北京市顺义区2016届高三第一次模拟考试理科数学试卷 Word版含解析

北京市顺义区2016届高三第一次模拟考试

理科数学试卷

一、单选题

1.设为虚数单位，则（ ）

A． B． C． D．

【知识点】复数乘除和乘方

【试题解析】

故答案为：C

【答案】C

2.已知集合，，则（ ）

A． B． C．

D．

【知识点】集合的运算

【试题解析】

所以。

故答案为：B

【答案】B

3.下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ）

A． B． C． D．

【知识点】函数的单调性与最值函数的奇偶性

【试题解析】若函数是奇函数，则故排除A、D；

对C： 在（-和（上单调递增，

但在定义域上不单调，故C错；

故答案为：B

【答案】B

4.执行如图所示的程序框图，输出的结果是（ ）

A．15 B．21 C．24 D．35

【知识点】算法和程序框图

【试题解析】否，

否，否，是，

则输出S=24．

故答案为：C

【答案】C

5.已知向量，，其中．则“”是“”成立的（ ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

【知识点】平面向量坐标运算

【试题解析】若，则成立；

反过来，若，则或

所以“”是“”成立的充分而不必要条件。

故答案为：A

【答案】A

6.直线： （为参数）与圆：（为参数）的位置关系是（ ）

A．相离 B．相切 C．相交且过圆心 D．相交但不过圆心

【知识点】直线与圆的位置关系参数和普通方程互化

【试题解析】将参数方程化普通方程为：直线：圆：

圆心（2,1），半径2．

圆心到直线的距离为：，所以直线与圆相交。

又圆心不在直线上，所以直线不过圆心。

故答案为：D

【答案】D

7.在平面直角坐标系中，若不等式组（为常数）表示的区域面积等于，

则的值为（ ）

A． B． C． D．

【知识点】线性规划

【试题解析】作可行域：

由题知：

所以

故答案为：B

【答案】B

8.如图，已知平面=，．是直线上的两点，是平面内的两点，且，，，．是平面上的一动点，且有，则四棱锥体积的最大值是（ ）

A． B． C． D．

【知识点】空间几何体的表面积与体积

【试题解析】由题知：是直角三角形，又，所以。

因为，所以PB=2PA。

作于M，则。

令AM=t，则

所以即为四棱锥的高，

又底面为直角梯形，

所以

故答案为：A

【答案】A

二、填空题

9.的展开式中的系数为（用数字作答)．

【知识点】二项式定理与性质

【试题解析】通项公式为:令12-3r=3，r=3．

所以系数为：

故答案为：

【答案】20

10.抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积为__________

【知识点】抛物线双曲线

【试题解析】抛物线的准线方程为：x=2;

双曲线的两条渐近线方程为：

所以

故答案为：

【答案】

11.已知某几何体的三视图如图,正（主）视图中的弧线是半圆，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的表面积是_________（单位:）．

【知识点】空间几何体的三视图与直观图

【试题解析】该几何体是半个圆柱。

所以

故答案为：

【答案】

12.已知函数，则__________；的最小值为__________．

【知识点】分段函数，抽象函数与复合函数

【试题解析】

当时，

当时，

故的最小值为 故答案为：

【答案】

13.某慢性疾病患者，因病到医院就医，医生给他开了处方药（片剂),要求此患者每天早、晚间隔小时各服一次药，每次一片，每片毫克．假设该患者的肾脏每小时从体内大约排出这种药在其体内残留量的，并且医生认为这种药在体内的残留量不超过毫克时无明显副作用．若该患者第一天上午点第一次服药，则第二天上午点服完药时，药在其体内的残留量是 毫克，若该患者坚持长期服用此药 明显副作用（此空填“有”或“无”）

【知识点】等比数列

【试题解析】设该病人第n次服药后，药在体内的残留量为毫克，

所以）=300，=350．

由，

所以是一个等比数列，

所以

所以若该患者坚持长期服用此药无明显副作用。

故答案为： , 无．

【答案】 , 无．

14.设是空间中给定的个不同的点，则使成立的点的个数有_________个．

【知识点】平面向量坐标运算

【试题解析】设

设，则

因为，

所以，所以

因此，存在唯一的点M，使成立。

故答案为：

【答案】1

三、解答题

15.已知函数，．

（Ⅰ）求函数的最大值；

（Ⅱ）若，求函数的单调递增区间．

【知识点】三角函数的图像与性质恒等变换综合

【试题解析】（Ⅰ）由已知

当 ，即， 时，

（Ⅱ)当时，递增

即，令，且注意到

函数的递增区间为

【答案】见解析

16.在某班级举行的“元旦联欢会”有奖答题活动中，主持人准备了两个问题，规定：被抽签抽到的答题同学，答对问题可获得分，答对问题可获得200分，答题结果相互独立互不影响，先回答哪个问题由答题同学自主决定；但只有第一个问题答对才能答第二个问题，否则终止答题．答题终止后，获得的总分决定获奖的等次．若甲是被抽到的答题同学，且假设甲答对问题的概率分别为．

（Ⅰ）记甲先回答问题再回答问题得分为随机变量，求的分布列和数学期望；

（Ⅱ）你觉得应先回答哪个问题才能使甲的得分期望更高？请说明理由．

【知识点】随机变量的期望与方差随机变量的分布列

【试题解析】（Ⅰ）的可能取值为．

，

，

分布列为：

（Ⅱ）设先回答问题，再回答问题得分为随机变量，则的可能取值为．

，

，

，

分布列为：

．

应先回答所得分的期望值较高．

【答案】见解析

17.如图，在四棱锥中，等边所在的平面与正方形所在的平面互相垂直,为的中点，为的中点，且

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）在线段上是否存在点，使线段与所在平面成角．若存在，

求出的长,若不存在，请说明理由．

【知识点】空间的角利用直线方向向量与平面法向量解决计算问题垂直

【试题解析】（Ⅰ）是等边三角形，为的中点，

平面平面，是交线，平面

平面．

（Ⅱ）取的中点，底面是正方形，，两两垂直．

分别以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，

则 ，

，，

设平面的法向量为，，

，，

平面的法向量即为平面的法向量．

由图形可知所求二面角为锐角，

(Ⅲ)设在线段上存在点，，

使线段与所在平面成角，

平面的法向量为，， ，解得，适合

在线段上存在点，当线段时，与所在平面成角．

【答案】见解析

18.已知函数．

（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）设，若函数在上(这里）恰有两个不同的零点,求实数的取值范围．

【知识点】利用导数求最值和极值利用导数研究函数的单调性导数的概念和几何意义

【试题解析】（Ⅰ）函数定义域为

，

又，所求切线方程为，即

（Ⅱ）函数在上恰有两个不同的零点，

等价于在上恰有两个不同的实根

等价于在上恰有两个不同的实根，

令则

当时，，在递减；

当时，，在递增．

故，又．

，，

即

【答案】见解析

19.已知椭圆的离心率，且点在椭圆上． （Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）直线与椭圆交于、两点，且线段的垂直平分线经过点．求（为坐标原点)面积的最大值．

【知识点】圆锥曲线综合椭圆

【试题解析】（Ⅰ）由已知 ，

点在椭圆上，，解得．

所求椭圆方程为

(Ⅱ)设，，的垂直平分线过点, 的斜率存在．

当直线的斜率时，

当且仅当 时，

当直线的斜率时， 设．

消去得：

由． ①

，

，的中点为

由直线的垂直关系有，化简得 ②

由①②得

又到直线 的距离为，

时，．

由，，解得；

即时，；

综上：；

【答案】见解析

20.在数列中，，，其中，．

（Ⅰ）当时，求的值；

（Ⅱ）是否存在实数，使构成公差不为0的等差数列？证明你的结论；

（Ⅲ）当时，证明：存在，使得．

【知识点】数列综合应用

【试题解析】（Ⅰ），，．

（Ⅱ） 成等差数列，，

即 ，

，即．

，．

将，代入上式， 解得．

经检验，此时的公差不为0．