浅谈初中数学中的“三等角共线”实例
这是某次青年教师解题比赛中的一道题。
如图，直线l1、l2、l3相互平行，且l1、l2的距离为1，l2、l3的距离为2，等腰△ABC的三个顶点分别在三条平行线上，AB＝AC，∠BAC＝120°，则等腰△ABC的腰长是______________．
此题的解题方法有多种，其中一种便是构造全等三角形的方法，具体解法如下：
在直线l1上取点D,E使得∠ADB=∠CEA=120°
由于∠1+∠2=∠3+∠2=60°，则∠1=∠3
又AB=CA，则△ADB与△AEC全等 ,
因此可得AF=AD+DF=EC+DF
由于∠BDF=60°，因此DF=1333
同理可求AD=CA=32233 ，则AF=733
在RT△ABF中斜边AB=22272(3)13933AFBF
这种方法不仅适用于上题，改变∠BAC的度数，同样能构造类似的全等三角形，当
∠BAC是一个特殊角比如30°，60°，90°，120°，150°等，还能进一步的求出腰长。
若AB≠AC,此时的全等三角形虽然不存在了，但是仍可以借鉴这样的构造，∠1=∠2，这时由全等三角形转化成了一对相似三角形。
这便是我们熟悉的“三等角共线”模型。下面来看一些三等角共线的实例。
如图，等腰梯形ABCD中，AD//BC,∠B=45°，2,32,ADBC直角三角形含45°的顶点E在BC边上移动，直角边始终经过点A,斜边与CD交于点F，求当F为CD中点时，点E的位置？
（2012．丽水16）如图，在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝120°，AD＝3，AB＝6．在底边AB上取点E，在射线DC上取点F，使得∠DEF＝120°．
⑴当点E是AB的中点时，线段DF的长度是________；
⑵若射线EF经过点C，则AE的长是________． ABCl1l2l3l1l3l2321GFEDCBAFEDCBAl1l2l3aaa21EDCBA
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中考数学专题训练6：相似形中的一线三等角模型
【考点分析】三个相等的角的顶点在同一条直线上，那么就有一对三角形相似，这一结构称为“一线三等角”，如下图所示.此结构虽然不能直接作为定理使用，但因为其结构特殊，许多问题中常见，不妨引起重视.
如图，∠A=∠CDE=∠B,则△ADE∽△BCD,因此EA:AD=BD:BC.
例1.如图，在边长为2的等边△ABC中，D是BC边上一点，E、F分别在AB、AC边上，且∠EDF=∠ABC. 已知BD=1，BE=31,求CF.
例2．如图，等边△ABC中，D是BC的中点，点E、F分别在边AB、AC上，且∠EDF=60°，找出图中的相似三角形，并证明之.
练习：已知在等腰△ABC中，AB=AC,D是BC的中点，∠EDF=∠B,求证：△BDE∽△DFE.
例3. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=BC=6，AD=3.．点M为边BC的中点，以M为顶点作∠EMF=∠B，射线ME交腰AB于点E，射线MF交腰CD于点F，联结EF．
(1)求证：△MEF∽△BEM；
(2)若△BEM是以BM为腰的等腰三角形，求EF的长；
(3)若EF⊥CD，求BE的长．
FCBADECABDE2
例4.在△ABC中，AB=AC=8，BC=10，D是BC边上的一个动点，点E在AC边上，且∠ADE=∠C．
(1) 求证：△ABD∽△DCE；
(2) 如果BD=x,AE=y，求y与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
(3) 当点D是BC的中点时，试说明△ADE是什么三角形，并说明理由．
例5. 已知矩形ABCD中，CD=2，AD=3，点P是AD上的一个动点，且和点A,D不重合，过点P作PE⊥CP，交边AB于点E,设PD=x,AE=y,，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围。
例6.如图，在直角梯形ABCD中，AB//CD，BC⊥AB,CD=2，AB=3，BC=7，在BC上能否找到一点P，使△PAB和△PCD相似？若能，共有几个符合条件的点P？并求相应PB的长.若不能，说明理由.
1专题4一线三等角模型
在直线AB上有一点P，以A，B，P为顶点的∠1，∠2，∠3相等，∠1，∠2的一条边在直线AB上，另一条边在
AB同侧，∠3两边所在的直线分别交∠1，∠2非公共边所在的直线于点C，D．
1．当点P在线段AB上，且∠3两边在AB同侧时．
（1）如图，若∠1为直角，则有△ACP∽△BPD．
（2）如图，若∠1为锐角，则有△ACP∽△BPD．
2．当点P在AB或BA的延长线上，且∠3两边在AB同侧时．如图，则有△ACP∽△BPD．
3．当点P在AB或BA的延长线上，且∠3两边在AB异侧时．
如图，则有△ACP∽△BPD．解题策略
2【例1】．（2022·全国·八年级课时练习）（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如
图1，已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线l经过点A，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为点D，
E．求证：DE=BD+CE．
（2）组员小明想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，
AB=AC，D，A，E三点都在直线l上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问结
论DE=BD+CE是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过△ABC的边AB，AC
向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高．延长HA交EG于点I．若S
△AEG=7，则S
△AEI=______
．经典例题
3【例2】．（2022·全国·八年级专题练习）在直线m上依次取互不重合的三个点D,A,E，在直线m上方有AB=AC，
且满足∠BDA=∠AEC=∠BAC=α．
(1)如图1，当α=90°时，猜想线段DE,BD,CE之间的数量关系是____________；
(2)如图2，当0
由；
(3)应用：如图3，在△ABC中，∠BAC是钝角，AB=AC，∠BAD<∠CAE,∠BDA=∠AEC=∠BAC，直线m与CB
1 12.2(8)专题：双垂图（直角三角形及斜边上的高）与全等
一．【知识要点】
1.“一线三等角”是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的全等或相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。不同地区对此有不同的称呼，“K 形图”，“三垂直”，“弦图”等，也称为“一线三等角”。
2. 【方法归纳】利用垂直相等作垂线构造全等三角形，实现坐标与线段的转化.
若遇等腰直角弯：过两端点向直角顶点所在直线（水平线，铅垂线）作垂线构造全等三角形。如图：
二．【经典例题】
1． (1)如图(1)，已知：在△ABC中，△BAC＝90°，AB=AC，直线m经过点A，BD△直线m,
CE△直线m,垂足分别为点D、E．求证：DE=BD+CE．
(2) 如图(2)，将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上， 2 并且有△BDA=△AEC=△BAC=，其中为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立?如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
2.如图1所示,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直线L经过顶点C.过A,B两点别作L的垂线AE,BF ,垂足分别为点E,F.
(1)当直线L不与底边AB相交时,求证:EF=AE+BF.
(2)如图2所示,将直线L绕点C顺时针旋转,使L与底边AB交于点D,请你探究直线L在如下位置时,EF,AE,BF之间的关系.
①图2中,AD>BD;②图3中,AD=BD;③图4中,AD
3.在△ABC中，AB=BC,90ABC,△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示。
（1）如图1,已知A(0,-4) ,B(1,0),求点C的坐标
（2）如图2,已知A(0,0) ,B(3,1),求点C的坐标
(3)如图3,已知A(3,1),B(0,3),求点C的坐标 3
4.如图,等腰直角△ABC中,∠ACB=90°,D为CB延长线上一点,AE=AD,且AE⊥AD,BE与AC的延长线交于点P.
