2. 模糊控制系统数学基础2.1 模糊集合的定义及表示方法 2.1.1 模糊集合的定义扎德(Zadeh)曾对模糊集合作如下的定义:设给定论域U,U 到[0,1]闭区间上的映射μA 都确定U 的一个模糊子集μA ： U →[0，1]U →μ(u)μA 称之为 A 的隶属函数，μA （u ）称之为U 对A 的隶属度。
隶属函数μA （x ）表示元素x 属于A 的程度，若μA （X ）=1，则表示X 完全属于A ，若μA （X ）=0，则表示X 完全不属于A ，若μA （x)=0.5,则表示x 属于A 的程度只有了0.5。
2.1.2 模糊子集的表示方法 模糊子集有如下的表示方法：1)、当论域U 为离散有限集{X1,X2,...,Xn},此时,A 有两种表示方法:(1) 扎德表示法A=a1/x1+a2/x2+...+an/Xn;若有ai=0时,则可以省略。
式中“ai/Xi ”不是分数，仅表示“元素Xi属于A 的隶属度为ai ”；符号“+”也不是普通加法，仅仅是一个记号。
（2） 向量表示法A=（a1,a2,....,an);式中向量的次序是不能颠倒的，并且隶属度为零也不能省略。
2). 论域是离散无限域（1） 可数情况：扎德表示法A~∑⎰∞∞∞===111)(~)(~)(~~uiui A ui ui A ui ui A A其中U={u1,u2,…,un},μA(ui)=A(ui)。
这里“∑”，“U ”，“∫”仅仅是符号；A （ui ）/ui 也不是分数。
（2）、 不可数情况：扎德表示法其中“∫”不是积分号；A(u)/u 也不是分数； μA （u ）=A(u)。
3)、论域是连续域扎德表示法特别当U 是一个实数区间时，其上的模糊集可用普通的实函数表示。
[9]2.2 模糊集合的运算以及性质 2.2.1 模糊子集的运算由于模糊子集的特征函数是它的隶属函数，所以，进行两个模糊子集运算时通常都是逐点对其隶属度进行相应的运算。
归一化区间2型模糊集的运算摘要：这篇论文解释了如何计算归一化区间2型模糊集的封闭解，并解释了其与著名的1型模糊集结果的区别。
这种归一化区间2型模糊集可能应用与解决语言概率计算或不确定情况下的多目标决策分析。
1 简介本文致力于归一化区间2型模糊数的计算。
正如我们将要看到的，这常被用于解处理语言概率和多目标决策问题。
在本节中，我们首先介绍一些符号和基本概念，然后阐述问题描述。
A 基本概念和符号一个区间2型模糊集(IT2 FS)中，论域U 上的A ~是由隶属度函数)(~x A μ定义的，它分配了一个封闭子区间[0,1]，即对任意U x ∈，都有]1,0[⊆x J ：)](),([)(~~~x x J x A Ax Aμμμ== (1) 换句话说，A ~是由两个1型模糊集A 和A 决定的，其隶属度函数分别为被称作下隶属度函数（LMF ）的)(~x Aμ，以及被称为上隶属度函数（UMF ）的)(~x Aμ。
回想一下，一个IT2 FS 是完全由其不确定覆盖域（FOU ）描述的；因此，IT2 FS 中的A ~是由)~(A FOU 描述的。
此外，)~(A FOU 又可以由被其上下隶属度函数（MFs ）决定，而)(~x Aμ和)(~x Aμ这两个都是1型模糊集的隶属度函数，即：Xx AAx x A FOU ∈∀=)](),([)~(~~μμ(2) 其中，表示集论的并集。
图1 一个九参数IT2 FS 问题的FOU一个梯形IT2 FS 的九参数FOU 如图1所示。
注意UMF 取决于参数),,,(d c b a ，而LMF 取决于参数),,,,(h d c b a ，其中h 为LMF 的高。
回想一下，1型模糊集W 在规范时又可称为1型模糊数，有一个半连续的上隶属度函数且有界。
因此，当其上下隶属度函数W 和W 均为1型模糊数时，区间2型模糊集i W ~也可称为一个间隔2型模糊数。
当W 为1型模糊数且W 有1型模糊数除归一化的所有性能时，间隔2型模糊集W 为间隔2型弱模糊数。
