6-4：计数问题 排列组合

a

nd ll things in their being are good for som

教学目标1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。提高学生解决问题分析问题的能力 3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题.复习巩固1.分类计数原理(加法原理)完成一件事，有类办法，在第1类办法中有种不同的方法，在第2类办法中有种不同的n1m2m方法，…，在第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事共有：nnm12nNmmm种不同的方法．2.分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，n1m2m…，做第步有种不同的方法，那么完成这件事共有：nnm12nNmmm种不同的方法．3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．解决排列组合综合性问题的一般过程如下:1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有13C 然后排首位共有14C 最后排其它位置共有34A 由分步计数原理得113434288CCA

练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有种不522522480AAA同的排法乙甲丁丙C14A34C13位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件 e and

排列组合

引入

相信大家都玩过数独游戏吧，这个怎么填你们知道吗？ 解读 1、排列与组合按照一定的顺序排成一列，个不同的元素中任取个元素，排列：一般地，从（1）n)m≤nm( （其中被取的对象叫做元素）叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列．mn个不同元个元素的所有排列的个数，叫做从排列数：从个不同的元素中取出nn)nm(m≤m 个元素的排列数，用符号表示．素中取出mAn 排列数公式：

个不同元素全部取出的一个排列，叫做个不同元素的一个全排列．全排列：一般地，nn1n!0! 的阶乘：正整数由到的连乘积，叫作．表示．规定：的阶乘，用nnn1个个元素并成一组，叫做从）组合：一般地，从个不同元素中，任意取出（2nnm)nm≤( 个元素的一个组合．元素中任取m个不个元素的所有组合的个数，叫做从组合数：从个不同元素中，任意取出nnm)≤mn(m 个元素的组合数，用符号同元素中，任意取出表示．mCn

组合数公式：

0 ）组合数的两个性质：性质1： ．（规定 ；性质2： 1Cn

（3）排列组合综合问题

解排列组合问题，首先要用好两个计数原理和排列组合的定义，即首先弄清是分类还是分步，是排列还是组合，同时要掌握一些常见类型的排列组合问题的解法．

2、排列组合一些常用方法

（1）特殊元素、特殊位置优先法

元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；

位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；

（2）分类分步法：对于较复杂的排列组合问题，常需要分类讨论或分步计算，一定要做到分类

明确，层次清楚，不重不漏．

（3）排除法，从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法．

（4）捆绑法：某些元素必相邻的排列，可以先将相邻的元素“捆成一个”元素，与其它元素进行排列，然后再给那“一捆元素”内部排列．

（5）插空法：某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元素插空．

龙源期刊网

排列、组合问题奇思妙解

作者：傅雪慧

来源：《考试与评价》2016年第04期

中学数学中的排列组合是一类思考方式较为独特的问题。它对分析能力要求较高，解法也非常灵活，是高考的难点之一。因此，恰当地选择思考方法，对于解决排列组合问题至关重要。分类计数，分步计数两个原理是解决排列、组合问题的基本方法，利用该两个原理及课堂中学习的常规解法如：特殊元素、特殊位置、插空法、捆绑法等解决某些问题总感觉较难或者解答较繁。针对该现象，本文列举几例介绍解排列组合问题的非常规解题思路。

一、列举法

把符合条件的安排不重复、不遗漏的一一列举出来，是最简单、最原始但也是最基本的计数方法。教材中多次应用到，高考中也常用枚举法解决问题。

例1，某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方法有（ ）。

A、5种 B、6种 C、7种 D、8种

解析：根据所给选项数字较小，不难用枚举法解决。

单片买3张，磁盘买2盒，花费320元；单片买3张，磁盘买3盒，花费390元；单片买3张，磁盘买4盒，花费460元；单片买4张，磁盘买2盒，花费380元；单片买4张，磁盘买3盒，花费450元；单片买5张，磁盘买2盒，花费440元；单片买6张，磁盘买2盒，花费500元。故选购方式有7种，选A。

例2，从1到100的一百个自然数中，每次取出两个数，使其和大于100，这样的取法共有多少种？

解：从1到100的一百个自然数中，每次取出两个数，其中必有一个是较小的。我们先按较小的一数枚举，而当较小的数取定以后，使和超过100的另一个相应较大的数不难一一例举，所有情况如下表：

所以共有：1+2+3+…+49+50+49+…+1=2500种不同的取法。

计数原理与排列组合

计数原理和排列组合是概率论中重要的基础知识，它们用于计算事件的可能性和排列组合的情况。计数原理是一种计算方法，用于确定事件的总数。它有两个主要的原理：乘法原理和加法原理。

乘法原理是指如果事件A可以分解为n个步骤，每个步骤都有m个可能的选择，那么事件A发生的总次数是n乘以m。例如，如果要选择一套衣服，有3个上衣的选择和2条裤子的选择，那么可以通过乘法原理计算出有6种不同的组合。

加法原理是指如果事件A可以通过两个或多个不相交的事件B1，B2，...，Bn发生，那么事件A发生的总次数是B1、B2、...、Bn事件发生的次数之和。例如，某人每天可以选择穿红色、蓝色或绿色的衣服，那么一周内可能的衣服组合数可以通过加法原理计算。

排列组合是一种计算方法，用于确定从给定元素集合中选择若干个元素的不同方式。排列是指从集合中选择出所有可能的有序排列，组合是指从集合中选择出所有可能的无序组合。

排列的计算公式为P(n,m) = n! / (n-m)!，其中n是元素总数，m是选择的元素个数，"!"表示阶乘。例如，从4个不同的数字中选择2个数字进行排列，可以通过P(4,2) = 4! / (4-2)! = 12计算出有12种不同的排列方式。

组合的计算公式为C(n,m) = n! / (m! * (n-m)!)，其中n是元素总数，m是选择的元素个数。例如，从4个不同的数字中选择2个数字进行组合，可以通过C(4,2) = 4! / (2! * (4-2)!) = 6计算出有6种不同的组合方式。

通过计数原理和排列组合，我们可以计算出事件的可能性和组合的情况，这对于概率论和统计学的研究非常重要。