当前位置：文档之家 › 巧用“三点定形法”,寻找乘积式的证题思路

巧用“三点定形法”,寻找乘积式的证题思路

  • 格式：doc
  • 大小：17.50 KB
  • 文档页数：4

巧用“三点定形法”,寻找乘积式的证题思路作者：傅世球
来源：《中学数学杂志(初中版)》2011年第04期
本文在论述了什么是“三点定形法” 的基础上, 又进一步论述了相等线段代换、相等比例代换、相等乘积代换的三种形式的代换，从而寻找“三点定形法”．［１］
1 什么是“三点定形法”
例1 (2010年黄冈)如图1,点P为△ABC的内心,延长AP交△ABC的外接圆于D,在AC延长线上有一点E,满足AD2＝AB•AE,求证：DE是⊙O的切线．
证明连结DC、DO并延长交⊙O于F,连结AF. 因为AD2＝AB•AE,ADAB=AEAD,又因为∠BAD＝∠DAE,所以△BAD∽△DAE,所以∠ADB＝∠E.又因为∠ADB＝∠ACB,所以∠ACB ＝∠E,BC∥DE,所以∠CDE＝∠BCD＝∠BAD＝∠DAC,又因为∠CAF＝∠CDF,所以∠FDE＝∠CDE+∠CDF＝∠DAC+∠CDF＝∠DAF＝90°,故DE是⊙O的切线．
分析上面的论证过程, 连结AF、BD，因为AD2＝AB•AE,所以ADAB=AEAD,又因为
∠BAD＝∠DAE,所以△BAD∽△DAE, 从乘积式到转化成比例式, 用夹角相等, 夹此角的边成比例, 而判断△BAD∽△DAE就是用“三点定形法”, 它是寻求、判断两个三角形相似的行之有效的好方法．
一般来说, “三点定形法” 是寻求、判断两个三角形相似的行之有效的好方法. 当我们把乘积式转化成比例式之后, 不管是比例式的左端或者右端(竖看) 的四个点由两条线段构成, 其中有两个字母相同, 构成不在同一直线上的三点确定的一个三角形. 或从比例式的两端分子和分母看(横看) 也有除一个相同字母的其它三个字母组成的不在同一直线上的三点确定的一个三角形. 这自然成了学生分析问题中添辅助线构成三点定形的关键. 这种寻找三角形相似的方法叫做“三点定形法”．
2 “横挑鼻子竖挑眼”
例2 (2009年黄冈) 如图2,已知AB是⊙O的直径,点C是⊙O上一点,连结BC,AC,过点C作直线CD⊥AB于点D,点E是AB上一点,直线CE交⊙O于点F,连结BF,与直线CD交于点G.求证：BC2=BG•BF
分析要证BC2=BG•BF,BCBG=BFBC用“横挑鼻子竖挑眼”,可采用“横挑鼻子”的分子两线段的B,C,B,F四个字母中去掉一个重复字母B, 剩下三个字母B,C,F, 能构成三角形BCF, 又采取“横挑鼻子”的分母两线段的B,G,B,C四个字母中去掉一个重复字母B, 剩下三个字母B,G,C组成三角形BGC. 即BCBG=BFBC→△BCF
→△BGC用“横挑鼻子竖挑眼”得出两个三角形, 然后再想办法证明这两个三角刑相似; 读
者也可以用“竖挑眼”的方法, 同样可证明△BCF∽△BGC.不管是“横挑”或者“竖挑”, 都有三点定形——不在同一直线上的三点确定一个三角形．
证明因为AB是圆0的直径,∠ACB=90°,又因为
AD⊥∠BCG=∠A=∠△BCF∽△BGC,所以
上面论述可见黄冈连续两年都考了“三点定形法”.
3 代换寻找“三点定形法”
3.1相等线段代换
例3如图3,三角形ABC内接于⊙O,D是BC的中点, ⊙O的切线AP与BC的延长线交于点P,AD交BC于E, 求证:PE2=PB•PC.
分析设AD与BC相交于E点,由于比例中项的三条线段都在一条直线上, 不便于用“三点
定形法”, 观察中发现PA=PE相等线段代换, 可将原求证:PE2=PB•PC 转化成PA2=PB•PC.
这又要先证明PA=PE, 由弦切角定理∠PAC=∠ABC,又因为D是BC的中
点,∠CAD=∠DAB,由三角形ABE的外角定理,∠AEC=∠ABE+∠BAE=∠EAC+∠CAP=∠PAE, 所以PA=PE．
证明由∠PAC=∠ABP,∠P=∠△PAC∽△因为PA=PE,代换后得PE2=PB•PC.
以上证明过程可看出, 把共线的乘积式转化成不共线的乘积式, 再转化成“三点定形法”, 通过相等线段代换达到最后的目的. 当然也可以说是相等乘积代换PA2=PE2而来的．
3.2 相等比例代换
线段代换与比例代换有内在联系, 在例3中, 令PAPB=PCPA=t,由于PA=PE,t=PEPB=PCPE, 即是比也可以代换. 总之, 线段代换与相等比例代换、相等乘积代换都有内在联系, 都是可以互相转化的. 即线段代换与相等比例代换, 既有正向思维, 又有逆向思维. 线段代换与相等乘积代换也一样．
例4如图4,线段AB上有一动点P,BT与以AP为直径的⊙O相交于T, 过P点的切线交BT 于点C, 交直线AT于点D, 当△TCD是等边三角形时, 求AP∶BP．
分析观察图形, 当△TCD是等边三角形时,∠D=∠TCD=60°,所以
∠PCB=60°,∠B=∠A=30°，由弦切角定理∠PTB=∠A=∠．
求AP∶BP可转化为求AP∶PT的问题, 这就形成了相等比例代换问题, 又由30°的直角三
角形的性质知APBP=APTP=21.由此可见,相等比例代换的问题可转化为相等线段代换的问题．
3.3 相等乘积代换
例5如图5,AF与⊙O相切于A, 过弦BC上一点D作AC的平行线与AB相交于E, 与⊙O 交于M,N两点, 求证:ED•EF=EM•EN．
分析要证:ED•EF=EM•EN, 乘积式的四条线段都在一条直线上, 可以用乘积EA•EB来代换, 使得求证的等式通过乘积EA•EB代换, 才能用“三点定形法”, 因为一方靣由圆内相交弦定理可
得EA•EB=EM•EN,另一方面由△EBD∽△同时另一代换
也可转化为三点定形△EMB∽△ENA．
证明 FA是⊙O的切线,∠C=∠2,AC∥DN,∠C=∠1,所以∠1=∠2 ,又由对顶角相等
∠BED=∠△EBD∽△由相交弦定理,EA•EB=EM•EN, 另一方面ED•EF=EA•EB, 等量代换有:ED•EF=EM•EN．
例6如图6,已知:延长圆的两弦AB、CD, 交于圆外一点E, 过E作EF∥AD交CB的延长线于点F,FG与圆切于G, 求证:FG=FE.
分析要证FG=FE. 可一方面用切割线定理另一方靣利用三角
形相似△CEF∽△推出:FG=FE. 这是等积代换, 其原因还是“三点定形法”, 可见“相等乘积代换” 既可以用圆内相交弦定理、切割线定理、割线定理、射影定理、相似形的判定与性质定理.
综上所述,证题过程必须解决定法、定向、定序三个问题, 本文中的定法就是“三点定形法”, 它是先将乘积式转化为比例式, 由比例式去寻找两个三角形相似, 后找两三角形相似的条件. 定
向就是证题或解题的思维方向; 定序是指证题与解题的先后次序. 直接用三点定形法容易, 创造条件用三点定形法, 必须懂得相等线段代换,相等比例代换,相等乘积代换的技巧．
参考文献
［1］齐永利.三步连环法巧证等积式［J］ . 中学数学杂志 ,2010,(2):51.
作者简介：傅世球,1941年3月生, 湖南省麻阳县人,1963年8月毕业于贵州大学数学系, 曾任怀化学院数学系副主任,退休后曾任吉首大学特聘教授. 1993年被评为全国教育系统劳动模范, 同年享受国务院特殊津贴,1994年获曾宪梓教育基金三等奖. 出版《中学数学教学的艺术》、《初等数论》、《构造法解数学题》、《数学教学艺术导论》、《中学数学思维策略与解题技
巧》等26部书. 在《课程•教材•教法》、《中学数学杂志》等全国39家杂志社发表数学教研论文138篇.。

合集下载

福建中考压轴题解题技巧(3)—证三点共线与三线共点的基本思路

福建中考压轴题解题技巧(3)—证三点共线与三线共点的基本思路

福建中考压轴题解题技巧（3）—证三点共线与三线共点的基本思路一、证明三点共线（一）证明方法（1）平角模型:图1,要证明A 、B 、C 三点共线,可以选择一条过B 点的直线PBQ ，并连接AB 、CB ，证明∠ABP+∠CBP=180°；（2）重合模型:先做过其中两点的直线，再证第三点过此直线； （图1）（3）函数模型:①构建平面直角坐标系，求出三个点坐标，其中两个点构建一次函数模型，判断第三个点是否在函数图像上，满足则共线。

②利用21k k =，其中（βαtan tan 21==k k ，），得两直线平行，由此得出三点共线。

（二）典例剖析23.（2020年）如图，C 为线段AB 外一点.(1)求作四边形ABCD ，使得CD//AB ，且CD=2AB ；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)(2)在(1)的四边形ABCD 中，AC ，BD 相交于点P ，AB ，CD 的中点分别为M ，N ，求证：M ，P ，N 三点在同一条直线上.24. （2023年）已知抛物线23y ax bx =++交x 轴于A （1，0）、B （3，0）两点，C 、D 为抛物线上不与A 、B 重合的相异两点，记AB 中点为E ，．（2）若()34,3,,4C D m ⎛⎫-⎪⎝⎭，且2m <，求证：C 、D 、E 三点共线。

25.（2019年）已知点A 是抛物线122+-=x x y 的顶点。

(2)直线l ：y ＝kx ＋1－k 与抛物线交于点B 、C ，直线BD 垂直于直线y ＝－1，垂足为D .证明：对于每个给定的实数k ，都有A 、D 、C 三点共线。

4、已知:A (-m，m) ，B (n，0)，其中m>0，n>0，点C在第一象限内，∠ABC=90°，AB=BC，延长CB至P，使BP=BQ，求证:A，O，P三点共线.二、证明三线共点（一）证明方法①先假设其中两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这一点；②证明三条线中两条线的交点和另外两条线的交点是同一个。

(2021年整理)相似三角形证明技巧(整理)

(2021年整理)相似三角形证明技巧(整理)

相似三角形证明技巧(整理)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（相似三角形证明技巧(整理)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为相似三角形证明技巧(整理)的全部内容。

1相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析一、相似三角形（1）三角形相似的条件:①；② ;③。

二、两个三角形相似的六种图形:只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形，从而使问题得以解决.三、三角形相似的证题思路:判定两个三角形相似思路：1)先找两对内角对应相等（对平行线型找平行线），因为这个条件最简单；2）再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例;3）若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例；找另一角两角对应相等，两三角形相似找夹边对应成比例两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似a)已知一对23找夹角相等 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 找第三边也对应成比例 三边对应成比例，两三角形相似 找一个直角 斜边、直角边对应成比例，两个直角三角形相似找另一角 两角对应相等，两三角形相似 找两边对应成比例 判定定理2找顶角对应相等 判定定理1找底角对应相等 判定定理1找底和腰对应成比例 判定定理3e ）相似形的传递性 若△1∽△2，△2∽△3，则△1∽△3四、“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。

具体做法是:先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形,则只要证明这两个三角形相似就行了,这叫做“竖定”.有些学生在寻找条件遇到困难时，往往放弃了基本规律而去乱碰乱撞，乱添辅助线，这样反而使问题复杂化，效果并不好，应当运用基本规律去解决问题。

例说证明线段比例式或等积式的方法与技巧

例说证明线段比例式或等积式的方法与技巧

例说证明线段比例式或等积式的方法与技巧何美兰证明线段比例式或等积式的常用方法之一是利用相似三角形，而相似三角形是初中数学中的一个非常重要的知识点，它也是历年中考的热点内容，通常考查以下三个部分：（1）考查相似三角形的判定；（2）考查利用相似三角形的性质解题；（3）考查与相似三角形有关的综合内容。

以上试题的考查既能体现开放探究性，又能加深知识之间的综合性。

但不少学生证题却是不会寻找相似三角形，特别是对比较复杂的图形，感到眼花缭乱，无从下手。

为了帮助学生们扩大解题思路，迅速而正确地解题。

下面以一些例题来说明解答策略及规律。

一三点定形法利用两个三角形相似去解决比例式或等积式证明的方法。

解决问题的基本思想是：先找出与结论中的线段有关的两个三角形，然后根据原题所给条件，对照图形分析，寻找这两个三角形的相似条件，再证明这两个三角形相似，利用“相似三角形对应边成比例”推出结论。

寻找并证明两个三角形相似是解题的关键，寻找相似三角形的基本方法是“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。

具体做法是：先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。

例1：如图1，ABCD是⊙O的内接四边形，过C作DB的平行线，交AB的延长线于E。

求证BE·AD＝BC·CD。

分析：要证BE·AD＝BC·CD，即＝。

横定：这个比例式的前项中的线段BE、CD共有四个不同的端点，不能确定一个三角形；竖定：这个比例式的比中的线段BE、BC它们有三个不同的端点，可以确定一个△BEC，另一个比中的线段CD、AD的三个不同的端点也可以确定一个△ACD，于是只要证明△BEC∽△DCA，这样，证明所需添加的辅助线AC也就显示在眼前了。

相似三角形的性质及判定知识点总结经典题型总结

相似三角形的性质及判定知识点总结经典题型总结

一、相似的有关概念1．相似形具有一样形状的图形叫做相似形．相似形仅是形状一样，大小不一定一样．相似图形之间的互相变换称为相似变换． 2．相似图形的特性两个相似图形的对应边成比例，对应角相等． 3．相似比两个相似图形的对应角相等，对应边成比例．二、相似三角形的概念1．相似三角形的定义对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形．如图，ABC △与A B C '''△相似，记作ABC A B C '''△∽△，符号∽读作“相似于〞．中考要求知识点睛相似三角形的性质及判定2．相似比相似三角形对应边的比叫做相似比．全等三角形的相似比是1．“全等三角形〞一定是“相似形〞，“相似形〞不一定是“全等形〞．三、相似三角形的性质1．相似三角形的对应角相等如图，ABC △与A B C '''△相似，那么有A A B B C C '''∠=∠∠=∠∠=∠，，．2．相似三角形的对应边成比例ABC △与A B C '''△相似，那么有AB BC ACk A B B C A C===''''''〔k 为相似比〕．3．相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比．如图1，ABC △与A B C '''△相似，AM 是ABC △中BC 边上的中线，A M ''是A B C '''△中B C ''边上的中线，那么有AB BC AC AMk A B B C A C A M ====''''''''〔k 为相似比〕．图1如图2，ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，那么有AB BC AC AHk A B B C A C A H ====''''''''〔k 为相似比〕．A 'B 'C 'CBAA 'B 'C 'CB AM 'MA 'B 'C 'C BA图2如图3，ABC △与A B C '''△相似，AD 是ABC △中BAC ∠的角平分线，A D ''是A B C '''△中B A C '''∠的角平分线，那么有AB BC AC AD k A B B C A C A D ====''''''''〔k 为相似比〕．图34．相似三角形周长的比等于相似比． 如图4，ABC △与A B C '''△相似，那么有AB BC ACk A B B C A C ===''''''〔k 为相似比〕．应用比例的等比性质有AB BC AC AB BC ACk A B B C A C A B B C A C++====''''''''''''++． 图45．相似三角形面积的比等于相似比的平方．如图5，ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，那么有AB BC AC AHk A B B C A C A H ====''''''''〔k 为相似比〕．进而可得21212ABCA B C BC AHS BC AH k S B C A H B C A H '''⋅⋅==⋅=''''''''⋅⋅△△．图5H 'H AB C C 'B 'A'D 'D A 'B C 'C BAA 'B 'C 'CB AH 'H AB C C 'B 'A '四、相似三角形的判定1．平行于三角形一边的直线和其他两边〔或两边的延长线〕相交，所构成的三角形与原三角形相似．2．如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．可简单说成：两角对应相等，两个三角形相似． 3．如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．4．如果一个三角形的三条边与另一个三角形的你对应成比例，那么这两个三角形相似．可简单地说成：三边对应成比例，两个三角形相似． 5．如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．6．直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似〔常用但要证明〕 7．如果一个等腰三角形和另一个等腰三角形的顶角相等或一对底角相等，那么这两个等腰三角形相似；如果它们的腰和底对应成比例，那么这两个等腰三角形也相似．五、相似证明中的比例式或等积式、比例中项式、倒数式、复合式证明比例式或等积式的主要方法有“三点定形法〞． 1．横向定型法欲证AB BC BEBF=，横向观察，比例式中的分子的两条线段是AB 和BC ，三个字母A B C ，，恰为ABC △的顶点；分母的两条线段是BE 和BF ，三个字母B E F ，，恰为BEF △的三个顶点．因此只需证ABC EBF △∽△． 2．纵向定型法欲证AB DE BCEF=，纵向观察，比例式左边的比AB 和BC 中的三个字母A B C ，，恰为ABC △的顶点；右边的比两条线段是DE 和EF 中的三个字母D E F ，，恰为DEF △的三个顶点．因此只需证ABC DEF △∽△． 3．中间比法由于运用三点定形法时常会碰到三点共线或四点中没有一样点的情况，此时可考虑运用等线，等比或等积进展变换后，再考虑运用三点定形法寻找相似三角形．这种方法就是等量代换法．在证明比例式时，常用到中间比．比例中项式的证明，通常涉及到与公共边有关的相似问题。