第3课时等腰三角形的判定
1．探索等腰三角形的判定定理．
2．理解等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明．
3．了解反证法的基本证明思路，并能简单应用．
4．培养学生的逆向思维能力．
重点
掌握等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明．
难点
理解和掌握反证法的证明方法．
一、复习导入
问题1：等腰三角形性质定理的内容是什么？这个命题的题设和结论分别是什么？
问题2：我们是如何证明上述定理的？
问题3：我们把性质定理的条件和结论反过来还成立吗？如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等吗？
二、探究新知
1．等腰三角形的判定定理
师：你能证明“有两个角相等的三角形是等腰三角形”吗？并与同伴交流．
处理方式：学生在练习本上画图，写出已知、求证；小组之间探究讨论多种证明方法．
已知：如图，在△ABC中，∠B＝∠C.
求证：AB＝AC.
证法一：过点A作BC的垂线，垂足为D.
∵AD⊥BC ，
∴∠BDA＝∠CDA＝ 90°.
在△ABD和△ACD中，
∵∠B＝∠C, ∠BDA＝∠CDA, AD＝AD ，
∴△ABD≌△ACD (AAS)．
∴ AB＝AC (全等三角形的对应边相等)．
证法二：作∠BAC的角平分线，交BC于点D.
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD.
在△ABD和△ACD中，
∵∠B＝∠C, ∠BAD＝∠CAD, AD＝AD,
∴△ABD≌△ACD (AAS) .
∴AB＝AC(全等三角形的对应边相等)．
(教师引导学生类比“等边对等角”的证明方法正确地添加辅助线，规范地写出推理过
程，鼓励学生一题多解．)
师指出：作△ABC的边BC的中线，虽然把△ABC分成了两个三角形，这两个三角形对应两边及其一边的对角分别相等，这是“SSA”，是不能证明两个三角形全等的．因此，这种添加辅助线的方法是不可行的．
引导学生归纳等腰三角形的判定定理：
定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形．
简述为：等角对等边．
2．反证法
课件出示：
在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等．你认为这个结论成立吗？如果成立，你能证明它吗？
处理方法：学生积极动脑思考，小组交流讨论．
师引导：用综合法证明本结论是行不通的，因此，我们要探究一种新方法来完成它的证明，下面来看小明同学的想法：(课件出示)
如图，在△ABC中，已知∠B≠∠C，此时AB与AC要么相等，要么不相等．
假设AB＝AC，那么根据“等边对等角”定理可得∠C＝∠B，但已知条件是∠B≠∠C.这与已知条件∠B≠∠C相矛盾，因此AB≠AC.
师：你能理解他的推理过程吗？
师出示“反证法”的定义：
先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立．这种证明方法称为反证法．
三、举例分析
例1 已知：如图，AB＝DC，BD＝CA，BD与CA相交于点E.
求证：△AED是等腰三角形．
证明：∵AB＝DC，BD＝CA，AD＝DA ，
∴△ABD≌△DCA.
∴∠ADB＝∠DAC(全等三角形的对应角相等)．
∴AE＝DE(等角对等边)．
∴△AED是等腰三角形．
例2 (课件出示教材第9页例3)
处理方法：学生独立完成，教师点评．
四、练习巩固
1．如果三角形的一个外角是130°，且它恰好等于一个不相邻的内角的2倍，那么这个三角形是( )
A．钝角三角形B．直角三角形
C．等腰三角形D．等边三角形
2．如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝40°，D，E是BC上两点，且∠ADE＝∠AED＝80°，则图中共有等腰三角形( )
A．6个B．5个C．4个D．3个
,第2题图) ,第3题图) 3．如图，已知△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，又DE∥BC，交AC于点E，若DE ＝4 cm，AE＝5 cm，则AC等于( )
A．5 cm B．4 cm C．9 cm D．1 cm
五、课堂小结
通过本节课的学习，你有什么收获？
六、课外作业
1．教材第9页“随堂练习”第1、2题．
2．教材第9～10页习题1.3第1～4题．
本节课的主要内容是探索等腰三角形的判定定理，在复习性质定理的基础上，引导学生反过来思考猜想新的命题，并进行证明．这样可以发展学生的逆向思维能力，同时引入反证法的基本证明思路，学习与运用反证法也成为本课时的教学任务之一．
第4章一次函数
一、选择题（共26小题）
1．2017年5月10日上午，小华同学接到通知，她的作文通过了《我的中国梦》征文选拔，需尽快上交该作文的电子文稿．接到通知后，小华立即在电脑上打字录入这篇文稿，录入一段时间后因事暂停，过了一小会，小华继续录入并加快了录入速度，直至录入完成．设从录入文稿开始所经过的时间为x，录入字数为y，下面能反映y与x的函数关系的大致图象是（）
A．B．
C．D．
2．小刚以400米/分的速度匀速骑车5分，在原地休息了6分，然后以500米/分的速度骑回出发地．下列函数图象能表达这一过程的是（）
A．
B．
C．
D．
3．小明骑自行车上学，开始以正常速度匀速行驶，但行至中途自行车出了故障，只好停下来修车，车修好后，因怕耽误上课，加快了骑车速度，下面是小明离家后他到学校剩下的路程s关于时间t的函数图象，那么符合小明行驶情况的图象大致是（）
A．B．C．
D．
4．均匀地向如图的容器中注满水，能反映在注水过程中水面高度h随时间t变化的函数图象是（）
A．B．
C．D．
5．如图，某个函数的图象由线段AB和BC组成，其中点A（0，），B（1，），C（2，），则此函数的最小值是（）
A．0 B．C．1 D．
6．某星期天下午，小强和同学小明相约在某公共汽车站一起乘车回学校，小强从家出发先步行到车站，等小明到了后两人一起乘公共汽车回到学校．图中折线表示小强离开家的路程y（公里）和所用的时间x（分）之间的函数关系．下列说法错误的是（）
A．小强从家到公共汽车站步行了2公里
B．小强在公共汽车站等小明用了10分钟
C．公共汽车的平均速度是30公里/小时
D．小强乘公共汽车用了20分钟
7．货车和小汽车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，小汽车到达乙地后，立即以相同的速度沿原路返回甲地，已知甲、乙两地相距180千米，货车的速度为60千米/小时，小汽车的速度为90千米/小时，则下图中能分别反映出货车、小汽车离乙地的距离y（千米）与各自行驶时间t（小时）之间的函数图象是（）
A．
B．
C．
D．
8．如图，在矩形中截取两个相同的正方形作为立方体的上下底面，剩余的矩形作为立方体的侧面，刚好能组成立方体．设矩形的长和宽分别为y和x，则y与x的函数图象大致是（）
A．B．
C．D．
9．小张的爷爷每天坚持体育锻炼，星期天爷爷从家里跑步到公园，打了一会太极拳，然后沿原路慢步走到家，下面能反映当天爷爷离家的距离y（米）与时间t（分钟）之间关系的大致图象是（）
A．B．
C．D．
10．如图，挂在弹簧称上的长方体铁块浸没在水中，提着弹簧称匀速上移，直至铁块浮出水面停留在空中（不计空气阻力），弹簧称的读数F（N）与时间t（s）的函数图象大致是（）
A．B．
C．D．
11．函数y=的图象为（）
A．B．
C．D．
12．匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示（图中OABC为一折线），这个容器的形状是下图中的（）
A．B．C．
D．
13．如果两个变量x、y之间的函数关系如图所示，则函数值y的取值范围是（）
A．﹣3≤y≤3B．0≤y≤2C．1≤y≤3D．0≤y≤3
14．甲、乙两人在操场上赛跑，他们赛跑的路程S（米）与时间t（分钟）之间的函数关系如图所示，则下列说法错误的是（）
A．甲、乙两人进行1000米赛跑
B．甲先慢后快，乙先快后慢
C．比赛到2分钟时，甲、乙两人跑过的路程相等
D．甲先到达终点
15．如图所示的容器内装满水，打开排水管，容器内的水匀速流出，则容器内液面的高度h随时间x变化的函数图象最接近实际情况的是（）
A． B．
C． D．
16．如图，匀速地向此容器内注水，直到把容器注满，在注水过程中，下列图象能大致反映水面高度h随注水时间t变化规律的是（）
A．B．
C．D．
17．如图，小红居住的小区内有一条笔直的小路，小路的正中间有一路灯，晚上小红由A处径直走到B处，她在灯光照射下的影长l与行走的路程S之间的变化关系用图象刻画出来，大致图象是（）
A． B．
C．D．
18．汽车以60千米/时的速度在公路上匀速行驶，1小时后进入高速路，继续以100千米/时的速度匀速行驶，则汽车行驶的路程s（千米）与行驶的时间t（时）的函数关系的大致图象是
（）
A．B．
C．D．
19．小明从家出发，外出散步，到一个公共阅报栏前看了一会报后，继续散步了一段时间，然后回家，如图描述了小明在散步过程汇总离家的距离s（米）与散步所用时间t（分）之间的函数关系，根据图象，下列信息错误的是（）
A．小明看报用时8分钟
B．公共阅报栏距小明家200米
C．小明离家最远的距离为400米
D．小明从出发到回家共用时16分钟
20．园林队在某公园进行绿化，中间休息了一段时间．已知绿化面积S（单位：平方米）与工作时间t（单位：小时）的函数关系的图象如图，则休息后园林队每小时绿化面积为（）
A．40平方米B．50平方米C．80平方米D．100平方米
21．图象中所反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后，又去早餐店吃早餐，然后散步走回家．其中x表示时间，y表示张强离家的距离．根据图象提供的信息，以下四个说法错误的是（）
A．体育场离张强家2.5千米
B．张强在体育场锻炼了15分钟
C．体育场离早餐店4千米
D．张强从早餐店回家的平均速度是3千米/小时
22．“黄金1号”玉米种子的价格为5元/千克，如果一次购买2千克以上的种子，超过2千克部分的种子价格打6折，设购买种子数量为x千克，付款金额为y元，则y与x的函数关系的图象大致是（）
A．B．
C．D．
23．若函数，则当函数值y=8时，自变量x的值是（）A．±B．4 C．±或4 D．4或﹣
24．已知函数y=，当x=2时，函数值y为（）
A．5 B．6 C．7 D．8
25．一家电信公司提供两种手机的月通话收费方式供用户选择，其中一种有月租费，另一种无月租费．这两种收费方式的通话费用y（元）与通话时间x（分钟）之间的函数关系如图所示．小红根据图象得出下列结论：
①l1描述的是无月租费的收费方式；
②l2描述的是有月租费的收费方式；
③当每月的通话时间为500分钟时，选择有月租费的收费方式省钱．
其中，正确结论的个数是（）
A．0 B．1 C．2 D．3
26．如图，是一台自动测温记录仪的图象，它反映了我市冬季某天气温T随时间t变化而变化的关系，观察图象得到下列信息，其中错误的是（）
A．凌晨4时气温最低为﹣3℃
B．14时气温最高为8℃
C．从0时至14时，气温随时间增长而上升
D．从14时至24时，气温随时间增长而下降
二、填空题（共4小题）
27．同一温度的华氏度数y（℉）与摄氏度数x（℃）之间的函数关系是y=x+32，如果某一温度的摄氏度数是25℃，那么它的华氏度数是℉．
28．放学后，小明骑车回家，他经过的路程s（千米）与所用时间t（分钟）的函数关系如图所示，则小明的骑车速度是千米/分钟．
29．已知函数，那么= ．
30．如图，根据所示程序计算，若输入x=，则输出结果为．
第4章一次函数
参考答案与试题解析
一、选择题（共26小题）
1．2017年5月10日上午，小华同学接到通知，她的作文通过了《我的中国梦》征文选拔，需尽快上交该作文的电子文稿．接到通知后，小华立即在电脑上打字录入这篇文稿，录入一段时间后因事暂停，过了一小会，小华继续录入并加快了录入速度，直至录入完成．设从录入文稿开始所经过的时间为x，录入字数为y，下面能反映y与x的函数关系的大致图象是（）
A．B．
C．D．
【考点】函数的图象．
【专题】动点型．
【分析】根据在电脑上打字录入这篇文稿，录入字数增加，因事暂停，字数不变，继续录入并加快了录入速度，字数增加，变化快，可得答案．
【解答】解：A．暂停后继续录入并加快了录入速度，字数增加，故A不符合题意；
B．字数先增加再不变最后增加，故B不符合题意错误；
C．开始字数增加的慢，暂停后再录入字数增加的快，故C符合题意；
D．中间应有一段字数不变，不符合题意，故D错误；
故选：C．
【点评】本题考查了函数图象，字数先增加再不变最后增加的快是解题关键．
2．小刚以400米/分的速度匀速骑车5分，在原地休息了6分，然后以500米/分的速度骑回出发地．下列函数图象能表达这一过程的是（）
A．
B．
C．
D．
【考点】函数的图象．
【分析】根据匀速行驶，可得路程随时间匀速增加，根据原地休息，路程不变，根据加速返回，可得路程随时间逐渐减少，可得答案．
【解答】解：由题意，得
以400米/分的速度匀速骑车5分，路程随时间匀速增加；在原地休息了6分，路程不变；以500米/分的速度骑回出发地，路程逐渐减少，
故选：C．
【点评】本意考查了函数图象，根据题意判断路程与时间的关系是解题关键，注意休息时路程不变．
3．小明骑自行车上学，开始以正常速度匀速行驶，但行至中途自行车出了故障，只好停下来修车，车修好后，因怕耽误上课，加快了骑车速度，下面是小明离家后他到学校剩下的路程s关于时间t的函数图象，那么符合小明行驶情况的图象大致是（）
A．B．C．
D．
【考点】函数的图象．
【分析】由于开始以正常速度匀速行驶，接着停下修车，后来加快速度匀驶，所以开始行驶路S是均匀减小的，接着不变，后来速度加快，所以S变化也加快变小，由此即可作出选择．
【解答】解：因为开始以正常速度匀速行驶﹣﹣﹣停下修车﹣﹣﹣加快速度匀驶，可得S先缓慢减小，再不变，在加速减小．
故选：D．
【点评】此题主要考查了学生从图象中读取信息的能力．解决此类识图题，同学们要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势．
4．均匀地向如图的容器中注满水，能反映在注水过程中水面高度h随时间t变化的函数图象是（）
A．B．
C．D．
【考点】函数的图象．
【分析】由于三个容器的高度相同，粗细不同，那么水面高度h随时间t变化而分三个阶段．【解答】解：最下面的容器较粗，第二个容器最粗，那么第二个阶段的函数图象水面高度h随时间t的增大而增长缓慢，用时较长，最上面容器最小，那么用时最短．
故选A．
【点评】此题主要考查了函数图象，解决本题的关键是根据容器的高度相同，每部分的粗细不同得到用时的不同．
5．如图，某个函数的图象由线段AB和BC组成，其中点A（0，），B（1，），C（2，），则此函数的最小值是（）
A．0 B．C．1 D．
【考点】函数的图象．
【分析】根据函数图象的纵坐标，可得答案．
【解答】解：由函数图象的纵坐标，得
＞＞，
故选：B．
【点评】本题考查了函数图象，利用了有理数大大小比较．
6．某星期天下午，小强和同学小明相约在某公共汽车站一起乘车回学校，小强从家出发先步行到车站，等小明到了后两人一起乘公共汽车回到学校．图中折线表示小强离开家的路程y（公里）和所用的时间x（分）之间的函数关系．下列说法错误的是（）
A．小强从家到公共汽车站步行了2公里
B．小强在公共汽车站等小明用了10分钟
C．公共汽车的平均速度是30公里/小时
D．小强乘公共汽车用了20分钟
【考点】函数的图象．
【分析】根据图象可以确定小强离公共汽车站2公里，步行用了多长时间，等公交车时间是多少，两人乘公交车运行的时间和对应的路程，然后确定各自的速度．
【解答】解：A、依题意得小强从家到公共汽车步行了2公里，故选项正确；
B、依题意得小强在公共汽车站等小明用了10分钟，故选项正确；
C、公交车的速度为15÷=30公里/小时，故选项正确．
D、小强和小明一起乘公共汽车，时间为30分钟，故选项错误；
故选D．
【点评】本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．需注意计算单位的统一．
7．货车和小汽车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，小汽车到达乙地后，立即以相同的速度沿原路返回甲地，已知甲、乙两地相距180千米，货车的速度为60千米/小时，小汽车的速度为90千米/小时，则下图中能分别反映出货车、小汽车离乙地的距离y（千米）与各自行驶时间t（小时）之间的函数图象是（）
A．
B．
C．
D．
【考点】函数的图象．
【专题】压轴题．
【分析】根据出发前都距离乙地180千米，出发两小时小汽车到达乙地距离变为零，再经过两小时小汽车又返回甲地距离又为180千米；经过三小时，货车到达乙地距离变为零，故而得出答案．【解答】解：由题意得出发前都距离乙地180千米，出发两小时小汽车到达乙地距离变为零，再经过两小时小汽车又返回甲地距离又为180千米，经过三小时，货车到达乙地距离变为零，故C符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查了函数图象，理解题意并正确判断辆车与乙地的距离是解题关键．
8．如图，在矩形中截取两个相同的正方形作为立方体的上下底面，剩余的矩形作为立方体的侧面，刚好能组成立方体．设矩形的长和宽分别为y和x，则y与x的函数图象大致是（）
A．B．
C．D．
【考点】函数的图象．
【专题】压轴题．
【分析】立方体的上下底面为正方形，立方体的高为x，则得出y﹣x=2x，再得出图象即可．【解答】解：正方形的边长为x，y﹣x=2x，
∴y与x的函数关系式为y=x，
故选：B．
课题：1.1 等腰三角形（3）课型：新授课年级：八年级 教学目标： 1. 证明等腰三角形的判定定理，进一步熟悉证明的基本步骤和书写格式，体会证明的必要性；会运用“等角对等边”解决实际应用问题及相关证明. 2. 初步了解反证法的含义，并能利用反证法证明简单的命题. 3. 体验数学活动中的探索与创造，感受数学的严谨性． 教学重点与难点： 重点：等腰三角形的判定定理的证明，结合实例体会反证法的含义. 难点：运用“等角对等边”解决实际应用问题及相关证明. 教法与学法指导： 教法：引导发现，组织交流，探索归纳，当堂训练． 学法：发挥学生的自主学习意识，引导学生积极探索，利用小组合作学习，鼓励同学间互相交流、互相补充．经历“探索—发现—猜想—证明”的过程，让学生在应用中体会所得知识,学会应用所学知识解决实际问题的方法． 课前准备：多媒体课件． 教学过程: 一、复习提问，导入新课 活动内容：回答下列问题. 问题1：等腰三角形有哪些性质？ 问题2：你能画出图形，用数学式子表示出 等腰三角形的性质吗？ 问题3：如图，位于海上A、B两处的两艘 救生船接到O处遇险船只的报警，当时测得∠A= ∠B．如果这两艘救生以同样的速度同时出发，能不能大约同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？ 处理方式：先让学生回顾交流，再让学生口答，如问题 1：等腰三角形的两个底角相等.简称：等边对等角；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合，简称三线合一. 问题2：让学生画出图形，渗透数形结合的思想，用数学式子表示出等腰三角形的性质.问题3：引导学生解答.由问题3提出：在一般的三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？今天我们就来探索这个问题，从而引入出新课．
第一章三角形的证明 1.1等腰三角形（一） 一、问题引入：列举我们已知道的公理：. （1）公理：同位角，两直线平行. （2）公理：两直线，同位角. （3）公理：的两个三角形全等. （4）公理：的两个三角形全等. （5）公理：的两个三角形全等. （6）公理：全等三角形的对应边，对应角. 注：等式的有关性质和不等式的有关性质都可以看作公理. 二、基础训练： 1. 利用已有的公理和定理证明： “两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.” 2. 议一议：（1）还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗？ （2)等边对等角三线合一 三、例题展示： 在△ABC中，AD是角平分线,DE⊥AB, DF⊥AC， 试猜想EF与AD之间有什么关系?并证明你的猜想. 四、课堂检测： 1. 如图，已知：AB∥CD，AB=CD， 若要使△ABE≌△CDF,仍需添加一个 条件，下列条件中，哪一个不能使 △ABE≌△CDF的是（） A.∠A=∠B ; B . BF=CE; C. AE∥DF; D. AE=DF. 2. 如果等腰三角形的一个内角等于500则其余两角的度数为.
3.（1）如果等腰三角形的一条边长为3，另一边长为5，则它的周长为. （2）等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的腰长为. 4. △ABC中，AB=AC, 且BD=BC=AD，求∠A的度数. 5. 如图，已知D.E在△ABC的边BC上,AB=AC,AD=AE,求证:BD=CE 中考真题：已知：如图，△ABC中，AD是高，CE是中线，DC=BE, DG⊥CE,G 是垂足，求证： （1）G是CE中点. （2）∠B=2∠BCE. 1.1 等腰三角形（二） 一、问题引入： 1. 在等腰三角形中作出一些相等的线段（角平分线.中线.高），你能发现其中一 些相等的线段吗？你能证明你的结论吗？
小学数学 复习题 练习 本节课选自北师版八年级下册第一章《三角形的证明》第一节第一小节第三课时：等腰三角形的判定。它是在上一节掌握了等腰三角形的性质的基础后进行的。它既是上节知识的深化和应用，又是下节学习等边三角形和线段的垂直平分线的定理的预备知识。从知识结构看，它是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据,为以后的几何学习提供了重要的证明和计算依据 . 许多中考题中常常用等腰三角形结合四边形、相似形、圆、函数等相关知识点出一些综合性题目和压轴题目，所以要求学生能掌握并灵活应用。 2. 学情分析 初二的学生在这个阶段,通过前面全等三角形的学习,其逻辑思维从经 验型逐步向理论型发展,观察和想象力也迅速发展,他们也有了很强的求知 欲，探索欲,学完性质,他们可能就会猜想到判定.目前学生们已初步形成合 作交流、勇于探索、敢于置疑的学风. 教学目标 根据新课程标准的基本理念，结合八年级数学教材结构和学生的认知结构心 理特征,我制定了这节课的三维目标. 知识目标：掌握等腰三角形的判定定理；会用等腰三角形的判定进行简单的 推理 判断及应用。 能力训练要求：培养学生对命题抽象概括能力，加强发散思维训练。培养大 胆分析，敢于求异，勇于探索的精神和能力，形成良好的思维品 质。 情感与价值观要求： 通过对等腰三角形的判定定理的探索，让学生体会探索 学习的乐趣，并通过等腰三角形的判定定理的简单应用，加深对定 理的理解．从而培养学生利用已有知识解决实际问题的能力。 教学重点、难点 教学重点：等腰三角形的判定方法及应用。 教学难点：1、性质与判定的综合应用。2、文字叙述题的证明也是本节的难 点之一。3、将实际问题抽象成数学问题，并用数学知识解决 。 说明：本定理是证明两条线段相等的重要定理，它是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，此定理为证明线段相等提供了又一种方法，这是本节的重点。
课时课题：第一章第一节等腰三角形第3课时 教学目标： 1.能够用综合法证明等腰三角形的判定定理，进一步熟悉证明的基本步骤和书写格式，体会证明的必要性. 2.初步了解反证法的含义，并能利用反证法证明简单的命题. 3.体验数学活动中的探索与创造，感受数学的严谨性． 教学重点与难点： 重点：等腰三角形的判定定理的证明. 难点：反证法的含义，利用反证法证明简单的命题. 教法与学法指导： 本节应用“启迪诱导—自主探究”教学模式.教师在教学过程中起到引导释疑的作用:引导学生观察、思考、分析、讨论、形成结论，并让学生在应用中体会所得知识,学会应用所学知识解决问题的方法.本节课关注了问题的变式与拓广，引领学生经历了提出问题、解决问题的过程，因而较好地提高了学生的研究能力、自主学习能力. 课前准备：多媒体课件 教学过程： 第一环节回顾旧知复习导入 师：请同学们回顾一下，前面我们学习了等腰三角形的哪些性质。 生1：等腰三角形两底角相等，就是“等边对等角”。 生2：“三线合一”。 生3：等腰三角形两腰上的高相等，两腰上的中线相等，两底角的平分线相等。
师：非常好！同学们概括的很全面。那么对于等腰三角形的性质定理：等腰三角形两底角相等，这个命题的题设和结论是什么？ 生：题设：等腰三角形。结论：两底角相等。 师：我们把性质定理的条件和结论反过来还成立么？如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等？ 生：完全成立，可以证明出来。 设计意图：设计成问题串是为引出等腰三角形的判定定理埋下伏笔。学生独立思考是对上节课内容有效地检测手段。 第二环节 合作探究 展示交流 师：以前我们通过改变问题条件，得出了很多类似的结论，这是研究问题的一种常用方法，除此之外，我们还可以“反过来”思考问题，这也是获得数学结论的一条途径．比如“等边对等角”，反过来成立吗?也就是：有两个角相等的三角形是等腰三角形吗?下面我们来一起证明一下这个结论。请同学们画出图形，写出已知、求证。 学生活动：在练习本上画图，写出已知、求证，完成证明命题的前两步。找一个同学黑板板书。 生：已知：如图，在△ABC 中，∠B=∠C ， 求证：AB=AC ， 师：同学们完成的很好，下面怎样来完成证明过程哪？（停顿一下，给学生思考时间。）同学们回想一下，我们是怎样证明“等边对等角的”? 生1：作辅助线构造两个全等的三角形，使AB 与AC 成为对应边就可以了。 生2：由前面定理的证明的方法，通过作BC 的中线，或作∠A 的平分线，或作BC 上的高，都可以把△ABC 分成两个全等的三角形。 C B A
第3课时等腰三角形的判定 1．探索等腰三角形的判定定理． 2．理解等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明． 3．了解反证法的基本证明思路，并能简单应用． 4．培养学生的逆向思维能力． 重点 掌握等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明． 难点 理解和掌握反证法的证明方法． 一、复习导入 问题1：等腰三角形性质定理的内容是什么？这个命题的题设和结论分别是什么？ 问题2：我们是如何证明上述定理的？ 问题3：我们把性质定理的条件和结论反过来还成立吗？如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等吗？ 二、探究新知 1．等腰三角形的判定定理 师：你能证明“有两个角相等的三角形是等腰三角形”吗？并与同伴交流． 处理方式：学生在练习本上画图，写出已知、求证；小组之间探究讨论多种证明方法． 已知：如图，在△ABC中，∠B＝∠C. 求证：AB＝AC. 证法一：过点A作BC的垂线，垂足为D. ∵AD⊥BC ， ∴∠BDA＝∠CDA＝ 90°. 在△ABD和△ACD中， ∵∠B＝∠C, ∠BDA＝∠CDA, AD＝AD ， ∴△ABD≌△ACD (AAS)． ∴ AB＝AC (全等三角形的对应边相等)． 证法二：作∠BAC的角平分线，交BC于点D. ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD. 在△ABD和△ACD中， ∵∠B＝∠C, ∠BAD＝∠CAD, AD＝AD, ∴△ABD≌△ACD (AAS) . ∴AB＝AC(全等三角形的对应边相等)． (教师引导学生类比“等边对等角”的证明方法正确地添加辅助线，规范地写出推理过程，鼓励学生一题多解．)
师指出：作△ABC的边BC的中线，虽然把△ABC分成了两个三角形，这两个三角形对应两边及其一边的对角分别相等，这是“SSA”，是不能证明两个三角形全等的．因此，这种添加辅助线的方法是不可行的． 引导学生归纳等腰三角形的判定定理： 定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形． 简述为：等角对等边． 2．反证法 课件出示： 在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等．你认为这个结论成立吗？如果成立，你能证明它吗？ 处理方法：学生积极动脑思考，小组交流讨论． 师引导：用综合法证明本结论是行不通的，因此，我们要探究一种新方法来完成它的证明，下面来看小明同学的想法：(课件出示) 如图，在△ABC中，已知∠B≠∠C，此时AB与AC要么相等，要么不相等． 假设AB＝AC，那么根据“等边对等角”定理可得∠C＝∠B，但已知条件是∠B≠∠C.这与已知条件∠B≠∠C相矛盾，因此AB≠AC. 师：你能理解他的推理过程吗？ 师出示“反证法”的定义： 先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立．这种证明方法称为反证法． 三、举例分析 例1 已知：如图，AB＝DC，BD＝CA，BD与CA相交于点E. 求证：△AED是等腰三角形． 证明：∵AB＝DC，BD＝CA，AD＝DA ， ∴△ABD≌△DCA. ∴∠ADB＝∠DAC(全等三角形的对应角相等)． ∴AE＝DE(等角对等边)． ∴△AED是等腰三角形． 例2 (课件出示教材第9页例3) 处理方法：学生独立完成，教师点评． 四、练习巩固 1．如果三角形的一个外角是130°，且它恰好等于一个不相邻的内角的2倍，那么这个三角形是( ) A．钝角三角形B．直角三角形 C．等腰三角形D．等边三角形 2．如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝40°，D，E是BC上两点，且∠ADE＝∠AED＝80°，则图中共有等腰三角形( ) A．6个B．5个C．4个D．3个 ,第2题图) ,第3题图)
第一章三角形的证明 1等腰三角形 第1课时等腰三角形和等腰三角形的性质 1．若等腰三角形的顶角为70°，则它的底角度数为() A．45°B．55°C．65°D．70° 2．如图1－1－5，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D.若AB＝6，CD＝4，则△ABC 的周长是________． 3．已知：如图1－1－6，在△ABC中，AB＝AC，D为AC上一点，∠DBC＝1,2∠BAC.求证：AC⊥BD.请你将下面的证明过程补充完整，并在相应的括号内注明理由．证明：如图1－1－6，过点A作AE⊥BC于点E，交BD于点F. ∵AB＝AC，AE⊥BC， ∴∠CAE＝1,2∠________()． ∵∠DBC＝1,2∠BAC， ∴∠CAE＝∠DBC()． 又∵∠1＝∠2，∠ADF＝180°－∠2－________，∠BEF＝180°－∠1－________，∴∠ADF＝∠BEF＝90°， ∴AC⊥BD()． 4．如图1－1－7，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，AC 的垂直平分线分别交AC，AD，AB于点E，O，F，则图中全等三角形 的对数是() A．1 B．2 C．3 D．4 5．如图1－1－8，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD为∠BAC 的平分线，AD＝3，BD＝4，则图中阴影部分的面积是() A．3 B．6 C．9 D．12 6.如图1－1－9，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，CE⊥AB， AE＝CE. 求证：(1)△AEF≌△CEB； (2)AF＝2CD.
1等腰三角形 第2课时等腰三角形的特殊性质和等边三角形 知识点?等腰三角形的相等线段 1．已知：如图1－1－12，在△ABC中，AB＝AC，BD，CE分别是∠ABC和∠ACB 的平分线，则下列结论不一定正确的是() 图1－1－12 A．BD＝CE B．OB＝OC C．OC＝DC D．∠ABD＝∠ACE 2．已知：如图1－1－13，在△ABC中，AB＝AC，给出的下列条件中，不能使BD＝CE的是() 图1－1－13 A．BD和CE分别为AC和AB边上的高 B．BD和CE分别为AC和AB边上的中线 C．∠ABD＝1,3∠ABC，∠ACE＝1,3∠ACB D．∠ABD＝∠BCE 3.已知：如图1－1－14，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，点M，N分别在AB，AC边上，AM＝2MB，AN＝2NC.求证：DM＝DN. 图1－1－14 知识点?等边三角形的性质 4．已知AD是等边三角形ABC的高，且BD＝1 cm，那么BC的长是() A．1 cm B．2 cm C．3 cm D．4 cm 5．如图1－1－15，在等边三角形ABC中，BD，CE是两条中线，则∠1的度数为() 1－1－15 A．30°B．90°C．120°D．150°
知识点一全等三角形的性质及判定 1、全等三角形的对应边相等、对应角相等。 2、判定两三角形全等的方法有：SSS、SAS、AAS、ASA、HL。 例：如图，已知△ABC中，AB=AC=10厘米，BC=8厘米，点D为AB的中点． （1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动． ①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由； ②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP 全等？ （2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC 三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？ 知识点二等腰三角形的性质和判定 1、等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”） 2、等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，简称“三线合一”。 3、等腰三角形两腰上的中线、两腰上的高、两底角的平分线长度均相等。 4、有两个角相等或两条边相等的三角形是等腰三角形。 例：已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是50o，则这个等腰三角形的底角是。 例:在等腰三角形 ABC中,AB=AC，一腰上的中线BD将这个三角形周长分为15和12两部分，则这个等腰三角形的底边长。 例:如图，在 ABA1中，∠B=20o，AB=A1B，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得A1A2=A1C；在A2C 上取一点D，延长A1A2到A3，使得A2A3=A2D；…，按此做法进行下去，∠A n的度数为。 知识点三等边三角形的性质和判定 1、三条边都相等的三角形是等边三角形。 2、三个角都相等，且都等于60o. 3、有一个角等于60o的等腰三角形是等边三角形；三个角或三条边都相等的三角形是等边三角形。例：如右图，已知△ABC和△BDE都是等边三角形，求证：AE=CD.
第一章三角形的证明 1、等腰三角形的性质定理： ①等腰三角形，两底角相等（等边对等角）。 ②等腰三角形，底边的高，顶角的角平分线，底边的中线重合。( “三线合一”) ③等腰三角形两底角的角平分线相等，两腰的中线相等，两腰的高相等。 2、等腰三角形的判定定理：有两角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）。 1、等边三角形的性质定理：等边三角形，三条边相等，三个内角都相等，且都等于60°。 2、等边三角形的判定定理：①三个角都相等的三角形是等边三角形。 ②有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 步骤：①假设：假设结论不成立； ②推论：将假设当条件继续推论，得出与已知条件、公理、定义、定理相矛盾的结论； ③假设不成立； ④原命题成立。 1、直角三角形性质定理： ①角：直角三角形，两锐角互余。 ②边：勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。 2、直角三角形的判定定理： ①角：两锐角互余的三角形是直角三角形。 ②边：勾股定理的逆定理（在三角形中，若其中两边的平方等于第三边的平方，则此三 角形是直角三角形。） 3、特殊的直角三角形： 在直角三角形中，有一个角是30°，则它所对的直角边是斜边的一半。 4、“HL”定理：斜边和一条直角边分别相等的两个三角形全等。 （注意：此定理只是用于直角三角形中，用之前要强调两个三角形是直角三角。） 1、性质定理：垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 2、判定定理：到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 3、三角形三边的垂直平分线：三角形的三条边的垂直平分线交于一点，并且这一点到三角形三个顶点的距离相等。 1、角平分线性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。 2、角平分线判定定理：在一个角的内部，到角两边的距离相等的点在这个角的角平分线上。 3、三角形三内角的角平分线：三角形的三个内角的角平分线交于一点，并且这一点到三角
第一章三角形的证明 第1节等腰三角形 一、教学目标： 1、经历“探索－发现－猜想－证明”的过程。逐步掌握综合法证明的方法，发展推理能力。 2、进一步了解作为证明基础的几条基本事实的内容。 3、能证明等腰三角形的性质。 4、经历探索等腰三角形判定定理的过程，证明并掌握等腰三角形的判定定理。 5、探索并证明等边三角形的性质定理及判定定理。 6、探索并证明定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 7、通过实例体会反证法的含义。 教学重点： 正确叙述结论及正确写出证明过程。熟悉作为证明基础的几条公理的内容，通过学习，掌握证明的基本步骤和书写格式。 教学难点： 能够用综合法证明等腰三角形的关性质定理和判定定理（特别是证明等腰三 角形性质时辅助线做法）。等腰三角形的定理应用及由特殊结论归纳出一般结论。 四、教学过程：4个课时 第一课时三角形全等、等腰三角形的性质 一、导入新课 1、回顾命题相关知识：题设（条件）、结论；真命题、假命题； 2、命题、公理、定理、推论、定义、性质、等量代换 二、想一想：P2， 1、三角形全等的公理：SSS、SAS、ASA 2、求证：AAS（画出图形，写出已知、求证、证明） 3、定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。（AAS） 4、“两角分别相等且其中一角的对边相等的两个三角形全等。”这句话对吗？ 5、全等三角形判定添加条件题。 三、全等三角形的性质： 定理：全等三角形的对应边相等、对应角相等。 四、议一议：P2，等腰三角形的性质 1、定理：等腰三角形的两底角相等。（等边对等角） 2、如何证明？（多种方法：作底边上的高、中线、顶角平分线） 3、推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合。 （三线合一） 五、例：讲解开学第一课的作业。 六、练习：P3，1、2，P4，1、2、3、5 1
第一章三角形的证明 【教学内容】等腰三角形的两腰相等，两底角相等，三线合一。 【教学目标】 知识与技能 让学生在轴对称的基础上，认识等腰三角形；掌握运用等腰三角形的重要特征——两腰相等，两底角相等，三线合一，并能学以致用。 过程与方法 让学生通过亲自动手操作，利用轴对称的变换，得出等腰三角形区别于一般三角形的重要特征。 情感、态度与价值观 通过折叠观察归纳等方法，探索和发现等腰三角形的特征，并用适当的方式进行说理，让学生体现数学说理的必要性和应用性。 【教学重难点】 重点：掌握等腰三角形三线合一的特征。 难点：运用等腰三角形的有关知识解决实际问题。 【导学过程】 【知识回顾】 三角形全等判定公理： 三角形全等 （ＳＳＳ）。 角形 全等(SAS)。 全等(ASA)。 性质公理：
全等三角形的对应边、对应角相等。 【情景导入】 多媒体展示生活中的等腰三角形，继而复习等腰三角形的定义及引出各部分的名称。即：两条边相等的三角形叫做等腰三角形。 等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。 【新知探究】 探究一、（出示导纲，学生自学） 学生自学教材后完成填空： 在△ABC中，AB、AC叫做这个三角形的（），BC叫做这个三角形的（），∠A是这个三角形的（），∠B、∠C是这个三角形的（）。 探究二、 做一X等腰三角形的纸片，每个人的等腰三角形的大小和形状可以不一样，把纸片对折，让两腰AB、AC重叠在一起，折痕为AD. 通过动手操作，你能发现什么现象吗？ （利用动画片演示对折前后的变化） 折叠的两个部分是互相重合的，所以等腰三角形是一个轴对称图形，折痕所在的直线就是它的对称轴．由于AB与AC重合，因此点B与点C重合，这样线段BD与CD也重合，所以∠B ＝∠C． 结论：等腰三角形的两个底角相等．（简写成“等边对等角”） （多媒体展示）用数学语言表示： ∵AB=AC ∴∠B=∠C（等边对等角） 探究三、 例1：已知：在△ABC中，AB＝AC，∠B＝80°．求∠C和∠A的度数． （学生合作交流后，教师在板书解题过程）
第一章三角形的证明 1 等腰三角形 第3课时 【教学目标】 知识技能目标 1.探索等腰三角形的判定定理. 2.理解等腰三角形的判定定理,并会运用其进行简单的证明. 3.了解反证法的基本证明思路,并能简单应用. 过程性目标 在命题的变式中,发展学生提出问题的能力,拓展命题的能力,从而提高学生的学习能力和思维能力,提高学生学习的主体性. 情感态度目标 鼓励学生积极参与数学活动,激发学生的好奇心和求知欲. 【重点难点】 重点:理解等腰三角形的判定定理,并会运用其进行简单的证明. 难点:灵活应用等腰三角形的性质和判定定理. 【教学过程】 一、创设情境 活动过程:通过问题串回顾等腰三角形的性质定理以及证明的思路,要求学生独立思考后再进行交流. 问题1.等腰三角形性质定理的内容是什么?这个命题的题设和结论分别是什么? 问题2.我们把性质定理的条件和结论反过来还成立吗?如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等吗? 二、探究归纳 探究一:教师: “等边对等角”,反过来成立吗?也就是:有两个角相等的三角形是等腰 三角形吗? [学生]如图,在△ABC中,∠B=∠C,要想证明AB=AC,只要构造两个全等的三角形,使 AB与AC成为对应边就可以了. 探究二:导出反证法: 小明说:在一个三角形中,如果两个角不相等,那么这两个角所对的边也不相等.你认为这个结论成立吗?如果成立,你能证明它吗?
我们来看一位同学的想法: 如图,在△ABC中,已知∠B≠∠C,此时AB与AC要么相等,要么不相等. 假设AB=AC,那么根据“等边对等角”定理可得∠C=∠B,但已知条件是∠B≠∠C.“∠ C=∠B”与已知条件“∠B≠∠C”相矛盾,因此AB≠AC. 你能理解他的推理过程吗? 反证法的定义是先假设命题的结论不成立,然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果,从而证明命题的结论一定成立.这也是证明命题的一种方法,我们把它叫做反证法. 三、交流反思 (1)本节课学习了哪些内容? (2)等腰三角形的判定方法有哪几种? (3)结合本节课的学习,谈谈等腰三角形性质和判定的区别与联系. (4)举例谈谈用反证法证明的基本思路. 四、检测反馈 1.如图,BD平分∠CBA,CD平分∠ACB,且MN∥BC,设AB=12,AC=18,求△AMN的周长. 2.现有等腰三角形纸片,如果能从一个角的顶点出发,将原纸片一次剪开成两块等腰三角形纸片,问此时的等腰三角形的顶角的度数? 五、布置作业 已知:如图,∠CAE是△ABC的外角,AD∥BC且∠1=∠2. 求证:AB=AC. 六、板书设计
第一章三角形的证明 1. 等腰三角形（二） 一、学生知识状况分析 在八年级上册第七章《平行线的证明》，学生已经感受了证明的必要性，并通过平行线有关命题的证明过程，习得了一些基本的证明方法和基本规范，积累了一定的证明经验；在七年级下，学生也已经探索得到了有关三角形全等和等腰三角形的有关命题；而前一课时，学生刚刚证明了等腰三角形的性质，这为本课时拓展等腰三角形的性质、研究等要三角形的判定定理都做了很好的铺垫。 二、教学任务分析 本节将利用前一课时所证明的等腰三角形的性质定理，进一步研究等腰三角形的一些特殊性质，探索等边三角形的性质。为此，确定本节课的教学目标如下：1．知识目标： ①探索——发现——猜想——证明等腰三角形中相等的线段，进一步熟悉证明的基本步骤和书写格式，体会证明的必要性； 2．能力目标： ①经历“探索－发现－猜想－证明”的过程，让学生进一步体会证明是探索活动的自然延续和必要发展，发展学生的初步的演绎逻辑推理的能力； ②在命题的变式中，发展学生提出问题的能力，拓展命题的能力，从而提高学生的学习能力和思维能力，提高学生学习的主体性； ③在图形的观察中，揭示等腰三角形的本质：对称性，发展学生的几何直觉； 3．情感与价值观要求 ①鼓励学生积极参与数学活动，激发学生的好奇心和求知欲． ②体验数学活动中的探索与创造，感受数学的严谨性． 4．教学重、难点 重点：经历“探索——发现一一猜想——证明”的过程，能够证明等腰三角形中的一些相等的线段．
难点：通过研究特殊性质得到一般结论，揭示等腰三角形的本质：对称性，三、教学过程分析 第一环节：提出问题，引入新课 活动内容：本环节我选学生代表作小主播配乐上课带领大家回顾上节课的知识，（1）每日一练的形式让学生融入课堂，（2）回顾上节课等腰三角形性质。（3）提出问题： 1.等腰三角形的一个角为40°，则另两个角为。（等边对等角} 2.等腰的腰长和底边长分别是5，6，则底边上的中线长为.（三线合一） 3.复习等腰三角形的轴对称性，对称轴是顶角的平分线（底边上的中线，底边上的高）所在的直线，那么等腰三角形到底有几条对称轴？ 活动目的：变换复习形式，让学生有新鲜感，以习题形式让学生 通过积极思考融入课堂，复习性质，提出问题。激发学生探究欲。回顾性质，既为后续研究判定提供了基础；同时，直接提出新的问题，过渡自然，引入本课研究内容，而新的问题是原有性质的一个自然拓广，有助于提高学生提出问题的能力。 第二环节：自主探究验证结论 活动内容：在等腰三角形中自主作出一些线段(如角平分线、中线、高等)，观察其中有哪些相等的线段，并尝试给出证明。 探究（一）. 证一证 证明：等腰三角形两底角的平分线,两腰的中线, 两腰的高线相等 活动目的：让学生再次经历“探索——发现——猜想——证明”的过程，进一步体会证明的必要性，并进行证明，从中进一步体会全等在证明过程中的应用，感受证明线段相等只需证明线段所在三角形全等。 活动效果与注意事项：活动中，教师应注意给予适度的引导，如可以渐次提出问题： 你可能得到哪些相等的线段？ 你如何验证你的猜测？ 你能证明你的猜测吗？根据作图，写出已知、求证和证明过程；
第3课时 等腰三角形的判定与反证法 1．掌握等腰三角形的判定定理并学会运用；(重点) 2．理解并掌握反证法的思想，能够运用反证法进行证明． 一、情境导入 某地质专家为估测一条东西流向河流的宽度，选择河流北岸上一棵树(A 点)为目标，然后在这棵树的正南方南岸B 点插一小旗作标志，沿南偏东60度方向走一段距离到C 处时，测得∠ACB 为30度，这时，地质专家测得BC 的长度是50米，就可知河流宽度是50米． 同学们，你们想知道这样估测河流宽度的根据是什么吗？他是怎么知道BC 的长度是等于河流宽度的呢？今天我们就要学习等腰三角形的判定． 二、合作探究 探究点一：等腰三角形的判定(等角对等边) 【类型一】 确定等腰三角形的个数 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠ A ＝36°，BD 、CE 分别是∠ABC 、∠BCD 的角平分线，则图中的等腰三角形有( ) A ．5个 B ．4个 C ．3个 D ．2个 解析：共有5个．(1)∵AB ＝AC ，∴△ABC 是等腰三角形；(2)∵BD 、CE 分别是∠ABC 、∠BCD 的角平分线，∴∠EBC ＝1 2∠ABC ，∠ ECB ＝1 2∠BCD .∵△ABC 是等腰三角形，∴∠ EBC ＝∠ECB ，∴△BCE 是等腰三角形； (3)∵∠A ＝36°，AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ＝1 2(180°－36°)＝72°.又∵BD 是∠ABC 的角平分线，∴∠ABD ＝1 2∠ABC ＝36°＝∠A ，∴△ ABD 是等腰三角形；同理可证△CDE 和△BCD 也是等腰三角形．故选A. 方法总结：确定等腰三角形的个数要先找出相等的边和相等的角，然后确定等腰三角形，再按顺序不重不漏地数出等腰三角形的个数． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题 【类型二】 判定一个三角形是等腰三角形 如图，在△ABC 中，∠ACB ＝ 90°，CD 是AB 边上的高，AE 是∠BAC 的角平分线，AE 与CD 交于点F ，求证：△CEF 是等腰三角形．
第一章三角形的证明 1.3 等腰三角形的判定与反证法 1．如图所示，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD＝3 cm，则CD等于( ) A．3cm B．4cm C．1.5cm D．2cm 2．“a＜b”的反面应是( ) A．a＞b但a≠b B．a＞b C．a＝b D．a＝b或a＞b 3．如图，AC、BD相交于点O，∠A＝∠D，如果请你再补充一个条件，使得△BOC 是等腰三角形，那么你补充的条件不能是( ) A．OA＝OD B．AB＝CD C．∠ABO＝∠DCO D．∠ABC＝∠DCB 4. 下列能判定△ABC为等腰三角形的是( ) A．∠A＝30°，∠B＝60°B．∠A＝50°，∠B＝80°C．AB＝AC＝2，BC＝4 D．AB＝3，BC＝7，周长为10 5．如图，在一张长方形纸条上任意画一条截线AB，将纸条沿截线AB折叠，所得△ABC的形状一定是( ) A．等边三角形 B．等腰三角形 C．全等三角形 D．直角三角形 6．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，若添加下列条件中的一个：①BD＝CD；②AD平分∠BAC；③AD＝BD.其中能使△ABC成为等腰三角形的有( ) A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 7. 如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM＋CN＝9，则线段MN的长为( )
A．6 B．7 C．8 D．9 8. 如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处，则N 处与灯塔P的距离为( ) A．40海里 B．60海里 C．70海里 D．80海里 9．如图所示，点D是△ABC的边AC上一点(不含端点)，AD＝BD，则下列结论正确的是( ) A．AC＞BC B．AC＝BC C．∠A＞∠ABC D．∠A＝∠ABC 10．如图，BD是△ABC的角平分线，∠ABD＝36°，∠C＝72°，则图中的等腰三角形有( ) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 11．如图，在一张长方形纸条上任意画一条截线AB，将纸条沿截线AB折叠，所得△ABC的形状一定是．
1 等腰三角形 第1课时三角形的全等和等腰三角形的性质教学目标 一、基本目标 1．了解作为证明基础的8条公理的内容． 2．使学生经历“探索——发现——猜想——证明”的过程，学会用综合法证明等腰三角形的有关性质定理． 3．让学生学会分析几何证明题的思路，并掌握证明的基本步骤和书写格式． 4．经历作辅助线的证明过程，进一步发展学生的合情推理意识，培养主动探究的习惯，体会数学与现实生活的紧密联系． 二、重难点目标 【教学重点】 等腰三角形的性质及推论． 【教学难点】 运用等腰三角形的性质及推论解决相关问题及证明的书写格式． 教学过程 环节1自学提纲，生成问题 【5 min阅读】 阅读教材P2～P3的内容，完成下面练习． 【3 min反馈】 1．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等． 2．全等三角形的对应边相等、对应角相等． 3．等腰三角形的两底角相等，简述为：等边对等角． 4．等腰三角形“三线合一”：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合． 5．如图，已知∠1＝∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是(B) A．BD＝CD B．AB＝AC C．∠B＝∠C D．∠BAD＝∠CAD
6．如图，△ABC≌△CDA，那么下列结论错误的是(D) A．∠1＝∠2B．AC＝CA C．∠D＝∠B D．AC＝BC 环节2合作探究，解决问题 活动1小组讨论(师生互学) 【例1】如图，AB＝AC＝AD，若∠BAD＝80°，则∠BCD＝() A．80°B．100° C．140°D．160° 【互动探索】(引发学生思考)由边相等可以得到什么？这与∠BCD有什么关系？ 【分析】∵∠BAD＝80°，∴∠B＋∠BCD＋∠D＝360°－∠BAD＝280°.又∵AB＝AC＝AD，∴∠B＝∠ACB，∠ACD＝∠D，∴∠BCD＝∠ACB＋∠ACD＝280°÷2＝140°. 【答案】C 【互动总结】(学生总结，老师点评)求角的度数时，需根据实际情况分析：(1)在等腰三角形中，要考虑三角形内角和定理；(2)有平行线时，要考虑平行线的性质：两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补；(3)两条相交直线中，对顶角相等，互为邻补角的两角之和等于180°. 【例2】等腰三角形的一个角等于30°，求它其余两角的度数． 【互动探索】(引发学生思考)等腰三角形的角有什么特征？已知角是顶角还是底角？ 【解答】分情况讨论： 当底角为30°时，顶角度数为180°－2×30°＝120°； 当顶角为30°时，底角度数为(180°－30°)÷2＝75°. 综上，该等腰三角形其余两角的度数为30°，120°或75°，75°. 【互动总结】(学生总结，老师点评)已知的一个锐角可以是等腰三角形的顶角，也可以是底角；一个钝角只能是等腰三角形的顶角．分类讨论是正确解答本题的关键．活动2巩固练习(学生独学) 1．至少有两边相等的三角形是(B) A．等边三角形B．等腰三角形
【北师大版】八年级数学下册学案全集（全册共119页） 目录 第一章三角形的证明 1.1 等腰三角形 第1课时三角形的全等和等腰三角形的性质 第2课时等边三角形的性质 第3课时等腰三角形的判定与反证法 第4课时等边三角形的判定及含30° 角的直角三角形的性质 1.2 直角三角形 第1课时直角三角形的性质与判定 第2课时直角三角形全等的判定 1.3 线段的垂直平分线 第1课时线段的垂直平分线 第2课时三角形三边的垂直平分线及作图 1.4 角平分线 第1课时角平分线 第2课时三角形三条内角的平分线 第二章一元一次不等式与一元一次不等式组2.1 不等关系 2.2 不等式的基本性质 2.3 不等式的解集 2.4 一元一次不等式 第1课时一元一次不等式的解法 第2课时一元一次不等式的应用 2.5 一元一次不等式与一次函数 第1课时一元一次不等式与一次函数的关系 第2课时一元一次不等式与一次函数的综合应用2.6 一元一次不等式组 第1课时一元一次不等式组的解法 第2课时一元一次不等式组的解法及应用 第三章图形的平移与旋转 3.1 图形的平移 第1课时平移的认识 第2课时坐标系中的点沿x轴，y轴的平移 3.2 图形的旋转 第1课时旋转的定义和性质 第2课时旋转作图 3.3 中心对称 3.4 简单的图案设计第四章因式分解 4.1 因式分解 4.2 提公因式法 第1课时直接提公因式因式分解 第2课时变形后提公因式因式分解 4.3 公式法 第1课时平方差公式 第2课时完全平方公式 第五章分式与分式方程 5.1 认识分式 第1课时分式的有关概念 第2课时分式的基本性质 5.2 分式的乘除法 5.3 分式的加减法 第1课时同分母分式的加减 第2课时异分母分式的加减 5.4 分式方程 第1课时分式方程的概念及列分式方程第2课时分式方程的解法 第3课时分式方程的应用 第六章平行四边形 6.1 平行四边形的性质 第1课时平行四边形边和角的性质 第2课时平行四边形对角线的性质 6.2 平行四边形的判定 第1课时利用四边形边的关系判定平行四边形 第2课时利用四边形的对角线的性质判定平行四边形 6.3 三角形的中位线 6.4 多边形的内角和与外角和 各章复习 第一章三角形的证明 第二章一元一次不等式与一元一次不等式组 第三章图形的平移与旋转 第四章因式分解 第五章分式与分式方程 第六章平行四边形