一周，则直线BP 与动直线CE 所成角的范围为________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，5π12 [如图①，在多面体P ABCDE 中，过点B 作BG ∥CE ，则∠PBG 即为PB 与动直线CE 所成的最小角．因为AB ＝1，AP ＝3，P A ⊥AB ，所以∠PBA ＝π3.易得AG ＝DE ＝1，所以∠GBA ＝π4，所以∠PBG ＝π3－π4＝π12.△CDE 以直线DE 为轴旋转一周得到一个圆锥，如图②所示，其中CC ′为底面圆的直径．在图①中过点E 作EF ∥PB ，交CD 于F ，在图②中作同样的点F ，则∠CEF ＝π12，又DE ＝CD ＝1，所以∠CED ＝π4，所以∠CEC ′＝π2，则∠FEC ′为BP 与动直线CE 所成的最大角，∠FEC ′＝π2－π12＝5π12，故BP 与动直线CE 所成角的范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，5π12.① ②]。

[80分] 12＋4标准练(四)1．已知集合M ＝{x |x <1}，N ＝{x |2x >1}，则M ∩N 等于( ) A ．{x |0<x <1} B ．{x |x <0} C ．{x |x <1} D ．∅答案 A解析 N ＝{x |2x >1}＝{x |x >0}， ∵M ＝{x |x <1}，∴M ∩N ＝{x |0<x <1}．2．设i 是虚数单位，若复数z ＝i1＋i ，则z 的共轭复数为( )A.12＋12i B ．1＋12iC ．1－12iD.12－12i 答案 D解析 复数z ＝i 1＋i＝i ＋12，根据共轭复数的概念得到，z 的共轭复数为z ＝12－12i.3．(2019·泸州诊断)某体校甲、乙两个运动队各有6名编号为1,2,3,4,5,6的队员进行实弹射击比赛，每人射击1次，击中的环数如下表：则以上两组数据的方差中较小的一个等于( ) A.16 B.13 C.12 D ．1 答案 B解析 甲组数据为：6,7,7,8,7,7， 乙组数据为：6,7,6,7,9,7，所以甲组数据波动较小，方差也较小，甲组数据的平均数为x ＝16×(6＋7＋7＋8＋7＋7)＝7，方差为s 2＝16×[(－1)2＋0＋0＋12＋0＋0]＝13.4．(2019·河南名校联考)若函数f (x )＝x 3－2ln x ＋4，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为( ) A ．y ＝x ＋4 B ．y ＝x －3 C ．y ＝2x ＋3 D ．y ＝3x ＋2答案 A解析 依题意知f (1)＝5，f ′(x )＝3x 2－2x ，f ′(1)＝1，由点斜式得y －5＝x －1，即切线方程为y ＝x ＋4.5．已知|a |＝1，|b |＝2，且a ⊥(a －b )，则向量a 在b 方向上的投影为( ) A ．1 B. 2 C.12 D.22 答案 D解析 设a 与b 的夹角为θ， ∵a ⊥(a －b )，∴a ·(a －b )＝a 2－a ·b ＝0， 即a 2－|a |·|b |cos θ＝0， ∴cos θ＝22， ∴向量a 在b 方向上的投影为|a |·cos θ＝22. 6．(2019·东北三省四市模拟)我国古代数学名著《九章算术·商功》中阐述：“斜解立方，得两堑堵．斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣．”若称为“阳马”的某几何体的三视图如图所示，图中网格纸上小正方形的边长为1，则对该几何体描述：①四个侧面都是直角三角形；②最长的侧棱长为26；③四个侧面中有三个侧面是全等的直角三角形；④外接球的表面积为24π.其中正确的个数为()A．0 B．1 C．2 D．3答案 D解析由三视图可知，该几何体为四棱锥P－ABCD，四边形ABCD为矩形，AB＝4，AD＝2，PD⊥平面ABCD，PD＝2，对于①，易证AB⊥平面P AD，BC⊥平面PCD，故四个侧面都是直角三角形；对于②，PB＝4＋16＋4＝26，故正确；对于③，四个侧面中没有全等的直角三角形，故错误；对于④，外接球的直径为PB ＝26，故外接球的表面积为24π，正确．7．(2019·全国Ⅱ)2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就．实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L 2点的轨道运行．L 2点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M 1，月球质量为M 2，地月距离为R ，L 2点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程：M 1(R ＋r )2＋M 2r 2＝(R ＋r )·M 1R 3.设α＝r R .由于α的值很小，因此在近似计算中3α3＋3α4＋α5(1＋α)2≈3α3，则r 的近似值为( ) A.M 2M 1R B.M 22M 1R C.33M 2M 1R D.3M 23M 1R 答案 D解析 由M 1(R ＋r )2＋M 2r 2＝(R ＋r )M 1R 3，得M 1⎝⎛⎭⎫1＋r R 2＋M 2⎝⎛⎭⎫r R 2＝⎝⎛⎭⎫1＋r R M 1.因为α＝r R ，所以M 1(1＋α)2＋M 2α2＝(1＋α)M 1，得3α3＋3α4＋α5(1＋α)2＝M 2M 1.由3α3＋3α4＋α5(1＋α)2≈3α3，得3α3≈M 2M 1，即3⎝⎛⎭⎫r R 3≈M 2M 1，所以r ≈3M 23M 1·R ，故选D. 8．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫π2，0，且f ⎝⎛⎭⎫π4＝12，则ω的最小值为( )A.23 B ．1 C.43 D ．2 答案 A解析 方法一 当x ＝π2时，ωx ＋φ＝π2ω＋φ＝k 1π，k 1∈Z ，当x ＝π4时，ωx ＋φ＝π4ω＋φ＝2k 2π＋π6或2k 2π＋5π6，k 2∈Z ，两式相减，得π4ω＝(k 1－2k 2)π－π6或(k 1－2k 2)π－5π6，k 1，k 2∈Z ，即ω＝4(k 1－2k 2)－23或4(k 1－2k 2)－103，k 1，k 2∈Z ，又因为ω>0，所以ω的最小值为4－103＝23.方法二 直接令π2ω＋φ＝π，π4ω＋φ＝5π6，得π4ω＝π6，解得ω＝23.9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，tan A ＋B2＝sin C ，若c ＝2，则△ABC 的周长的取值范围是( ) A ．(2,22] B ．(22，4] C ．(4,2＋22] D ．(2＋22，6]答案 C解析 由题意可得， tan A ＋B 2＝tan ⎝⎛⎭⎫π2－C 2＝cosC2sin C2＝2sin C 2cos C2，则sin 2C 2＝12，即1－cos C 2＝12，∴cos C ＝0，C ＝π2.据此可得△ABC 是以C 为直角顶点的直角三角形， 则4＝a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ≥(a ＋b )2－2×⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22， 据此有a ＋b ≤22，当且仅当a ＝b ＝2时，等号成立． ∴△ABC 的周长a ＋b ＋c ≤2＋2 2. 又三角形满足两边之和大于第三边， 则a ＋b >2，∴a ＋b ＋c >4.综上可得，△ABC 周长的取值范围是(4,2＋22]．10．一个三棱锥A －BCD 内接于球O ，且AD ＝BC ＝3，AC ＝BD ＝4，AB ＝CD ＝13，则球心O 到平面ABC 的距离是( ) A.152 B.153 C.154 D.156答案 D解析 由题意可得三棱锥A －BCD 的三对对棱分别相等，所以可将三棱锥补成一个长方体AEDF －GCHB ，如图所示，该长方体的外接球就是三棱锥A －BCD 的外接球O ，长方体AEDF －GCHB 共顶点的三条面对角线的长分别为3,4，13，设球O 的半径为R ，长方体的长、宽、高分别为x ，y ，z ，由题意可知，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝9，x 2＋z 2＝16，y 2＋z 2＝13，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝6，y 2＝3，z 2＝10，则(2R )2＝x 2＋y 2＋z 2＝6＋3＋10＝19，即4R 2＝19. 在△ABC 中，由余弦定理得 cos ∠ACB ＝32＋42－(13)22×3×4＝12，则sin ∠ACB ＝32， 再由正弦定理得AB sin ∠ACB ＝2r (r 为△ABC 外接圆的半径)，则r ＝133＝393，因此球心O 到平面ABC 的距离d ＝R 2－r 2＝156. 11．(2019·湖南省三湘名校联考)如图，O 是坐标原点，过E (p,0)的直线交抛物线y 2＝2px (p >0)于A ，B 两点，直线BO 与过点A 平行于x 轴的直线相交于点M ，过点M 与此抛物线相切的直线与直线x ＝p 相交于点N .则|ME |2－|NE |2等于( )A ．2pB ．p 2C ．2p 2D ．4p 2 答案 C解析 过E (p ,0)的直线交抛物线y 2＝2px (p >0)于A ，B ，两点为任意的，不妨设直线AB 为x ＝p ，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，x ＝p ，解得y ＝±2p ， 则A (p ，－2p )，B (p ，2p )，∵直线BM 的方程为y ＝2x ，直线AM 的方程为y ＝－2p ， 解得M (－p ，－2p )， ∴|ME |2＝(2p )2＋2p 2＝6p 2，设过点M 且与此抛物线相切的直线为 y ＋2p ＝k (x ＋p )，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＋2p ＝k (x ＋p )，消去x 整理可得ky 2－2py －22p 2＋2p 2k ＝0， ∴Δ＝4p 2－4k (－22p 2＋2p 2k )＝0， 解得k ＝2＋22(舍负)，∴过点M 与此抛物线相切的直线方程为y ＋2p ＝2＋22(x ＋p )，由⎩⎨⎧x ＝p ，y ＋2p ＝2＋22(x ＋p )，解得N (p,2p )，∴|NE |2＝4p 2，∴|ME |2－|NE |2＝6p 2－4p 2＝2p 2.12．(2019·上饶模拟)已知实数x ，y 满足ln(4x ＋3y －6)－e x ＋y －2≥3x ＋2y －6，则x ＋y 的值为( )A ．2B ．1C ．0D ．－1 答案 A解析 设m ＝4x ＋3y －6，n ＝x ＋y －2， 则m －n ＝3x ＋2y －4，则原不等式可化为ln m －e n ≥m －n －2， 即ln m －m ≥e n －n －2，m >0， 令f (m )＝ln m －m ，f ′(m )＝1m－1，∴当0<m <1时，f ′(m )>0；当m >1时，f ′(m )<0， 则f (m )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， ∴f (m )max ＝f (1)＝－1，∴f (m )≤－1， 令h (n )＝e n －n －2，h ′(n )＝e n －1，∴当n >0时，h ′(n )>0；当n <0时，h ′(n )<0，则h (n )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增， ∴h (n )min ＝h (0)＝－1， ∴h (n )≥－1，由题意知f (m )≥h (n )，∴m ＝1，n ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y －6＝1，x ＋y －2＝0，故x ＋y ＝2.13．执行如图所示的程序框图，输出S 的值为________．答案 48解析 第1次运行，i ＝1，S ＝2，S ＝1×2＝2，i ＝2>4不成立； 第2次运行，i ＝2，S ＝2，S ＝2×2＝4，i ＝3>4不成立； 第3次运行，i ＝3，S ＝4，S ＝3×4＝12，i ＝4>4不成立； 第4次运行，i ＝4，S ＝12，S ＝4×12＝48，i ＝5>4成立， 故输出S 的值为48.14．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≥0，x ＋2y －5≤0，y ≥1，则u ＝(x ＋y )2xy的取值范围为________．答案 ⎣⎡⎦⎤4，163 解析 作出可行域如图阴影部分(含边界)所示，令t ＝yx ，它表示可行域内的点(x ，y )与原点连线的斜率，可求得A (1,2)，B (3,1)，则t ∈⎣⎡⎦⎤13，2. 则u ＝(x ＋y )2xy ＝x 2＋2xy ＋y 2xy＝x y ＋y x ＋2＝t ＋1t＋2. 易知u ＝t ＋1t ＋2，t ∈⎣⎡⎦⎤13，2在⎣⎡⎦⎤13，1上单调递减， 在[1,2]上单调递增．当t ＝13时，u ＝163；当t ＝1时，u ＝4；当t ＝2时，u ＝92，所以u ∈⎣⎡⎦⎤4，163. 15．已知在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，|AB |＝2|CD |＝4，∠ABC ＝60°，双曲线以A ，B 为焦点，且与线段AD ，BC (包含端点D ，C )分别有一个交点，则该双曲线的离心率的取值范围是________． 答案 (1，3＋1]解析 以线段AB 的中点为坐标原点建立平面直角坐标系如图所示，则在双曲线中c ＝2，C (1，3)．设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)， 只需C 点在双曲线右支图象的上方(包括在图象上)即可，即1a 2－3b 2≤1， 两边同乘a 2b 2，得b 2－3a 2≤a 2b 2，由于b 2＝c 2－a 2＝4－a 2，所以上式化为4－a 2－3a 2≤a 2()4－a 2， 解得3－1≤a <2，所以12<1a ≤3＋12， 故1<c a≤3＋1. 16．已知定义在R 上的函数f (x )是奇函数，且满足f (3－x )＝f (x )，f (－1)＝3，数列{a n }满足a 1＝1且a n ＝n (a n ＋1－a n )(n ∈N *)，则f (a 2 019)＋f (a 2 020)＝________.答案 3解析 因为函数f (x )是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，又因为f (3－x )＝f (x )，所以f (3－x )＝－f (－x )，所以f (3＋x )＝－f (x )，即f (x ＋6)＝f (x )，所以f (x )是以6为周期的周期函数． 由a n ＝n (a n ＋1－a n )，即(n ＋1)a n ＝na n ＋1，可得a n ≠0，a n ＋1a n ＝n ＋1n， 则a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·a n －2a n －3·…·a 2a 1·a 1 ＝n n －1×n －1n －2×n －2n －3×…×21×1＝n ， 即a n ＝n ，n ∈N *，所以a 2 019＝2 019，a 2 020＝2 020. f (2 019)＝f (3)＝f (0)＝0，f (2 020)＝f (4)＝f (－1)＝3， 所以f (a 2 019)＋f (a 2 020)＝3.。

-2-
5.标准差 s=
1 ������
[(������1-������)2
+
(������2-������)2
+
…
+
(������������
-������)2].
6.古典概型:P(A)=������中所基含本的事基件本总事数件������ 数������.
7.几何概型的概率
P(A)=试验的构全成部事结件果������所的构区成域的长区度域(面长积度或(面体积积或) 体积).
8.线性回归方程:回归直线^������ = ^bx+^������经过样本点的中心(������, ������).
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一、选择题 二、填空题
1.(2019全国卷1,文6)某学校为了解1 000名新生的身体素质,将这些
学生编号为1,2,…,1 000,从这些新生中用系统抽样方法等距抽取
100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到,则下面4名学生中被
6.1 统计与概率小题专项练
1.分层抽样满足各层抽取的比例=样 总本 体容 容量 量. 2.在频率分布直方图中,小长方形的面积等于频率,各小长方形的 面积的总和等于1. 3.茎叶图:当数据是两位数时,用中间的数字表示十位数,两边的 数字表示个位数;当数据是三位数时,前两位相对比较集中时,常以 前两位为茎,第三位(个位)为叶(其余类推). 4.方差 s2=���1���[(x1-������)2+(x2-������)2+…+(xn-������)2].
答案
一、选择题 二、填空题
8.
(2019湖南湘潭一模,文8)在一次53.5公里的自行车个人赛中,25名参 赛手的成绩(单位:分钟)的茎叶图如图所示,现将参赛选手按成绩由 好到差编为1~25号,再用系统抽样方法从中选取5人.已知选手甲的 成绩为85分钟,若甲被选取,则被选取的其余4名选手的成绩的平均 关闭 数 将参为赛( 选手)按成绩由好到差分为5组,则第一组(80,81,82,83,85),第二组 A.97 B.96 C.95 D.98