拉普拉斯变换的概念

第十一章 拉普拉斯变换在高等数学中，为了把复杂的计算转化为较简单的计算，往往采用变换的方法。

拉普拉斯变换（简称拉斯变换）就是其中的一种。

拉斯变换是分析和求解常系数线性微分方程的常用方法。

用变拉普拉斯换分析和综合线性系统（如线性电路）的运动过程在工程上有着广泛的应用。

本章将扼要地介绍拉氏变换的基本概念、主要性质、拉氏逆变换及拉氏变换的简单应用。

第一节 变拉普拉斯换的概念定义 设函数)(t f 当0≥t 时有定义，且广义积分⎰+∞-0)(dt e t f st在s 的某一区域内收敛，则由此积分确定的参数为s 的函数dt e t f s F st -∞⎰=0)()(叫做函数)(t f 的变拉普拉斯换，记作)]([)(t f L s F =函数F （s ） 也可叫做)(t f 的像函数。

若F （s ）是)(t f 的拉)(t f 是F （s ）的拉氏逆变换（或叫做()s F 的像原函数），记作)]([)(1s f L t f -=在拉氏变换中，只要求)(t f 在),0[+∞内有定义即可。

为了研究方便，以后总假定在)0,(-∞内，)(t f ≡0。

另外，拉氏变换中的参数s 是在复数域中取值的，但我们只讨论s 是实数的情况，所得结论也适用于s 是复数的情况。

例1 求指数函数at e t f =)(（a a ,0≥是常数）的拉氏变换。

解 由拉氏变换定义有 ：dt e dt e e e L t a s st at at ⎰⎰+∞--+∞-==0)(0][此积分在s >a 时收敛，有⎰∞+---=)(1as dt e t a s 所以)(1][a s as e L at >-=例2 求单位阶梯函数⎩⎨⎧≥<=0,100)(t t t u ， 的拉氏变换。

解()[]⎰+∞-=0dt e t u L st此积分在0>s 时收敛，且有⎰∞+->=)0(1s sdt e st 所以 ()[])01>=s st u L （ 例3 求at t f =)(（a 为常数）的拉氏变换。

第十二章 拉普拉斯变换及逆变换拉普拉斯(Laplace)变换就是分析与求解常系数线性微分方程得一种简便得方法,而且在自动控制系统得分析与综合中也起着重要得作用。

我们经常应用拉普拉斯变换进行电路得复频域分析。

本章将扼要地介绍拉普拉斯变换(以下简称拉氏变换)得基本概念、主要性质、逆变换以及它在解常系数线性微分方程中得应用。

第一节 拉普拉斯变换在代数中,直接计算328.957812028.6⨯⨯=N 53)164.1(⨯就是很复杂得,而引用对数后,可先把上式变换为164.1lg 53)20lg 28.9lg 5781(lg 3128.6lg lg ++-+=N然后通过查常用对数表与反对数表,就可算得原来要求得数N 。

这就是一种把复杂运算转化为简单运算得做法,而拉氏变换则就是另一种化繁为简得做法。

一、拉氏变换得基本概念定义12、1 设函数()f t 当0t ≥时有定义,若广义积分()pt f t e dt +∞-⎰在P 得某一区域内收敛,则此积分就确定了一个参量为P 得函数,记作()F P ,即dte tf P F pt ⎰∞+-=)()( (12、1)称(12、1)式为函数()f t 得拉氏变换式,用记号[()]()L f t F P =表示。

函数()F P 称为()f t 得拉氏变换(Laplace) (或称为()f t 得象函数)。

函数()f t 称为()F P 得拉氏逆变换(或称为()F P 象原函数),记作)()]([1t f P F L =-,即)]([)(1P F L t f -=。

关于拉氏变换得定义,在这里做两点说明:(1)在定义中,只要求()f t 在0t ≥时有定义。

为了研究拉氏变换性质得方便,以后总假定在0t <时,()0f t =。

(2)在较为深入得讨论中,拉氏变换式中得参数P 就是在复数范围内取值。

为了方便起见,本章我们把P 作为实数来讨论,这并不影响对拉氏变换性质得研究与应用。

拉普拉斯变换及其在电路分析中的应用拉普拉斯变换是一种重要的数学工具，它在电路分析中有着广泛的应用。

通过将电路中的各个元件抽象成数学模型，我们可以利用拉普拉斯变换来分析电路的性质和行为。

本文将介绍拉普拉斯变换的基本概念以及它在电路分析中的应用。

首先，我们来了解一下拉普拉斯变换的定义和性质。

拉普拉斯变换是一种从时域到复频域的变换，它将一个函数f(t)变换为另一个函数F(s)，其中s是复变量。

拉普拉斯变换的定义如下：F(s) = L[f(t)] = ∫[0,∞] e^(-st) f(t) dt其中，e^(-st)是拉普拉斯变换的核函数，s是复变量，f(t)是待变换的函数。

拉普拉斯变换具有线性性质、时移性质、频移性质等基本性质，这些性质使得它在电路分析中具有很大的优势。

在电路分析中，我们常常需要求解电路中的电压和电流。

通过应用拉普拉斯变换，我们可以将电路中的微分方程转化为代数方程，从而简化求解过程。

例如，对于一个由电阻、电感和电容组成的RLC电路，我们可以利用拉普拉斯变换将电路的微分方程转化为代数方程，然后求解得到电路中的电流和电压。

另外，拉普拉斯变换还可以用来分析电路的稳态和暂态响应。

稳态响应是指电路在达到稳定状态后的响应，而暂态响应则是指电路在初始时刻的响应。

通过应用拉普拉斯变换，我们可以将电路中的微分方程转化为代数方程，并利用初始条件和边界条件求解得到电路的稳态和暂态响应。

此外，拉普拉斯变换还可以用来分析电路中的频率响应。

频率响应描述了电路对不同频率信号的响应程度。

通过将输入信号和输出信号都进行拉普拉斯变换，我们可以得到电路的传递函数，从而分析电路在不同频率下的增益和相位特性。

这对于设计滤波器、放大器等电路非常重要。

除了以上应用之外，拉普拉斯变换还可以用来分析电路的稳定性和控制系统的性能。

通过将电路的传递函数进行拉普拉斯变换，我们可以得到系统的极点和零点，从而判断系统的稳定性。

同时，拉普拉斯变换还可以用来分析控制系统的性能指标，如稳态误差、超调量和响应时间等。

常用拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换在工程和数学中是个非常实用的工具。

它不仅能帮助我们解决微分方程，还能简化许多复杂的问题。

今天我们就来聊聊常用的拉普拉斯变换和反变换，看看它们是如何发挥作用的。

一、拉普拉斯变换的基本概念1.1 定义拉普拉斯变换是一个积分变换，它将时间域的函数转换为复频域的函数。

简单来说，它把一个函数从“时间的世界”带到了“频率的世界”。

公式上，拉普拉斯变换可以表示为：\[ \mathcal{L}\{f(t)\} = F(s) = \int_0^{\infty} e^{-st} f(t) dt \]这里的 \( s \) 是复数变量，\( f(t) \) 是我们要变换的时间域函数，\( F(s) \) 则是变换后的结果。

1.2 性质拉普拉斯变换有几个重要的性质，比如线性性、时间延迟和微分等。

这些性质使得在实际应用中，可以灵活地对待不同类型的函数。

例如，线性性让我们可以把两个函数的变换简单相加，这对于解决复杂问题很有帮助。

二、常用的拉普拉斯变换2.1 单位阶跃函数单位阶跃函数 \( u(t) \) 是拉普拉斯变换中最常用的函数之一。

它的变换结果是：\[ \mathcal{L}\{u(t)\} = \frac{1}{s} \]这个简单的公式为很多工程应用奠定了基础，因为很多信号和系统可以用阶跃函数来描述。

2.2 指数函数另一个常见的函数是指数函数 \( e^{at} \)。

它的拉普拉斯变换结果为：\[ \mathcal{L}\{e^{at}\} = \frac{1}{s - a} \]这在处理自然衰减或增长的过程时特别有用，比如在电子电路中，我们经常会遇到这种情况。

2.3 正弦和余弦函数正弦和余弦函数的拉普拉斯变换也很重要。

它们分别为：\[ \mathcal{L}\{\sin(\omega t)\} = \frac{\omega}{s^2 + \omega^2} \] \[ \mathcal{L}\{\cos(\omega t)\} = \frac{s}{s^2 + \omega^2} \]这些变换结果在振动分析和控制系统中应用广泛，帮助我们理解系统的频率响应。

第十二章 拉普拉斯变换第一节：拉普拉斯(Laplace)变换概念与性质一、拉普拉斯变换的概念1、定义1、设函数()f t 的定义域为[0,)+∞，如果广义积分 ()()0pt F p f t e dt +∞-=⎰在参数p 的某一区间内收敛，则称该式为()f t 的拉普拉斯变换，简称拉氏变换，并记为：()L f t ⎡⎤⎣⎦ ，即()()()0ptL f t F p f t edt +∞-⎡⎤==⎣⎦⎰其中，()F p 称之为()f t 的“像函数”，而()f t 称之为()F p 的“像原函数”，也称之为()F p 的拉普拉斯“逆变换”，记作；()1L F p -⎡⎤⎣⎦，即()()1f t L F p -⎡⎤=⎣⎦说明：（1）因定义中只要求()f t 在0t ≥时有定义，为讨论方便，今后总假定在0t <时，()0f t =（2）在更深入的讨论中，参数p 可在复数范围内取值，由此可见，求函数()f t 的拉普拉斯变换，实质上就是通过广义积分转换成一个新的函数()F p ，它是一种“积分变换”。

拉普拉斯变换是分析和求解常系数线性微分方程的一种简便的方法，在工程技术领域有着广泛和重要的应用。

例1、求单位阶梯函数()01t h t t <⎧=⎨≥⎩ 的拉普拉斯变换 解：根据拉普拉斯变换的定义，知()01ptL h t e dt +∞-⎡⎤=∙⎣⎦⎰，该广义积分在0p >时收敛，（100px p e e -∞>→→=）， 而广义积分：0001111|pt pt p e dt e e p p e p+∞--+∞∙∞⎛⎫=-=--= ⎪⎝⎭⎰ ()0p >所以，()()0110ptL h t e dt p p+∞-⎡⎤=∙=>⎣⎦⎰例2、求指数函数 ()at f t e = 的拉普拉斯变换 解：()()()()0p a t pt at pt L f t F p f t e dt e e dt e dt +∞∞∞----⎡⎤===∙=⎣⎦⎰⎰⎰由例1可知，当0p a p a ->→>时收敛，且有；()1at L e p a p a⎡⎤=>⎣⎦-例3、求函数 ()f t at = 的拉普拉斯变换 解：()0pt L at at e dt ∞-=∙⎰()1ptpt pt pt pt pt a a a at e dt td e te e dt te e C p p p p ------⎡⎤⎡⎤∙=-=--=-++⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰ 当100t pt p e e →+∞-∞>→−−−→=，110t pt pt t e pe →+∞−−−→===∞()()210000a aL at p p p p ⎡⎤=--+-=>⎢⎥⎣⎦用类似的方法还可得：()22sin (0)L t p p ωωω=>+()22cos (0)pL t p p ωω=>+附录：常用函数的拉普拉斯变换： 1、()()()1f t t F p δ=→=2、()()()()110f t h t t F p p==≥→= 3、()()1!n n n f t t F p p +=→= 4、()()2a f t at F p p =→= 5、()()1at f t e F p p a=→=- 6、()()()1at af t e F p p p a -=-→=+7、()()()21at f t te F p p a =→=- 8、()()()1!n at n n f t t e F p p a +=→=- 9、()()22sin f t t F p p ωωω=→=+10、()()22cos pf t t F p p ωω=→=+ 11、()()()22sin cos sin p f t t F p p ϕωϕωϕω+=+→=+ 12、()()()22cos sin cos p f t t F p p ϕωϕωϕω-=+→=+13、()()()2222sin p f t r t F p pωωω=→=+ 14、()()()22222cos p f t r t F p pωωω-=→=+15、()()()22sin at f t e t F p p a ωωω-=→=++ 16、()()()22cos at p af t e t F p p a ωω-+=→=++17、()()()()222111cos f t at F p a p p a=-→=+ 18、()()()()()at bt a b f t e e F p p a p b -=-→=--19、()()f t F p =→=20、()()f t F p =→=2、定义2（狄拉克Dirac,简称δ函数或称单位脉冲函数）设：()00100t t t t εδεεε<⎧⎪⎪=≤≤⎨⎪>⎪⎩ 当0ε→时，()()0lim t t εεδδ→=称之为狄拉克函数，简称为δ函数。