顺风向结构风致响应公式推导
0 引言
近些年来，由于全球气候变暖,风灾变得更为频繁,在所有自然灾害中，风灾造成的经济损失已经跃居各种自然灾害之首。每年造成全球经济损失达数百亿甚至千亿美元,而我国东南沿海地区又是受风灾影响比较严重的区域。同时，随着土木工程结构向着高、大跨、柔、轻质和低阻尼方向发展，结构对风的敏感性大大增强，与结构损坏有关的风灾屡见不鲜，风荷载正在逐渐成为结构设计时的控制荷载之一，国内外工程技术人员对建筑物的抗风设也计越来越重视。
在研究风对结构的作用时，一般将其分为平均风和脉动风。本文主要讨论顺 风向的结构风致响应。顺风向的结构风致响应是在平均风和脉动风共同作用下产生的。我国建筑和在规范规定，对于高度高于30m 且高宽比大于1.5的房屋结构，对于基本自振周期不大于0.25s 的塔架、桅杆、烟囱等高耸结构，应考虑到风压脉动引起的结构动力效应。由于脉动风的卓越周期在一分钟左右，而高、柔、大跨度结构的基本周期也只在几秒这个数量级，因此结构愈柔，基本周期愈长，顺风向的风致响应就愈大。目前关于结构顺风向风致响应的计算方法一般是基于加拿大Davenport 在20世纪60年代提出并不断发展完善的。依据该方法，顺风向的结构总风致响应由平均风响应、脉动风响应组成，其中脉动风响应包括背景响应和共振响应。图0-1（A ）表示了时域内的平均响应
r 、背景响应B r 和共振响应R r ，图0-1（B ）表示了频域内的背景均方响应2
B r 、前三阶共振均方响应2
1R r 、
22R r 和23R r 。下面主要探讨下单自由度和多自由度结构的顺风向风致响应。
图0-1 平均、背景和共振响应
1 单自由度结构顺风向风振响应
结构的自由度数等于确定其各部分位置所需参数的数目。有很多结构，将其
假定为单自由度结构，在计算其顺风向动力响应时能获得合力准确的计算结果。在计算结构的顺风向响应时，仅考虑顺风向部分的湍流速度分量u ，其他湍流分量对结构的振动响应影响不显著。
一般单自由度结构可视为点状结构，计算模型可假定为质量为m 的质点支承在刚度系数为k 的弹簧上，同时与弹簧平行的方向有阻尼系数为c 的黏滞阻尼。位移u 的运动方程为：
tot
F
ku u c u m =++.
.. （1.1）
式中，tot F 为作用在结构上的顺风向荷载。荷载tot F 的表达式为：
2
.
)(2
1u v U A C F D tot -+=ρ （1.2）
式中，D C 为空气阻力系数；A 是垂直平均风方向的结构受荷载面积。顺风向荷载取决于风与结构的相对速度，即与结构振动的速度.
u 有关系。因为，一般情况下平均风速U 比纵向湍流的速度v 要大得多，所以有如下近似：
.
2
2
.22)(u U Uv U u v U -+=-+ （1.3） 全部的风荷载可分为三部分：平均风荷载q F 、由湍流产生的脉动荷载t F 及气动阻尼所产生的荷载a F ：
a
t
q
tot
F F F F -+= （1.4）
2
2
1
U A C F D
q
ρ= （1.5）
v U A C F D
t
ρ= （1.6）
.
.u c u U A C F a
D
t
==ρ （1.7）
U A C c D
a
ρ= （1.8）
气动阻尼常数a c 与结构自身阻尼c 相加可得合租尼0c ：
c c c a +=0 （1.9）
所以有平均风位移响应ξμ：
2
21
U
A C k
k F D q
ρμξ== （1.10）
结构位移的自谱)(n S ξ表达式为：
)(|)(|)(2
n S n H n S F
=ξ （1.11）
式中，)(n H 为结构的频率响应函数；)(n S F 为函数自谱。 风荷载自谱可由下式确定：
)(4)()()(2
2
2
n S U
F
n S U A C n S u
q
u
A
F
==ρ （1.12）
因此，位移u 的方差可通过对式（1.11）中的自谱积分求得：
dn n S n H k U k F dn n S u
u
u
q
⎰⋅=⎰=∞∞
22
2
22
2
2
2
)
(|)(|4)(σ
σσξξ （1.13） 再将湍流强度U I u u σ=代入上式，并利用式（1.10），可得： dn n S n H k I
u
u
u
⎰=∞0
2
2
2
)
(|
)(|2σ
μσξξ
（1.14） 所以，总的风致响应： dn n S n H k I
u
u
u
⎰=∞0
2
2
2
)
(|
)(|2σ
μσξξ
顺风向的结构总风致响应由平均风响应、脉动风响应组成，其中脉动风响应包括背景响应和共振响应。 一、平均风响应
在顺风向，平均风致响应可通过平均风荷载与影响函数得到 i i i H
dz z z i z p z r ),()()(0⎰= （1）
式（1）中：
)(z r 表示在结构z 高度处的某一响应均值 )(i z p 表示作用于结构高度i z 处的线平均风力
),(i z z i 表示在i z 高度处作用一单位力在z 高度处产生的某一响应值，也称影
响函数，包括位移、剪力和弯矩影响函数等，其任意高度z 的表达式如下：
⎪⎪⎪⎩
⎪
⎪⎪⎨⎧≥≥= 0z -z 0-0z 1z 01)
()(),(i i i i *
）时，取；当时，取（当弯矩或）
时，取；当时，取剪力（当或阶位移第z z z z z z z z j K z z z z i i i j
i j j i ϕϕ（2） 式（2)中，)()(i j j z z ϕϕ和表示某高度处的第j 阶阵型坐标，*j K 代表第j 阶广义刚
