9.2_拉普拉斯变换的性质

拉普拉斯变换的微分性质

拉普拉斯变换的微分性质如下：

拉普拉斯变换是工程数学中常用的一种积分变换，又名拉氏变换。 [1] 拉氏变换是一个线性变换，可将一个有参数实数t（t≥ 0）的函数转换为一个参数为复数s的函数。拉普拉斯变换在许多工程技术和科学研究领域中有着广泛的应用，特别是在力学系统、电学系统、自动控制系统、可靠性系统以及随机服务系统等系统科学中都起着重要作用。

拉普拉斯变换应用过程中，需要从实际出发，首先以研究对象为基础，将其规划为一个时域数学模型，然后再借助于拉普拉斯变换数学工具转变为复域数学模型，最后如果想要结果表现的更直观，可以使用图形来表示，而图形的表示方法是以传递函数(复域数学模型)为基础，所以拉氏变换是古典控制理论中的数学基础。利用拉氏变换变换求解数学模型时，可以当作求解一个线性方程，换而言之拉氏变换不仅可用来将简单的时域信号转换为复数域信号，还可以用来求解控制系统微分方程。拉氏变换是将时域信号变为复数域信号，反之，拉氏反变换是将复数域信号变为时域信号。

拉普拉斯变换、 是对于t≥0函数值不为零的连续时间函数x(t)通过关系式 (式中-st为自然对数底e的指数)变换为复变量s的函数X(s)。它也是时间函数x(t)的“复频域”表示方式。

拉普拉斯变换的基本性质变换及反变换

The following text is amended on 12 November 2020. 拉普拉斯变换的基本性质、变换及反变换

1.表A-1 拉氏变换的基本性质

1

线性定理 齐次性 )()]([saFtafL

叠加性 )()()]()([2121sFsFtftfL

2

微分定理

一般形式

11)1()1(1222)()()0()()(0)0()(])([)0()(])([kkkknkknnnndttfdtffssFsdttfdLfsfsFsdttfdLfssFdttdfL）（

初始条件为0时 )(])([sFsdttfdLnnn

3

积分定理

一般形式

nktnnknnnntttdttfsssFdttfLsdttfsdttfssFdttfLsdttfssFdttfL1010220220]))(([1)(])()([]))(([])([)(]))(([])([)(])([个共个共

初始条件为0时 nnnssFdttfL)(]))(([个共

4 延迟定理（或称t域平移定理） )()](1)([sFeTtTtfLTs

5 衰减定理（或称s域平移定理） )(])([asFetfLat

6 终值定理 )(lim)(lim0ssFtfst

7 初值定理 )(lim)(lim0ssFtfst 8 卷积定理 )()(])()([])()([21021021sFsFdtftfLdftfLtt

2．表A-2 常用函数的拉氏变换和z变换表

序号 拉氏变换E(s) 时间函数e(t) Z变换E(z)

拉普拉斯变换的基本定理

拉普拉斯变换的基本定理

本节介绍拉普拉斯变换（也称为拉⽒变换）的基本性质，了解掌握了这些性质，可以更加⽅

便地求解各种拉普拉斯正反变换。

⼀、线性定理

设

则：

（式9-2-1）

式中为常系数。

例

9-2-1

求

、

和的拉⽒变换。解：同理：

⼆、微分定理

设 ，则：

（式9-2-1）同理可推⼴得到的⾼阶导数的拉⽒变换式：

例9-2-2：

已知

，求。

解：由于，由（式9-2-2）得：同理：三、积分定理

设，则：

（式9-2-3） 例9-2-3 求。解：斜坡函数是单位阶跃函数的积分，由（式9-2-3）得：

四、时域位移（延时）定理

设，则：

（式9-2-4）

例9-2-4：求图9-2-1所⽰函数的拉普拉斯变换式。

解：由图可知：

五、复频域位移定理

设，则：

（式9-2-5）

例9-2-5：已知

求：和的拉普拉斯反变换。

解：利⽤复频域位移定理：

六、卷积定理：

设，则：

（式9-2-6）

例9-2-6

．求的拉普拉斯反变换式。

解：已知，利⽤卷积定理得： 同理可推得：

七、初值定理

设

，则

例9-2-7

．设，验证初值定理。解：⼜：

，所以，得证！

⼋、终值定理：

设

，则

例9-2-8

．仍设，验证终值定理。解：

，⼜

所以，得证!

注意：利⽤终值定理求

的前提条件是必须存在，且是唯⼀确定的值。

1

第九章 拉普拉斯变换

（The Laplace transformation）

第一讲

授课题目：§9.1 拉普拉斯变换的概念

§9.2 拉普拉斯变换的性质

教学内容：1、拉普拉斯变换的定义

2、拉普拉斯变换存在条件

3、拉普拉斯变换的性质

学时安排：2学时

教学目标：1、正确理解拉普拉斯变换的定义

2、了解拉普拉斯变换存在条件

3、掌握拉普拉斯变换的性质

教学重点：1、拉普拉斯变换的定义

2、卷积和卷积定理

教学难点：拉普拉斯变换的性质

教学方式：讲授法、图形类比法、演绎法

作业布置：习题九 1-5

板书设计：一、 拉普拉斯变换的定义

二、 拉普拉斯变换存在条件

三、 拉普拉斯变换的性质

主要参考资料：

1、《积分变换》，南京工学院数学教研室，高等教育出版社，1987.

1

2、《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》，高等教育出版2003.

3、《复变函数与积分变换》，贺才兴编著，辽宁大学出版社，

2000.

课后记：1、理解了拉普拉斯积分变换的定义

2、拉普拉斯积分变换存在条件，不能正确掌握

3、掌握了拉普拉斯积分变换的性质

教学过程

1

§9.1 拉普拉斯变换的概念

(The conception and property of the Laplace transformation)

傅氏变换具有广泛的应用，特别是在信号处理领域，直到今天它仍然是最基本的分析和处理工具，甚至可以说信号分析本质就是傅里叶积分变换.但任何东西都有局限性，傅里叶变换也一样，人们对傅里叶积分变换的局限性做了各种各样的改进.一方面提高它对问题的刻画能力，如窗口傅里叶变换、小波变换等；另一方面，扩大它本身的使用范围，比如本章要介绍的拉普拉斯变换就是.我们知道傅里叶变换对函数有一定的要求，即满足狄利克雷条件，还要求在(,)上绝对可积，才有古典意义下的傅里叶积分变换，而绝对可积是一个很强的条件，即使一些简单函数，有时也不能满足这个条件，引入狄拉克函数后，傅里叶积分变换应用广泛了很多，但对于指数增长的函数仍然不能使用，另外傅里叶积分变换必须在整个实数轴上定义，但在工程实际问题中，许多以时间为自变量的函数，就不能在整个实数上定义，因此傅里叶积分变换在处理这样的问题时，有一定的局限性.19世纪末英国工程师赫维赛德发明了一种算子法，最后发展成了今天的拉普拉斯积分变换，而其数学上的根源还是来自拉普拉斯，所以称其为拉普拉斯积分变换.