关于应力理论与强度理论的教学探讨

第15卷第5期 呼伦贝尔学院学报 No.5 Vol.15 2007年10月 Journal of Hulunbeier College Published in October.2007

关于应力理论与强度理论的教学探讨 刘景学 王大明 （呼伦贝尔学院建工分院 内蒙古 海拉尔区 021008）

摘 要：在材料力学的应力理论与强度理论的教学中，深入对“横截面上点的应力与点的应力状态”、“由四个强度理论建立的强度条件与基本变形的强度条件”、“低碳钢、铸铁拉伸破坏及扭转破坏与材料的断裂破坏、屈服破坏”三个问题的教学讨论，促进了学生对应力理论与强度理论的学习，提高了应力理论在材料力学中的地位和作用，加深理解了强度理论的实践意义及应用价值。 关键词：应力理论；强度理论；教学 中图分类号：TU431 文献标识码：A 文章编号：1009-4601（2007）05-0115-02

在材料力学教学中，应力理论及强度理论是很重要的内容。但是由于内容抽象，难度又大，给教学带来许多困难。笔者经过多年教学实践，体会到突出以下几个问题的教学讨论，有助于学生的深入学习。 一、 弄清横截面上点的应力与点的应力状态两个不同概念 杆件横截面上点的应力，是指某一点处在指定横截面方位上该点的应力值。如拉压变形横截面上某点的正应力σ＝N/A（N为横截面上的轴力；A为横截面的面积），（τ＝0）；圆轴扭转时横截面上某点的剪应力τ＝Τρ/Ιρ（Τρ为横截面上的扭矩；Ιρ为圆截面对圆心的极惯性矩），（σ＝0）；弯曲变形横截面上某点的正应力 σ＝МУ/Ιz（М为横截面上的弯矩；У为欲求应力的点到中性轴的距离；Ιz为横截面对中性轴的惯性矩），剪应力τ＝Q Sz*/Ιzb （Q为横截面上的剪力；Sz*为过欲求应力点的水平线与截面边缘间的面积A*对中性轴的静矩；b为截面的宽度）。 点的应力状态是指某一点在所有截面方位上该点应力值的全体。如平面应力状态某一点不同截面方位上正应力，剪应力分别为： σα＝（σx + σy）/2 +（σx －σy）/2·cos2α-τxysin2α τα＝（σx - σy）/2·sin2α+τxycos2α

其中（σx，τxy）与（σy，τxy）为某点两个互相

垂直截面方位上该点的正应力与剪应力值，这里（σα，

τα）就是不同截面方位上（即与这两个互相垂直截面

中一个夹角为α的方位上）该点正应力与剪应力值的部分表达式。 点的应力状态一般用包含该点的微小正六面体来表示。如拉压杆某一点的应力状态为单向应力状态，如图（a）；扭转圆轴某一点的应力状态为纯剪切状态，如图（b）；弯曲与扭转组合变形圆轴某一点的应力状态为二向应力状态，如图（c）。

τ σ

图（a） 图（b）

σ

图（c）

收稿日期：2007-03-05 作者简介：刘景学（1955-）男，汉族，呼伦贝尔学院建工分院，副教授。研究方向：工程力学。 王大明（1958-）男，蒙古族，呼伦贝尔学院建工分院，讲师。研究方向：土木工程。

τ - 115 - 2

由图（a）应力状态可知（因为σx＝σ，σy＝0，τxy＝0）： σα＝ σ/2 +（σ/2）cos2α＝σcos2α (1) τα＝（σ/2）sin2α 由图（b）应力状态可知(因为σx＝σy＝0，τxy＝τ)： σα＝-τsin2α （2） τα＝τcos2α 由图（c）应力状态可知（因为σx＝σ，σy＝0，τxy＝τ） σα＝ σ/2 +（σ/2）cos2α-τsin2α (3) τα＝（σ/2）sin2α+τcos2α 讨论1：如果图（a）中σ所在截面方位是拉压杆件的横截面，则σ＝N/A；图（b）中τ所在截面方位是扭转圆轴的横截面，则 τ＝Τρ/Ιρ；图（c）中σ所在截面方位是弯、扭圆轴的横截面，则σ＝МУ/ΙZ，τ＝Τρ/Ιρ。那么上述三种应力状态就能称为点的应力状态为已知。 讨论2：根据（1）式可得与σ截面夹角α=45°的截面方位上剪应力达最大，且τmax＝σ/2；根据（2）式可得与τ截面夹角α=45°方位上正应力达最大，且σmax=τ。 搞清楚横截面上点的应力与点的应力状态两个不同概念，一方面学会从基本变形横截面上点的应力值去获得作为已知的点的应力状态；另一方面由点的应力状态更明白掌握基本变形横截面上（特定截面方位上）应力计算公式的重要性。 若杆件横截面上弯矩M≠0，剪力Q=0。按弯曲应力公式得 σmax＝МУmax/ΙZ，那末该点的最大剪应力τmax＝（1/2）·σmax或 τmax＝（1/2）·МУmax/ΙZ（根据讨论2中τmax＝σ/2），而不会认为剪力Q=0，而得τmax＝0；同样若杆件横截面上弯矩M=0，剪力Q≠0，按弯曲剪应力公式τmax＝Q S﹡max/ΙΖb，那末该点的最大正应力 σmax＝τmax＝Q S﹡max/ΙΖb（根据讨论2中σmax=τ），而不会认为弯矩 M=0，而得σmax＝0。 二、将由四个强度理论建立的强度条件与基本变形的强度条件作比较 一般材料力学教材中给出四种强度理论即：最大拉应力理论、最大拉应变理论、最大剪应力理论和形状改变比能理论；与之对应的四个相当应力计算公式为： σxd1＝σ1

σxd2＝σ1－µ（σ2＋σ3）

σxd3＝σ1－σ3 σxd4＝

()()()

][21213232221σσσσσσ−+−+−

其中σ1，σ2，σ3为点应力状态中的三个主应力。

这四种强度理论用统一形式表达的强度条件是σxd≤

[σ]。即对于最大剪应力理论的强度条件是σxd =σxd3

＝σ1－σ3≤[σ]。

讨论1：对于轴向拉压基本变形，点的应力状态为单向应力状态。既σ1 =σ ，σ2 =σ3 = 0，所以：

σxd1＝σ1 =σ

σxd2＝σ1－µ（σ2＋σ3）=σ

σxd3＝σ1－σ3 =σ

σxd4＝()()()][21213232221σσσσσσ−+−+−= σ

按由四个强度理论建立的强度条件σxd =σ= N/A ≤[σ]，这与轴向拉压基本变形的强度条件σ= N/A ≤[σ]是一致的。这说明由四个强度理论建立的强度条件是符合轴向拉压基本变形实际的。 讨论2：对于圆轴扭转基本变形，点的应力状态属纯剪切状态。即σ1 =τ，σ2 = 0，σ3 = -τ，所以：

σxd1＝σ1 =τ

σxd2＝σ1－µ（σ2＋σ3）=τ（1+µ）

σxd3＝σ1－σ3 = 2τ

σxd4＝()()()][21213232221σσσσσσ−+−+−＝3τ

按由四个强度理论建立的强度条件来分析： 对于断裂破坏，则σxd1＝ τ≤[σ]，或σxd2＝τ

（1+µ）≤[σ]，与圆轴扭转基本变形的强度条件τ=（T/Wn）max≤[τ]比较，可见断裂破坏的构件（一般为脆性材料）许用剪应力[τ]与许用正应力[σ]有如下关系：[τ]= [σ]或[τ]=1/（1+µ）•[σ]。

对于屈服破坏，则σxd3＝2τ≤[σ]，或σxd4＝

3

τ≤[σ]，也与圆轴扭转基本变形的强度条件作比较，可见许用剪应力[τ]与许用正应力[σ]有如下关系：[τ]=（1/2）[σ]或[τ]=（1/3）[σ]。这些关系与实验数据是基本符合的。在静载荷（下转第34页） - 116 - 本质并不是单个人所固有的抽象物，在其现实性上，它是一切社会关系的总和”[3]在人与人之间形成的错综复杂的关系中人本质的丰富性得以立体交叉似的呈现。中国社会自古就是一个重人情、重交际群体性色彩较浓的社会，所以，中国文人的人际关系对于文学的影响是一个不可忽略的因素。袁本借鉴近年来研究成果于此方面不惜浓墨渲染。它将大历诗人划分为两派，一派以长安和洛阳为中心的十才子诗人，多题赠送别之作；一派以刘长卿、韦应物、戴叔伦为代表的长期在江南任职的地方官吏，以山水风景之作擅长，杂多的看似无迹可寻的大历诗人因地域性的介入而豁然开朗；韩孟诗派的形成过程袁本用笔颇多，韩孟亲密交往以及韩派成员两次大聚会为诗派形成奠定了基础，于此形成了相近的理论纲领以及诗风诗貌，中唐时期求变的重要一翼韩孟诗派在中国文人的交往中破土而出，构成诗派的重要因素宗主、成员、活动、纲领无一遗漏，诗派的称谓便有了科学基础；中唐时期往来唱和之风一直兴盛不衰，贞元时期权德舆为“缙绅羽仪”，一批台阁诗人聚集在其周围酬唱应答，竟新争巧；元和年间元稹、白居易将唱和发展为长篇排律

和次韵酬答的形式，在长安少年竟相仿效中成就了“元和体”；长庆到开成年间是唱和的高潮期，一批退出政坛文人在东都洛阳频频唱酬，留下了大批酬唱集。 以阶级观点将士人群体定性，以思想认识价值作为衡量诗歌标准，必然会对文人交际往来对诗人的影响重视不足或绝口不提，这是有悖于文学发展的实际，袁本于此大力弥补，正是对马列主义精髓实事求是精神的复归。 袁本唐诗编写者基于对文学史研究对象的深入领悟，以写作方法的开拓性，视野的广阔性，汇集众人之智，力携时代气息，成为袁行霈《中国文学史》中的一朵奇葩，必能承担起传授知识与培养能力的双重重任！ 参考文献： [1] 袁行霈.中国文学史[M].北京:高等教育出版社,1988:1. [2] 毛诗序[A].霍松林.古代文论名篇评注[C].上海:古籍出版社,1993:39-40. [3] 马克思.关于费尔巴哈的提纲[A].许庆朴.马克思主义原著选读[C].北京:高等教育出版社,2000:9

（上接第116页）条件下，钢材[τ]=（0.5—0.6）[σ],铸铁[τ]=（0.8—1.0）[σ]。 通过上述对比讨论，更加深了对由四个强度理论建立的强度条件的理解，同时也从一个侧面验证了四个强度理论的实践性。 三、由低碳钢、铸铁拉伸破坏和扭转破坏的断口方位来分析材料的 断裂破坏和屈服破坏。 铸铁材料拉伸破坏沿横截面断开，扭转破坏沿450螺旋面断开。 讨论1：这两种不同变形断开后断口方位虽然不同，但是从应力理论分析这两种断口方位上各点均有最大拉应力作用，说明材料是拉断的。进而说明铸铁材料（脆性材料）抗拉性能差，从强度角度来说符合断裂破坏的最大拉应力理论及最大拉应变理论。 低碳钢拉伸破坏表面出现沿450滑移线，扭转破坏

沿横截面断开。 讨论2：这两种不同变形破坏的截面方位也不同，

但是从应力理论分析这两种不同变形破坏的截面方位上各点的剪应力都达到最大值，这说明材料是剪坏的。进而说明低碳钢材料（塑性材料）抗剪性能差，从强度角度来说符合屈服破坏的最大剪应力理论及形状改变比能理论。 由问题三的讨论加深理解了材料的两种不同破坏形式以及材料抗破坏性能的差异，同时也进一步认识到应力理论和强度理论的重要性。 总之，经过上述三个问题的学习讨论促进了学生对应力理论和强度理论的学习，使学生明确了应力理论在材料力学中的地位和作用，也使学生认识到了由强度理论建立的强度条件所具有的实践意义和应用价值。 参考文献： [1] 张如三、王天明. 材料力学[M].中国建筑工业出版社, 2002. [2] 秦惠民. 材料力学[M]. 武汉：武汉大学出版社, 1996.