西北师范大学2014年《812高等代数》考研专业课真题试卷

西北师范大学数学与统计学院是学校的二级学院，前身是国立北平师范大学数学系，发端于1902年建立的京师大学堂师范馆艺科算学。

数学系是西北师范大学最早成立的系科之一，80年代初期在计算机教研室的基础上先后组建了计算机中心和计算机科学系，2000年由数学系、计算机科学系和计算中心合并成立了数学与信息科学学院，2012年学校机构改革将数学与信息科学学院的数学系和信息与计算科学系独立设置为数学与统计学院。

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该专业适用于西北师范大学以下学院：数学与统计学院2023年西北师范大学数学与统计学院《432统计学》考研全套（会员免费）1.考研真题全国名校应用统计硕士《432统计学》考研真题精选及详解应用统计硕士《432统计学》名校考研真题（2017年前）详解说明：本部分收录了本科目近年考研真题，方便了解出题风格、难度及命题点。

此外提供了相关院校考研真题，以供参考。

2.教材教辅浙江大学《概率论与数理统计》（第5版）配套题库【考研真题精选＋章节题库】茆诗松《概率论与数理统计教程》（第3版）笔记和课后习题（含考研真题）详解茆诗松《概率论与数理统计教程》（第3版）配套题库【考研真题精选＋章节题库】说明：以上为本科目参考教材配套的辅导资料。

注意：对于大段文字的论述其实不需要记得一字不落，主要的是记忆核心思想、关键词句，其他的自己可以复述就好。

在第一遍背诵的时候是按照自己的理解+笔记进行背诵的，第二遍就开始以“讲”的方式背诵，先把一节的知识点在脑海里过一遍或读一遍，然后自己跟自己讲解知识点。

先宏观层次梳理框架，然后细致的一个问答题一个问答题讲，不太熟的再背背，能讲出来的就过。

重庆理工大学2022年硕士研究生招生考试试题学院名称：理学院学科、专业名称：数学考试科目（代码）：高等代数812(A 卷)（试题共2页）注意：1.所有试题的答案均写在专用的答题纸上，写在试题纸上一律无效。

2.试题与答卷一并随原信封交回。

一、填空题（本题25分，每小题5分）1.有理数域Q 上的多项式5432()221f x x x x x x =--++-的典型分解式是_______________；2.设A 是5阶矩阵，若线性方程组0Ax =的基础解系中有1个向量，则A 的伴随矩阵*A 的秩*()R A =_______________；3.设A ，B 均为n 阶正定矩阵，则AB 为正定矩阵是AB BA =的__________条件（填充分、必要、充分必要，或既不充分也不必要）；4.已知线性方程组12312112323120x a x a x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪+= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭无解，则____________a =；5.设二次型22123121323(,,)24f x x x x x ax x x x =-++的负惯性指数是1，则a 的取值范围是_______________。

二、(本题15分)证明多项式12()1p p f x x x x --=++++ 在有理数域Q 上是不可约的，其中p 是一个素数。

三、(本题10分)求n 阶行列式n x x x y xx y x D x y x x yx xx=的值。

四、(本题15分)设矩阵A 的伴随矩阵*1000010010100308A ⎛⎫⎪ ⎪=⎪⎪-⎝⎭，且113ABA BA I --=+，其中I 为4阶单位矩阵，求矩阵B 。

五、(本题15分)设A 是n 阶矩阵，证明：A 的秩()1R A =的充分必要条件是存在两个n 维非零列向量α和β，使得TA αβ=。

六、(本题15分)设非齐次线性方程组为123123123(1)0(1)3(1)x x x x x x x x x λλλλ+++=⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩。

南京航空航天大学2014年硕士研究生入学考试初试试题（A 卷） 科目代码: 814 科目名称: 高等代数 满分: 150 分 注意: ①认真阅读答题纸上的注意事项；②所有答案必须写在答题纸上，写在本试题纸或草稿纸上均无效；③本试题纸须随答题纸一起装入试题袋中交回！一、(20分)设3阶矩阵A 和B 满足关系B A AB +=3，并且A 的特征值均为正数,A 的伴随矩阵为⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=403010001*A .１．求A 的行列式和全部特征值；２．求矩阵B 和矩阵1)(−−E A ,其中E 表示单位矩阵.二、(20分)设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和为零,二次型AX X X f T =)(在正交变换PY X =下的标准形是232266y y f +=(这里“T ”表示转置，以下各题相同),求正交矩阵P 和矩阵A .三、(20分)设1V 是由向量组T T T a a a a )3,1,(,)1,,1(,),1,1(321+===ααα生成的子空间,2V 是由向量组T T T a a a a ),,2(,)4,,2(,),1,1(321−=−==βββ生成的子空间,并且1V 和2V 都是3R 的2维子空间.１．求参数a ；２．求21V V ∩的维数和基；３．求出3R 中满足条件1V ∉γ且2V ∉γ的全部向量γ，并说明理由．四、(20分)设3维线性空间V 的线性变换Γ在基321,,εεε下的矩阵是,1101621⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−=b a A且3212εεεα++=是Γ的一个特征向量.１．求参数b a ,和Γ对应于α的特征值λ;２．求Γ在基3213322211,,εεεηεεηεεη++=+=+=下的矩阵B ; ３．求矩阵A 的初等因子和Jordan 标准形.五、(15分)设)(x f 和)(x g 是两个非零多项式,n 是自然数,证明: １．若1))(),((=x g x f ,则1))()(),()((=−+x g x f x g x f n n n n ；２．若)())(),((x d x g x f =,则)())()(),()((x d x g x f x g x f n n n n n =−+．六、(20分)设r ααα,,,21 是一组线性无关的n 维向量,s j c ri i ij j ,,2,1,1 ==∑=αβ,记⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=rs r r s s c c c c c c c c c C 212222111211，证明： １．s βββ,,,21 线性无关的充分必要条件是C 的秩为s ；２．r ααα,,,21 与s βββ,,,21 等价的充分必要条件是C 的秩为r .七、(20分)设n 阶矩阵B A ,满足条件A A BA ==2,0，证明： １．n B A ≤+)()(秩秩；２．n A E A =−+)()(秩秩;３．齐次线性方程组0=AX 与0=BX 没有非零的公共解的充分必要条件是n B A =+)()(秩秩．八、(15分)设B A ,是两个n 阶正定矩阵，证明：１．若BA AB =,则AB 也是正定矩阵;２．若B A −正定,则11−−−A B 也正定.。

（1）（9 分） n 阶实对称矩阵，且满足 A2 − 4A + 3I = 0 ， I 为 n 阶单位
阵。证明 A − 2I 为正交矩阵.
⎛h⎞
⎛ 1 -1 1 ⎞
（2）（9
分）已知 α
=
⎜ ⎜⎜⎝
-2 3
⎟ ⎟⎟⎠
是
A
=
⎜ ⎜⎜⎝
2 -3
4 k
-2 5
⎟ ⎟⎟⎠
的特征向量，求
h,k
和
α
的特征值，以及 A 的其它特征值.
R( A) = 2 ，则 a ＝
.
⎛
（3）
⎜ ⎜⎜⎝
⎞ ⎟ ⎟
⎛ ⎜ ⎜
a11 a21
a12 a22
a13 a23
⎞ ⎟ ⎟
=
⎛ ⎜ ⎜
a21 a11 + a21
a22 a12 + a22
a23 a13 + a23
⎞ ⎟ ⎟
.
⎟⎠ ⎜⎝ a31 a32 a33 ⎟⎠ ⎜⎝ 2a31
2a32
2a33 ⎟⎠
x −1 2x −1 3x − 2 4x −3
x−2 2x − 2 4x −5 5x − 7
x−3
2x − 3 为f ( x) ，则方程 f (x) = 0
3x − 5 4x −3
的根的个数为( ).
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
（4）设 A 为 n 阶矩阵，A 经过若干次初等变换后，得到矩阵 B ，（ ）.
《高等代数》试题 第 1 页 共 4 页
二、选择题（本题共 9 小题，每小题 4 分， 共 36 分） （1）n 阶矩阵 A 经过初等行变换得到矩阵 B ， 那么下列选项中正确 的是（ ）. (A) A 与 B 有相同的特征值 （B） AX = b 与 BX = b 是同解方程组