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A ( x) 是表示一个对象x隶属于集合A的程度的函数，
当 xA 1, A x 0 A x 1, 当x在 一 定 程 度 上 属 于 A 0, 当 xA
隶属度函数用精确的数学方法描述了概念的模糊性。
（ⅲ）模糊子集 ① 设集合A是集合U的一个子集，如对于任意U中的元素x， 用隶属度函数 A ( x ) 来表示 x对A的隶属程度，则称A是U的 一个模糊子集，记为
A { A ( xi ), xi }
模糊子集通常简称模糊集。
A ( x ) 唯一确定，故认为二者是等同的。 模糊集 A由隶属函数
模糊集的表示方法： 1° Zadeh表示法
A
或
A( xn ) A( x1 ) A( x2 ) x1 x2 xn
A A x1 x1 A x2 x2 A xn xn
A {(1, 0.3), (2, 0.8), (3,1), (4, 0.7), (5, 0.3)}
模糊集“对三口之家的大面积型房子”可以描述为
B {(2, 0.4), (3, 0.6), (4, 0.8), (5,1), (6,1)}
A与B的并表示“大或者舒适的房子”，为：
A B {(1, 0.3), (2, 0.8), (3,1), (4, 0.8), (5,1), (6,1)}
1）集合及其特征函数 （ⅰ）集合 论域E中具有性质P的元素组成的总体称为集合。 （ⅱ）集合的运算 集合的常用运算包括：交（∩）、并（∪）、补 （ⅲ）特征函数 对于论域E上的集合A和元素x，如有以下函数：
1, 当 x A A x 0, 当 x A
则 称 A x 为 集 合 A的 特 征 函 数
A ( x) B ( x) 并集： C A B C ( x) max A ( x), B ( x)
A ( x) B ( x)
补集： A ( x) 1 A ( x) A
例 一个房地产商想将销售给客户的商品房进行分类。房子 舒适如何的一个标志是其卧室的多少。设X={1,2,3,4,5,6}是房 子卧室数集，模糊集“对三口之家的舒适型房子”可以描述为
0.2 0 0.6 1 B x1 x2 x3 x4
意思是 x1, x2 , x3 , x4 对模糊集A的隶属度分别是 0.5，0.1，0.4，0.2；对模糊集B的隶属度分 别是0.2，0，0.6，1。
[例2] 设以人的岁数作为论域U=[0,120]，单位是“岁”， 那么“年轻”，“年老”，都是U上的模糊子集。隶属函 数如下： 1 0 u 25
3°向量表示法
A ( A( x1 ), A( x2 ),, A( xn ))
4°若论域U为无限集，其上的模糊集可表示为：
A
xU
A( x) x
③ 模糊集与隶属度举例 [例1] 设论域
E x1, x2 , x3 , x4
0.5 0.3 ，0.4 0.2 A x1 x2 x3 x4
风的强弱
人的胖瘦
年龄大小个子高低来自集合的概念 解决精确性的集合问题可以用经典集合论。
世界上大多数事物具有模糊性。为了描述具有模糊性的事 物，引入模糊集合的概念。
经典集合： 具有某种特性的所有元素的总和。 模糊集合： 在不同程度上具有某种特性的所有元素的总和。
集合是数学中最基本的概念之一。
第一章Fuzzy 集合及运算
1. 模糊概念
为了对事物进行识别，必须对事物按不同的要求进行分类。许多事物可 以依据一定的标准进行分类。用于这种分类的数学工具就是集合论。 在普通集合中，论域中的元素（如a）与集合（如A）之间的关系是 属于（a∈A），或者不属于，它所描述的是非此即彼的清晰概念。但在 现实生活 中并不是所有的事物都能用清晰的概念来描述，如:
其中 A( xi ) 表示 xi 对模糊集A的隶属度， xi (i 1, 2,, n)
xi
称为模糊子集A的支持点，“+”叫做查德记号，不是求和。 如“将1, 2, 3, 4组成一个小数的集合”可表示为
A 1 0.8 0.2 0 1 2 3 4
2°序偶表示法
A {( x1, A( x1 )),( x2 , A( x2 )),,( xn , A( xn ))}
讨论某一概念的外延时总离不开一定的范围。 这个讨论的范围，称为“论域”，论域中的每 个对象称为“元素”。一般记论域为U，表达了 问题的总范围。 • 所谓集合，是指具有某种特定属性的对象的全体。 • 定义：给定论域 U（U、V、X、Y …… ），U中 具有某种特定属性的元素（u、v、x、 y …… ） 的全体，称为U上的一个集合(A、B、C、……)。
特征函数表达了元素x对集合A的隶属程度。 可以用集合来表达各种概念的精确数学定义和 各种事物的性质。
2）模糊集合 （ⅰ）概念的模糊性 许多概念集合具有模糊性，例如： 成绩：好、差 身高：高、矮 年龄：年轻、年老 头发：秃、不秃 （ⅱ）隶属度函数 A ( x) 如果一个集合的特征函数 A ( x) 不是{0,1}二值取值，而是在闭区间[0，1]中取值，则 称为隶属度函数。
2 1 A u "年轻（ " u） = 1 u 25 5 （*） 25 u 120
0 0 u 50 2 1 B u = “年老” （**） u = u 50 50 u 120 1 5 (*)表示：不大于25岁的人，对子集“年轻”的隶属函数值是1， 即一定属于这一子集；而大于25岁的人，对子集“年轻”的隶 属函数值按 2 1
u 25 1 5
来计算，例如对40岁的人，隶属函数值 为0.1
同理，由(**)可得：
B u 55 0.5
B u 60 0.8
（ⅳ）模糊集合的基本运算： ① 相关运算的定义 相等： A B A ( x) B ( x) 包含： A B A ( x) B ( x) 交集： C A B C ( x) min A ( x), B ( x) ∨:表示取大 ∧:表示取小
A与B的交表示“又大又舒适的房子”，为：
A B {(2, 0.4), (3, 0.6), (4, 0.7), (5, 0.3)}
B的补集表示“不大的房子”，为：
B {(1,1), (2, 0.6), (3, 0.4), (4, 0.2)}
