2016-2017学年河北省唐山一中高二(下)3月月考数学试卷(理科)
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2016-2017学年河北省唐山一中高二（下）3月月考数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1．（5分）已知函数f（x）=x+，g（x）=2x+a，若∀x1∈[，3]，∃x2∈[2，3]，使得f（x1）≥g（x2），则实数a的取值范围是（ ）
A．a≤1 B．a≥1 C．a≤0 D．a≥0
2．（5分）有下面四个判断，其中正确的个数是（ ）
①命题：“设a、b∈R，若a+b≠6，则a≠3或b≠3”是一个真命题
②若“p或q”为真命题，则p、q均为真命题
③命题“∀a、b∈R，a2+b2≥2（a﹣b﹣1）”的否定是：“∃a、b∈R，a2+b2≤2（a﹣b﹣1）”
A．0 B．1 C．2 D．3
3．（5分）“m”是“函数f（x）=2的值不小于4”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（5分）若复数z=（a∈R，i是虚数单位），且z是纯虚数，则|a+2i|等于（ ）
A． B．2 C．2 D．40
5．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是（ ）
A．36 B．24 C．12 D．6
6．（5分）一个半径为的球的内接正四棱柱的高为4，则该正四棱柱的表面积
为（ ）
A．24 B．32 C．36 D．40
7．（5分）四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB⊥AD，BC∥AD，且AB=BC=2，AD=3，PA⊥平面ABCD且PA=2，则PB与平面PCD所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．（5分）过椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点F作斜率为1的直线交椭圆于A，B两点．若向量+与向量=（3，﹣1）共线，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
9．（5分）已知双曲线的一条渐近线与函数y=1+lnx+ln2的图象相切，则双曲线C的离心率是（ ）
A．2 B． C． D．
10．（5分）观察下列一组数据
a1=1，
a2=3+5，
a3=7+9+11，
a4=13+15+17+19，
…
则a10从左到右第一个数是（ ）
A．91 B．89 C．55 D．45
11．（5分）已知定义域为R的奇函数y=f（x）的导函数为y=f′（x），当x≠0时，＞0，若a=f（1），b=﹣2f（﹣2），c=（ln）f（ln），则a，b，c
的大小关系正确的是（ ）
A．a＜c＜b B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．c＜a＜b
12．（5分）已知f（x）=x2（1nx﹣a）+a，则下列结论中错误的是（ ）
A．∃a＞0，∀x＞0，f（x）≥0 B．∃a＞0，∃x＞0，f（x）≤0
C．∀a＞0，∀x＞0，f（x）≥0 D．∀a＞0，∃x＞0，f（x）≤0
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13．（5分）已知f1（x）=（x2+2x+1）ex，f2（x）=[f1（x）]′，f3（x）=[f2（x）]′，…，fn+1（x）=[fn（x）]′，n∈N*．设fn（x）=（anx2+bnx+cn）ex，则b2015= ．
14．（5分）（+xcosx）dx= ．
15．（5分）若函数y=cosx（0≤x≤π）的图象和直线y=2、直线x=π、y轴围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是 ．
16．（5分）函数f（x）=ex（x﹣aex） 恰有两个极值点x1，x2（x1＜x2），则a的取值范围是
．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤
17．（10分）已知m∈R，命题p：对任意x∈[0，1]，不等式2x﹣2≥m2﹣3m 恒成立；命题q：存在x∈[﹣1，1]，使得m≤ax 成立．
（1）若p为真命题，求m 的取值范围；
（2）当a=1 时，若p且q为假，p或q为真，求m的取值范围．
18．（12分）已知函数f（x）=e3ax（a∈R）的图象C在点P（1，f（1））处切线的斜率为e，记奇函数g（x）=kx+b（k，b∈R，k≠0）的图象为l．
（1）求实数a，b的值；
（2）当x∈（﹣2，2）时，图象C恒在l的上方，求实数k的取值范围．
19．（12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值．
20．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC是边长为2的等边三角形，过A1C作平面A1CD平行于BC1，交AB于D点．
（1）求证：CD⊥AB；
（2）若四边形BCC1B1是正方形，且，求二面角D﹣A1C﹣B1的余弦值．
21．（12分）已知函数f（x）=ln（1+ax）﹣（a＞0）
（1）当a= 时，求f（x） 的极值；
（2）若a∈（，1）时f（x） 存在两个极值点x1，x2，试比较f（x1）+f（x2）
与f（0）的大小．
22．（12分）已知函数f（x）=ln（1+mx）+﹣mx，其中0＜m≤1．
（1）当m=1时，求证：﹣1＜x≤0时，f（x）≤；
（2）试讨论函数y=f（x）的零点个数．
2016-2017学年河北省唐山一中高二（下）3月月考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1．（5分）（2016•长沙二模）已知函数f（x）=x+，g（x）=2x+a，若∀x1∈[，3]，∃x2∈[2，3]，使得f（x1）≥g（x2），则实数a的取值范围是（ ）
A．a≤1 B．a≥1 C．a≤0 D．a≥0
【解答】解：当x1∈[，3]时，由f（x）=x+得，f′（x）=，
令f′（x）＞0，解得：x＞2，令f′（x）＜0，解得：x＜2，
∴f（x）在[，2]单调递减，在（2，3]递增，
∴f（2）=4是函数的最小值，
当x2∈[2，3]时，g（x）=2x+a为增函数，
∴g（2）=a+4是函数的最小值，
又∵∀x1∈[，3]，都∃x2∈[2，3]，使得f（x1）≥g（x2），
可得f（x）在x1∈[，3]的最小值不小于g（x）在x2∈[2，3]的最小值，
即4≥a+4，解得：a≤0，
故选：C．
2．（5分）（2013春•九原区校级期末）有下面四个判断，其中正确的个数是（ ）
①命题：“设a、b∈R，若a+b≠6，则a≠3或b≠3”是一个真命题
②若“p或q”为真命题，则p、q均为真命题
③命题“∀a、b∈R，a2+b2≥2（a﹣b﹣1）”的否定是：“∃a、b∈R，a2+b2≤2（a﹣b﹣1）”
A．0 B．1 C．2 D．3
【解答】解：①命题：“设a、b∈R，若a+b≠6，则a≠3或b≠3”的逆否命题为：“若a=3且b=3，则a+b=6”是一个真命题，
所以①是真命题；
②若“p或q”为真命题，一真即真，所以p、q均为真命题说法不正确；
③命题“∀a、b∈R，a2+b2≥2（a﹣b﹣1）”的否定是：“∃a、b∈R，a2+b2≤2（a﹣b﹣1）”不满足全称命题的否定是特称命题，所以不正确；
正确命题的个数是1个．
故选B．
3．（5分）（2017春•路南区校级月考）“m”是“函数f（x）=2的值不小于4”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：m=（4x﹣x3）=﹣3，
f（x）≥2=2，
若f（x）的值不小于4，
则2≥4，解得：m≤﹣2，
故选：A．
4．（5分）（2017春•路南区校级月考）若复数z=（a∈R，i是虚数单位），且z是纯虚数，则|a+2i|等于（ ）
A． B．2 C．2 D．40
【解答】解：复数z==
它是纯虚数，所以a﹣6=0，即：a=6
|a+2i|=
故选C．
5．（5分）（2016秋•南阳期末）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是（ ）
A．36 B．24 C．12 D．6
【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以侧视图为底面的四棱锥，
其中底面边长为3的正方形，
棱锥的高为4，
∴四棱锥的体积．
故选C．
6．（5分）（2015春•凉山州期末）一个半径为的球的内接正四棱柱的高为4，则该正四棱柱的表面积为（ ）
A．24 B．32 C．36 D．40
【解答】解：设正四棱柱的底面边长为a，则2a2+16=24，∴a=2，
∴该正四棱柱的表面积为2×22+4×2×4=40，
故选：D．
7．（5分）（2016秋•越秀区校级期末）四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB⊥AD，BC∥AD，且AB=BC=2，AD=3，PA⊥平面ABCD且PA=2，则PB与平面PCD所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：依题意，以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP
为x，y，z轴建立空间直角坐标系O﹣xyz，AB=BC=2，AD=3，PA=2，则P（0，0，2），
B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，3，0），
从而=（2，0，﹣2），=（2，2，﹣2），=（0，3，﹣2），
设平面PCD的法向量为=（a，b，c），即，
不妨取c=3，则b=2，a=1，
所以平面PCD的一个法向量为=（1，2，3），（4分）
所以PB与平面PCD所成角的正弦值
sinθ=|cos＜，＞|=||=||=，
故选：B．
8．（5分）（2016秋•道里区校级期末）过椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点F作斜率为1的直线交椭圆于A，B两点．若向量+与向量=（3，﹣1）共线，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2）．F（﹣c，0）．
