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二次函数与三角形的结合

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第1页共9页二次函数与三角形的结合姓名：学校：日期：知识点

考点一二次函数与等腰三角形的结合考点二二次函数与直角三角形的结合考点三二次函数与等腰直角三角形的结合考点四二次函数与三角形的面积问题

例题精讲考点一二次函数与等腰三角形的结合考点技巧透析：固定两个定点时，一般从下面两个方面去寻找，对于计算，则一般可以引进参数，根据相似或构造想勾股定理方程，而后把参数解出代入，查看是否符合。（1）以已知边为腰时，可以把已知边的端点作圆心，已知边的长作半径画圆。

（2）以已知边为底边时，做垂直平分线（到线段两端点的距离相等的点在垂直平分线上）固定一个定点或都是动点时，一般以三个顶点分情况讨论：ABAC=、CACB=、BCBA=，而后用参数列出方程。

【例1】如图，直线33+=xy交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线交x轴于另一点C（3,0）.（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由.让我们一起为了孩子的进步而努力！纳思书院NiceEducation

第2页共9页【变式1-1】如图，抛物线254yaxax=−+经过ABC△的三个顶点，已知BCx∥轴，点A在x轴上，点C在y轴上，且ACBC=

（1）求抛物线的对称轴；（2）写出ABC，，三点的坐标并求抛物线的解析式；（3）探究：若点P是抛物线对称轴上且在x轴下方的动点，是否存在PAB△是等腰三角形．若存在，求出所有符合条件的点P坐标；不存在，请说明理由．

【变式1-2】如图，在直角坐标系中，A（-1，0），B（0，2），一动点P沿过B点且垂直于AB的射线BM运动，P点的运动速度为每秒1个单位长度，射线BM与x轴交与点C．（1）求点C的坐标．（2）求过点A、B、C三点的抛物线的解析式．（3）若P点开始运动时，Q点也同时从C出发，以P点相同的速度沿x轴负方向向点A运动，t秒后，以P、Q、C为顶点的三角形为等腰三角形．（点P到点C时停止运动，点Q也同时停止运动）求t的值．（4）在（2）（3）的条件下，当CQ=CP时，求直线OP与抛物线的交点坐标．让我们一起为了孩子的进步而努力！纳思书院NiceEducation

第3页共9页考点二二次函数与直角三角形的结合考点技巧透析：1、固定两个定点时，一般从下面两个方面去寻找；当直角边时，过定点做垂直，此时要注意直线与坐标系构成的角度；当斜边时，是否存在。对于计算，可能要用到相似，射影定理。2、固定一个定点或都是用参数表示的点时，则一般用参数，根据一线三角列出各线段平方的表示，而后分情况：222ABACBC+=、222BABCAC+=、222CACBAB+=根据勾股定理用参数列出方程。

【例2】在平面直角坐标系内，反比例函数和二次函数y=k（x2+x﹣1）的图象交于点A（1，k）和点B（﹣1，﹣k）．（1）当k=﹣2时，求反比例函数的解析式；（2）要使反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围；（3）设二次函数的图象的顶点为Q，当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值．

【变式2-1】如图，抛物线2122yxbx=+−与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；（3）点M（m，0）是x轴上的一个动点，当MC+MD的值最小时，求m的值．让我们一起为了孩子的进步而努力！纳思书院NiceEducation

第4页共9页【变式2-2】如图，直线y＝－x－1与抛物线y＝ax2＋bx－4都经过点A（－1，0）、C（3，－4）．（1）求抛物线的解析式；（2）动点P在线段AC上，过点P作x轴的垂线与抛物线相交于点E，求线段PE长度的最大值；（3）当线段PE的长度取得最大值时，在抛物线上是否存在点Q，使△PCQ是以PC为直角边的直角三角形？若存在，请求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．

考点三二次函数与等腰直角三角形的结合考点技巧透析：等腰直角三角形-------有一角为90o，并且腰相等，这样就产生了ADBDCD==。

DCBA

BA

温馨提示：全等在这用的较多【例3】在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点()0,2A，点()1,0C−，如图所示，抛物线22yaxax=+−经过点B。

（1）求点B的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．让我们一起为了孩子的进步而努力！纳思书院NiceEducation

第5页共9页【变式3】已知抛物线223yxbxc=−++与x轴交于不同的两点()1,0Ax和()2,0Bx，与y轴交于点C，且1x，2

x

是方程2230xx−−=的两个根()12xx<

（1）求抛物线的解析式；（2）过点A做//ADCB交抛物线于点D，求四边形ACBD的面积；（3）如果P是线段AC上的一个动点（不与,AC重合），过点P做平行于x轴的直线l交BC于点Q，那么在x轴上是否存在点R，使得PQR△为等腰直角三角形？若存在，求出R的坐标；若不存在，请说明理由。

考点四二次函数与三角形的面积问题考点技巧透析：在直角坐标系中，已知三角形三个顶点的坐标，如果三角形的三条边中有一条边与坐标轴平行，可以直接运用三角形面积公式求解三角形面积.如果三角形的三条边与坐标轴都不平行，则通常有以下方法：

EDC

BAFEDABC

DFED

C

BAh

45°

D

C

BA

1.如图，过三角形的某个顶点作与x轴或y轴的平行线，将原三角形分割成两个满足一条边与坐标轴平行的三角形，分别求出面积后相加．1122ABCACDADBCBACECEBABSSSADyySSCExx∆∆∆∆∆=+=⋅−=+=⋅−

其中D,E两点坐标可以通过BC或AB的直线方程以及A或C点坐标得到．

2.如图，首先计算三角形的外接矩形的面积，然后再减去矩形内其他各块面积．ABCDEBFDACAEBCBFSSSSS∆∆∆∆=−−−.

所涉及的各块面积都可以通过已知点之间的坐标差直接求得．

3.如图，通过三个梯形的组合，可求出三角形的面积.该方法不常用．()()()()()()111222ABCADEBCFEBADFCABABBCBcCACASSSSxxyyxxyyxxyy∆=−++=−++−++−+

4.如图，作三角形的高，运用三角形的面积公式求解四边形的面积．该方法不常用，如果三角形的一条边与0xy±=平行，则可以快速求解．12ABCShBC∆=⋅．让我们一起为了孩子的进步而努力！纳思书院NiceEducation

第6页共9页5.如图，过ABC∆的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，侧两条直线之间的距离叫ABC∆的“水平宽”()a，中间的这条直线在ABC∆内部线段的长度叫ABC∆的“铅垂高()h”．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：12ABCSah∆=，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.

haC

B

【例4】如图，已知在同一坐标系中，直线22kykx=+−与y轴交于点P，抛物线kxkxy4)1(22++−=与x轴交于)0,(),0,(21xBxA两点。C是抛物线的顶点。（1）求二次函数的最小值（用含k的代数式表示）；（2）若点A在点B的左侧，且021<⋅xx。①当k取何值时，直线通过点B；②否存在实数k，使ABCABPSS∆∆=？如果存在，请求出此时抛物线的解析式；如果不存在，请说明理由。

【变式4-1】已知抛物线)1(3)4(2−+−−−=mxmxy与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，（1）求m的取值范围；（2）若0（3）若A点在B点左边，在第一象限内，（2）中所得的抛物线上是否存在一点P，使直线PA平分ACD∆的面积？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由。让我们一起为了孩子的进步而努力！纳思书院NiceEducation

第7页共9页【变式4-2】如图1，已知直线12yx=−与抛物线2164yx=−+交于AB，两点．（1）求AB，两点的坐标；（2）求线段AB的垂直平分线的解析式；（3）如图2，取与线段AB等长的一根橡皮筋，端点分别固定在AB，两处．用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P在直线AB上方的抛物线上移动，动点P将与AB，构成无数个三角形，这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如

果存在，求出最大面积，并指出此时P点的坐标；如果不存在，请简要说明理由。

【变式4-3】如图，在直角坐标系中，点A的坐标为(－2，0)，连接OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB。（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；（4）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由。(注意：本题中的结果均保留根号)

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二次函数中的等腰三角形问题

二次函数中的等腰三角形问题

二次函数中的等腰三角形问题式；交点式：y=a （x －x 1）（x －x 2），通常要知道图像与x 轴的两个交点坐标x 1，x 2才能求出此解析式；对于y=ax 2+bx+c 而言，其顶点坐标为（－2ba ，244acb a ）．对于y=a （x －h ）2+k 而言其顶点坐标为（h ，k ），•由于二次函数的图像为抛物线，因此关键要抓住抛物线的三要素：开口方向，对称轴，顶点．考点2 等腰三角形的性质1.等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。

2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（简写成“等腰三角形的三线合一性质”）。

3.等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。

4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。

5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。

6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。

7.等腰三角形是轴对称图形，（不是等边三角形的情况下）只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴。

8.等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方9.等腰三角形的腰与它的高的关系直接的关系是：腰大于高。

间接的关系是：腰的平方等于高的平方加底的一半的平方。

考点3 相似三角形的性质1.相似三角形对应角相等，对应边成正比例。

2.相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比。

3.相似三角形周长的比等于相似比。

4.相似三角形面积的比等于相似比的平方。

5.相似三角形内切圆、外接圆直径比和周长比都和相似比相同，内切圆、外接圆面积比是相似比的平方6.若a/b =b/c，即b²=ac，b叫做a,c的比例中项7.c/d=a/b 等同于ad=bc.8.不必是在同一平面内的三角形里（1）相似三角形对应角相等，对应边成比例. （2）相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.（3）相似三角形周长的比等于相似比三、例题精析【例题1】如图，抛物线y＝-x2+x-4与x轴相交于点Ａ、Ｂ，与y轴相交于点Ｃ，抛物线的对称轴与x轴相交于点Ｍ。

二次函数中求直角三角形的方法

二次函数中求直角三角形的方法

求直角三角形的方法中的特定函数在二次函数中求直角三角形的方法中，可以使用特定的函数来计算直角三角形的各个属性，例如边长、角度、面积等。

这些函数可以帮助我们快速准确地解决直角三角形相关的问题。

本文将详细介绍几个常用的函数，包括函数的定义、用途和工作方式等。

1. 求斜边长的函数求斜边长的函数是用来计算直角三角形斜边的长度的。

根据勾股定理，直角三角形的斜边长度可以通过已知的两个直角边的长度来计算。

函数的定义如下：def hypotenuse(a, b):"""计算直角三角形的斜边长:param a: 直角三角形的直角边a的长度:param b: 直角三角形的直角边b的长度:return: 直角三角形的斜边长"""c = math.sqrt(a**2 + b**2)return c该函数接受两个参数a和b，分别表示直角三角形的直角边a和直角边b的长度。

函数内部使用勾股定理来计算斜边的长度，并返回结果。

2. 求角度的函数求角度的函数是用来计算直角三角形中某个角度的大小的。

根据三角函数的定义，我们可以通过已知的两个直角边的长度来计算角度的大小。

函数的定义如下：def angle(a, b):"""计算直角三角形中的角度:param a: 直角三角形的直角边a的长度:param b: 直角三角形的直角边b的长度:return: 直角三角形中的角度（弧度制）"""radians = math.atan(a / b)return radians该函数接受两个参数a和b，分别表示直角三角形的直角边a和直角边b的长度。

函数内部使用反正切函数来计算角度的大小，并返回结果（以弧度制表示）。

3. 求面积的函数求面积的函数是用来计算直角三角形的面积的。

根据直角三角形的面积公式，我们可以通过已知的两个直角边的长度来计算面积。

第八讲 二次函数与几何图形的综合运用1(含答案)

第八讲 二次函数与几何图形的综合运用1(含答案)

第八讲 二次函数与几何图形的运用一、知识梳理二次函数与三角形的综合运用：1、求面积及最值2、与三角形的综合运用3、与相似三角形的综合运用4、与四边形的综合运用二、例题例1：如图，已知抛物线y=﹣x 2+mx+3与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点B 的坐标为（3，0）（1）求m 的值及抛物线的顶点坐标．（2）点P 是抛物线对称轴l 上的一个动点，当PA+PC 的值最小时，求点P 的坐标．变式 1 如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0). （1）求该抛物线的解析式；（2）动点P 在x 轴上移动，当△PAE 是直角三角形时，求点P 的坐标.例2、如图，已知点A（0，2），B（2，2），C（﹣1，﹣2），抛物线F：y=x2﹣2mx+m2﹣2与直线x=﹣2交于点P．（1）当抛物线F经过点C时，求它的表达式；（2）设点P的纵坐标为y P，求y P的最小值，此时抛物线F上有两点（x1，y1），（x2，y2），且x1＜x2≤﹣2，比较y1与y2的大小；（3）当抛物线F与线段AB有公共点时，直接写出m的取值范围．例3：在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+2过B（﹣2，6），C（2，2）两点．（1）试求抛物线的解析式；（2）记抛物线顶点为D，求△BCD的面积；（3）若直线y=﹣x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC（包括端点B、C）部分有两个交点，求b的取值范围．例4：已知二次函数y=ax2﹣2ax+c（a＞0）的图象与x轴的负半轴和正半轴分别交于A、B 两点，与y轴交于点C，它的顶点为P，直线CP与过点B且垂直于x轴的直线交于点D，且CP：PD=2：3（1）求A、B两点的坐标；（2）若tan∠PDB=，求这个二次函数的关系式．例5、如图1，二次函数y1=（x﹣2）（x﹣4）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），其对称轴l与x轴交于点C，它的顶点为点D．（1）写出点D的坐标．（2）点P在对称轴l上，位于点C上方，且CP=2CD，以P为顶点的二次函数y2=ax2+bx+c （a≠0）的图象过点A．①试说明二次函数y2=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点B；②点R在二次函数y1=（x﹣2）（x﹣4）的图象上，到x轴的距离为d，当点R的坐标为时，二次函数y2=ax2+bx+c（a≠0）的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于2d；③如图2，已知0＜m＜2，过点M（0，m）作x轴的平行线，分别交二次函数y1=（x﹣2）（x ﹣4）、y2=ax2+bx+c（a≠0）的图象于点E、F、G、H（点E、G在对称轴l左侧），过点H 作x轴的垂线，垂足为点N，交二次函数y1=（x﹣2）（x﹣4）的图象于点Q，若△GHN∽△EHQ，求实数m的值．三、课堂练习1、如图，在Rt∠AOB的平分线ON上依次取点C，F，M，过点C作DE⊥OC，分别交OA，OB于点D，E，以FM为对角线作菱形FGMH.已知∠DFE＝∠GFH＝120°，FG＝FE.设OC＝x，图中阴影部分面积为y，则y与x之间的函数关系式是 ( )A．y＝32x2 B．y＝3x2 C．y＝23x2 D．y＝33x22、已知抛物线y=2x2+bx+c与直线y=﹣1只有一个公共点，且经过A（m﹣1，n）和B（m+3，n），过点A，B分别作x轴的垂线，垂足记为M，N，则四边形AMNB的周长为．3、直线y=kx+b与抛物线y=x2交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，当OA⊥OB时，直线AB 恒过一个定点，该定点坐标为．4、如图，抛物线y=ax2+bx﹣经过点A（1，0）和点B（5，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）以点A为圆心，作与直线BC相切的⊙A，请判断⊙A与y轴有怎样的位置关系，并说明理由；（3）在直线BC上方的抛物线上任取一点P，连接PB、PC，请问：△PBC的面积是否存在最大值？若存在，求出这个值和此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．5、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点坐标为（2，9），与y 轴交于点A （0，5），与x 轴交于点E 、B ． （1）求二次函数y=ax 2+bx+c 的表达式；（2）过点A 作AC 平行于x 轴，交抛物线于点C ，点P 为抛物线上的一点（点P 在AC 上方），作PD 平行与y 轴交AB 于点D ，问当点P 在何位置时，四边形APCD 的面积最大？并求出最大面积；（3）若点M 在抛物线上，点N 在其对称轴上，使得以A 、E 、N 、M 为顶点的四边形是平行四边形，且AE 为其一边，求点M 、N 的坐标．六、课后作业1、已知抛物线y=ax 2﹣3x+c （a ≠0）经过点（﹣2，4），则4a+c ﹣1= ．2、a 、b 、c 是实数，点A （a+1、b ）、B （a+2，c ）在二次函数y=x 2﹣2ax+3的图象上，则b 、c 的大小关系是b c （用“＞”或“＜”号填空）3、已知二次函数n mx x y ++=2的图像经过点()1,3-P ，对称轴是经过()0,1-且平行于y轴的直线。

二次函数与相似三角形综合1

二次函数与相似三角形综合1

二次函数与相似三角形综合1、P （－3，m ）和Q （1，m ）是二次函数y ＝2x 2＋bx ＋1图象上的两点．（1）求b 的值；（2）将二次函数y ＝2x 2＋bx ＋1的图象向上平移k （k 是正整数）个单位，使平移后的图象与x 轴无交点，求k 的最小值．2、如图，在矩形ABCD 中，4AB =，6AD =，点P 是射线DA 上的一个动点，将三角板的直角顶点重合于点P ，三角板两直角中的一边始终经过点C ，另一直角边交射线BA 于点E ． （1）判断△EAP 与△PDC 一定相似吗？请证明你的结论；（2）设PD x =，AE y =，求y 与x 的函数关系式，并写出它的定义域；（3）是否存在这样的点P ，是△EAP 周长等于△PDC 周长的2倍？若存在，请求出PD 的长度；若不存在，请简要说明理由．3、如图，四边形ABCD 中，AD ＝CD ，∠DAB ＝∠ACB ＝90°，过点D 作DE ⊥AC ，垂足为F ，DE 与AB 相交于点E ， AB ＝15 cm ，BC ＝9 cm ，（1）点E 是AB 的中点吗？为什么？ （2）若P 是射线DE 上的动点．设DP ＝x cm （0x >），四边形BCDP 的面积为y cm 2．①求y 关于x 的函数关系式；②当x 为何值时，△PBC 的周长最小，并求出此时四边形BCDP 的面积．EPDCBA4、如图，点A 在x 正半轴上，点B 在y 正半轴上，OB ：OA=2，抛物线22y x mx =++的顶点为D ，且经过A 、B 两点．（1）求抛物线解析式；（2）将OAB Δ绕点A 旋转90˚后，点B 落在点C 处，将上述抛物线沿y 轴上下平移后过C 点，写出点C 坐标及平移后的抛物线解析式；（3）设（2）中平移后抛物线交y 轴于1B ，顶点为1D ，点P 在平移后的图像上，且112PBB PDD S S =ΔΔ，求点P 坐标．5、如图，二次函数x x y 31322—=的图像经过△AOC 的三个顶点，其中A(-1，m),B(n,n). (1)求A 、B 的坐标；(2)在坐标平面上找点C ，使以A 、O 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形①这样的点C 有几个？②能否将抛物线x x y 31322—=平移后经过A 、C 两点，若能求出平移后经过A 、C 两点的一条抛物线的解析式；若不能，说明理由。