《电动力学》课后题答案 第三版 郭硕鸿

'
微商 (∇ = e x
r ∂ r ∂ r ∂ + ey + e z ) 的关系 ∂x ∂y ∂z r r r r r r 1 r r r ' ' 1 ' r ∇r = −∇ r = , ∇ = −∇ = − 3 , ∇ × 3 = 0, ∇ ⋅ 3 = −∇ 3 = 0.(r ≠ 0) r r r r r r r
7 有一内外半径分别为 r1 和 r2 的空心介质球 求 介质的电容率为 ε 使介质内均匀带静止自
由电荷 ρ f 1 2 解 1
空间各点的电场 极化体电荷和极化面电荷分布
r r D ∫ ⋅ dS = ∫ ρ f dV ,
S
(r2>r>r1)
即
Hale Waihona Puke D ⋅ 4πr 2 =4π 3 (r − r13 ) ρ f 3
S
若 S → ∞, 则 ( xj ) ⋅ dS = 0, ( j 同理
(
r ∂ρ ) ∂t
∫
r
r
r
S
= 0)
y
= ∫ j y dV ' , (
r ∂ρ ) z = ∫ j z dV ' ∂t
即
r r r dP = ∫ j ( x ' , t )dV ' V dt
r r r r r m ×R m⋅R r 的旋度等于标量 ϕ = 的梯 6. 若 m 是常矢量 证明除 R 0 点以外 矢量 A = R3 R3
r r r r r r r r ∂Ax (u ) ∂A y (u ) ∂Az z (u ) dAx (u ) ∂u dA y (u ) ∂u dAz (u ) ∂u dA ∇ ⋅ A(u ) = + + = ⋅ + ⋅ + ⋅ = ∇u ⋅ ∂x ∂y ∂z du ∂x du ∂y dz ∂z du
电动力学习题解答 1. 根据算符 ∇ 的微分性与矢量性 推导下列公式
第一章
电磁现象的普遍规律
r r r r r r r r r r ∇( A ⋅ B) = B × (∇ × A) + ( B ⋅ ∇) A + A × (∇ × B) + ( A ⋅ ∇) B r r r r 1 r A × (∇ × A) = ∇A 2 − ( A ⋅ ∇) A 2 v v v v v v v v v v 解 1 ∇( A ⋅ B ) = B × (∇ × A) + ( B ⋅ ∇) A + A × (∇ × B ) + ( A ⋅ ∇) B
而
r r r r ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ [( ) ( ) ( ) ]dV f dV f f i f f j f f k ∇ × = − + − + − x z y x ∫V ∫ ∂y z ∂z y ∂z ∂x ∂x ∂y = ∫[ r r r r r r ∂ ∂ ∂ ( f y k − f z j ) + ( f z i − f x k ) + ( f x j − f y i )]dV ∂x ∂y ∂z
证明
r r rr ∂P ∂ρ ' r ' ' =∫ x dV = − ∫ ∇ ' j ' x ' dV ' V ∂t V ∂t r r r r r ∂P ' ( ) x = − ∫ ∇ ' j ' x ' dV ' = − ∫ [∇ ' ⋅ ( x ' j ' ) − (∇ ' x ' ) ⋅ j ' ]dV ' = ∫ ( j x − ∇ ' ⋅ ( x ' j ' )dV ' V V ∂t r r = ∫ j x dV ' − ∫ xj ⋅ dS
度的负值 即
r ∇ × A = −∇ϕ
其中 R 为坐标原点到场点的距离 证明 方向由原点指向场点
v v v m × R) 1 1 1 v 1 v v 1 v v ∇× A = ∇×( = −∇ × [m × (∇ )] = (∇ ⋅ m)∇ + (m ⋅ ∇)∇ − [∇ ⋅ (∇ )]m − [(∇ ) ⋅ ∇]m 3 R r r r r R
若令 f x = φ i , f y = φ j , f z = φ k 则证毕 5. 已知一个电荷系统的偶极矩定义为
r r r P (t ) = ∫ ρ ( x ' , t ) x ' dV ' ,
V
利用电荷守恒定律 ∇ ⋅ J +
r
r ∂ρ = 0 证明 P 的变化率为 ∂t
r r r dP = ∫ J ( x ' , t )dV ' V dt
若令 H x = f y k − f z j , H y = f z i − f x k , H Z = f x j − f y i 则上式就是
r
r
r
r
r
r
r r r ∇ ⋅ H dV = d S ∫ ∫ ⋅ H ,高斯定理 则证毕
V S
2)由斯托克斯公式有
∫ f ⋅ dl = ∫ ∇ × f ⋅ dS
(最后一式在人 r 0 点不成立 见第二章第五节) 2 求
r r r r r r r r r r r r r r r ∇ ⋅ r , ∇ × r , (a ⋅ ∇)r , ∇(a ⋅ r ), ∇ ⋅ [ E 0 sin(k ⋅ r )]及∇ × [ E 0 sin(k ⋅ r )], 其中a , k 及E 0 均为常矢量
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电动力学习题解答
第一章
电磁现象的普遍规律
r r r r r r r dAy ∂u dAx ∂u r dAx ∂u dAz ∂u r dAz ∂u dAy ∂u r dA − =( − − )e x + ( )e y + ( ) e z = ∇u × du ∂y du ∂z du ∂z du ∂x du ∂x du ∂y du
3. 设 r =
( x − x ' ) 2 + ( y − y ' ) 2 + ( z − z ' ) 2 为源点 x ' 到场点 x 的距离 r 的方向规定为从 r ∂ r ∂ r ∂ + e y ' + e z ' ) 与对场变数求 ∂x ' ∂y ∂z
源点指向场点 1 证明下列结果 并体会对源变数求微商 (∇ = e x
其中右边前两项是 ∇ 作用于
v A
2
v
根据第一个公式
令A
v
v B 可得证
证明
2. 设 u 是空间坐标 x
y z 的函数
∇f (u ) =
r r dA ∇ ⋅ A(u ) = ∇u ⋅ du r r dA ∇ × A(u ) = ∇u × . du
证明 1
df ∇u du
∇f (u ) =
2
∂f (u ) r ∂f (u ) r ∂f (u ) r df ∂u r df ∂u r df ∂u r df ex + ey + ez = ⋅ ex + ⋅ ey + ⋅ ez = ∇u ∂x ∂y ∂z du ∂x du ∂y du ∂z du
l S
r
r r
r
r
∫ f ⋅ dl = ∫ ( f
l l
r
x
dl x + f y dl y + f z dl z )
r r ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ f f y )dS x + ( f x − f z )dS y + ( f y − f x )dS z ∇ × ⋅ dS = ∫ ( f z − ∫S S ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y
= (a x
r ∂ ∂ ∂ v v + ay + a z )[( x − x' )e x + ( y − y ' )e y + ( z − z ' )e z ] ∂x ∂y ∂z
v v v v = a x ex + a y e y + a z ez = a v v v v v v r v v v ∇(a ⋅ r ) = a × (∇ × r ) + (a ⋅ ∇)r + r × (∇ × a ) + (r ⋅ ∇) ⋅ a v v v v v r v = (a ⋅ ∇)r + r × (∇ × a ) + (r ⋅ a ) ⋅ a v v v v v = a + r × (∇ × a ) + (r ⋅ ∇) ⋅ a r r r r r r r r r ∇ ⋅ [ E 0 sin(k ⋅ r )] = [∇(sin(k ⋅ r )] ⋅ E 0 + sin(k ⋅ r )(∇ ⋅ E 0 )
4. 应用高斯定理证明
∫
应用斯托克斯
V
r r r dV∇ × f = ∫ dS × f
S
Stokes 定理证明
∫
证明
S
r r dS × ∇φ = ∫ dl φ
L
1)由高斯定理
∫
即
V
r r r dV∇ ⋅ g = ∫ dS ⋅ g
S
∫
V
(
∂g x ∂g y ∂g z )dV = ∫ g x dS x + g y dS y + g z dS z + + S ∂x ∂y ∂z
r (r 3 − r13 ) ρ f r ∴E = r , (r2 > r > r1 ) 3εr 3
3
r ex r ∂ ∇ × A(u ) = r∂x Ax (u )