高考文数(北京专用)一轮课件：5-第五章 平面向量第三节 平面向量的数量积与平面向量应用举例

1 第3讲 平面向量的数量积及应用举例

一、知识梳理

1．向量的夹角

(1)定义：已知两个非零向量a和b，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角．

(2)范围：向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°． 2 [注意] 当a与b同向时，θ＝0°；a与b反向时，θ＝180°；a与b垂直时，θ＝90°.

2．平面向量的数量积

定义 设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·cos θ叫做a与b的数量积，记作a·b

投影 |a|cos θ叫做向量a在b方向上的射影，

|b|cos θ叫做向量b在a方向上的射影

几何意义 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的射影|b|cos θ的乘积

[注意] 投影和两向量的数量积都是数量，不是向量．

3．向量数量积的运算律

(1)a·b＝b·a.

(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．

(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.

4．平面向量数量积的坐标运算及有关结论

已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，a·b＝x1x2＋y1y2.

结论 几何表示 坐标表示

模 |a|＝a·a |a|＝x21＋y21

夹角 cos θ＝a·b|a||b| cos θ＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22

a⊥b的充要条件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0

常用结论

(1)两向量a与b为锐角⇔a·b＞0且a与b不共线．

(2)两向量a与b为钝角⇔a·b＜0且a与b不共线．

(3)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.

(4)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.

(5)a与b同向时，a·b＝|a||b|.

(6)a与b反向时，a·b＝－|a||b|.

二、教材衍化

已知a·b＝－122，|a|＝4，a和b的夹角为135°，则|b|为( ) 3 A．12 B．6

C．33 D．3

课时作业(二十七)B [第27讲 平面向量的数量积]

[时间：35分钟 分值：80分]

基础热身

1．已知向量a，b满足a⊥b，|a|＝1，|b|＝2，则|2a－b|＝( )

A．0 B．22

C．4 D．8

2．已知a＝(1,0)，b＝(x,1)，若a·b＝3，则x的值为( )

A.2 B．22

C.3－1 D.3

3．[2011·厦门质检] 已知|a|＝2，b是单位向量，且a与b夹角为60°，则a·(a－b)等于( )

A．1 B．2－3

C．3 D．4－3

4．[2011·安徽卷] 已知向量a，b满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，则a与b的夹角为__________________________________________________________．

能力提升

5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则AB→·AC→等于( )

A．－16 B．－8

C．8 D．16

6．已知a＝(1，sin2x)，b＝(2，sin2x)，其中x∈(0，π)．若|a·b|＝|a||b|，则tanx的值等于( )

A．1 B．－1 C.3 D.22

7．若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量a＋b与a－b的夹角是( )

A.π6 B.π3

C.2π3 D.5π6

8．若非零向量a，b满足|a＋b|＝|b|，则( )

A．|2a|>|2a＋b| B．|2a|<|2a＋b|

C．|2b|>|a＋2b| D．|2b|<|a＋2b|

9．[2011·江西卷] 已知|a|＝|b|＝2，(a＋2b)·(a－b)＝－2，则a与b的夹角为________．

10．[2011·湖南卷] 在边长为1的正三角形ABC中，设BC→＝2BD→，CA→＝3CE→，则AD→·BE→＝________.

11．[2011·泉州二模] 在△ABC中，已知AB→|AB→|＋AC→|AC→|⊥BC→，且AB→·AC→＝12|AB→|·|AC→|，则△ABC的形状是________．

第 1 页 共 11 页 第3讲 平面向量的数量积及应用举例

【知识归纳】

1．向量的夹角

定义 图示 范围 共线与垂直

已知两个非零向量a和b，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB就是a与b的夹角 设θ是a与b的夹角，则θ的取值范围是

0°≤θ≤180° 若θ＝0°，则a与b同向；若θ＝180°，则a与b反向；若θ＝90°，则a与b垂直

2.平面向量的数量积

定义 设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·cos__θ叫做a与b的数量积，记作a·b

投影 |a|cos__θ叫做向量a在b方向上的投影，

|b|cos__θ叫做向量b在a方向上的投影

几何

意义 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos__θ的乘积

3．向量数量积的运算律

(1)a·b＝b·a；

(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；

(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.

4．平面向量数量积的有关结论

已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.

结论 几何表示 坐标表示

模 |a|＝a·a |a|＝x21＋y21

夹角 cos θ＝a·b|a||b| cos θ＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22

a⊥b的充要条件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0

[疑误辨析]

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．( )

(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．( )

(3)由a·b＝0可得a＝0或b＝0.( )

(4)(a·b)c＝a(b·c)．( ) 第 2 页 共 11 页 (5)两个向量的夹角的范围是0，π2.( )

(6)若a·b>0，则a和b的夹角为锐角；若a·b<0，则a和b的夹角为钝角．( )

[教材衍化]

1．(必修4P108A组T6改编)已知a·b＝－122，|a|＝4，a和b的夹角为135°，则|b|为( )

1 新高考数学大一轮复习专题：

第3讲 平面向量数量积的最值问题

平面向量部分，数量积是最重要的概念，求解平面向量数量积的最值、范围问题要深刻理解数量积的意义，从不同角度对数量积进行转化．

例 (1)已知AB→⊥AC→，|AB→|＝1t，|AC→|＝t，若点P是△ABC所在平面内的一点，且AP→＝A B→|AB→|＋4AC→|AC→|，则PB→·PC→的最大值等于( )

A．13B．15C．19D．21

答案 A

解析 建立如图所示的平面直角坐标系，则B1t，0，C(0，t)，AB→＝1t，0，AC→＝(0，t)，

AP→＝A B→|AB→|＋4AC→|AC→|＝t1t，0＋4t(0，t)＝(1,4)，∴P(1,4)，

PB→·PC→＝1t－1，－4·(－1，t－4)

＝17－1t＋4t≤17－21t·4t＝13，

当且仅当t＝12时等号成立．

∴PB→·PC→的最大值等于13.

(2)如图，已知P是半径为2，圆心角为π3的一段圆弧AB上的一点，若AB→＝2BC→，则PC→·PA→的最小值为________．

答案 5－213

解析 以圆心为坐标原点，平行于AB的直径所在直线为x轴，AB的垂直平分线所在的直线 2 为y轴，建立平面直角坐标系(图略)，则A(－1，3)，C(2，3)，

设P(2cosθ，2sinθ)π3≤θ≤2π3，

则PC→·PA→＝(2－2cosθ，3－2sinθ)·(－1－2cosθ，3－2sinθ)＝5－2cosθ－43sinθ＝5－213sin(θ＋φ)，

其中0

当θ＝π2－φ时，PC→·PA→取得最小值，为5－213.

数量积有关的最值和范围问题是高考的热点之一，其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、夹角、系数的范围等．解决思路是建立目标函数的解析式，转化为求函数(二次函数、三角函数)等的最值或应用基本不等式．同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份，所以还有一种思路是数形结合，应用图形的几何性质．