一对一椭圆
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椭
圆
一、椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
x2a2＋y2b2＝1
(a >b >0)
y2a2＋x2b2＝1
(a >b >0)
图形
性质
范围－a ≤x ≤a －b ≤y ≤b －b ≤x ≤b －a ≤y ≤a 对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点
顶点
A 1(－a,0)，A 2(a,0)
B 1(0，－b )，B 2(0，b )
A 1(0，－a )，A 2(0，a )
B 1(－b,0)，B 2(b,0)
轴长轴A 1A 2的长为2a ；短轴B 1B 2的长为2b
焦距|F 1F 2|＝2c
离心率
e ＝ca ∈(0,1)a ，b ，c 的关系
c 2＝a 2－b 2
二、常见题型
题型一
求椭圆的标准方程
例1求满足下列各条件的椭圆的标准方程：
(1)长轴是短轴的3倍且经过点A (3,0)；(2)经过两点A (0,2)和B \a\vs4\al\co1(\f(12)，\r(3)).
例2已知椭圆过(3,0)，离心率e ＝6)3，求椭圆的标准方程；
题型二椭圆的几何性质
例1．是椭圆上的一点，和是焦点，若，则的
面积等于（）
例2、设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，P是其上一点，若PF1PF2，则||PF1|－|PF2||等于.（用表示）
题型三椭圆的定义及应用
例1(教材改编)一动圆与已知圆O1：(x＋3)2＋y2＝1外切，与圆O2：(x－3)2＋y2＝81内切，试求动圆圆心的轨迹方程．
变式迁移1求过点A(2,0)且与圆x2＋4x＋y2－32＝0内切的圆的圆心的轨迹方程．
题型四、求椭圆的离心率
例1、．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若△ABF2是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率是()
A.3)2
B.2)2
C.2－1
D.2
例2．已知椭圆的左焦点为，为椭圆的两个顶点，若到的距离等于，则椭圆的离心率为（）
题型五直线与椭圆的位置关系
例1、若椭圆C 与直线x＋y=1交于A，B 两点，M 为AB 中点，直线OM（O 为原点）的斜率为
，又
，求椭圆标准方程。
例2、椭圆的离心率，与直线x＋2y＋8=0相交于P、Q 两点，
且|PQ|=
，求此椭圆方程。
三、练习
1．(2011·温州模拟)若△ABC 的两个顶点坐标分别为A (－4,0)、B (4,0)，△ABC 的周长为18，则顶点C 的轨迹方程为()
A.x225＋y29＝1(y ≠0)
B.y225＋x29＝1(y ≠0)
C.x216＋y29＝1(y ≠0)
D.y216＋x29＝1(y ≠0)
2．已知椭圆x210－m＋y2m－2＝1，长轴在y 轴上，若焦距为4，则m 等于()A．4B．5C．7D．8
3．(2011·天门期末)已知圆(x ＋2)2＋y 2＝36的圆心为M ，设A 为圆上任一点，N (2,0)，线段AN 的垂直平分线交MA 于点P ，则动点P 的轨迹是()
A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线4．椭圆x225＋y29＝1上一点M 到焦点F 1的距离为2，N 是MF 1的中点，则|ON |等于()A．2B．4C．8 D.32
5．(2011·唐山调研)椭圆x29＋y22＝1的焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆上．若|PF 1|＝4，则|PF 2|＝________；∠F 1PF 2的大小为________．
6、已知A、B 两点分别是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左顶点和上顶点，而F 是椭圆C 的右焦点，若→·→
＝0，则椭圆C 的离心率e＝________.
7、已知F1为椭圆的左焦点，A、B分别为椭圆的右顶点和上顶点，P为椭圆上的点，当PF1⊥F1A，PO∥AB（O为椭圆中心）时，求椭圆的离心率.
8．是椭圆中不平行于对称轴的一条弦，是的中点，是椭圆的中心，求证：为定值．。
