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椭圆01

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6.2 不等式的证明（一） ●知识梳理 1.均值定理：a+b≥2ab；

ab≤（2ba）2（a、b∈R+）， 当且仅当a=b时取等号. 2.比较法：a－b＞0a＞b，a－b＜0a＜b.

3.作商法：a＞0，b＞0，ba＞1a＞b. 特别提示 1.比较法证明不等式是不等式证明的最基本的方法.作差后需要判断差的符号，作差变形的方向常常是因式分解后，把差写成积的形式或配成完全平方式.

2.比商法要注意使用条件，若ba＞1不能推出a＞b.这里要注意a、b两数的符号. ●点击双基

1.若a、b是正数，则2ba、ab、baab2、222ba这四个数的大小顺序是

A.ab≤2ba≤baab2≤222ba B.222ba≤ab≤2ba≤baab2 C.baab2≤ab≤2ba≤222ba D.ab≤2ba≤222ba≤baab2 解析：可设a=1，b=2， 则2ba=23，ab=2，

baab2=34，

222ba

=241=25=5.2.

答案：C 2.设0＜x＜1，则a=2x，b=1+x，c=x11中最大的一个是 A.a B.b C.c D.不能确定 解析：∵0＜x＜1，

∴1+x＞2x=x4＞x2.

∴只需比较1+x与x11的大小. ∵1+x－x11=xx1112=－xx12＜0， ∴1+x＜x11. 答案：C 3.（2005年春季上海，15）若a、b、c是常数，则“a＞0且b2－4ac＜0”是“对任意x∈R，有ax2+bx+c＞0”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 必要条件 解析：当a＞0，b2－4ac＜0时，ax2+bx+c＞0. 反之，ax2+bx+c＞0对x∈R成立不能推出a＞0，b2－4ac＜0. 反例：a=b=0，c=2.故选A. 答案：A 4.（理）已知|a+b|＜－c（a、b、c∈R），给出下列不等式： ①a＜－b－c；②a＞－b+c；③a＜b－c；④|a|＜|b|－c；⑤|a|＜－|b|－c. 其中一定成立的不等式是____________.（把成立的不等式的序号都填上） 解析：∵|a+b|＜－c，∴c＜a+b＜－c. ∴－b+c＜a＜－b－c.故①②成立，③不成立. ∵|a+b|＜－c，|a+b|≥|a|－|b|， ∴|a|－|b|＜－c.∴|a|＜|b|－c. 故④成立，⑤不成立. 答案：①②④ （文）若a、b∈R，有下列不等式：①a2+3＞2a；②a2+b2≥2（a－b－1）；③a5+b5＞

a3b2+a2b3；④a+a1≥2.其中一定成立的是__________. 解析：①a2+3－2a=（a－1）2+2＞0， ∴a2+3＞2a； ②a2+b2－2a+2b+2=（a－1）2+（b+1）2≥0， ∴a2+b2≥2（a－b－1）； ③a5+b5－a3b2－a2b3=a3（a2－b2）+b3（b2－a2） =（a2－b2）（a3－b3）=（a+b）（a－b）2（a2+ab+b2）. ∵（a－b）2≥0，a2+ab+b2≥0，但a+b符号不确定， ∴a5+b5＞a3b2+a2b3不正确；

④a∈R时，a+a1≥2不正确. 答案：①② 5.船在流水中在甲地和乙地间来回行驶一次的平均速度v1和在静水中的速度v2的大小关系为____________. 解析：设甲地至乙地的距离为s，船在静水中的速度为v2，水流速度为v（v2＞v＞0），则船在流水中在甲乙间来回行驶一次的时间

t=vvs2+vvs2=22222vvsv，

平均速度v1=ts2=2222vvv. ∵v1－v2=2222vvv－v2=－22vv＜0， ∴v1＜v2. 答案：v1＜v2 ●典例剖析

【例1】 设a＞0，b＞0，求证：（ba2）21（ab）21≥a21+b21. 剖析：不等式两端都是多项式的形式，故可用比差法证明或比商法证明. 证法一：左边－右边＝abba33）（）（－（a＋b）

＝abbaabbababa）（））（（ ＝abbababa））（（2＝abbaba2））（（≥0. ∴原不等式成立. 证法二：左边＞0，右边＞0，

右边左边＝）（））（（baabbababa＝abbaba≥ababab2＝1.

∴原不等式成立. 评述：用比较法证不等式，一般要经历作差（或商）、变形、判断三个步骤.变形的主要手段是通分、因式分解或配方.在变形过程中，也可利用基本不等式放缩，如证法二.下面的例3则是公式法与配方法的综合应用.

【例2】 已知a、b、x、y∈R+且a1＞b1，x＞y.

求证：axx＞byy. 剖析：观察待证不等式的特征，用比较法或分析法较适合. 证法一：（作差比较法） ∵axx－byy=））（（byaxaybx， 又a1＞b1且a、b∈R+， ∴b＞a＞0.又x＞y＞0，∴bx＞ay. ∴））（（byaxaybx＞0，即axx＞byy. 证法二：（分析法） ∵x、y、a、b∈R+，∴要证axx＞byy， 只需证明x（y+b）＞y（x+a），即证xb＞ya. 而由a1＞b1＞0，∴b＞a＞0.又x＞y＞0， 知xb＞ya显然成立.故原不等式成立. 思考讨论 该例若用函数的单调性应如何构造函数?

解法一：令f（x）=axx，易证f（x）在（0，+∞）上为增函数，从而axx＞byy.

再令g（x）=xmm，易证g（x）在（0，+∞）上单调递减. ∵a1＞b1，a、b∈R+.∴a＜b. ∴g（a）＞g（b），即amm＞bmm，命题得证.

解法二：原不等式即为1axax＞1byby， 为此构造函数f（x）=1xx，x∈（0，+∞）. 易证f（x）在（0，+∞）上为单调增函数，而ax＞by，

∴1axax＞1byby，即axx＞byy. 【例3】 某食品厂定期购买面粉.已知该厂每天需用面粉6 t，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，购面粉每次需支付运费900元. （1）求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少? （2）若提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210 t时，其价格可享受9折优惠（即原价的90%），问该厂是否考虑利用此优惠条件?请说明理由. 解：（1）设该厂应每隔x天购买一次面粉，其购买量为6x t，由题意知，面粉的保管等其他费用为3［6x+6（x－1）+…+6×2+6×1］=9x（x+1）. 设平均每天所支付的总费用为y1元，则y1=x1［9x（x+1）+900］+6×1800 =x900+9x+10809≥2xx9900+10809 =10989. 当且仅当9x=x900，即x=10时取等号， 即该厂应每隔10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少. （2）若厂家利用此优惠条件，则至少每隔35天，购买一次面粉，平均每天支付的总费用为y2元，则

y2=x1［9x（x+1）+900］+6×1800×0.90

=x900+9x+9729（x≥35）. 令f（x）=x+x100（x≥35）， x2＞x1≥35，则 f（x1）－f（x2）=（x1+1100x）－（x2+2100x）

=212112100xxxxxx））（（ ∵x2＞x1≥35， ∴x2－x1＞0，x1x2＞0，100－x1x2＜0. ∴f（x1）－f（x2）＜0，f（x1）＜f（x2），

即f（x）=x+x100，当x≥35时为增函数. ∴当x=35时，f（x）有最小值，此时y2＜10989.∴该厂应该接受此优惠条件. ●闯关训练 夯实基础 1.设x＞0，y＞0，且xy－（x+y）=1，则

A.x+y≤22+2 B.x+y≥22+2

C.x+y≤（2+1）2 D.x+y≥（2+1）2 解析：∵x＞0，y＞0，∴xy≤（2yx）2. 由xy－（x+y）=1得（2yx）2－（x+y）≥1. ∴x+y≥2+22. 答案：B 2.已知x、y∈R，M=x2+y2+1，N=x+y+xy，则M与N的大小关系是 A.M≥N B.M≤N C.M=N D.不能确定 解析：M－N=x2+y2+1－（x+y+xy） =21［（x2+y2－2xy）+（x2－2x+1）+（y2－2y+1）］

=21［（x－y）2+（x－1）2+（y－1）2］≥0. 答案：A 3.设a＞0，b＞0，a2+22b=1，则a21b的最大值是____________.

解析：a2+22b=1a2+212b=23.

∴a21b=2·a·212b≤2·22122ba=2·223=423. 答案：423 4.若记号“※”表示求两个实数a和b的算术平均数的运算，即a※b=2ba，则两边均含有运算符号“※”和“+”，且对于任意3个实数a、b、c都能成立的一个等式可以是____________.

解析：∵a※b=2ba，b※a=2ab， ∴a※b+c=b※a+c. 答案：a※b+c=b※a+c. 思考：对于运算“※”分配律成立吗? 即a※（b+c）=a※b+a※c. 答案：不成立 5.当m＞n时，求证：m3－m2n－3mn2＞2m2n－6mn2＋n3． 证明：∵（m3－m2n－3mn2）－（2m2n－6mn2＋n3）＝m3－3m2n＋3mn2－n3＝（m－n）3， 又m＞n，∴m－n＞0.∴（m－n）3＞0， 即（m3－m2n－3mn2）－（2m2n－6mn2＋n3）＞0. 故m3－m2n－3mn2＞2m2n－6mn2＋n3． 6.已知a＞1，λ＞0，求证：loga（a+λ）＞loga+λ（a+2λ）. 证明：loga（a+λ）－log（a+λ）（a+2λ）

=aalglg）（－）（）（aalg2lg

=）（）（）（aaaaalglg2lglglg2 ∵a＞1，λ＞0， ∴lga＞0，lg（a+2λ）＞0，且lga≠lg（a+2λ）.

∴lga·lg（a+2λ）＜［（22lglg）（aa）］2

=［22lg2）（aa］2＜［2lg2）（a］2=lg2（a+λ）.

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《椭圆及其标准方程》课件

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目 录
• 椭圆的定义 • 椭圆的方程 • 椭圆的性质 • 椭圆的图像 • 椭圆的实际应用
01
椭圆的定义
椭圆的几何定义
01
椭圆是由平面内两个定点F1、F2 的距离之和等于常数（常数大于 F1、F2之间的距离）的点的轨迹 形成的图形。
02
两个定点F1、F2称为椭圆的焦点 ，焦点的距离c满足关系式： c²=a²-b²，其中a为椭圆长轴半径 ，b为短轴半径。
椭圆的范围
总结词
椭圆的范围是指椭圆被坐标轴所限制的范围。
详细描述
这意味着椭圆永远不会出现在坐标轴之外。在x轴上，椭圆的范围是从-a到a；在y轴上，椭圆的范围是从-b到b。 其中a和b是椭圆的长轴和短轴的半径。
椭圆的顶点
总结词
椭圆的顶点是指椭圆与坐标轴的交点 。
详细描述
椭圆的顶点是椭圆与x轴和y轴的交点 。这些点是椭圆的边界点，并且它们 位于椭圆的长轴和短轴上。具体来说 ，椭圆的顶点是(-a,0)，(a,0)，(0,-b) 和(0,b)。
小和形状。
平移变换
将椭圆在坐标系中移动，可以实现 椭圆的平移变换。平移变换不会改 变椭圆的大小和形状，只会改变椭 圆的位置。
旋转变换
通过旋转椭圆，可以实现椭圆的旋 转变换。旋转变换会改变椭圆的方 向，但不会改变椭圆的大小和形状 。
椭圆的图像应用
天文学
在天文观测中，行星和卫星的轨道通常可以用椭圆来近似 描述。通过研究椭圆的性质，可以更好地理解天体的运动 规律。
焦点位置
离心率
定义为c/a，其中c是焦点到椭圆中心 的距离，a是椭圆长轴的半径。离心率 越接近0，椭圆越接近圆；离心率越 大，椭圆越扁。
椭圆定义及其标准方程

椭圆定义及其标准方程


焦点性质
总结词
椭圆的两个焦点位于长轴的端点，且与椭圆中心距离等于长轴长度减去短轴长度。
详细描述
对于标准椭圆方程，其长轴和短轴长度分别为a和b，焦距为c，满足关系c = sqrt(a^2 - b^2)。椭圆的两个焦点 位于长轴的端点，与椭圆中心的距离等于c。
顶点性质
总结词
椭圆的顶点是长轴和短轴与椭圆的交点，分别有四个顶点，分布在椭圆的四个象限内。
性质
椭圆具有对称性，关于x 轴、y轴和原点都是对称 的。
应用
在平面几何中，椭圆常用 于解决与圆、直线、三角 形等图形相关的问题。
在解析几何中的应用
定义
在解析几何中，椭圆用直角坐标方程表示为 (x/a)^2 + (y/b)^2 = 1，其中a和b分别是椭圆的长半轴和短半轴。
性质
解析几何中的椭圆具有明确的参数关系，可以通过参数方程进行描 述。
详细描述
椭圆的顶点是长轴和短轴与椭圆的交点。由于椭圆关于原点对称，因此有四个顶点，分 布在椭圆的四个象限内。这些顶点分别是长轴和短轴与椭圆的交点，对于标准椭圆方程，
长轴和短轴的长度分别为a和b。
04
椭圆的几何意义
在平面几何中的应用
01
02
03
定义
椭圆是平面内与两个定点 F1、F2的距离之和等于常 数（大于|F1F2|）的点的 轨迹。
椭圆的切线性质
切线与焦点
通过椭圆上任意一点的切 线与两个焦点形成的角是 直角。
切线长度
切线长度等于椭圆上该点 到最近焦点的距离。
切线性质定理
切线与通过切点的长轴或 短轴垂直。
椭圆的参数方程
参数方程定义
椭圆的参数方程是一种 表示椭圆上点的坐标的 方式，通常使用三角函 数来表示。
椭圆的定义课件(2023版ppt)

椭圆的定义课件(2023版ppt)


椭圆的离心率为e = c/a，
04 其中c为椭圆的焦距，a
为椭圆的长半轴
椭圆的图形表示
椭圆的图形特征
椭圆是一种封闭的曲线图形，由两个焦点和
01
一条长轴组成。
椭圆的形状可以根据长轴和短轴的长度比例来
02
变化，当长轴和短轴相等时，椭圆变为圆。
椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和是常
03
数，这个常数叫做椭圆的焦距。
01
02
03
04
椭圆的性质与定理
椭圆的性质
椭圆的定义：平面 内到两个固定点的 距离之和等于常数 的点的轨迹
椭圆的焦点：椭圆 的两个固定点，决 定了椭圆的形状和 大小
椭圆的离心率：椭 圆焦点到椭圆中心 的距离与椭圆长轴 长度的比值，决定 了椭圆的扁平程度
椭圆的顶点：椭圆 与坐轴的交点， 决定了椭圆的位置 和方向
2
椭圆在物理学中 的应用：椭圆轨 道、椭圆振动等
3
椭圆在工程学中 的应用：椭圆形 建筑、椭圆形管
道等
4
椭圆在艺术设计 中的应用：椭圆 形构图、椭圆形
图案等
谢谢
椭圆的周长与面积可以通 过公式计算
椭圆的离心率决定了椭圆 的形状
椭圆的焦点决定了椭圆的 位置和方向
椭圆的方程
椭圆的标准方程：
x^2/a^2 + y^2/b^2 01
=1
椭圆的焦点在x轴和y轴
上的坐标分别为(a,0)和 03
(0,b)
椭圆的顶点坐标为(a,0) 05
和(0,b)
02
a和b分别表示椭圆的长 半轴和短半轴
椭圆的性质：椭圆具
2 有对称性、周期性、 可积性等性质，这些 性质在几何应用中具 有重要作用。
椭圆性质第二定义及焦半径

椭圆性质第二定义及焦半径

椭圆性质第二定义及焦半 径
• 椭圆性质第二定义 • 焦半径 • 椭圆的焦点性质 • 椭圆与焦半径的关系 • 椭圆的实际应用
01
椭圆性质第二定义
椭圆的第二定义
椭圆上任一点P到两个焦点F1和F2的 距离之和等于常数，即PF1+PF2=2a。
椭圆上任一点P到两个焦点F1和F2的 乘积最小值为0，即PF1*PF2=0。
焦半径的几何意义
01
连接椭圆上任意一点与两个焦点形成的线段即为焦半径。
02
焦半径是确定椭圆形状和大小的重要参数，通过焦半径可 以计算出椭圆的离心率、偏心率等参数。
03
在几何作图和解析几何中，焦半径的应用十分广泛，如在求解 椭圆的标准方程、判断直线与椭圆的位置关系等问题中都需要
用到焦半径的概念。
03
详细描述
在桥梁设计中，桥梁的承重结构常常采用椭圆形截面，这是因为椭圆具有较高的承载能力和稳定性。在建筑结构 分析中，椭圆的性质可用于分析结构的受力情况和稳定性，从而提高建筑的安全性和可靠性。
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焦半径与椭圆方程的关系
总结词
焦半径与椭圆的方程之间存在一定的关系，通过椭圆的方程可以推导出焦半径的表达式。
详细描述
椭圆的方程通常表示为x²/a²+y²/b²=1，其中a和b分别表示长半轴和短半轴的长度。通 过椭圆的方程，我们可以推导出焦半径的表达式。对于椭圆上的任意一点P(x0,y0)，其 到两个焦点的距离PF1和PF2可以通过椭圆的方程计算得出。具体来说，PF1=a+ex0， PF2=a-ex0，其中e为离心率。因此，通过椭圆的方程可以方便地计算出焦半径的值。
VS
椭圆上任一点P到两个焦点的乘积最 小值为0，即PF1*PF2=0。这意味着 在椭圆上任意一点与两焦点形成的角 都是直角，即椭圆上任意一点与两焦 点构成的线段互相垂直。