2016美国数学竞赛(十二年级)
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２０１６年第９期 ３７
２０ １ ６美国数学竞赛（十二年级）
中图分类号：Ｇ４２４．７９ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００５—６４１６（２０１６）０９—００３７—０３
１．同十年级第１题．
２．同十年级第２题．
３．同十年级第４题．
４．同十年级第７题．
５．哥德巴赫猜想之一为任何一个大于
２的偶数均可以写成两个素数之和（例如
２ ０１６＝１３＋２ ０１３）．到目前为止，还没有人
证明这一猜想是正确的，也没有人能找到一
个反例证明这一猜想是错误的．下列命题
（ ）为这一猜想的反例．
（Ａ）一个大于２的奇数可以写成两个素
数之和 （Ｂ）一个大于２的奇数不能写成两个素
数之和
（Ｃ）一个大于２的偶数可以写成两个非
素数之和
（Ｄ）一个大于２的偶数可以写成两个素
数之和
（Ｅ）一个大于２的偶数不能写成两个素
数之和 ６．同十年级第９题．
７．下列描述
（ ＋Ｙ＋１）＝Ｙ （ ＋Ｙ＋１） 的图像为（ ）．
（Ａ）两条平行直线
（Ｂ）两条相交直线
（ｃ）三条交于一点的直线
（Ｄ）三条不交于一点的直线
（Ｅ）一条直线和一条抛物线
８．同十年级第１１题．
９．如图１，五个全等的阴影小正方形镶
嵌于一个单位正方形内部，且互不相交，中间 小正方形各边的中点恰为另外四个小正方形
的一个顶点．若小正方形边长为 （。、６
∈Ｚ＋），则０＋ｂ的值为（ ）．
图１ （Ａ）７ （Ｂ）８ （Ｃ）９ （Ｄ）ｌＯ （Ｅ）１１ １Ｏ．同十年级第１３题．
１１．在某夏令营中，１００名营员每人至少 会唱歌、跳舞或表演中的一项才艺，有些人的 才艺不止一项，但没有人具备三项才艺．若有
４２名营员不会唱歌，有６５名营员不会跳舞， 有２９名营员不会表演，则至少会两项才艺的 营员有（ ）人．
（Ａ）１６（Ｂ）２５（Ｃ）３６（ｏ）４９（Ｅ）６４ ｌ２．如图２，在△ＡＢＣ 中，ＡＢ＝６，ＢＣ＝７，ＣＡ＝
８，ＡＤ平分 ＢＡＣ，交ＢＣ 于点Ｄ，ＢＥ平分 ＡＢＣ， 交ＡＣ于点Ｅ．若ＡＤ与
ＢＥ交于点Ｆ，则 ＡＦ的值
为（ ）．
（Ａ）÷（Ｂ）÷（Ｃ）２ 二 Ｊ １３．同十年级第１７题． １４．同十年级第１８题． １５．同十年级第２１题．
１６．将函数 Ｃ
图２
（Ｅ） ５３８ 中等数学
’ １ ＾ １ １ Ｙ ｌｏｇ３ｘ，Ｙ ｌｏｇ ｊ，Ｙ ｌｏｇ，＿ｘ，Ｙ ｌｏｇ Ｊ 的图像绘制在同一坐标系下．则在 轴正半 轴方向上共有（ ）个交点． （Ａ）２ （Ｂ）３ （Ｃ）４ （Ｄ）５ （Ｅ）６ １７．分别以正方形ＡＢＣＤ各边为边，向形 外作正三角形，Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈ分别为正三角形的 中心．则正方形ＥＦＧＨ与正方形ＡＢＣＤ的面
积的比值为（ ）．
（Ａ）１ （Ｂ）学 （ｃ）
（Ｄ）√２ （Ｅ）√３ １８．同十年级第２２题． １９．杰瑞在数轴的原点Ｏ处开始，将一
枚质量均匀的硬币抛掷了８次．每次当硬币 头像朝上时，他就向数轴正方向移动一个单 位；当硬币数字朝上时，他就向数轴负方向移 动一个单位．若他能够到达坐标为４的点处
的概率为孚（ａ，ｂ∈ｚ＋，（口，ｂ）＝１），则ｎ＋ｂ
的值为（ ）（例如他抛掷硬币顺次为“正 反正正正正正正”，则他成功到达４点）． （Ａ）６９ （Ｂ）１５１ （Ｃ）２５７ （Ｄ）２９３ （Ｅ）３１３ ２０．同十年级第２３题． ２１－同十年级第２４题． ２２．同十年级第２５题．
２３．从闭区间［０，１］上任意独立地随机 取三个数．则这三个数是一个三角形的三边 的概率为（ ）．
（Ａ）吉（Ｂ）３１－－（ｃ）丢（Ｄ） （Ｅ）詈
２４．设多项式 一似 ＋ｂｘ—ａ（ａ、ｂ∈Ｒ）
的根均为实数根．若ａ为满足条件的最小正 实数，且对于实数ａ，实数ｂ的值是唯一存在
的，则ｂ的值为（ ）． （Ａ）８（Ｂ）９（Ｃ）１０（Ｄ）１１ （Ｅ）１２ ２５．设 为正整数．甲、乙两人轮流在黑
板上写上或擦去某个数字．规则如下：甲先在 黑板上写下一个最小的ｋ＋１位完全平方数， 每次甲写下一个ｋ＋１位完全平方数，乙均擦 去末尾ｋ位数字．这样，一直进行到在黑板上
有相邻两个数字至少差２为止．令ｆ（ｋ）是没 有写在黑板上的最小正整数（例如，设ｋ＝１，
则甲在黑板上依次写下１６、２５、３６、４９、６４，乙 擦数后黑板上的剩余数字为１、２、３、４、６，６与
１ ００Ｒ ４差２，此时，／（１）＝５）．则∑ｆ（２ｋ）的各位
数字之和为（ ）．
（Ａ）７ ９８０（Ｂ）８ ００２（Ｃ）８ ０３０ （Ｄ）８ ０４８（Ｅ）８ ０６４
参考答案
１．同十年级第１题． ２．同十年级第２题．
３．同十年级第４题． ４．同十年级第７题．
５．Ｅ． ６．同十年级第９题．
７．Ｄ． 由题设式得 （ ＋Ｙ＋１）一ｙ２（ ＋Ｙ＋１）
＝（ ＋Ｙ）（ 一Ｙ）（ ＋Ｙ＋１）＝０． 上式表示三条直线：
＋Ｙ：０， 一Ｙ＝０， ＋Ｙ＋１＝０． 这三条直线不交于一点．
８．同十年级第１１题．
９．Ｅ． 设小正方形边长为 ，考虑大正方形对 角线．则
２ ＋ ： ： ， ａ＝４．ｂ＝７＝ ａ＋ｂ＝１ １．
１０．同十年级第１３题．
１１－Ｅ． 设只会唱歌的营员有 人，只会跳舞的
营员有Ｙ人，只会表演的营员有Ｚ人，会唱歌
又会跳舞的营员有ａ人，会唱歌又会表演的 营员有ｂ人，会跳舞又会表演的营员有ｃ人．
２０１６年第９期 ３９
ｆ ＋Ｙ＋ ＋ａ＋ｂ＋Ｃ＝１００，
则ｙ＋ｚ＋ｃ＝４２，
【 ＋ｙ＋。：２９
＝ ａ＋ｂ＋Ｃ
＝２（ｘ＋ ＋ ＋０＋ｂ＋Ｃ）一（Ｙ＋ ＋Ｃ）一 （彳＋ ＋ｂ）一（ ＋ ＋０）
＝６４． １２．Ｃ． 由梅涅劳斯定理得
４Ｆ ＤＢ ＣＥ ． ＡＦ ＢＣ ＥＡ …——＝ｌ ——＝——·一． ＦＤ ＢＣ ＥＡ 。ＦＤ ＤＢ ＣＥ‘ 由角平分线定理知
ＢＤ ＡＢ ＡＥ ＡＢ ，
Ｆ ＢＣ ＥＡ ＡＢ＋ＡＣ ＡＢ ，、 ＦＤ ＤＢ ＣＥ ＡＢ ＢＣ ‘ １３．同十年级第１７题． １４．同十年级第１８题． １５．同十年级第２１题．
１６．Ｄ． 设ｔ＝ｌｏｇ３ （ ＞０）．则
÷＝ｌ。ｇ ３，一 ＝ｌ。ｇ÷ ，一 ：ｌ。ｇ ．
注意到，函数
１ １ Ｙ ，Ｙ ｔ，Ｙ 一ｆ，Ｙ 一一ｔ 的图像有五个交点．
于是，函数
Ｙ＝ｌｏｇ３ｘ，Ｙ＝ｌｏｇ ３，Ｙ＝ｌｏｇ￣ｘ，Ｙ＝ｌｏｇ 寺
在 轴正半轴方向上共有五个交点．
１７．Ｂ． 如图３，建立平面直角坐标系． 设Ａ（１，１），Ｂ（一１，１），Ｃ（一１，一１），Ｄ（１，一１）．
舭（ ＋ ，ｏ ＋
２『＿学． Ｌ －ｊ Ｖ
７ ‘Ｉ
Ｂ厶 ／Ｃ 一
７７０ ＼ Ｈｆ ．
３ １８．同十年级第２２题． １９．Ｂ． 设事件 为杰瑞能够到达坐标为４的
点处． 考虑抛掷８次硬币．
有４正４反时，能到达４点处的情形只 有１种．
当５正３反时，若要到达４点处，要么前 ４次全正有Ｃ ＝４种；要么前４次仅一次反、
第５次正有Ｃ ＝４种．共８种．
当６正２反时，能到达４点处的情形有
Ｃ ＝２８种． 当７正ｌ反时，能到达４点处的情形有
Ｃ ＝８种．
当８正０反时，能到达４点处的情形有
１种．
（ ＝
ａ＋ｂ＝２３＋ｌ２８＝１５１．
２Ｏ．同十年级第２３题． ２１．同十年级第２４题．
２２．同十年级第２５题．
２３．Ｃ．
设 、 ∈［０，１］，不妨设 ≥ 、Ｙ．
由ｘ，ｙ、 为三角形的三边，知 ＋Ｙ＞ｚ．
由几何概型，知满足题意的概率为÷．
２４．Ｂ．
中等数学
学 滁 蓖 滁题（２０７）
中图分类号：Ｇ４２４．７９ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００５—６４１６（２０１６）０９—００４０—０６
第一试
、填空题（每小题８分，共６４分）
１．已知ＡＢ是半径为２的ｏ Ｃ的一条直
径，ｏＤ与ｏＣ内切于点 ，ｏＥ与ｏＣ内切、
与ｏＤ外切，且与ＡＢ切于点 若ｏＤ的半径
是ｏ 半径的３倍，则ｏＤ的半径为——． ２．满足 一 ｉ为实数
的有序整数对（ａ，ｂ）的个数为一
３．如图１，在矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝２，ＡＤ＝
４，点Ｅ在线段ＡＤ上，且ＡＥ＝３．现分别沿
ＢＥ、ＣＥ将△ＡＢＥ、△ＤＣＥ翻折，使得点Ｄ落
在线段ＡＥ上．此时，二面角Ｄ—ＥＣ—Ｂ的余
设ｒ、ｓ、ｔ为多项式 ａｘ ＋ｂｘ—ａ（ａ，ｂ∈Ｒ） 的三个实数根． 由韦达定理知 ｒ＋ｓ＋ｔ＝ａ， ＋ｓｔ＋ｒｔ＝ｂ，ｒｓｔ＝ａ
＝ ｒ＋Ｓ＋ｔ＝ｒｓｔ． 由均值不等式得
： ≥ ｒｓｔ： — ＝—— 一≥√ ＝√ｎ ｊ ｊ ａ＞１３ ． 由于ａ为满足条件的最小正实数，则
口：３ ．
故ｒ＋ｓ＋ｔ＝３√３，ｍｔ＝３
ｒ＝ｓ＝ｔ＝ ｂ＝ ＋ｓｔ＋ｒｔ＝９． ２５．Ｅ． 考虑 ２）． 则在黑板上是三位完全平方数．为了让 两个数百位相差为２，这两个完全平方数之 差至少需要１００．
由 ：２ｘ≥１００ ＞１５０．
故完全平方数为２ ５００，２ ６０１，… 注意到，这些完全平方数的个位或十位 也为完全平方数０ ，１ ，… 当个位或十位出现１００后，百位才可能 差２，即达到目标． 由于１０ ＝１００，则最后的完全平方数为 （５０＋１０） ＝３ ６００，其前一个完全平方数为 ５９ ＝３ ４８１，擦去这两个数末尾两位后为３６、 ３４，故．厂（２）＝３５． 考虑．厂（４）． Ｊ 类似地， ＝２ｘ≥１０ ０００ ／＞５ ０００． Ｕ 故最后的完全平方数为 （５ ０００＋１００） ＝５ １００ ２６ ０１０ ０００， 其前一个完全平方数为５ ０９９ ＝２５ ９９９ ８０１， 擦去这两个数末尾两位后为２ ６０１、２ ５９９，故 ．厂（４）＝２ ６００．
以此类推， ｋ）＝２５×１０ ＋１×１０了． １ ００８ 故∑ｆ（２ｋ）＝２．５ ：：： ５×１０ 仇 ＋ ｋ＝１ １ ｏｏ７对 １．１…ｌ Ｘ １０ ００８． １。’０ ０ ７一＋ 从而，所求为（２＋５＋１）Ｘ １ ００８＝８ ０６４． （吴建平提供潘铁翻译）
