高考数学二轮复习第一部分专题七系列4选讲第二讲不等式选讲教案选修4_5

选修4－5 ⎪⎪⎪不等式选讲第1课确定值不等式[课前回扣教材] [过双基]1．确定值三角不等式定理1：假如a ，b 是实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≥0时，等号成立．定理2：假如a ，b ，c 是实数，那么|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当(a －b )(b －c )≥0时，等号成立．2．确定值不等式的解法(1)含确定值的不等式|x |<a 与|x |>a 的解集不等式 a >0 a ＝0a <0|x |<a {}x |－a <x <a ∅∅ |x |>a{}x |x >a 或x <－a{}x ∈R|x ≠0R(2)|ax ＋b |≤c ，|ax ＋b |≥c (c >0)型不等式的解法： ①|ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ； ②|ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c .(3)|x －a |＋|x －b |≥c ，|x －a |＋|x －b |≤c (c >0)型不等式的解法： ①利用确定值不等式的几何意义求解． ②利用零点分段法求解．③构造函数，利用函数的图象求解． [小题速通]1．不等式|x ＋1|－|x －2|≥1的解集是________． 解析：f (x )＝|x ＋1|－|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ≤－1，2x －1，－1<x <2，3，x ≥2.当－1<x <2时，由2x －1≥1，解得1≤x <2. 又当x ≥2时，f (x )＝3>1， 所以解集为{}x |x ≥1. 答案：{x |x ≥1}2．若存在实数x 使|x －a |＋|x －1|≤3成立，则实数a 的取值范围是________．解析：∵|x －a |＋|x －1|≥|(x －a )－(x －1)|＝|a －1|， 要使|x －a |＋|x －1|≤3有解，可使|a －1|≤3， ∴－3≤a －1≤3，∴－2≤a ≤4.答案：[－2,4]3．若不等式|kx －4|≤2的解集为{}x |1≤x ≤3，则实数k ＝________. 解析：由|kx －4|≤2⇔2≤kx ≤6. ∵不等式的解集为{}x |1≤x ≤3， ∴k ＝2. 答案：24．设不等式|x ＋1|－|x －2|>k 的解集为R ，则实数k 的取值范围为____________． 解析：∵||x ＋1|－|x －2||≤3， ∴－3≤|x ＋1|－|x －2|≤3，∴k ＜(|x ＋1|－|x －2|)的最小值， 即k ＜－3. 答案：(－∞，－3)5．f (x )＝|2－x |＋|x －1|的最小值为________． 解析：∵|2－x |＋|x －1|≥|2－x ＋x －1|＝1, ∴f (x )min ＝1. 答案：1 [清易错]1．对形如|f (x )|>a 或|f (x )|<a 型的不等式求其解集时，易忽视a 的符号直接等价转化造成失误． 2．确定值不等式||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |中易忽视等号成立的条件．如|a －b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≤0时等号成立，其他类似推导．1．设a ，b 为满足ab <0的实数，那么( ) A ．|a ＋b |>|a －b | B ．|a ＋b |<|a －b |C ．|a －b |＜||a |－|b ||D ．|a －b |<|a |＋|b |解析：选B ∵ab <0，∴|a －b |＝|a |＋|b |>|a ＋b |.2．若|x －1|≤1，|y －2|≤1，则|x －2y ＋1|的最大值为________． 解析：|x －2y ＋1|＝|(x －1)－2(y －2)－2|≤|x －1|＋2|y －2|＋2≤5. 答案：5[课堂争辩高考]确定值不等式的解法[典例] (2022·全国卷乙卷)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|2x －3|. (1)画出y ＝f (x )的图象； (2)求不等式|f (x )|>1的解集．[解] (1)由题意得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≤－1，3x －2，－1<x ≤32，－x ＋4，x >32，故y ＝f (x )的图象如图所示．(2)由f (x )的函数表达式及图象可知， 当f (x )＝1时，可得x ＝1或x ＝3； 当f (x )＝－1时，可得x ＝13或x ＝5.故f (x )>1的解集为{x |1<x <3}，f (x )<－1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <13或x >5. 所以|f (x )|>1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <13或1<x <3或x >5. [方法技巧](1)求解确定值不等式的两个留意点：①要求的不等式的解集是各类情形的并集，利用零点分段法的操作程序是：找零点，分区间，分段争辩． ②对于解较简单确定值不等式，要恰当运用条件，简化分类争辩，优化解题过程．(2)求解该类问题的关键是去确定值符号，可以运用零点分段法去确定值，此外还常利用确定值的几何意义求解．[即时演练]1．解不等式|2x －1|＋|2x ＋1|≤6.解：法一：当x >12时，原不等式转化为4x ≤6⇒12<x ≤32；当－12≤x ≤12时，原不等式转化为2≤6恒成立；当x <－12时，原不等式转化为－4x ≤6⇒－32≤x <－12.综上知，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－32≤x ≤32.法二：原不等式可化为⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12≤3，其几何意义为数轴上到12，－12两点的距离之和不超过3的点的集合，数形结合知，当x ＝32或x ＝－32时，到12，－12两点的距离之和恰好为3，故当－32≤x ≤32时，满足题意，则原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－32≤x ≤32.2．解不等式|x －1|－|x －5|<2.解：当x <1时，不等式可化为－(x －1)－(5－x )<2， 即－4<2，明显成立，所以此时不等式的解集为(－∞，1)； 当1≤x ≤5时，不等式可化为x －1－(5－x )<2，即2x －6<2，解得x <4，所以此时不等式的解集为[1,4)； 当x >5时，不等式可化为(x －1)－(x －5)<2， 即4<2，明显不成立．所以此时不等式无解． 综上，不等式的解集为(－∞，4)．确定值不等式的证明[典例] 已知x ，y ∈R ，且|x ＋y |≤6，|x －y |≤4，求证：|x ＋5y |≤1.[证明] ∵|x ＋5y |＝|3(x ＋y )－2(x －y )|. ∴由确定值不等式的性质，得|x ＋5y |＝|3(x ＋y )－2(x －y )|≤|3(x ＋y )|＋|2(x －y )| ＝3|x ＋y |＋2|x －y |≤3×16＋2×14＝1.即|x ＋5y |≤1. [方法技巧]确定值不等式证明的3种主要方法(1)利用确定值的定义去掉确定值符号，转化为一般不等式再证明． (2)利用三角不等式||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |进行证明． (3)转化为函数问题，数形结合进行证明． [即时演练](2022·唐山模拟)设不等式－2＜|x －1|－|x ＋2|＜0的解集为M ，a ，b ∈M .(1)证明：⎪⎪⎪⎪⎪⎪13a ＋16b ＜14；(2)比较|1－4ab |与2|a －b |的大小，并说明理由． 解：(1)证明：记f (x )＝|x －1|－|x ＋2| ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，x ≤－2，－2x －1，－2＜x ＜1，－3，x ≥1.由－2＜－2x －1＜0， 解得－12＜x ＜12，则M ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12. 所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪13a ＋16b ≤13|a |＋16|b |＜13×12＋16×12＝14.(2)由(1)得a 2＜14，b 2＜14.由于|1－4ab |2－4|a －b |2＝(1－8ab ＋16a 2b 2)－4(a 2－2ab ＋b 2) ＝(4a 2－1)(4b 2－1)＞0， 所以|1－4ab |2＞4|a －b |2， 故|1－4ab |＞2|a －b |.确定值不等式的综合应用[典例] f x x a a (1)当a ＝2时，求不等式f (x )≤6的解集；(2)设函数g (x )＝|2x －1|.当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3，求a 的取值范围． [解] (1)当a ＝2时，f (x )＝|2x －2|＋2. 解不等式|2x －2|＋2≤6得－1≤x ≤3. 因此f (x )≤6的解集为{x |－1≤x ≤3}．(2)当x ∈R 时，f (x )＋g (x )＝|2x －a |＋a ＋|1－2x |≥3，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －a 2＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－x ≥3－a 2.又⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －a 2＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－x min ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－a 2，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－a 2≥3－a 2， 解得a ≥2.所以a 的取值范围是[2，＋∞)． [方法技巧]确定值不等式的恒成立问题(1)争辩含有确定值的函数问题时，依据确定值的定义，分类争辩去掉确定值符号，将原函数转化为分段函数，然后利用数形结合解决问题，这是常用的思想方法．(2)f (x )＜a 恒成立⇔f (x )max ＜a .f (x )＞a 恒成立⇔f (x )min ＞a .[即时演练](2021·西安模拟)设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －52＋|x －a |，x ∈R.(1)求证：当a ＝－12时，不等式ln f (x )＞1成立；(2)关于x 的不等式f (x )≥a 在R 上恒成立，求实数a 的最大值． 解：(1)证明：当a ＝－12时，由f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －52＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋2，x ＜－12，3，－12≤x ≤52，2x －2，x ＞52，画出草图，分析可得函数f (x )的最小值为3，从而f (x )≥3＞e ， 所以ln f (x )＞1成立．(2)由确定值的性质得f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －52＋|x －a |≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫x －52－x －a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －52，所以f (x )的最小值为⎪⎪⎪⎪⎪⎪52－a ，从而⎪⎪⎪⎪⎪⎪52－a ≥a ，解得a ≤54. 因此a 的最大值为54.1．(2021·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝|x ＋1|－2|x －a |，a >0. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若f (x )的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝1时，f (x )>1化为|x ＋1|－2|x －1|－1>0. 当x ≤－1时，不等式化为x －4>0，无解； 当－1<x <1时，不等式化为3x －2>0，解得23<x <1；当x ≥1时，不等式化为－x ＋2>0，解得1≤x <2.所以f (x )>1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 23<x <2.(2)由题设可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1－2a ，x <－1，3x ＋1－2a ，－1≤x ≤a ，－x ＋1＋2a ，x >a .所以函数f (x )的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －13，0，B (2a ＋1,0)，C (a ，a ＋1)，△ABC 的面积为23(a ＋1)2.由题设得23(a ＋1)2>6，故a >2.所以a 的取值范围为(2，＋∞)．2．(2022·江苏高考)设a ＞0，|x －1|＜a 3，|y －2|＜a3，求证：|2x ＋y －4|＜a .证明：由于|x －1|＜a 3，|y －2|＜a3，所以|2x ＋y －4|＝|2(x －1)＋(y －2)|≤2|x －1|＋|y －2|＜2×a 3＋a3＝a .3．(2021·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |，g (x )＝x ＋3. (1)当a ＝－2时，求不等式f (x )＜g (x )的解集；(2)设a ＞－1，且当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，12时，f (x )≤g (x )，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝－2时，不等式f (x )＜g (x )可化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3＜0.设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－5x ，x ＜12，－x －2，12≤x ≤1，3x －6，x ＞1.其图象如图所示．从图象可知，当且仅当x ∈(0,2)时，y <0. 所以原不等式的解集是{x |0＜x ＜2}．(2)当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，12时，f (x )＝1＋a .不等式f (x )≤g (x )化为1＋a ≤x ＋3.所以x ≥a －2对x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，12都成立． 故－a 2≥a －2，即a ≤43.从而a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，43.[高考达标检测]1．(2021·唐山模拟)已知函数f (x )＝|2x －a |＋|x ＋1|.(1)当a ＝1时，解不等式f (x )<3； (2)若f (x )的最小值为1，求a 的值．解：(1)由于f (x )＝|2x －1|＋|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ，x ≤－1，－x ＋2，－1<x <12，3x ，x ≥12，且f (1)＝f (－1)＝3，所以f (x )<3的解集为{x |－1<x <1}．(2)|2x －a |＋|x ＋1|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －a 2＋|x ＋1|＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －a 2≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋a 2＋0＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋a 2， 当且仅当(x ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 2≤0且x －a2＝0时，取等号．所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋a 2＝1，解得a ＝－4或0.2．(2021·沈阳模拟)设函数f (x )＝|2x ＋1|－|x －4|. (1)解不等式f (x )>0；(2)若f (x )＋3|x －4|>m 对一切实数x 均成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)当x ≥4时，f (x )＝2x ＋1－(x －4)＝x ＋5>0，得x >－5，所以x ≥4. 当－12≤x ＜4时，f (x )＝2x ＋1＋x －4＝3x －3>0，得x >1，所以1<x <4.当x <－12时，f (x )＝－x －5>0，得x <－5，所以x <－5.综上，原不等式的解集为(－∞，－5)∪(1，＋∞)．(2)f (x )＋3|x －4|＝|2x ＋1|＋2|x －4|≥|2x ＋1－(2x －8)|＝9， 当－12≤x ≤4时等号成立，所以m <9，即m 的取值范围为(－∞，9)． 3．设函数f (x )＝|x －1|＋|x －2|. (1)求证：f (x )≥1；(2)若f (x )＝a 2＋2a 2＋1成立，求x 的取值范围．解：(1)证明：f (x )＝|x －1|＋|x －2|≥|(x －1)－(x －2)|＝1.(2)∵a 2＋2a 2＋1＝a 2＋1＋1a 2＋1＝a 2＋1＋1a 2＋1≥2，当且仅当a ＝0时等号成立，∴要使f (x )＝a 2＋2a 2＋1成立，只需|x －1|＋|x －2|≥2，即⎩⎪⎨⎪⎧x <1，1－x ＋2－x ≥2或⎩⎪⎨⎪⎧1≤x <2，x －1＋2－x ≥2或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x －1＋x －2≥2，解得x ≤12或x ≥52，故x 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞. 4．(2021·郑州二检)已知函数f (x )＝|3x ＋2|. (1)解不等式f (x )<4－|x －1|；(2)已知m ＋n ＝1(m ，n >0)，若|x －a |－f (x )≤1m ＋1n(a >0)恒成立，求实数a 的取值范围．解：(1)不等式f (x )<4－|x －1|，即|3x ＋2|＋|x －1|<4. 当x <－23时，即－3x －2－x ＋1<4，解得－54<x <－23；当－23≤x ≤1时，即3x ＋2－x ＋1<4，解得－23≤x <12；当x >1时，即3x ＋2＋x －1<4，无解．综上所述，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－54，12.(2)1m ＋1n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n (m ＋n )＝1＋1＋n m ＋mn≥4，当且仅当m ＝n ＝12时等号成立．令g (x )＝|x －a |－f (x )＝|x －a |－|3x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2＋a ，x <－23，－4x －2＋a ，－23≤x ≤a ，－2x －2－a ，x >a .∴x ＝－23时，g (x )max ＝23＋a ，要使不等式恒成立，只需g (x )max ＝23＋a ≤4，即0<a ≤103.所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤0，103.5．(2022·山西考前质量检测)设函数f (x )＝|x －3|＋|2x －4|－a . (1)当a ＝6时，求不等式f (x )>0的解集；(2)假如关于x 的不等式f (x )<0的解集不是空集，求实数a 的取值范围． 解析：(1)当a ＝6时，f (x )＝|x －3|＋|2x －4|－6，由f (x )>0，可得⎩⎪⎨⎪⎧x <2，－3x ＋1>0或⎩⎪⎨⎪⎧2≤x ≤3，x －7>0或⎩⎪⎨⎪⎧x >3，3x －13>0，解得x <13或x >133.故f (x )>0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫133，＋∞.(2)∵|x －3|＋|2x －4|<a 的解集不是空集， |x －3|＋|2x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋7，x <2，x －1，2≤x ≤3，3x －7，x >3，∴(|x －3|＋|2x －4|)min ＝1， ∴a >1.故实数a 的取值范围为(1，＋∞)．6．(2022·南宁模拟)已知函数f (x )＝|x －a |. (1)若f (x )≤m 的解集为[－1,5]，求实数a ，m 的值；(2)当a ＝2且0≤t ≤2时，解关于x 的不等式f (x )＋t ≥f (x ＋2)． 解：(1)∵|x －a |≤m ， ∴－m ＋a ≤x ≤m ＋a . ∵－m ＋a ＝－1，m ＋a ＝5， ∴a ＝2，m ＝3.(2)f (x )＋t ≥f (x ＋2)可化为|x －2|＋t ≥|x |. 当x ∈(－∞，0)时，2－x ＋t ≥－x,2＋t ≥0， ∵0≤t ≤2，∴x ∈(－∞，0)；当x ∈[0,2)时，2－x ＋t ≥x ，x ≤1＋t 2，0≤x ≤1＋t2，∵1≤1＋t2≤2，∴0≤t ＜2时，0≤x ≤1＋t2，t ＝2时，0≤x ＜2；当x ∈[2，＋∞)时，x －2＋t ≥x ，t ≥2， 当0≤t ＜2时，无解， 当t ＝2时，x ∈[2，＋∞)，∴当0≤t ＜2时原不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，t2＋1；当t ＝2时x ∈R.7．(2021·九江模拟)已知函数f (x )＝|x －3|－|x －a |.(1)当a ＝2时，解不等式f (x )≤－12；(2)若存在实数a ，使得不等式f (x )≥a 成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)∵a ＝2，∴f (x )＝|x －3|－|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≤2，5－2x ，2<x <3，－1，x ≥3，∴f (x )≤－12等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≤2，1≤－12或⎩⎪⎨⎪⎧2<x <3，5－2x ≤－12或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥3，－1≤－12，解得114≤x ＜3或x ≥3， ∴不等式的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫114，＋∞.(2)由不等式性质可知f (x )＝|x －3|－|x －a |≤|(x －3)－(x －a )|＝|a －3|， ∴若存在实数x ，使得不等式f (x )≥a 成立，则|a －3|≥a ，解得a ≤32，∴实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，32. 8．(2021·石家庄模拟)设f (x )＝|ax －1|. (1)若f (x )≤2的解集为[－6,2]，求实数a 的值；(2)当a ＝2时，若存在x ∈R ，使得不等式f (2x ＋1)－f (x －1)≤7－3m 成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)明显a ≠0，当a ＞0时，解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1a ，3a ，则－1a ＝－6，3a＝2，无解；当a ＜0时，解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3a ，－1a ，则－1a ＝2，3a＝－6，得a ＝－12.综上所述，a ＝－12.(2)当a ＝2时，令h (x )＝f (2x ＋1)－f (x －1)＝|4x ＋1|－|2x －3|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －4，x ≤－14，6x －2，－14＜x ＜32，2x ＋4，x ≥32，由此可知，h (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－14上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，32上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞上单调递增，则当x＝－14时，h (x )取到最小值－72，由题意知，－72≤7－3m ，解得m ≤72，故实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，72.第2课不等式证明[课前回扣教材] [过双基] 1．基本不等式定理1：假如a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 定理2：假如a ，b ＞0，那么a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立，即两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均．定理3：假如a ，b ，c ∈R ＋，那么a ＋b ＋c3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．2．比较法(1)比差法的依据是：a －b ＞0⇔a ＞b .步骤是：“作差→变形→推断差的符号”．变形是手段，变形的目的是推断差的符号．(2)比商法：若B ＞0，欲证A ≥B ，只需证AB≥1. 3．综合法与分析法(1)综合法：一般地，从已知条件动身，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立．(2)分析法：从要证的结论动身，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义，公理或已证明的定理，性质等)，从而得出要证的命题成立．4．柯西不等式(1)设a ，b ，c ，d 均为实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时等号成立．(2)若a i ，b i (i ∈N *)为实数，则⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫∑i ＝1n a 2i ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫∑i ＝1n b 2i ≥⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫∑i ＝1n a i b i 2，当且仅当b 1a 1＝b 2a 2＝…＝b n a n (当a i ＝0时，商定b i ＝0，i ＝1,2，…，n )时等号成立．(3)柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α||β|≥|α·β|，当且仅当α，β共线时等号成立．[小题速通]1．若m ＝a ＋2b ，n ＝a ＋b 2＋1，则m 与n 的大小关系为________． 解析：∵n －m ＝a ＋b 2＋1－a －2b ＝b 2－2b ＋1＝(b －1)2≥0，∴n ≥m . 答案：n ≥m2．若a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是________(写出全部正确命题的序号)．①ab ≤1；② a ＋b ≤2；③a 2＋b 2≥2；④a 3＋b 3≥3；⑤1a ＋1b≥2.解析：令a ＝b ＝1，排解②④；由2＝a ＋b ≥2ab ⇒ab ≤1，命题①正确；a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝4－2ab ≥2，命题③正确；1a ＋1b＝a ＋b ab ＝2ab≥2，命题⑤正确．答案：①③⑤3．已知x ，y 均为正数，且x ＋y ＝1，则3x ＋4y 的最大值为________．解析：由柯西不等式得3x ＋4y ＝3·x ＋4·y ≤[]()32＋()42x ＋y ＝7.答案：7 [清易错]1．在使用作商比较法时易忽视说明分母的符号．2．在用综合法证明不等式时，不等式的性质和基本不等式是最常用的．在运用这些性质时，易忽视性质成立的前提条件．1．已知a >0，b >0，则a a b b________(ab )a ＋b2(填大小关系)．解析：∵a a b b aba ＋b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b 2，∴当a ＝b 时，⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b 2＝1， 当a >b >0时，a b >1，a －b 2>0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b 2>1，当b >a >0时，0<a b<1，a －b2<0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b 2>1， ∴a a b b≥(ab )a ＋b2.答案：≥2．已知a ，b ，c 是正实数，且a ＋b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1c的最小值为________．解析：把a ＋b ＋c ＝1代入1a ＋1b ＋1c得a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋cc＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c ≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立．答案：9 [课堂争辩高考]比较法证明不等式[典例] (2021·莆田模拟)设a ，b 是非负实数．求证：a 2＋b 2≥ab (a ＋b )． [证明] 由于(a 2＋b 2)－ab (a ＋b ) ＝(a 2－a ab )＋(b 2－b ab ) ＝a a (a －b )＋b b (b －a ) ＝(a －b )(a a －b b ) ＝(a 12－b 12)(a 32－b 32)，由于a ≥0，b ≥0，所以不论a ≥b ≥0，还是0≤a ≤b ，都有a 12－b 12与a 32－b 32同号，所以(a 12－b 12)(a 32－b 32)≥0，所以a 2＋b 2≥ab (a ＋b )． [方法技巧]比较法证明不等式的方法和步骤 (1)求差比较法：由a >b ⇔a －b >0，a <b ⇔a －b <0，因此要证明a >b 只要证明a －b >0即可，这种方法称为求差比较法． (2)求商比较法：由a >b >0⇔a b >1且a >0，b >0，因此当a >0，b >0时，要证明a >b ，只要证明a b>1即可，这种方法称为求商比较法．(3)用比较法证明不等式的一般步骤是：作差(商)—变形—推断—结论，而变形的方法一般有配方、通分和因式分解．[即时演练]已知a ＝ln 22，b ＝ln 33，试比较a ，b 大小．解：∵ln 22＞0，ln 33＞0，∴b a ＝2ln 33ln 2＝log 89＞1.∴b ＞a .综合法证明不等式[典例] a b a b (1)(ax ＋by )2≤ax 2＋by 2；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2≥252.[证明] (1)(ax ＋by )2－(ax 2＋by 2)＝a (a －1)x 2＋b (b －1)y 2＋2abxy ， 由于a ＋b ＝1，所以a －1＝－b ，b －1＝－a ，又a ，b 均为正数， 所以a (a －1)x 2＋b (b －1)y 2＋2abxy ＝－ab (x 2＋y 2－2xy )＝－ab (x －y )2≤0，当且仅当x ＝y 时等号成立． 所以(ax ＋by )2≤ax 2＋by 2.(2)⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2＝4＋a 2＋b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋1b 2＝4＋a 2＋b 2＋a ＋b2a 2＋a ＋b2b 2＝4＋a 2＋b 2＋1＋2ba ＋b 2a 2＋a 2b 2＋2a b ＋1＝4＋(a 2＋b 2)＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a ＋2a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a 2＋a 2b 2≥6＋a ＋b 22＋4＋2＝252，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2≥252.[方法技巧]1．综合法证明不等式的方法综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系．合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键．2．综合法证明时常用的不等式 (1)a 2≥0. (2)|a |≥0.(3)a 2＋b 2≥2ab ，它的变形形式有：a 2＋b 2≥2|ab |；a 2＋b 2≥－2ab ；(a ＋b )2≥4ab ； a 2＋b 2≥12(a ＋b )2；a 2＋b22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22.(4)a ＋b2≥ab ，它的变形形式有：a ＋1a ≥2(a >0)；ab ＋ba≥2(ab >0)；a b ＋ba≤－2(ab <0)． [即时演练]设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明： (1)ab ＋bc ＋ac ≤13；(2)a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1.证明：(1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca ， 得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca . 由题设得(a ＋b ＋c )2＝1，即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1， 所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1，即ab ＋bc ＋ca ≤13.(2)由于a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a ＋a ≥2c ，故a 2b ＋b 2c ＋c 2a ＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )， 即a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥a ＋b ＋c . 所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1.分析法证明不等式[典例] 设a ，b ，c ＞0求证：(1)a ＋b ＋c ≥ 3. (2)abc ＋ b ac ＋ cab≥3(a ＋b ＋c )． [证明] (1)要证a ＋b ＋c ≥3， 由于a ，b ，c ＞0，因此只需证明(a ＋b ＋c )2≥3.即证：a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )≥3， 而ab ＋bc ＋ca ＝1，故需证明：a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )≥3(ab ＋bc ＋ca )． 即证：a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca . 而这可以由ab ＋bc ＋ca ≤a 2＋b 22＋b 2＋c 22＋c 2＋a 22＝a 2＋b 2＋c 2(当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立)证得．所以原不等式成立． (2)a bc ＋b ac＋ c ab ＝a ＋b ＋c abc. 在(1)中已证a ＋b ＋c ≥ 3. 因此要证原不等式成立， 只需证明1abc≥ a ＋b ＋c ，即证a bc ＋b ac ＋c ab ≤1，即证a bc ＋b ac ＋c ab ≤ab ＋bc ＋ca . 而a bc ＝ab ·ac ≤ab ＋ac2，b ac ≤ab ＋bc 2，c ab ≤bc ＋ac2.所以a bc ＋b ac ＋c ab ≤ab ＋bc ＋ca 当且仅当a ＝b ＝c ＝33时等号成立． 所以原不等式成立． [方法技巧]1．用分析法证“若A 则B ”这个命题的模式 为了证明命题B 为真，只需证明命题B 1为真，从而有… 只需证明命题B 2为真，从而有… ……只需证明命题A 为真，而已知A 为真，故B 必真． 2．分析法的应用当所证明的不等式不能使用比较法，且和重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发觉条件和结论之间的关系时，可用分析法来查找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必需可逆．[即时演练]已知a >0，b >0,2c >a ＋b ，求证：c －c 2－ab <a <c ＋c 2－ab . 证明：要证c －c 2－ab <a <c ＋c 2－ab ， 即证－c 2－ab <a －c <c 2－ab ， 即证|a －c |<c 2－ab ， 即证(a －c )2<c 2－ab ， 即证a 2－2ac <－ab .由于a >0，所以只要证a －2c <－b ， 即证a ＋b <2c .由已知条件知，上式明显成立，所以原不等式成立．柯西不等式的应用[典例] (2021·陕西高考)已知关于x 的不等式|x ＋a |＜b 的解集为{x |2＜x ＜4}． (1)求实数a ，b 的值；(2)求at ＋12＋bt 的最大值．[解] (1)由|x ＋a |＜b ，得－b －a ＜x ＜b －a ，则⎩⎪⎨⎪⎧－b －a ＝2，b －a ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝1.(2)－3t ＋12＋t ＝3·4－t ＋t≤ [32＋12][4－t2＋t2]＝24－t ＋t ＝4， 当且仅当4－t 3＝t1，即t ＝1时等号成立，故(－3t ＋12＋t )max ＝4. [方法技巧]柯西不等式的常见类型及解题策略(1)求表达式的最值．依据已知条件，利用柯西不等式求最值，留意等号成立的条件；(2)求解析式的值．利用柯西不等式的条件，留意等号成立的条件，进而求得各个量的值，从而求出解析式的值；(3)证明不等式．留意所证不等式的结构特征，查找柯西不等式的条件，然后证明． [即时演练]已知定义在R 上的函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|的最小值为a . (1)求a 的值；(2)若p ，q ，r 是正实数，且满足p ＋q ＋r ＝a ，求证：p 2＋q 2＋r 2≥3. 解：(1)由于|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，当且仅当－1≤x ≤2时，等号成立，所以f (x )的最小值等于3，即a ＝3. (2)证明：由(1)知p ＋q ＋r ＝3，又由于p ，q ，r 是正实数，所以(p 2＋q 2＋r 2)(12＋12＋12)≥(p ×1＋q ×1＋r ×1)2＝(p ＋q ＋r )2＝9，即p 2＋q 2＋r 2≥3.1．(2022·全国甲卷)已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12，M 为不等式f (x )<2的解集． (1)求M ；(2)证明：当a ，b ∈M 时，|a ＋b |<|1＋ab |.解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ≤－12，1，－12<x <12，2x ，x ≥12.当x ≤－12时，由f (x )<2得－2x <2，解得x >－1；当－12<x <12时，f (x )<2恒成立；当x≥12时，由f(x)<2得2x<2，解得x<1.所以f(x)<2的解集M＝{x|－1<x<1}．(2)证明：由(1)知，当a，b∈M时，－1<a<1，－1<b<1，从而(a＋b)2－(1＋ab)2＝a2＋b2－a2b2－1＝(a2－1)(1－b2)<0.因此|a＋b|<|1＋ab|.2．(2021·全国卷Ⅱ)设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d，证明：(1)若ab>cd，则a＋b>c＋d；(2)a＋b>c＋d是|a－b|<|c－d|的充要条件．证明：(1)由于(a＋b)2＝a＋b＋2ab，(c＋d)2＝c＋d＋2cd，由题设a＋b＝c＋d，ab>cd，得(a＋b)2>(c＋d)2.因此a＋b>c＋d.(2)①必要性：若|a－b|<|c－d|，则(a－b)2<(c－d)2，即(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd.由于a＋b＝c＋d，所以ab>cd.由(1)，得a＋b>c＋d.②充分性：若a＋b>c＋d，则(a＋b)2>(c＋d)2，即a＋b＋2ab>c＋d＋2cd.由于a＋b＝c＋d，所以ab>cd.于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd＝(c－d)2.因此|a－b|<|c－d|.综上，a＋b>c＋d是|a－b|＜|c－d|的充要条件．3．(2022·全国卷Ⅰ)若a>0，b>0，且1a＋1b＝ab.(1)求a3＋b3的最小值；(2)是否存在a，b，使得2a＋3b＝6？并说明理由．解：(1)由ab＝1a＋1b≥2ab，得ab≥2，且当a＝b＝2时等号成立．故a3＋b3≥2a3b3≥42，且当a＝b＝2时等号成立．所以a3＋b3的最小值为4 2.(2)由(1)知，2a＋3b≥26ab≥4 3.由于43>6，从而不存在a，b，使得2a＋3b＝6.[高考达标检测]1．设a，b，c为正数且a＋b＋c＝1，求证：⎝⎛⎭⎪⎫a＋1a2＋⎝⎛⎭⎪⎫b＋1b2＋⎝⎛⎭⎪⎫c＋1c2≥1003.证明：⎝⎛⎭⎪⎫a＋1a2＋⎝⎛⎭⎪⎫b＋1b2＋c＋1c2＝13(12＋12＋12)⎝⎛⎭⎪⎫a＋1a2＋⎝⎛⎭⎪⎫b＋1b2＋⎝⎛⎭⎪⎫c＋1c2≥131×⎝⎛⎭⎪⎫a＋1a＋1×b＋1b＋1×⎝⎛⎭⎪⎫c＋1c2＝131＋1a＋1b＋1c2＝131＋(a＋b＋c)1a＋1b＋1c2≥13×(1＋9)2＝1003.即原不等式成立．2．(2021·大连双基测试)已知x，y是两个不相等的正实数，求证：(x2y＋x＋y2)(xy2＋y＋x2)>9x2y2.证明：由于x，y是正实数，所以x2y＋x＋y2≥33x2y·x·y2＝3xy，当且仅当x2y＝x＝y2，即x＝y＝1时，等号成立；同理：xy2＋y＋x2≥33xy2·y·x2＝3xy，当且仅当xy2＝y＝x2，即x＝y＝1时，等号成立．所以(x2y＋x＋y2)(xy2＋y＋x2)≥9x2y2，当且仅当x＝y＝1时，等号成立．由于x≠y，所以(x2y＋x＋y2)(xy2＋y＋x2)>9x2y2.3．已知x，y∈R，且|x|<1，|y|<1.求证：11－x2＋11－y2≥21－xy.证明：法一：(分析法)∵|x|<1，|y|<1，∴11－x2>0，11－y2>0，∴11－x 2＋11－y2≥21－x21－y2.故要证明结论成立， 只要证明21－x21－y2≥21－xy成立． 即证1－xy ≥1－x 21－y2成马上可．∵(y －x )2≥0，有－2xy ≥－x 2－y 2， ∴(1－xy )2≥(1－x 2)(1－y 2)， ∴1－xy ≥1－x21－y2>0. ∴不等式成立．法二：(综合法)∵211－x 2＋11－y2≤1－x 2＋1－y22＝2－x 2＋y 22≤2－2|xy |2＝1－|xy |，∴11－x 2＋11－y 2≥21－|xy |≥21－xy， ∴原不等式成立．4．设函数f (x )＝|x －4|＋|x －3|，f (x )的最小值为m . (1)求m 的值；(2)当a ＋2b ＋3c ＝m (a ，b ，c ∈R)时，求a 2＋b 2＋c 2的最小值．解：(1)法一：f (x )＝|x －4|＋|x －3|≥|(x －4)－(x －3)|＝1，故函数f (x )的最小值为1，即m ＝1. 法二：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －7，x ≥4，1，3≤x ＜4，7－2x ，x <3.当x ≥4时，f (x )≥1；当x <3时，f (x )>1；当3≤x ＜4时，f (x )＝1，故函数f (x )的最小值为1，即m ＝1.(2)(a 2＋b 2＋c 2)(12＋22＋32)≥(a ＋2b ＋3c )2＝1， 故a 2＋b 2＋c 2≥114， 当且仅当a ＝114，b ＝17，c ＝314时取等号．故a 2＋b 2＋c 2的最小值为114.5．(2021·云南统一检测)已知a 是常数，对任意实数x ，不等式|x ＋1|－|2－x |≤a ≤|x ＋1|＋|2－x |都成立．(1)求a 的值；(2)设m ＞n ＞0，求证：2m ＋1m 2－2mn ＋n 2≥2n ＋a .解：(1)设f (x )＝|x ＋1|－|2－x |， 则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ≤－1，2x －1，－1＜x ＜2，3，x ≥2，∴f (x )的最大值为3.∵对任意实数x ，|x ＋1|－|2－x |≤a 都成立，即f (x )≤a ， ∴a ≥3.设h (x )＝|x ＋1|＋|2－x |， 则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋1，x ≤－1，3，－1＜x ＜2，2x －1，x ≥2，则h (x )的最小值为3.∵对任意实数x ，|x ＋1|＋|2－x |≥a 都成立，即h (x )≥a ， ∴a ≤3. ∴a ＝3.(2)证明：由(1)知a ＝3.∵2m ＋1m 2－2mn ＋n2－2n ＝(m －n )＋(m －n )＋1m －n2，且m ＞n ＞0，∴(m －n )＋(m －n )＋1m －n2≥33m －nm －n1m －n2＝3.∴2m ＋1m 2－2mn ＋n 2≥2n ＋a .6．(2021·吉林试验中学模拟)设函数f (x )＝|x －a |. (1)当a ＝2时，解不等式f (x )≥4－|x －1|；(2)若f (x )≤1的解集为[0,2]，1m ＋12n ＝a (m >0，n >0)，求证：m ＋2n ≥4.解：(1)当a ＝2时，不等式为|x －2|＋|x －1|≥4， ①当x ≥2时，不等式可化为x －2＋x －1≥4，解得x ≥72；②当1＜x ＜2时，不等式可化为2－x ＋x －1≥4，不等式的解集为∅；③当x ≤1时，不等式可化为2－x ＋1－x ≥4，解得x ≤－12.综上可得，不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫72，＋∞. (2)证明：∵f (x )≤1，即|x －a |≤1，解得a －1≤x ≤a ＋1，而f (x )≤1的解集是[0,2]，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝0，a ＋1＝2，解得a ＝1，所以1m ＋12n＝1(m >0，n >0)，所以m ＋2n ＝(m ＋2n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋12n ＝2＋m 2n ＋2nm≥2＋2m 2n ·2nm＝4， 当且仅当m ＝2，n ＝1时取等号．7．(2021·合肥模拟)已知a ＞0，b ＞0，记A ＝a ＋b ，B ＝a ＋b . (1)求2A －B 的最大值；(2)若ab ＝4，是否存在a ，b ，使得A ＋B ＝6？并说明理由． 解：(1)2A －B ＝2a －a ＋2b －b ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －222－⎝ ⎛⎭⎪⎫b －222＋1≤1， 当且仅当a ＝b ＝12时等号成立，即2A －B 的最大值为1.(2)A ＋B ＝a ＋b ＋a ＋b ≥2ab ＋2ab ，由于ab ＝4，所以A ＋B ≥4＋22＞6，所以不存在这样的a ，b ，使得A ＋B ＝6. 8．(2022·西安质检)已知函数f (x )＝|x －1|. (1)解不等式f (2x )＋f (x ＋4)≥8； (2)若|a |<1，|b |<1，a ≠0，求证：f ab |a |>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a . 解：(1)f (2x )＋f (x ＋4)＝|2x －1|＋|x ＋3|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －2，x <－3，－x ＋4，－3≤x <12，3x ＋2，x ≥12，当x <－3时，由－3x －2≥8，解得x ≤－103；当－3≤x <12时，－x ＋4≥8无解；当x ≥12时，由3x ＋2≥8，解得x ≥2.所以不等式f (2x )＋f (x ＋4)≥8的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－103∪[2，＋∞)． (2)证明：f ab |a |>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 等价于f (ab )>|a |f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ， 即|ab －1|>|a －b |. 由于|a |<1，|b |<1，所以|ab －1|2－|a －b |2＝(a 2b 2－2ab ＋1)－(a 2－2ab ＋b 2)＝(a 2－1)(b 2－1)>0， 所以|ab －1|>|a －b |. 故所证不等式成立．。

解析 原不等式等价于
x 1,
1
(x 1) (2x 2) 17
或
1 x 1, (x 1) (2x 2) 1
或
x 1, (x 1) (x 2) 1,
解得x≥2或x≤-1.
5
故原不等式的解集为{x|x≤-1或x≥2}.
考法2 与绝对值有关的恒成立、存在性等求参数范 围的问题
4．设不等式|x＋1|－|x－2|>k 的解集为 R，则实数 k 的取值范围 为____________．
4-5 不等式选讲
1
聚焦核心素养
理科数学选修4-5：不 等式选讲
1.命题分析预测 从近五年的考查情况来看,选修4-5是
高考题中的选做部分,主要考查绝对值不等式的求解、
恒成立问题、存在性问题以及不等式的证明,多以解答
题的形式呈现,难度中等,分值10分.
2.学科核心素养 本章通过绝对值不等式的解法和不等 式的证明考查考生的数学运算素养,以及对分类讨论思 想和数形结合思想的应用.
上述定理还可以推广到以下两个不等式:
(1)|a1+a2+…+an|≤|a1|+|a2|+…+|an|;
(2)||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.
2．绝对值不等式的解法
(1)含绝对值的不等式|x|<a 与|x|>a 的解法：
不等式
a>0
a＝0
a<0
|x|<a
__{x_|_－__a_＜__x_＜_a__} _
解析
原不等式等价于
x 1, (x 1)
(x
2)
5
x 1, (x 1) (2x 2) 7

23c =，则半短轴b =2.又椭圆的焦点在x 轴上，所以椭圆的标准方程为221164x y +=.而椭圆方程221164xy+=在伸缩变换','2x x y y==作用下，变为圆的方程2216x y +=，此时点(2,1)A 变为点(2,2)A ′.要求△ABC 面积的最大值问题转化为先求过原点做直径B C ′′，使△ABC ′′′面积最大.又根据圆的性质，当OA BC ′′′⊥时，点A ′到直径B C ′′的距离取到最大值，此时△AB C′′′的面积为1128228222R OA ′=××=最大.再由定理，知182422ABCA BC b S Sa ′′′==×=.故填42.4.利用伸缩变换解高考题例5(2006年高考山东文科卷)已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，两准线间的距离为4.(I)求椭圆的方程；(II)直线l 过点P(0，2)且与椭圆相交于A 、B 两点，当△AOB 面积取得最大值时，求直线l 的方程.解析：(I)易求椭圆方程为22121xy+=.(II)椭圆22121x y +=在伸缩变换','2x x y y==作用下，变为圆的方程222x y +=，此时点P(0，2)在伸缩变换1002作用下变为(0,22)P ′.由题意知直线l 的斜率K 存在且0K ≠时，设直线l 的方程为2y Kx =+，则直线l ′的方程为22y kx =+1()2bK k k a ==，原点到该直线l ′的距离2221d k =+，弦长22222826222211k AB Rd k k ′′===++，故ΔA OB 面积为22211262222211AO Bk S AB d k k ′′′′′==++2222622(1)(1)k k k =++令226(0),m k m =>则2262m k +=，从而21224218612AO Bm Sm m m ′′′==≤+++，当且仅当8m m=，即22m =时，ma x 1S =，此时7k =±.所以原直线l 的斜率114(7)22b K k a ==×±=±，故所求直线方程为14240x y ±+=.高中课标课程选修4-5《不等式选讲》教学参考(二)柯西不等式杨恩彬1,2柯跃海11福建师范大学数学与计算机科学学院(350007)2福建省宁德第一中学(352100)柯西不等式是大数学家柯西在研究数学分析学的过程中发现的．柯西不等式是基本而重要的不等式，是推证其他许多不等式的基础，不仅形式优美，而且具有非常重要的应用价值．因而《普通高中数学课程标准(实验)》中将柯西不等式列入高中数学的选学内容．2008年第6期福建中学数学131柯西不等式在《不等式选讲》中的地位《不等式选讲》新增的内容有：三个正数的算术-几何平均值不等式、柯西不等式、排序不等式、贝努利不等式，其中三个正数的算术-几何平均值不等式是中学数学教师较熟悉的，而对贝努利不等式的要求又不高，因而柯西不等式就成为本专题的一大特色内容．柯西不等式有着丰富的数学背景，从历史的角度看，柯西不等式又可称为柯西-布理可夫斯基席瓦兹(Cauch-BuniakowskySchwarz)不等式．作为其初等叙述，其不等式可从二维向量空间推广到一般的向量空间(n R )上，即：如果1212(,,,),(,,)n n a a a b b b αβ==，则222111()nnni ii i i i i a b a b ===≥∑∑∑，等号成立当且仅当存在,t R ∈使得(1,2,)i i b ta i n ==．而后，两位数学家又彼此独立地在积分学中对这一不等式作了推广，使之达到近乎完善：[222(()())()()bbbaaaf xg x dx f x dx g x dx ≤∫∫∫],等号成立当且仅当存在,t R ∈使得()()f x tg x =(0t ≠,t 为常数)．这一历史表明，柯西不等式主要是作为数学分析的重要工具．但真正能显示其魅力的还在于它与高等代数中的内积空间的密切联系，即任意两个向量,αβ的夹角,αβ<>的余弦cos ,αβαβαβ<>=，于是1αβαβ≤，这就是柯西不等式的向量形式．2柯西不等式的教学建议基于柯西不等式的应用价值，柯西不等式的教学目标应该定位于帮助学生理解柯西不等式的导出过程，认识柯西不等式及其几种不同形式的结构特征，理解它们的几何意义，会用二维或三维情形的柯西不等式解决简单的证明或求最值问题．教学重点则应放在柯西不等式的几何解释、向量背景以及实际应用上．由二维形式的柯西不等式到n 维形式的柯西不等式，是从特殊到一般的过程．因而教学中，应充分借助向量的内积或二次函数的性质通过对二维形式的柯西不等式证明思路的推广，把二维形式的柯西不等式推广到一般的n 维形式，并帮助学生了解其几何意义，从数与形两方面充分认识柯西不等式．此外，在n 维形式的柯西不等式的教学中，一定要引导学生认真分析不等式的结构，切实把握其结构特征，为运用柯西不等式打好基础．考虑到中学生数学学习的实际情况以及当前课程改革的基本理念，柯西不等式的呈现不宜过难，基本上应以二维形式为主，即重点研究222()(a b c ++22)()d ac bd ≥+及其简单应用，而且还应淡化求解过程所需变换的技巧．3柯西不等式的几种不同的形式3.1二维形式的柯西不等式及其它推广形式二维柯西不等式的基本形式为：若a b c d R ∈、、、，则2222()()a b c d ++(ac ≥+2)bd ，当且仅当ad bc =时等号成立．其推广形式为：①若0a b c d ≥、、、，则()()(a b c d ac ++≥+2)bd ，当且仅当ad bc =时等号成立．②若a b c d R ∈、、、，则2222a b c d ++≥ac bd +，当且仅当ad bc =时等号成立．③若a b c d R ∈、、、，则2222a b c d ++ac bd ≥+，当且仅当ad bc =时等号成立．④221212()()x x y y +222323()()x x y y ++221313()()x x y y ≥+(三角形不等式)．3.2一般形式的柯西不等式①柯西不等式的代数形式：设123a a a 、、、、,n a 123n b b b b 、、、、是实数，则2222221212()()n n a a a b b b ++++++21122()n n a b a b a b ≥+++,当且仅当0(1,2,)i b i n ==，或存在实数k 使得(1,2,)i i a k b i n ==时，等号成立．②柯西不等式的向量形式:设α、β是两个向量，则αβαβ≤，当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使k αβ=等号成立时,．4柯西不等式的应用举例柯西不等式揭示了任意两组实数积之和与平方和之积间的大小关系．应用它及其推论，可以很简单地解决许多复杂的不等式．在解题时如何改造变形是关键，也就是通过变换不等式，构造柯西不等14福建中学数学2008年第6期式所需要的两组数，使之符合柯西不等式使用的条件，这往往需要观察、直觉、猜测、推理．例1已知正数a b 、满足21a b +=，则21a b+的最小值为______．解析：∵正数a b 、满足21a b +=，()22121228a b a b a b a b∴++≥+=，故21a b+的最小值为8．评注：本题也可用平均值不等式完成，但不如用柯西不等式简洁、方便．对于已知中含有或隐含有1122n n m a m a m a k +++=(0,0,1,2,i i m a i >>=)n 这样的特殊条件，用1122n nm a m a m a k+++去乘任何式子，所得的结果不变，因而可以较容易地构造出一组非负数1122,,,n n m a m a m a ，从而与另一式所构造出的一组非负数使用柯西不等式．变式：(1)已知x y z 、、为正实数，且1x y z ++=，求证：14936x y z++≥．(证明略)(2)函数6586y x x =+的最大值是____．解析：本题虽没有直接给出和为定值的条件，但隐含了(5)(6)1x x +=为定值，故可构造出56x x 、及26、28两组数，进而使用柯西不等式求解．(答案：10)(3)已知x y a b 、、、为正实数，且1a bx y+=，求x y +的最小值．(答案：2()a b +)例2若a b R ∈、，且2210a b +=，则a b 的取值范围是()A.[25,25]B.[210,210]C.[10,10]D.[5,5]解析：a b a b ≤+∵，且222211,a b a b ++≥+25,a b ∴+≤25,ab ∴≤故选A ．评注：由于柯西不等式的前提条件是两组正数，故利用对称性和绝对值不等式的性质先把ab 化为a b +，从而创造了使用了柯西不等式的条件．变式：(1)设实数x y 、满足22312x y +≤2，则3P x =+2y 的最大值是．(答案：43)(2)已知221a b +=，则cos sin a b αα+的取值范围是____．(答案：[1,1])例3用柯西不等式推导直线外一点00(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离公式：0022Ax B y Cd A B ++=+．解析:设点111(,)P x y 是直线l 上的任意一点，则110A x B y C ++=,①2210101()()PP x x y y =+．②点1P P 、两点间的最短距离就是点P 到直线l 的距离，即求(2)式的最小值，∵()()22220101x x y y Α+Β+()()0101A x x B y y ≥+=()0011x y C x y C Α+Β+Α+Β+,由①、②得：221A B PP +22220101()()A B x x y y =++00A x By C ≥++,即00122A x By CPP A B++≥+，③当且仅当0101y y Bx x A=即1PP l ⊥时，③式取等号,即点00(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离公式为0022Ax B y Cd A B ++=+．评注:柯西不等式的结构和谐,应用灵活广泛,不仅用在求解代数式的最值问题上,还可以在几何方面有广泛应用．变式:已知P 为椭圆22149x y +=上的一点，P 到直线34200x y ++=的距离为d ，求d 的最大值、最小值．(答案：min max 20652065,55d d +==).2008年第6期福建中学数学15。

解：(1)当 x≥12时，f(x)＝3x－12在12，＋∞上单调递增， 且 f(x)≥32－12＝1；当 x<12时，f(x)＝32－x 在－∞，12上单调递 减，且 f(x)>32－12＝1.
2x＋4，x≤－1， 解：(1)当 a＝1 时，f(x)＝2，－1<x≤2，
－2x＋6，x>2.
可得 f(x)≥0 的解集为{x|－2≤x≤3}． (2)f(x)≤1 等价于|x＋a|＋|x－2|≥4.而|x＋a|＋|x－2|≥|a＋ 2|，且当 x＝2 时等号成立．故 f(x)≤1 等价于|a＋2|≥4.由|a＋ 2|≥4 可得 a≤－6 或 a≥2，所以 a 的取值范围是(－∞，－6] ∪[2，＋∞)．
故由已知得(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2≥43， 当且仅当 x＝53，y＝－13，z＝－13时等号成立． 所以(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2 的最小值为43.
(2)证明：由于[(x－2)＋(y－1)＋(z－a)]2＝(x－2)2＋(y－1)2 ＋(z－a)2＋2[(x－2)(y－1)＋(y－1)(z－a)＋(z－a)(x－2)]≤3[(x －2)2＋(y－1)2＋(z－a)2]，
(1)求(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2 的最小值； (2)若(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2≥13成立，证明：a≤－3 或 a≥－1.
【解】 (1)由于[(x－1)＋(y＋1)＋(z＋1)]2＝(x－1)2＋(y＋ 1)2 ＋ (z ＋ 1)2 ＋ 2[(x － 1)(y ＋ 1) ＋ (y ＋ 1)(z ＋ 1) ＋ (z ＋ 1)(x － 1)]≤3[(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2]，
(2)设 u(x)＝|x＋1|－|x|，y＝u(x)的图象和 y＝x 的图象如图 所示．易知 y＝u(x)的图象向下平移 1 个单位以内(不包括 1 个 单位)，与 y＝x 的图象始终有 3 个交点，从而－1<a<0.所以实 数 a 的取值范围为(－1,0)．