2-3-2圆的一般方程

[自我排查] 1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“ ”) (1)圆的标准方程与一般方程可以互化．( √ ) (2)方程 2x2＋2y2－3x＝0 是圆的一般方程．( ) (3)方程 x2＋y2－x＋y＋1＝0 表示圆．( )
(1) 解析：圆的标准方程与一般方程可以互化． (2) 解析：方程 2x2＋2y2－3x＝0 不是圆的一般方程． (3) 解析：因为(－1)2＋12－4×1＝－2<0，所以方程不表示任何图形．
[巧归纳]
求圆的方程的策略
(1)几何法：由已知条件通过几何关系求得圆心坐标、半径，得到圆的方程；
(2)待定系数法：选择圆的一般方程或标准方程，根据条件列关于 a，b，r 或 D，E，
解得 D＝－2，E＝0，F＝0， 所以圆的方程为 x2＋y2－2x＝0.
强研习•重点难点要突破
研习 1 圆的一般方程的辨析 [典例 1] 若方程 x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0 表示圆，求： (1)实数 m 的取值范围； (2)圆心坐标和半径．
[自主记]解：(1)据题意知 D2＋E2－4F＝(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0， 即 4m2＋4－4m2－20m>0， 解得 m<15， 故 m 的取值范围为－∞，15.
第二章 直线和圆的方程
2．4 圆的方程
2.4.2 圆的一般方程
新课程标准
新学法解读 1.结合教材实例了解二元二次方程与圆的
回顾确定圆的几何要素，在 一般方程的关系．
平面直角坐标系中，探索并 2．会求圆的一般方程．
掌握圆的一般方程.
3．能利用圆的一般方程解决相关的问题，
会求简单的动点的轨迹方程.
2．圆：x2＋y2－4x＋6y＝0 的圆心坐标和半径分别为( C )

此方程表示以(1，－2)为圆心，2为半径长的圆．
问题2：方程x2＋y2＋2x－2y＋2＝0表示什么图形？
提示：对方程x2＋y2＋2x－2y＋2＝0配方得
(x＋1)2＋(y－1)2＝0，即x＝－1且y＝1. 此方程表示一个点(－1,1)． 问题3：方程x2＋y2－2x－4y＋6＝0表示什么图形？ 提示：对方程x2＋y2－2x－4y＋6＝0配方得 (x－1)2＋(y－2)2＝－1. 由于不存在点的坐标(x，y)满足这个方程，所以这 个方程不表示任何图形．
3．若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求 (1)实数m的取值范围； (2)圆心坐标和半径．
解：(1)根据题意知D2＋E2－4F＝(2m)2＋(－2)2－ 1 4(m ＋5m)>0，即4m ＋4－4m －20m>0，解得m<5，
2 2 2
1 故m的取值范围为(－∞，5)．
(2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准 方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m， 故圆心坐标为(－m,1)，半径r＝ 1－5m.
第 二 章 解 析 几 何 初 步
§2 圆 与 圆 的 方 程
2.2
圆 的 一 般 方 程
理解教材新知
把 握 热 点 考 向
考点一 考点二 考点三
应用创新演练
把圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2展开得，x2＋y2 －2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0，这是一个二元二次方程的形 式，那么，是否一个二元二次方程都表示一个圆呢？ 问题1：方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0表示什么图形？ 提示：对x2＋y2－2x＋4y＋1＝0配方得 (x－1)2＋(y＋2)2＝4.
1．若x2＋y2－x＋y－m＝0表示一个圆的方程，则m的取值 范围是 1 A．m>－2 1 C．m<－2 1 B．m≥－2 D．m>－2 ( )

4.1.2 圆的一般方程
目标导航 课标要求 素养达成
1.了解圆的一般方程的特点,会由一般方程求圆心和 半径. 2.会根据给定的条件求圆的一般方程,并能用圆的一 般方程解决简单问题. 3.初步掌握求动点的轨迹方程的方法.
通过对圆的一般方程的学习,促进学生数形结合思想 方法的养成,帮助直观想象,数学运算、数学抽象等 核心素养的达成.
D 8,
解得
E
2,
……………………………………………10
分
F 12.
所以△ABC 外接圆的方程为 x2+y2-8x-2y+12=0.………12 分
法二 设所求的圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,…………2 分
(2 a)2 (2 b)2 r2,
由题意得
(5
a)2
(3
b)2
r2,
解:方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 是否表示圆,关键看将该方程配方转化为圆的标准方程
的形式(x+ D )2+(y+ E )2= D2 E2 4F 后,D2+E2-4F 是否大于 0,若大于 0 则表示
2
2
4
圆,否则不表示圆.
法一 (1)将原方程转化为(x- 1 )2+y2=0,表示一个点,坐标为( 1 ,0).
(4)由于 D2+E2-4F=1+4-4=1>0,所以该二元二次方程表示的是圆.
又 x2+y2+x+2y+1=(x+ 1 )2+(y+1)2= 1 ,所以它表示以(- 1 ,-1)为圆心,以 1 为半径的圆.
2
4

知识梳理
12
【做一做2】 已知点P(x0,y0)是圆x2+y2=4上的动点,点M是OP(O
是原点)的中点,则动点M的轨迹方程是
.
答案:x2+y2=1
重难点突破
12
1.圆的标准方程和一般方程的对比 剖析:(1)由圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),可以直接看出圆 心坐标(a,b)和半径r,圆的几何特征明显. (2)由圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),知道圆的 方程是一种特殊的二元二次方程,圆的代数特征明显. (3)相互转化,如图所示.
知识梳理
12
【做一做1-1】 圆x2+y2-2x+4y=0的圆心坐标是 ( ) A.(1,-2) B.(1,2) C.(-1,2) D.(-1,-2)
解析:D=-2,E=4,则圆心坐标为 - -2 ,- 4 , 即(1,-2).
22
答案:A
知识梳理
12
【做一做1-2】 圆x2+y2-6x+8y=0的半径等于 ( ) A.3 B.4 C.5 D.25
高一数学必修二教学课件
第四章 圆与方程
4.1.2 圆的一般方程
学习目标
1.正确理解圆的一般方程及其特点. 2.能进行圆的一般方程和标准方程的互化. 3.会求圆的一般方程以及简单的轨迹方程.
知识梳理
12
1.圆的一般方程 (1)方程:当 D2+E2-4F>0 时,方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 叫做圆的一
;当
Hale Waihona Puke D2+E2-4F<0 时,不表示任何图形.