2022届上海市黄浦区九年级数学一模Word版(附解析)

2022年上海市15区中考数学一模考点分类汇编专题07 阅读理解题型1.(2022崇明一模17) 定义：有一组对边相等而另一组对边不相等的凸四边形叫做“对等四边形”，如图，在Rt PBC △中，90PCB ∠=︒，点A 在边BP 上，点D 在边CP 上，如果11BC =，12tan 5PBC ∠=，13AB =，四边形ABCD 为“对等四边形”，那么CD 的长为_____________．2、（2022杨浦一模17）新定义：已知三条平行直线，相邻两条平行线间的距离相等，我们把三个顶点分别在这样的三条平行线上的三角形称为格线三角形．如图，已知等腰Rt △ABC 为“格线三角形”，且∠BAC ＝90°，那么直线BC 与直线c 的夹角α的余切值为 ．3.（2022长宁一模17）定义: 在 △ABC 中, 点 D 和点 E 分别在 AB 边、 AC 边上, 且DE //BC ，点 D 、点 E 之间距离与直线 DE 与直线 BC 间的距离之比称为 DE 关于 BC 的横纵比. 已知, 在 △ABC 中, 4,BC BC = 上的高长为 3,DE 关于 BC 的横纵比为 2:3, 则 DE =_______．4.（2022松江一模17）我们知道：四个角对应相等，四条边对应成比例的两个四边形是相似四边形．如图，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝1，BC ＝2，E 、F 分别是边AB 、CD 上的点，且EF ∥BC ，如果四边AEFD 与四边形EBCF 相似，那么AEEB的值是_____．5.（2022虹口一模17）在网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形称为“格点三角形”．如图，在4×4的网格中，△ABC 是一个格点三角形，如果△DEF 也是该网格中的一个格点三角形，它与△ABC 相似且面积最大，那么△DEF 与△ABC 相似比的值是 ．6.（2022青浦一模18）如图，一次函数y ＝ax +b （a ＜0，b ＞0）的图象与x 轴，y 轴分别相交于点A ，点B ，将它绕点O 逆时针旋转90°后，与x 轴相交于点C ，我们将图象过点A ，B ，C 的二次函数叫做与这个一次函数关联的二次函数．如果一次函数y ＝﹣kx +k （k ＞0）的关联二次函数是y ＝mx 2+2mx +c （m ≠0），那么这个一次函数的解析式为 ．7.（2022黄埔一模18）若抛物线2111y ax b x c =++的顶点为A ，抛物线2222y ax b x c =-++的顶点为B ，且满足顶点A 在抛物线2y 上，顶点B 在抛物线1y 上，则称抛物线1y 与抛物线2y 互为“关联抛物线”，已知顶点为M 的抛物线()223y x =-+与顶点为N 的抛物线互为“关联抛物线”，直线MN 与x 轴正半轴交于点D ，如果3tan 4MDO ∠=，那么顶点为N 的抛物线的表达式为_________8. 如果一条抛物线()20y ax bx c a =++≠与x 轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条拋物线的“特征三角形”．已知()2>0y x bx b =+的“特征三角形”是等腰直角三角形，那么b 的值为_________．9.（2022长宁一模15）我国古代数学著作 《九章算术》中记载：“今有邑方不知大小, 各中开门. 出北门三十步有木, 出 西门七百五十步有木. 问邑方几何? ”示意图如图, 正方形ABCD 中, F G 、 分别是 AD 和 AB 的 中点, 若,30,,750EF AD EF GH AB GH ⊥=⊥=, 且 EH 过点 A , 那么正方形 ABCD 的边长为______．10.（2022奉贤一模17）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有这样一个问题：“今有邑方不知大小，各中开门，出北门一百步立一表，出西门二百二十五步适可见之，问邑方几何？”它的意思是：如图，M 、N 分别是正方形ABCD 的边AD ，AB 的中点，ME ⊥AD ，NF ⊥AB ，EF 过点A ，且ME ＝100步，NF ＝225步，那么该正方形城邑边长AD 约为 步．11.（2022静安一模22）据说, 在距今2500 多年前, 古希腊数学家就已经较准确地测出了埃及金字塔的高度, 操作过程大致如下：如图所示，设AB是金字塔的高。

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题（每题4分，共48分）1． 如图，点E 、F 分别为正方形ABCD 的边BC 、CD 上一点，AC 、BD 交于点O ，且∠EAF ＝45°，AE ，AF 分别交对角线BD 于点M ，N ，则有以下结论：①△AOM ∽△ADF ；②EF ＝BE +DF ；③∠AEB ＝∠AEF ＝∠ANM ；④S △AEF＝2S △AMN ，以上结论中，正确的个数有（ ）个．A ．1B ．2C ．3D ．42．如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD AB ⊥于E ，则下面结论中不一定成立的是（ ）A ．CE DE =B ．BC BD = C ．BAC BAD ∠=∠ D ．OE BE =3．如图所示，是二次函数y=ax 2﹣bx+2的大致图象，则函数y=﹣ax+b 的图象不经过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．如图是二次函数223y x x =--+的图象，使 0y ≥成立的 x 的取值范围是（ ）A ．31x ≤≤－B ．1x ≥C ．31x x <->或D ．31x x ≤-≥或5．顺次连接平行四边形四边的中点所得的四边形是（ ）A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．平行四边形6．一个不透明的布袋里装有8个只有颜色不同的球，其中2个红球，6个白球.从布袋里任意摸出1个球，则摸出的球是白球的概率为( )A ．34B ．13C ．14D ．187．如图，AB 为圆O 直径，C 、D 是圆上两点，∠ADC=110°，则∠OCB 度（ ）A ．40B ．50C ．60D ．708．已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，且相似比为1：1．则△ABC 与△A ′B ′C ′的周长比为（ ）A ．1：1B ．1：6C ．1：9D ．139．如图，已知E ，F 分别为正方形ABCD 的边AB ，BC 的中点，AF 与DE 交于点M ，O 为BD 的中点，则下列结论：①∠AME =90°；②∠BAF =∠EDB ；③∠BMO =90°；④MD =2AM =4EM ；⑤23AM MF =．其中正确结论的是（ ）A ．①③④B ．②④⑤C ．①③⑤D ．①③④⑤10．已知⊙O 中最长的弦为8cm ，则⊙O 的半径为( )cm ．A ．2B ．4C ．8D ．16 11．如图，AB 是O 的直径，点D ，C 在O 上，连接AD ，DC ，AC ，如果65C =︒∠，那么BAD ∠的度数是（ ）A ．15︒B ．20︒C ．25︒D ．30 12．抛物线267y x x =++可由抛物线2y x 如何平移得到的（ ）A ．先向左平移3个单位，再向下平移2个单位B ．先向左平移6个单位，再向上平移7个单位C ．先向上平移2个单位，再向左平移3个单位D ．先回右平移3个单位，再向上平移2个单位二、填空题（每题4分，共24分）13．如图，点A 是反比例函数()60y x x=-<的图象上的一点，过点A 作平行四边形ABCD ，使点B 、C 在x 轴上，点D 在y 轴上，则平行四边形ABCD 的面积为______.14．如图所示的点阵中，相邻的四个点构成正方形，小球只在矩形ABCD 内自由滚动时，则小球停留在阴影区域的概率为___________.15．如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，∠A ＝120°，过点C 的圆的切线交BO 于点P ，则∠P 的度数为_____．16．不透明袋子中装有7个球，其中有3个红球，4个黄球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是_____．17．已知△ABC 与△DEF 相似，相似比为 2：3，如果△ABC 的面积为 4，则△DEF 的面积为_____．18．一艘轮船在小岛A 的北偏东60°方向距小岛80海里的B 处，沿正西方向航行3小时后到达小岛的北偏西45°的C 处，则该船行驶的速度为____________海里/时．三、解答题（共78分）19．（8分）如图，AB 是O 的直径，,C D 是圆上的两点，且20BAC =︒∠，AD CD =.（1）求ABC ∠的度数；（2）求ACD ∠的度数.20．（8分）如图，BE 是ABC 的角平分线，延长BE 至点,D 使得BC CD =．求证：ABE CDE ．21．（8分）如图，点E 是矩形ABCD 对角线AC 上的一个动点（点E 可以与点A 和点C 重合），连接BE ．已知AB =3cm ，BC =4cm ．设A 、E 两点间的距离为xcm ，BE 的长度为ycm ．某同学根据学习函数的经验，对函数y 随自变量x 的变化而变化的规律进行探究．下面是该同学的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量及分析，得到了x 与y 的几组值，如下表：说明：补全表格时相关数值保留一位小数．．．．．．） （2）建立平面直角坐标系，描出已补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象．（3）结合画出的函数图象，解决问题：当BE =2AE 时，AE 的长度约为 cm ．（结果保留一位小数．．．．．．．．） 22．（10分）ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示.()1在图中画出ABC 关于y 轴对称的图形111A B C △，并写出顶点111A B C 、、的坐标； ()2将111A B C △向下平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度得到222A B C △，画出平移后的222A B C △，并写出顶C的坐标.点223．（10分）如图，正方形ABCD的边长为2，点E是AD边上的动点，从点A开始沿AD向D运动．以BE为边，在BE的上方作正方形BEFG，EF交DC于点H，连接CG、BH．请探究：（1）线段AE与CG是否相等？请说明理由．（2）若设AE=x，DH=y，当x取何值时，y最大？最大值是多少？（3）当点E运动到AD的何位置时，△BEH∽△BAE？24．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE ＝∠B，(1)求证：△ADF∽△DEC(2)若AB＝4,AD＝3＝3,求AF的长.25．（12分）为了解某县建档立卡贫困户对精准扶贫政策落实的满意度，现从全县建档立卡贫困户中随机抽取了部分贫困户进行了调查（把调查结果分为四个等级：A级：非常满意；B级：满意；C级：基本满意；D级：不满意），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图.请根据统计图中的信息解决下列问题：（1）本次抽样调查测试的建档立卡贫困户的总户数______.（2）图1中，∠α的度数是______，并把图2条形统计图补充完整.（3）某县建档立卡贫困户有10000户，如果全部参加这次满意度调查，请估计非常满意的人数约为多少户？a b c d e）中随机选取两户，调查他们对精准扶贫政策落实的满（4）调查人员想从5户建档立卡贫困户（分别记为,,,,意度，请用列表或画树状图的方法求出选中贫困户e的概率.26．解方程（1）7x2－49x＝0；（2）x2－2x－1＝0.参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、D【解析】如图，把△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，由旋转的性质得，BH=DF，AH=AF，∠BAH=∠DAF，由已知条件得到∠EAH=∠EAF=45°，根据全等三角形的性质得到EH=EF，所以∠ANM=∠AEB，则可求得②正确；根据三角形的外角的性质得到①正确；根据相似三角形的判定定理得到△OAM∽△DAF，故③正确；根据相似三角形的性质得到∠AEN=∠ABD=45°，推出△AEN是等腰直角三角形，根据勾股定理得到AE2AN，再根据相似三角形的性质得到EF2MN，于是得到S△AEF=2S△AMN．故④正确．【详解】如图，把△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH由旋转的性质得，BH ＝DF ，AH ＝AF ，∠BAH ＝∠DAF∵∠EAF ＝45°∴∠EAH ＝∠BAH +∠BAE ＝∠DAF +∠BAE ＝90°﹣∠EAF ＝45°∴∠EAH ＝∠EAF ＝45°在△AEF 和△AEH 中45AH AF EAH EAF AE AE ⎧⎪∠∠︒⎨⎪⎩＝＝＝＝∴△AEF ≌△AEH （SAS ）∴EH ＝EF∴∠AEB ＝∠AEF∴BE +BH ＝BE +DF ＝EF ，故②正确∵∠ANM ＝∠ADB +∠DAN ＝45°+∠DAN ， ∠AEB ＝90°﹣∠BAE ＝90°﹣（∠HAE ﹣∠BAH ）＝90°﹣（45°﹣∠BAH ）＝45°+∠BAH ∴∠ANM ＝∠AEB∴∠ANM ＝∠AEB ＝∠ANM ；故③正确，∵AC ⊥BD∴∠AOM ＝∠ADF ＝90°∵∠MAO ＝45°﹣∠NAO ，∠DAF ＝45°﹣∠NAO∴△OAM ∽△DAF故①正确连接NE ，∵∠MAN ＝∠MBE ＝45°，∠AMN ＝∠BME∴△AMN ∽△BME ∴AM MN BM ME＝ ∴AM BM MN ME ＝ ∵∠AMB ＝∠EMN∴△AMB ∽△NME∴∠AEN ＝∠ABD ＝45°∵∠EAN ＝45°∴∠NAE ＝NEA ＝45°∴△AEN 是等腰直角三角形∴AE 2AN∵△AMN ∽△BME ，△AFE ∽△BME∴△AMN ∽△AFE ∴2MN AN EF AE == ∴2EF MN = ∴22212(2)AMN AFE S MN S EF ∆∆=== ∴S △AFE ＝2S △AMN故④正确故选D ．【点睛】此题考查相似三角形全等三角形的综合应用，熟练掌握相似三角形，全等三角形的判定定理是解决此类题的关键． 2、D【分析】根据垂径定理分析即可．【详解】根据垂径定理和等弧对等弦，得A. B. C 正确，只有D 错误.故选D.【点睛】本题考查了垂径定理，熟练掌握垂直于弦(非直径)的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧是解题的关键. 3、A【解析】解：∵二次函数y=ax 2﹣bx+2的图象开口向上，∴a ＞0；∵对称轴x=﹣2b a＜0， ∴b ＜0；因此﹣a ＜0，b ＜0∴综上所述，函数y=﹣ax+b 的图象过二、三、四象限．即函数y=﹣ax+b 的图象不经过第一象限．故选A ．4、A【分析】先找出抛物线与x 轴的交点坐标，根据图象即可解决问题．【详解】解：由图象可知，抛物线与x 轴的交点坐标分别为（-3，0）和（1，0），∴0y ≥时，x 的取值范围为31x ≤≤－． 故选：A ．【点睛】本题考查抛物线与x 轴的交点，对称轴等知识，解题的关键是学会数形结合,根据图象确定自变量的取值范围，属于中考常考题型．5、D【解析】试题分析：顺次连接四边形四边的中点所得的四边形是平行四边形，如果原四边形的对角线互相垂直，那么所得的四边形是矩形，如果原四边形的对角线相等，那么所得的四边形是菱形，如果原四边形的对角线相等且互相垂直，那么所得的四边形是正方形，因为平行四边形的对角线不一定相等或互相垂直，因此得平行四边形.故选D. 考点：中点四边形的形状判断.6、A【解析】用白球的个数除以球的总个数即为所求的概率. 【详解】解：因为一共有8个球，白球有6个，所以从布袋里任意摸出1个球，摸到白球的概率为6384 =，故选：A.【点睛】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．7、D【分析】根据角的度数推出弧的度数,再利用外角∠AOC的性质即可解题.【详解】解：∵∠ADC=110°,即优弧ABC的度数是220°,∴劣弧ADC的度数是140°,∴∠AOC=140°,∵OC=OB,∴∠OCB=12∠AOC=70°,故选D.【点睛】本题考查圆周角定理、外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．8、A【解析】根据相似三角形的周长比等于相似比即可得出答案．【详解】∵△ABC∽△A′B′C′，且相似比为1：1，∴△ABC与△A′B′C′的周长比为1：1，故选：A．【点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于基础题型．9、D【解析】根据正方形的性质可得AB=BC=AD，∠ABC=∠BAD=90°，再根据中点定义求出AE=BF，然后利用“边角边”证明△ABF和△DAE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠BAF=∠ADE，然后求出∠ADE+∠DAF=∠BAD=90°，从而求出∠AMD=90°，再根据邻补角的定义可得∠AME=90°，从而判断①正确；根据中线的定义判断出∠ADE≠∠EDB，然后求出∠BAF≠∠EDB，判断出②错误；根据直角三角形的性质判断出△AED、△MAD、△MEA三个三角形相似，利用相似三角形对应边成比例可得2AM MD AD EM AM AE===，然后求出MD=2AM=4EM ，判断出④正确，设正方形ABCD 的边长为2a ，利用勾股定理列式求出AF ，再根据相似三角形对应边成比例求出AM ，然后求出MF ，消掉a 即可得到AM=23MF ，判断出⑤正确；过点M 作MN ⊥AB 于N ，求出MN 、NB ，然后利用勾股定理列式求出BM ，过点M 作GH ∥AB ，过点O 作OK ⊥GH 于K ，然后求出OK 、MK ，再利用勾股定理列式求出MO ，根据正方形的性质求出BO ，然后利用勾股定理逆定理判断出∠BMO=90°，从而判断出③正确．【详解】在正方形ABCD 中，AB=BC=AD ，∠ABC=∠BAD=90°，∵E 、F 分别为边AB ，BC 的中点，∴AE=BF=12BC ， 在△ABF 和△DAE 中，AE BF ABC BAD AB AD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ，∴△ABF ≌△DAE （SAS ），∴∠BAF=∠ADE ，∵∠BAF+∠DAF=∠BAD=90°，∴∠ADE+∠DAF=∠BAD=90°，∴∠AMD=180°-（∠ADE+∠DAF ）=180°-90°=90°，∴∠AME=180°-∠AMD=180°-90°=90°，故①正确；∵DE 是△ABD 的中线，∴∠ADE≠∠EDB ，∴∠BAF≠∠EDB ，故②错误；∵∠BAD=90°，AM ⊥DE ，∴△AED ∽△MAD ∽△MEA ， ∴2AM MD AD EM AM AE=== ∴AM=2EM ，MD=2AM ，∴MD=2AM=4EM ，故④正确；设正方形ABCD 的边长为2a ，则BF=a ，在Rt △ABF 中，==∵∠BAF=∠MAE ，∠ABC=∠AME=90°，∴AM AE AB AF = ， 即25AM a a a=， 解得AM=255a ∴MF=AF-AM=25355=55a a a -，∴AM=23MF ，故⑤正确； 如图，过点M 作MN ⊥AB 于N ，则 MN AN AM BF AB AF== 即5525a MN AN a a a== 解得MN=a 52，AN=45a ， ∴NB=AB-AN=2a-45a =65a ， 根据勾股定理，22226221055NB MN a a ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 过点M 作GH ∥AB ，过点O 作OK ⊥GH 于K ，则OK=a-a 52=a 53，MK=65a -a=15a ， 在Rt △MKO 中，2222131055MK OK a a ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭根据正方形的性质，BO=2a×22a =，∵BM 2+MO 2=22221010255a a a ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()22222BO a a ==∴BM 2+MO 2=BO 2，∴△BMO 是直角三角形，∠BMO=90°，故③正确；综上所述，正确的结论有①③④⑤共4个．故选：D【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，勾股定理逆定理的应用，综合性较强，难度较大，仔细分析图形并作出辅助线构造出直角三角形与相似三角形是解题的关键． 10、B【解析】⊙O 最长的弦就是直径从而不难求得半径的长．【详解】∵⊙O 中最长的弦为8cm ，即直径为8cm ，∴⊙O 的半径为4cm ．故选B.【点睛】本题考查弦，直径等知识，记住圆中的最长的弦就是直径是解题的关键．11、C【分析】因为AB 是⊙O 的直径，所以求得∠ADB=90°，进而求得∠B 的度数，再求BAD ∠的度数．【详解】∵AB 是⊙0的直径，∴∠ADB=90°．∵65C =︒∠，∴∠B=65°，（同弧所对的圆周角相等）．∴∠BAD=90°-65°=25° 故选：C本题考查圆周角定理中的两个推论：①直径所对的圆周角是直角②同弧所对的圆周角相等．12、A【分析】先将抛物线267y x x =++化为顶点式，然后按照“左加右减，上加下减”的规律进行求解即可．【详解】因为()226732y x x x =++=+-，所以将抛物线2y x 先向左平移3个单位，再向下平移2个单位即可得到抛物线267y x x =++，故选A ．【点睛】本题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律，熟练掌握“左加右减，上加下减”的规律是解题的关键.二、填空题（每题4分，共24分）13、6【分析】作AH ⊥OB 于H ，根据平行四边形的性质得AD ∥OB ，则ABCD AHOD S S =平行四边形矩形，再根据反比例函数k y x=(k 0≠)系数k 的几何意义得到AHOD S 矩形=6，即可求得答案． 【详解】作AH ⊥x 轴于H ，如图，∵AD ∥OB ，∴AD ⊥y 轴，∴四边形AHOD 为矩形，∵AD ∥OB ，∴ABCD AHOD S S =平行四边形矩形，∵点A 是反比例函数6(0)y x x=-<的图象上的一点， ∴AHOD 66S =-=矩形，∴ABCD 6S =平行四边形．故答案为：6．本题考查了反比例函数k y x =(k 0≠)系数k 的几何意义：从反比例函数k y x=(k 0≠)图象上任意一点向x 轴和y 轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为k ．14、34【分析】分别求出矩形ABCD 的面积和阴影部分的面积即可确定概率.【详解】设每相邻两个点之间的距离为a则矩形ABCD 的面积为222a a a =而利用梯形的面积公式和图形的对称性可知阴影部分的面积为2113(2)3222a a a a a a +== ∴小球停留在阴影区域的概率为2233224a a = 故答案为34【点睛】本题主要考查随机事件的概率，能够求出阴影部分的面积是解题的关键.15、30°【分析】连接OC 、CD ，由切线的性质得出∠OCP ＝90°，由圆内接四边形的性质得出∠ODC ＝180°−∠A ＝60°，由等腰三角形的性质得出∠OCD ＝∠ODC ＝60°，求出∠DOC ＝60°，由直角三角形的性质即可得出结果．【详解】如图所示：连接OC 、CD ，∵PC 是⊙O 的切线，∴PC ⊥OC ，∴∠OCP ＝90°，∵∠A ＝120°，∴∠ODC ＝180°−∠A ＝60°，∵OC ＝OD ，∴∠OCD ＝∠ODC ＝60°，∴∠P＝90°−∠DOC＝30°；故填：30°．【点睛】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角形内角和定理；熟练掌握切线的性质是解题的关键．16、3 7【解析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【详解】解：∵袋子中共有7个球，其中红球有3个，∴从袋子中随机取出1个球，它是红球的概率是37，故答案为：37．【点睛】本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝mn．17、1【解析】由△ABC与△DEF的相似，它们的相似比是2：3，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可得它们的面积比是4：1，又由△ABC的面积为4，即可求得△DEF的面积．【详解】∵△ABC与△DEF的相似，它们的相似比是2：3，∴它们的面积比是4：1，∵△ABC的面积为4，∴△DEF的面积为：4×94=1．故答案为：1．【点睛】本题考查的知识点是相似三角形的性质，解题关键是掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方定理．18404033【解析】设该船行驶的速度为x海里/时，由已知可得BC＝3x，AQ⊥BC，∠BAQ＝60°，∠CAQ＝45°，AB＝80海里，在直角三角形ABQ中求出AQ、BQ，再在直角三角形AQC中求出CQ，得出BC＝40＋＝3x，解方程即可．【详解】如图所示：该船行驶的速度为x海里/时，3小时后到达小岛的北偏西45°的C处，由题意得：AB＝80海里，BC＝3x海里，在直角三角形ABQ中,∠BAQ＝60°，∴∠B＝90°−60°＝30°，∴AQ＝12AB＝40,BQ3＝3在直角三角形AQC中,∠CAQ＝45°，∴CQ＝AQ＝40，∴BC＝40＋33x，解得：x 40403＋即该船行驶的速度为404033＋/时；故答案为：4033＋.【点睛】本题考查的是解直角三角形，熟练掌握方向角是解题的关键.三、解答题（共78分）19、（1）70︒；（2）35︒.【分析】（1）根据AB是⊙O直径，得出∠ACB=90°，进而得出∠B=70°；（2）根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，得到圆心角∠AOC的度数，根据同弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半，可求出∠ACD的度数．【详解】（1）∵AB是⊙O直径，∴∠ACB=90︒，∵∠BAC=20︒，∴∠ABC=70︒，（2）连接OC ，OD ，如图所示：∴∠AOC =2∠ABC =140︒，∵AD CD =，∴∠COD=∠AOD=1AOC 702∠=︒， ∴∠ACD=1AOD 352∠=︒． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理的推论与定理，以及弦，弧，圆心角三者的关系，要求学生根据题意，作出辅助线，建立未知角与已知角的联系，利用同弧（等弧）所对的圆心角等于所对圆周角的2倍来解决问题．20、证明见解析．【分析】先根据角平分线的定义可得ABE CBE ∠=∠，再根据等腰三角形的性质可得CDE CBE =∠∠，从而可得ABE CDE ∠=∠，然后根据相似三角形的判定即可得证．【详解】BE 是ABC 的角平分线ABE CBE ∴∠=∠BC CD =CDE CBE ∴∠=∠ABE CDE ∠=∠∴又AEB CED ∠=∠ABECDE ∴．【点睛】 本题考查了角平分线的定义、等腰三角形的性质、相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键．21、解：（1）2.5；（2）图象见解析；（3）1.2（1.1—1.3均可）【分析】（1）根据画图测量即可；（3）当BE=2AE 时，即y=2x 时，画出图形观察图像即可得到值.【详解】解：（1）根据测量可得：2.5；（2）根据数据描点画图，即可画图象（3）当BE=2AE 时，即y=2x 时，如图，y=2x 与原函数图像的交点M 的横坐标即为所求，可得AE≈1.2（1.1—1.3均可）.【点睛】本题为动点问题的函数图象探究题，解答时用到了数形结合和转化的数学思想．22、（1）作图见解析，()()()1112,33,21,1A B C 、、；（2）作图见解析，2C (02)，- 【分析】（1）先根据点的对称性，画出111,,A B C 三点的位置，再顺次连接即可得111A B C ∆；最后根据111,,A B C 三点在网格中的位置可得它们的坐标；（2）根据点坐标的平移，先画出222,,A B C 三点的位置，再顺次连接即可得222A B C ∆；最后根据222,,A B C 三点在网格中的位置可得它们的坐标.【详解】（1）先画出111,,A B C 三点的位置，再顺次连接即可得111A B C ∆，作图结果如图所示：观察图形可知：顶点111,,A B C 的坐标分别为()()()1112,33,21,1A B C 、、； （2）先画出222,,A B C 三点的位置，再顺次连接即可得222A B C ∆，作图结果如图所示：【点睛】本题考查了点的对称性与平移，读懂题意，掌握在平面直角坐标系中作图的方法是解题关键.23、（1）AE =CG ，见解析；（2）当x =1时，y 有最大值，为12；（3）当E 点是AD 的中点时，△BEH ∽△BAE ，见解析.【解析】(1)由正方形的性质可得AB=BC ，BE=BG ，∠ABC=∠EBG=90°，由“SAS”可证△ABE ≌△CBG ，可得AE=CG ；(2)由正方形的性质可得∠A=∠D=∠FEB=90°，由余角的性质可得∠ABE=∠DEH ，可得△ABE ∽△DEH ，可得y 2x x 2-=，由二次函数的性质可求最大值； (3)当E 点是AD 的中点时，可得AE=1，DH=12，可得AE EH AB BE =，且∠A=∠FEB=90°，即可证△BEH ∽△BAE ． 【详解】(1)AE=CG ，理由如下：∵四边形ABCD ，四边形BEFG 是正方形，∴AB=BC ，BE=BG ，∠ABC=∠EBG=90°，∴∠ABE=∠CBG ，且AB=BC ，BE=BG ，∴△ABE ≌△CBG(SAS)，∴AE=CG ；(2)∵四边形ABCD ，四边形BEFG 是正方形，∴∠A=∠D=∠FEB=90°，∴∠AEB+∠ABE=90°，∠AEB+∠DEH=90°，∴∠ABE=∠DEH ，又∵∠A=∠D ，∴△ABE ∽△DEH ， ∴DH DE AE AB=， ∴y 2x x 2-=∴21y x x 2=-+=211(x 1)22--+， ∴当x=1时，y 有最大值为12； (3)当E 点是AD 的中点时，△BEH ∽△BAE ，理由如下：∵E 是AD 中点，∴AE=1， ∴1DH 2= 又∵△ABE ∽△DEH ， ∴EH DH 1BE AE 2==， 又∵AE 1AB 2=， ∴AE EH AB BE =，且∠DAB=∠FEB=90°， ∴△BEH ∽△BAE.【点睛】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，二次函数的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．24、（1）见解析（2）【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形∴AD ∥BC AB ∥CD∴∠ADF=∠CED ∠B+∠C=180°∵∠AFE+∠AFD=180︒,∠AFE=∠B∴∠AFD=∠C∴△ADF ∽△DEC(2)解：∵四边形ABCD 是平行四边形∴AD ∥BC CD=AB=4又∵AE ⊥BC ∴ AE ⊥AD在Rt △ADE 中，6==∵△ADF ∽△DEC∴AD AFDE CD=∴3364AF=∴AF=2325、（1）60；（2）54°；（3）1500户；（4）见解析，25.【分析】（1）用B级人数除以B级所占百分比即可得答案；（2）用A级人数除以总人数可求出A级所占百分比，乘以360°即可得∠α的度数，总人数减去A级、B级、D级的人数即可得C级的人数，补全条形统计图即可；（3）用10000乘以A级人数所占百分比即可得答案；（4）画出树状图，得出所有可能出现的结果及选中e的结果，根据概率公式即可得答案.【详解】（1）21÷35%=60（户）故答案为60（2）9÷60×360°=54°，C级户数为：60-9-21-9=21（户），补全条形统计图如所示：故答案为54°（3）9 10000150060⨯=（户）（4）由题可列如下树状图：由树状图可知，所有可能出现的结果共有20种，选中e的结果有8种∴P（选中e）=82 205=.【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图及概率，概率=所求结果数与所有可能出现的结果数的比值，正确得出统计图中的信息，熟练掌握概率公式是解题关键.26、（1）x 1＝0,x 2＝7；（2）11x =+21x =-【解析】（1）用因式分解法求解即可；（2）用配方法求解即可.【详解】（1）∵7x 2－49x ＝0，∴x 2－7x ＝0，∴(7)0x x -=.解得x 1＝0，x 2＝7（2）移项,得221x x -=,配方,得2(1)2x -=,开平方,得1x -=解得11x =，21x =【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法由直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键.。

黄浦区2022年九年级学业水平考试模拟考数 学 试 卷（满分150分，考试时间100分钟）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题；2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效； 3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤.一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上.】1 ▲ ）（A（B（C ；（D2．下列运算中，计算结果正确的是（ ▲ ） （A ）⋅=a a a 236；（B ）=a a a +235；（C ）÷=a a a 23；（D ）=a a 263)(．3．我们经常将调查、收集得来的数据用各类统计图进行整理与表示．下列统计图中，能直观反映数据变化趋势的是（ ▲ ） （A ）条形图；（B ）扇形图；（C ）折线图；（D ）频数分布直方图．4．下列函数中，当x >0时，y 值随x 值增大而减小的是（ ▲ ） （A ）=y x 32； （B ）=-+y x 1； （C ）=-xy 2；（D ）=+y x 12．5．关于x 的一元二次方程--=x x 102根的情况是（ ▲ ） （A ）有两个相等的实数根；（B ）没有实数根；（C ）有两个不相等的实数根；（D ）根的情况无法确定．6．下列命题中，真命题是（ ▲ ）（A ）正六边形是轴对称图形但不是中心对称图形；（B ）正六边形的每一个外角都等于中心角；（C ）正六边形每条对角线都相等；（D ）正六边形的边心距等于边长的一半．二、填空题：（本大题12题，每题4分，满分48分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7．5的倒数是 ▲ ． 8．如果分式+xx32有意义，那么x 的取值范围是 ▲．9．方程x +=21的解是 ▲．10．不等式组⎩-<⎨⎧+>x x 4210的解集是▲．11．将抛物线y x x =++12向下平移1个单位，所得新的抛物线的表达式是 ▲ ．12．一副52张的扑克牌（无大王、小王），从中任意抽出一张，抽到红桃K 的概率是▲．13．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，=AB CD 2，=AD a ，=AB b ，请用向量a 、b 表示向量=AC ▲ ．14．如图，已知AB//DE ，如果∠=70︒ABC ，∠=147︒CDE ，那么∠BCD =▲°．15．一辆汽车，新车购买价20万元，第一年使用后折旧20%，以后该车的年折旧率有所变化，但它在第二、三年的年折旧率相同.已知在第三年年末，这辆车折旧后价值11.56万元，设这辆车第二、三年的折旧率为x ，可列方程 ▲ ． 16．已知在△ABC 中，AB=AC ，BC =10，=B 12cot 5，如果顶点C 在⊙B 内，顶点A 在⊙B 外，那么⊙B 的半径r 的取值范围是 ▲ ．17．如图，已知三根长度相等的木棍，现将木棍AB 垂直立于水平的地面上，把木棍CD 斜钉在木棍AB上，点D 是木棍AB 的中点，再把木棍EF 斜钉在木棍CD 上， 点F 是木棍CD 的中点，如果A 、C 、E 在一条直线上，那么AEAC的值为 ▲ ． 18．如图，已知边长为1的正方形ABCD 的顶点A 、B 在半径与这个正方形边长相等的圆O 上，顶点C 、D 在该圆内．如果将正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转，当点D 第一次落在圆上时，此时点C 与点C ' 重合，那么△ACC '的面积=▲．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10⎝⎭⎪+--+︒⎛⎫-2220222cos30101．（第18题图）（第13题图）DCBA（第14题图）DCB AE°70°147（第17题图）D C BAFE20．（本题满分10分）解方程：x x x x -=+--+24912323． 21．（本题满分10分）如图，已知在△ABC 中，∠=︒ACB 90，BD 平分∠ABC ，=BC CD ， BD 、AC交于点E ．（1）求证：AB ∥CD ；（2）已知=BC 6，=AB 10，求∠EBC tan 的值.22．（本题满分10分）某校举办了首届“英语原创演讲比赛”，经选拔后有若干名学生参加决赛，根据测试成绩（成绩都不低于60分）绘制出如下两幅不完整的统计图表，请根据统计图表提供的信息完成下列各题．（1）参加决赛的学生有 名，请将图b 补充完整； （2）表a 中的m= ，n= ；（3）如果测试成绩不低于80分为优秀，那么本次测试的优秀率是．23．（本题满分12分）如图，已知A 、B 、C 是圆O 上的三点，AB=AC ，M 、N 分别是AB 、AC 的中点，E 、F 分别是OM 、ON 上的点． （1）求证：∠=∠AOM AON ；（2）如果AE ∥ON ，AF ∥OM ，求证：⋅=OE OM AO 212．（第22题表a ）（第22题图b ）（第23题图）N M FEOCBA（第21题图）EDCBA24．（本题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线=++≠y ax bx c a 02)(经过点A 4,0)(，顶点为H 2,4)(，对称轴l 与x 轴交于点B ，点C 、P 是抛物线上的点，且都在第一象限内．（1）求抛物线的表达式；（2）当点C 位于对称轴左侧，∠=∠CHB CAO ，求点C 的坐标；（3）在（2）的条件下，已知点P 位于对称轴的右侧，过点P 作PQ ∥CH ，交对称轴l 于点Q ，且△△=S S POQ PAQ :1:5，求直线PQ 的表达式．25．AD ∥1:3，O 是AC （1）当（2）设BE （3（第25题图）黄浦区2022年九年级学业水平考试模拟考数学试卷评分标准一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．C ； 2． D ； 3．C ； 4． B ； 5．C ； 6． B ．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．15； 8． 3x ≠-； 9．1x =-；10． 16x -<<； 11．2+y x x =； 12．152； 13．12a b +； 14．37； 15．()()220120%111.56x --=； 16． 1013r <<；17．18．12． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．解：原式=212+…………………………………………………………（8分） =5. ……………………………………………………………………………（2分）20.解：方程两边同乘以)3)(3(-+x x ，得： )3(2)3(2942--++-=x x x x ，…………………………………………（4分）整理得：0342=+-x x ， …………………………………………………………（2分）解得：11=x ，32=x . …………………………………………………………（2分） 经检验：32=x 是原方程的增根；…………………………………………………（1分） 所以，原方程的解为1=x ．……………………………………………………（1分）21.（1）证明：∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABE =∠CBE . ……………………………………（1分） ∵BC=CD ，∴∠CBE =∠D . …………………………………………………………………（1分） ∴∠ABE =∠D ，∴AB ∥CD . …………………………………………………………………（2分） （2）∵90ACB ∠=︒，∴222AC BC AB +=.………………………………………………（1分）∵BC =6，AB =10，∴AC =8. …………………………………………………………………（1分）∵CD ∥AB ，∴CE CDAE AB=.…………………………………………………………………（1分） ∵BC=CD ，∴CD =6，∴35CE AE =.∵AC =8，∴CE =3. …………………………………（2分）∴在Rt △BCE 中，1tan 2EC EBC BC ∠==.…………………………………………………（1分） 22.（1）40，直方图补充正确；……………………………………………………………（4分） （2）10,47.5%；…………………………………………………………………………（4分）（3）37.5%.………………………………………………………………………………（2分）23.（1）证明：∵M 、N 分别是AB 、AC 的中点，OM 、ON 过圆心，∴OM AB ⊥，ON AC ⊥.………………………………………………………………（2分）又∵AB=AC ，∴AM AN =.∴AOM AON ∠=∠. ……………………………………（2分） （2）联结EF ，交AO 于点P . …………………………………………………………（1分） ∵AE ∥ON ，AF ∥OM ，∴四边形AEOF 是平行四边形. …………………………（1分） ∵AE ∥ON ，∴EAO AON ∠=∠，∵AOM AON ∠=∠，∴AOM EAO ∠=∠.∴AE EO =，∴四边形AEOF 是菱形. ……………………………………………………（1分） ∴EF AO ⊥，12PO AO =.………………………………………………………………（2分）∵OM AB ⊥，∴90EPO AMO ∠=∠=︒.∵AOM AOM ∠=∠，∴△EPO ∽△AMO . …（1分） ∴OE PO AO OM =，∴212OE OM AO ⋅=.……………………………………………………（2分） 24.解（1）∵抛物线经过点()4,0A ，顶点为()2,4H ，∴设()224y a x =-+，………（1分） ∴440a +=，∴1a =-.…………………………………………………………………（2分） ∴抛物线的表达式为24y x x =-+.………………………………………………………（1分） （2）分别过点C 作CG ⊥HB ，CF ⊥x 轴，垂足为点G 、F , 设()2,4C m m m -+……（1分） ∵∠CHB =∠CAO ，∴tan tan CHB CAO ∠=∠，∴CG CFHG AF=.…………………………（1分） ∴2224444m m mm m m--+=-+-，1m =，∴()1,3C ………………………………………（2分）（3）延长PQ 交x 轴于点D .分别过点O 、A 作直线PQ 的垂线，垂足分别为点M 、N . 由题意可知直线CH 的表达式为2y x =+.……………………………………………（1分） ①当△POQ 、△P AQ 在直线PQ 的两侧时，∵:1:5POQ PAQ S S =△△，∴15POQ PAQS OM S AN ==△△.∵OM ∥AN ，∴OM OD AN AD=.…………（1分） ∴15OM OD AN AD ==，∴23OD =，∴2,03D ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 又PQ ∥CH ，∴直线PQ 的表达式为23y x =-.……………………………………（1分） ②当△POQ 、△P AQ 在直线PQ 的同侧时，∵OM ∥AN ，∴OM OD AN AD =，∴1=45OD ODAD OD =+，∴1OD = ，∴()1,0D - .∴直线PQ 的表达式为+1y x =.………………………………………………………（1分） 综上所述，满足条件的直线PQ 的表达式为23y x =-或+1y x =. 25.（1）证明：∵90ABC ∠=︒，O 是AC 的中点，∴BO CO =,OBC OCB ∠=∠.…（2分） ∵OE OB ⊥，∴90BOE ∠=︒.∵BC=EC ，∴CO=BC ，∴BO=BC . ……………………（1分）∵90ABC BOE ∠=∠=︒，∴△ABC ≌△EOB ，∴AB=EO . ………………………………（1分） （2）∵∠OBC =∠OCB ，∠ABC =∠BOE ，∴△ABC ∽△EOB . ∴BC ACOB BE=.………（2分） ∵BC=a ，AB =6，∴AC =1aBE =.∴()236062a BE a a+=<<.…………………………………………………………………（2分） （3）设BC=a ，∴AD=3a .①当∠OED =90°时，延长BO 交AD 于点G .∵∠BOE =90°，∴∠BOE =∠OED ，∴BG ∥ED .∵BE ∥AD ，∴四边形BGDE 是平行四边形，∴BE=GD . ………………………………（1分） ∵BC ∥AD ，∴BC COAG AO=，∴BC=AG=a . …………………………………………………（1分） ∴23632a a a a+=-，∴a =. ……………………………………………（1分） ②当∠ODE =90°时，分别过点O 、E 作OM ⊥AD ，EN ⊥AD ，垂足分别为点M 、N .∴∠OMD =∠DNE ，∠MOD =∠EDN ，∴△OMD ∽△DNE ， ∴OM MDDN EN=.…………（1分） ∵1122AM BC a ==，∴52MD a =，∵23632a DN AN AD a a +=-=-，…………（1分） ∴253236632aa a a=+-，∴a = （负根舍）. ………………………………………（1分） 综上所述满足条件的BC的长为（以上各题如有其他解法，请参照评分标准酌情给分）。

2018-2022年上海市中考数学各地区模拟试题分类（一）——《四边形》一．选择题1．（2022•普陀区二模）如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，如果OB＝4，∠AOB＝60°，那么矩形ABCD的面积等于（）A．8 B．16 C．8D．16 2．（2022•杨浦区二模）已知在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC与BD相交于点O，那么下列条件中能判定这个四边形是矩形的是（）A．AD＝BC，AC＝BD B．AC＝BD，∠BAD＝∠BCDC．AO＝CO，AB＝BC D．AO＝OB，AC＝BD3．（2022•静安区二模）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，那么下列条件中，能判断▱ABCD是菱形的为（）A．AO＝CO B．AO＝BO C．∠AOB＝∠BOC D．∠BAD＝∠ABC 4．（2022•奉贤区二模）四边形ABCD的两条对角线AC、BD互相平分．添加下列条件，一定能判定四边形ABCD为菱形的是（）A．∠ABD＝∠BDC B．∠ABD＝∠BAC C．∠ABD＝∠CBD D．∠ABD＝∠BCA 5．（2022•金山区二模）已知在△ABC中，AD是中线，设＝，＝，那么向量用向量表示为（）A．2﹣2B．2+2C．2﹣2D．﹣6．（2022•浦东新区二模）在梯形ABCD中，AD∥BC，那么下列条件中，不能判断它是等腰梯形的是（）A．AB＝DC B．∠DAB＝∠ABC C．∠ABC＝∠DCB D．AC＝DB 7．（2022•闵行区二模）顺次联结四边形ABCD各边中点所形成的四边形是矩形，那么四边形ABCD是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．等腰梯形8．（2022•闵行区一模）要判断一个四边形门框是否为矩形，在下面四个拟定方案中，正确的方案是（）A．测量对角线是否相互平分B．测量两组对边是否分别相等C．测量对角线是否互相垂直D．测量其中三个角是否是直角9．（2022•虹口区一模）已知、和都是非零向量，在下列选项中，不能判定∥的是（）A．||＝|| B．∥，∥C．+＝0 D．+＝2，﹣＝3 10．（2022•静安区一模）如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，设＝，＝，下列式子中正确的是（）A．＝+B．＝﹣C．＝﹣+D．＝﹣﹣11．（2022•宝山区一模）已知，为非零向量，如果＝﹣5，那么向量与的方向关系是（）A．∥，并且和方向一致B．∥，并且和方向相反C．和方向互相垂直D．和之间夹角的正切值为512．（2022•松江区一模）如图，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，它们的夹角为锐角α，它们重叠部分（图中阴影部分）的面积是1.5．那么sinα的值为（）A．B．C．D．13．（2022•普陀区一模）下列说法中，正确的是（）A．如果k＝0，是非零向量，那么k＝0B．如果是单位向量，那么＝1C．如果||＝||，那么＝或＝﹣D．已知非零向量，如果向量＝﹣5，那么∥14．（2022•崇明区一模）已知为非零向量，＝3，＝﹣2，那么下列结论中错误的是（）A．∥B．||＝||C．与方向相同D．与方向相反15．（2022•松江区一模）如果+＝，﹣＝3，且≠，下列结论正确的是（）A．||＝|| B．+2＝0C．与方向相同D．与方向相反16．（2022•浦东新区一模）下列说法正确的是（）A．+（﹣）＝0B．如果和都是单位向量，那么＝C．如果||＝||，那么＝D．如果＝﹣（为非零向量），那么∥17．（2022•黄浦区一模）已知一个单位向量，设、是非零向量，那么下列等式中正确的是（）A．B．C．D．18．（2022•杨浦区一模）已知、和都是非零向量，下列结论中不能判定∥的是（）A．，B．＝，＝2C．＝2D．||＝|| 19．（2022•奉贤区一模）已知点C在线段AB上，AC＝3BC，如果＝，那么用表示正确的是（）A．B．﹣C．D．﹣20．（2022•嘉定区一模）如图，在平行四边形ABCD中，设＝，＝，点O是对角线AC与BD的交点，那么向量可以表示为（）A．+B．﹣C．﹣+D．﹣﹣二．填空题21．（2022•浦东新区三模）如果直角梯形的两腰长分别为8厘米和10厘米，较长的底边长为7厘米，那么这个梯形的面积是平方厘米．22．（2022•浦东新区三模）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，将矩形ABCD绕点C 旋转，点A、B、D的对应点分别为A′、B′、D′，当A′落在边CD的延长线上时，边A′D′与边AD的延长线交于点F，联结CF，那么线段CF的长度为．23．（2022•普陀区二模）如图，已知△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，DC、BE交于点O，AB＝3AD，设＝，＝，那么向量用向量、表示是．24．（2022•杨浦区二模）在△ABC中，D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，DE经过△ABC 的重心，如果＝，＝，那么＝．（用、表示）25．（2022•杨浦区二模）如图，已知在平行四边形ABCD中，AB＝10，BC＝15，tan∠A＝，点P是边AD上一点，联结PB，将线段PB绕着点P逆时针旋转90°得到线段PQ，如果点Q恰好落在平行四边形ABCD的边上，那么AP的值是．26．（2022•徐汇区二模）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝3，AB＝5，sin A＝，将平行四边形ABCD绕着点B顺时针旋转θ（0°＜θ＜90°）后，点A的对应是点A'，联结A'C，如果A'C⊥BC，那么cosθ的值是．27．（2022•静安区二模）如果一条直线把一个四边形分成两部分，这两部分图形的周长相等，那么这条直线称为这个四边形的“等分周长线”．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠A ＝90°，DC＝AD，∠B是锐角，cot B＝，AB＝17．如果点E在梯形的边上，CE是梯形ABCD的“等分周长线”，那么△BCE的周长为．28．（2022•嘉定区二模）七巧板由五个等腰直角三角形与两个平行四边形（其中的一个平行四边形是正方形）组成．用七巧板可以拼出丰富多彩的图形，图中的正方形ABCD就是由七巧板拼成的，那么正方形EFGH的面积与正方形ABCD的面积的比值为．29．（2022•虹口区二模）如图，在△ABC中，AD为边BC上的中线，DE∥AB，已知＝，＝，那么用，表示＝．30．（2022•黄浦区二模）如果一个梯形的上底与下底之比等于1：2，那么这个梯形的中位线把梯形分成两部分的面积之比是．三．解答题31．（2022•浦东新区三模）已知：如图，点E为▱ABCD对角线AC上的一点，点F在线段BE的延长线上，且EF＝BE，线段EF与边CD相交于点G．（1）求证：DF∥AC；（2）如果AB＝BE，DG＝CG，联结DE、CF，求证：四边形DECF是矩形．32．（2022•杨浦区二模）如图，已知在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点M 在线段OD上，联结AM并延长交边DC于点E，点N在线段OC上，且ON＝OM，联结DN与线段AE交于点H，联结EN、MN．（1）如果EN∥BD，求证：四边形DMNE是菱形；（2）如果EN⊥DC，求证：AN2＝NC•AC．33．（2022•奉贤区二模）如图1，由于四边形具有不稳定性，因此在同一平面推矩形的边可以改变它的形状（推移过程中边的长度保持不变）．已知矩形ABCD，AB＝4cm，AD ＝3cm，固定边AB，推边AD，使得点D落在点E处，点C落在点F处．（1）如图2，如果∠DAE＝30°，求点E到边AB的距离；（2）如图3，如果点A、E、C三点在同一直线上，求四边形ABFE的面积．34．（2022•徐汇区二模）已知：如图，在平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，BE＝DG，BF＝DH．（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；（2）当AB＝BC，且BE＝BF时，求证：四边形EFGH是矩形．35．（2022•长宁区二模）如图，已知四边形ABCD是矩形，点E在对角线AC上，点F在边CD上（点F与点C、D不重合），BE⊥EF，且∠ABE+∠CEF＝45°．（1）求证：四边形ABCD是正方形；（2）连结BD，交EF于点Q，求证：DQ•BC＝CE•DF．参考答案一．选择题1．解：∵四边形ABCD是矩形∴∠BAD＝90°，AO＝CO＝AC，BO＝DO＝BD，AC＝BD＝2OB＝8，∴OA＝BO，∵∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝OB＝4，∴AD＝＝＝4，∴矩形ABCD的面积＝AB×AD＝4×4＝16；故选：D．2．解：A、AB∥DC，AD＝BC，无法得出四边形ABCD是平行四边形，故无法判断四边形ABCD是矩形．故错误；B、∵AB∥CD，∴∠BAD+∠ADC＝∠ABC+∠BCD＝180°，∵∠BAD＝∠BCD，∴∠ABC＝∠ADC，∴得出四边形ABCD是平行四边形，∵AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形．故正确；C、∵AO＝CO，AB＝BC，∴BD⊥AC，∠ABD＝∠CBD，∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB，∴∠CBD＝∠CDB，∴BC＝CD，∴AB＝CD，∴四边形ABCD是菱形，无法判断四边形ABCD是矩形．故错误；D、AO＝OB，AC＝BD可无法判断四边形ABCD是矩形，故错误；故选：B．3．解：选项A，由平行四边形的性质可知，对角线互相平分，故A不符合题意；选项B，由▱ABCD中AO＝BO可推得AC＝BD，可以证明▱ABCD为矩形，但不能判定▱ABCD为菱形，故B不符合题意；选项C，当∠AOB＝∠BOC时，由于∠AOB+∠BOC＝180°，故∠AOB＝∠BOC＝90°，而对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故C符合题意；选项D，由平行四边形的性质可知，∠BAD+∠ABC＝180°，故当∠BAD＝∠ABC时，∠BAD ＝∠ABC＝90°，从而可判定▱ABCD为矩形，故D不符合题意．综上，只有选项C可以判定▱ABCD是菱形．故选：C．4．解：如图所示，设四边形ABCD的两条对角线AC、BD交于点O，∵AC、BD互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形．选项A，由平行四边形的性质可知AB∥DC，则∠ABD＝∠BDC，从而A不符合题意；选项B，∠ABD＝∠BAC，则AO＝BO，再结合对角线AC、BD互相平分，可知AC＝BD，从而平行四边形ABCD是矩形，故B不符合题意；选项C，由平行四边形的性质可知AD∥BC，从而∠ADB＝∠CBD，当∠ABD＝∠CBD时，∠ADB＝∠ABD，故AB＝AD，由一组邻边相等的平行四边形的菱形可知，C符合题意；选项D，∠ABD＝∠BCA，得不出可以判定四边形ABCD为菱形的条件，故D不符合题意．综上，只有选项C一定能判定四边形ABCD为菱形．故选：C．5．解：∵＝+＝，∴＝﹣，∴＝2＝2﹣2，故选：C．6．解：A、∵AD∥BC，AB＝DC，∴梯形ABCD是等腰梯形，故本选项错误；B、根据∠DAB＝∠ABC，不能推出四边形ABCD是等腰梯形，故本选项正确；C、∵∠ABC＝∠DCB，∴BD＝BC，∴四边形ABCD是等腰梯形，故本选项错误；D、∵AC＝BD，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是等腰梯形，故本选项错误．故选：B．7．解：已知：如右图，四边形EFGH是矩形，且E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD 的中点，求证：四边形ABCD是对角线垂直的四边形．证明：由于E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，根据三角形中位线定理得：EH∥FG∥BD，EF∥AC∥HG；∵四边形EFGH是矩形，即EF⊥FG，∴AC⊥BD，观察选项，只有菱形的对角线互相垂直．故选：C．8．解：∵三个角是直角的四边形是矩形，∴在下面四个拟定方案中，正确的方案是D，故选：D．9．解：A、该等式只能表示两、的模相等，但不一定平行，故本选项符合题意；B、由∥，∥可以判定∥，故本选项不符合题意．C、由+＝0可以判定、的方向相反，可以判定∥，故本选项不符合题意．D、由+＝2，﹣＝3得到＝，＝﹣，则、的方向相反，可以判定∥，故本选项不符合题意．故选：A．10．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∵＝+∴＝＝﹣+，故选：C．11．解：∵知，为非零向量，如果＝﹣5，∴∥，与的方向相反，故选：B．12．解：如图，过点A作AE⊥BC，AF⊥CD，∵AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵四边形ABCD的面积是1.5，∴BC×AE＝CD×AF，且AE＝AF＝1，∴BC＝CD，∴四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD，∵1.5＝CD×AF，∴CD＝，∴AD＝CD＝∴sinα＝＝，故选：C．13．解：A、如果k＝0，是非零向量，那么k＝0，错误，应该是k＝．B、如果是单位向量，那么＝1，错误．应该是||＝1．C、如果||＝||，那么＝或＝﹣，错误．模相等的向量，不一定平行．D、已知非零向量，如果向量＝﹣5，那么∥，正确．故选：D．14．解：∵＝3，＝﹣2，∴＝﹣，∴∥，||＝||，与发方向相反，∴A，B，D正确，故选：C．15．解：∵+＝，﹣＝3，∴＝2，＝﹣，∴＝﹣2，∴与方向相反，故选：D．16．解：A、+（﹣）＝0，错误应该等于零向量．B、如果和都是单位向量，那么＝，错误，模相等，方向不一定相同．C、如果||＝||，那么＝，错误，模相等，方向不一定相同．D、如果＝﹣（为非零向量），那么∥，正确，故选：D．17．解：A、•与的模相等，方向不一定相同．故错误．B、正确．C、|与的模相等，方向不一定相同，故错误．D、•与•的模相等，方向不一定相同，故错误．故选：B．18．解：A、由∥，∥，可以推出∥．本选项不符合题意．B、由＝，＝2，可以推出∥．本选项不符合题意．C、由＝2，可以推出∥．本选项不符合题意．D、由||＝||，不可以推出∥．本选项符合题意．故选：D．19．解：如图，∵AC＝3BC，∴AB＝AC，∴＝﹣，故选：D．20．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴＝＝，OA＝OC，∴＝+＝+，∴＝＝+，故选：A．二．填空题（共10小题）21．解：如图，作DE⊥BC，已知AB＝8，CD＝10，BC＝7，∴CE＝＝6，∴AD＝BC﹣EC＝1，∴梯形的面积是：（AD+BC）•DE＝（7+1）×8＝32（cm2），答：这个梯形的面积是32平方厘米．故答案为：32．22．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝3，AD＝BC＝4，∠ADC＝90°，∴∠A'DF＝∠CDF＝90°，由旋转的性质得：CD＝CD'＝3，A'D'＝AD＝4，∠ADC＝∠A'D'C＝90°，∴A'C＝＝5，∴A'D＝A'C﹣CD＝5﹣3＝2，在Rt△CDF和Rt△CD'F中，，∴Rt△CDF≌Rt△CD'F（HL），∴DF＝D'F，设DF＝D'F＝x，则A'F＝4﹣x，在Rt△A'DF中，由勾股定理得：22+x2＝（4﹣x）2，解得：x＝，∴DF＝，∴CF＝＝＝；故答案为：．23．解：∵DE∥BC，∴＝＝，∴BC＝3DE，∵＝，∴＝3，∵△DOE∽△COB，∴＝＝，∴OD＝OC＝CD，∵＝+，∴＝﹣+3，∴＝﹣+，故答案为：﹣+．24．解：如图设G是重心，作中线AF．∵DE∥BC，∴AD：AB＝AG：AF＝DE：BC＝2：3，∴DE＝BC，∵＝+，∴＝﹣，∴＝（﹣）＝﹣故答案为：﹣．25．解：如图1中，当点Q落在CD上时，作BE⊥AD于E，QF⊥AD交AD的延长线于F．设PE＝x．在Rt△AEB中，∵tan A＝＝，AB＝10，∴BE＝8，AE＝6，∵将线段PB绕着点P逆时针旋转90°得到线段PQ，∴∠BPQ＝90°，∴∠EBP+∠BPE＝∠BPE+∠FPQ＝90°，∴∠EBP＝∠FPQ，∵PB＝PQ，∠PEB＝∠PFQ＝90°，∴△PBE≌△QPF（AAS），∴PE＝QF＝x，EB＝PF＝8，∴DF＝AE+PE+PF﹣AD＝x﹣1，∵CD∥AB，∴∠FDQ＝∠A，∴tan∠FDQ＝tan A＝＝，∴＝，∴x＝4，∴PE＝4，∴AP＝6+4＝10；如图2，当点Q落在AD上时，∵将线段PB绕着点P逆时针旋转90°得到线段PQ，∴∠BPQ＝90°，∴∠APB＝∠BPQ＝90°，在Rt△APB中，∵tan A＝＝，AB＝10，∴AP＝6；如图3中，当点Q落在直线BC上时，作BE⊥AD于E，PF⊥BC于F．则四边形BEPF 是矩形．在Rt△AEB中，∵tan A＝＝，AB＝10，∴BE＝8，AE＝6，∴PF＝BE＝8，∵△BPQ是等腰直角三角形，PF⊥BQ，∴PF＝BF＝FQ＝8，∴PB＝PQ＝8，BQ＝PB＝16＞15（不合题意舍去），综上所述，AP的值是6或10，故答案为：6或10．26．解：如图，连接BD，连接A'D，过点B作BH⊥AD于H，过点A'作A'E⊥AB于E，∵sin A＝＝，∴BH＝4，∴AH＝＝＝3，∴AD＝AH＝3，∴点D与点H重合，∴∠ADB＝90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝3，AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC＝90°，又∵A'C⊥BC，∴BD∥A'C，∵将平行四边形ABCD绕着点B顺时针旋转θ（0°＜θ＜90°），∴A'B＝AB＝5，∵A'C⊥BC，∴A'C＝＝＝4，∴A'C＝BD，∴四边形A'CBD是平行四边形，∵∠DBC＝90°，BC＝A'D＝3，∴四边形A'CBD是矩形，∴∠A'DB＝90°，∴∠A'DB+∠ADB＝180°，∴点A，点D，点A'共线，∵S＝×AB×A'E＝×AA'×BD，△A'BA∴A'E＝，∴BE＝＝＝，∴cosθ＝＝＝，故答案为：．27．解：作CH⊥AB于H，设BH＝5a，∵cot B＝，∴＝，∴CH＝12a，∵AB∥CD，∴∠D＝∠A＝90°，又CH⊥AB，∴四边形ADCH为矩形，∴AD＝CH＝12a，CD＝AH，∵DC＝AD，∴AH＝CD＝12a，由题意得，12a+5a＝17，解得，a＝1，∴AD＝CD＝AH＝12，BH＝5，在Rt△CHB中，BC＝＝13，∴四边形ABCD的周长＝12+12+17+13＝54，∵CE是梯形ABCD的“等分周长线”，∴点E在AB上，∴AE＝17+13﹣27＝3，∴EH＝12﹣3＝9，由勾股定理得，EC＝＝15，∴△BCE的周长＝14+13+15＝42，故答案为：42．28．解：∵四边形EFGH是正方形，△AEH是等腰直角三角形，∴AH＝HE＝HG，设AH＝HG＝1，则AG＝2，正方形EFGH的面积为1，∵△ADG是等腰直角三角形，∴AD＝AG＝2，∴正方形ABCD的面积为8，∴正方形EFGH的面积与正方形ABCD的面积的比值为，故答案为：．29．解：∵AD是中线，∴BD＝DC，∵DE∥AB，∴AE＝EC，∴AB＝2DE，∴＝2，∵＝＝，＝+，∴＝2+，故答案为：2+．30．解：设梯形的上底为a，则下底为2a，∴梯形的中位线＝＝a，∵梯形的中位线把梯形分成的两个梯形的高h是相等的，∴这个梯形的中位线把梯形分成两部分的面积之比＝＝，故答案为：5：7．三．解答题（共5小题）31．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO＝DO，∵EF＝BE，∴OE是△BDF的中位线，∴OE∥DF，即DF∥AC；（2）解：∵AB＝BE，∴∠BAE＝∠BEA，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠BAE＝∠GCE，∵∠BEA＝∠GEC，∴∠GEC＝∠GCE，∴GE＝CG，∵DF∥AC，∴＝，∵DG＝CG，∴FG＝GE，∴四边形DECF是平行四边形，∵DG＝CG，FG＝GE，GE＝CG，∴DG＝CG＝FG＝GE，∴DC＝EF，∴四边形DECF是矩形．32．证明：（1）如图1，∵四边形ABCD是正方形，∴OA＝OB＝OC＝OD，AC⊥BD，∵ON＝OM，∴，∴MN∥CD，又∵EN∥BD，∴四边形DMNE是平行四边形，在△AOM和△DON中，∵∠AOM＝∠DON＝90°，OA＝OD，OM＝ON，∴△AOM≌△DON（SAS），∴∠OMA＝∠OND，∵∠OAM+∠OMA＝90°，∴∠OAM+∠OND＝90°∴∠AHN＝90°．∴DN⊥ME，∴平行四边形DMNE是菱形；（2）如图2，∵MN∥CD，∴，∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥DC，AB＝DC，∠ADC＝90°，∴AD⊥DC，又∵EN⊥DC，∴EN∥AD，∴，∵AB∥DC，∴，∴，∴AN2＝NC•AC．33．解：（1）如图2，过点E作EH⊥AB轴，垂足为H，∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝90°，∴AD∥EH，∴∠DAE＝∠AEH，∵∠DAE＝30°，∴∠AEH＝30°．在直角△AEH中，∠AHE＝90°，∴EH＝AE•cos∠AEH，∵AD＝AE＝3cm，∴cm，即点E到边AB的距离是cm；（2）如图3，过点E作EH⊥AB，垂足为H．∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∵AD＝3cm，∴BC＝3cm，在直角△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4cm，∴cm，∵EH∥BC，∴，∵AE＝AD＝3 cm，∴，∴cm，∵推移过程中边的长度保持不变，∴AD＝AE＝BF，AB＝DC＝EF，∴四边形ABCD是平行四边形，∴cm2．34．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，∠B＝∠D，∠A＝∠C，∵BE＝DG，BF＝DH，且∠B＝∠D，∴△BEF≌△DGH（SAS），∴EF＝HG，同理可得EH＝FG，∴四边形EFGH是平行四边形；（2）∵AB＝BC，BE＝BF∴AB＝BC＝CD＝AD，BE＝BF＝DH＝DG，∴AE＝AH，∵AD∥BC，∴∠B+∠A＝180°，∵BE＝BF，AE＝AH，∴∠BEF＝∠BFE＝，∠AEH＝∠AHE＝，∴∠AEH+∠BEF＝90°，∴∠FEH＝90°，∴平行四边形EFGH是矩形．35．证明：（1）如图，作EM⊥BC于点M，∵四边形ABCD是矩形，∴AB⊥BC，∴EM∥AB，∴∠ABE＝∠BEM，∠BAC＝∠CEM，∵∠ABE+∠CEF＝45°，∴∠BEM+∠CEF＝45°，∵BE⊥EF，∴∠CEM＝45°＝∠BAC，∴∠BAC＝∠ACB＝45°，∴AB＝BC，∴矩形ABCD是正方形；（2）如图，∵∠BEF+∠BCF+∠EFC+∠EBC＝360°，∴∠EBC+∠EFC＝180°，且∠EFC+∠QFD＝180°，∴∠DFQ＝∠EBC，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACB＝∠BDC＝45°，∴△BCE∽△FDQ，∴，∴BC•DQ＝CE•DF．。

黄浦区2019学年度第一学期九年级期终调研测试数学评分标准一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．A ；2．B ；3．B ；4．B ；5．C ；6．D ．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．34a b -+v v ；8．325；9．6；10．12-；11．答案不唯一（如22y x x =-）；12．；13．79；14．23122y x x =-+；15．9.6；16．8或92；17．92；18．118-．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分）解：原式1-……………………………………………………(2+2+2+2分)=0．…………………………………………………………………………(2分)20．（本题满分10分（1）13a b +r v ；…………………………………………………………………………(5分)（2）图略．……………………………………………………………（画图4分，结论1分）21．（本题满分10分）解：（1）如图，过点C 作CH AB ⊥，垂足为点H ．……………………………………(1分)∵45CBA ∠=︒，∴BH CH =．……………………………………………………………………………(1分)设CH x =，则BH x =．∵在Rt △ACH 中，30CAB ∠=︒，∴AH ==．……………………………………………………………(1分)∴50x +=．……………………………………………………………………(1分)解得：18x =≈……………………(1分)∴18119+=．答：计算得到的无人机的高约为19m ．……………………………………………………(1分)（2）过点F 作FG AB ⊥，垂足为点G ．………………………………………………(1分)在Rt △AGF 中，tan FG FAG AG ∠=．………………………………………………………(1分)∴tan 401821.40.84FG AG =≈≈o ．……………………………………………………(1分)又31.14AH =≈．∴31.1421.452-≈，或31.1421.4262+≈答：计算得到的无人机的平均速度约为5米/秒或26米/秒．……………………………(1分)22．（本题满分10分）（1）抛物线2124y x x =--+的开口方向向下，………………………………………(1分)顶点A 的坐标是(2,3)-，…………………………………………………………………(2分)抛物线的变化情况是：在对称轴直线2x =-左侧部分是上升的，右侧部分是下降的．(2分)（2）设直线BC 与对称轴交于点D ，则AD ⊥BD ．设线段AD 的长为m ，则cot 2BD ABC AD m =∠⋅=．………………………………(1分)∴点B 的坐标可表示为(22,3)m m ---．………………………………………………(2分)代入2124y x x =--+，得213(22)(22)24m m m -=------+．解得10m =（舍），21m =．………………………………………………………………(1分)∴点B 的坐标为(4,2)-．…………………………………………………………………(1分)23．（本题满分12分）（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴CD ∥AB ，AD ∥BC ，∴∠CDE =∠DAB ，∠CBF =∠DAB ．∴∠CDE =∠CBF ．……………………………………………………………………（2分）∵CE ⊥AE ，CF ⊥AF ，∴∠CED =∠CFB =90°．………………………………………………………………（1分）∴△CDE ∽△CBF ．…………………………………………………………………（1分）∴BC CD BF DE=．…………………………………………………………………………（1分）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BC =AD ，CD =AB ．∴AD AB BF DE =．∴AD DE AB BF ⋅=⋅．…………………………………………………………（1分）（2）∵CF AC DE CD=，∠CED =∠CFB =90°，∴△ACF ∽△CDE ．………………………………………………………（2分）又∵△CDE ∽△CBF ，∴△ACF ∽△CBF ．………………………………………………………（1分）∴22ACF CBF S AC S BC =V V ．………………………………………………………………………（1分）∵△ACF 与△CBF 等高，∴ACF CBF S AF S BF=V V ．………………………………………………………………………（1分）∴22AC AF BC BF=．………………………………………………………………………（1分）24．（本题满分12分）（1）由题意，可知原抛物线顶点是(1,4)．………………………………………………（1分）设影子抛物线表达式是2y x n =+，………………………………………………（1分）将(1,4)代入2y x n =+，解得3n =．………………………………………………（1分）所以“影子抛物线”的表达式是23y x =+．………………………………………（1分）（2）设原抛物线表达式是2()y x m k =-++，则原抛物线顶点是(,)m k -．将(,)m k -代入25y x =-+，得2()5m k --+=①………………………………（1分）将（1，0）代入2()y x m k =-++，20(1)m k =-++②…………………………（1分）由①、②解得1114m k =⎧⎨=⎩，2221m k =-⎧⎨=⎩．所以，原抛物线表达式是2(1)4y x =-++或2(2)1y x =--+．…………………（2分）（3）结论成立．……………………………………………………………………（1分）设影子抛物线表达式是2y ax n =+．原抛物线于y 轴交点坐标为(0,)c 则两条原抛物线可表示为211y ax b x c =++与抛物线222y ax b x c =++（其中a 、1b 、2b 、c 是常数，且0a ≠，12b b ≠）由题意，可知两个抛物线的顶点分别是21114(,)24b ac b P a a --、22224(,)24b ac b P a a --将1P 、2P 分别代入2y ax n =+，得221122224()244()24b ac b a n a a b ac b a n a a ⎧--+=⎪⎪⎨-⎪-+=⎪⎩…………………………………………………………（1分）消去n 得2212b b =．………………………………………………………………………（1分）∵12b b ≠，∴12b b =-∴22214(,)24b ac b P a a -，22224(,24b ac b P a a--，………………………………………（1分）∴1P 、2P 关于y 轴对称．25．（本题满分14分）（1）∵△ABC 是等边三角形，∴AB =BC -AC =2，∠BAC =∠ABC =∠ACB =60°.∵AD =AC ,∴AD =AB .∴∠ABD =∠ADB .∵∠ABD +∠ADB +∠BAC +∠CAD =180°，∠CAD =90°，∠ABD =15°.∴∠EBC =45°.……………………………………………………………（1分）过点E 作EG ⊥BC ，垂足为点G .………………………………………………………（1分）设AE x =，则2EC x =-.在Rt △CGE 中，∠ACB =60°，∴3sin (2)2A EG EC B x C =⋅∠=-，1cos 12C EC ACB G ∠-==⋅.…………………（1分）∴1212BG EG x =-=+.在Rt △BGE 中，∠EBC =45°，∴11)22x x +=-.………………………………………………………………（1分）解得4x =-.所以线段AE的长是4-1分）（2）①设ABD α∠=，则BDA α∠=，1202DAC BAD BAC α∠=∠-∠=-o ∵AD =AC ,AH ⊥CD ，∴1602CAF DAC α∠=∠=-o .…………………………………………………………（1分）又∵60AEF α∠=+o ，∴60AFE ∠=o .…………………………………………………（1分）∴AFE ACB ∠=∠.又∵AEF BEC ∠=∠，∴△AEF ∽△BEC .………………………………………………（1分）∴22BCE AEF S BE S AE=V V .……………………………………………………………………………（1分）由（1）得在Rt △CGE 中，112BG x =+，3(2)2EG x =-∴222224BE BG EG x x =+=-+.∴2224x x y x -+=(02x <<)………………………………………………………（2分）②当∠CAD <120°时，23AE =；…………………………………………………………（2分）当120°<∠CAD <180°时，1AE =.……………………………………………………（2分）。

2022年上海市15区中考数学一模考点分类汇编专题11 几何综合一．解答题（共15小题）1．（普陀区）如图，在△ABC中，边BC上的高AD＝2，tan B＝2，直线l平行于BC，分别交线段AB，AC，AD于点E、F、G，直线l与直线BC之间的距离为m．（1）当EF＝CD＝3时，求m的值；（2）将△AEF沿着EF翻折，点A落在两平行直线l与BC之间的点P处，延长EP交线段CD于点Q．①当点P恰好为△ABC的重心时，求此时CQ的长；②联结BP，在∠CBP＞∠BAD的条件下，如果△BPQ与△AEF相似，试用m的代数式表示线段CD的长．2．（嘉定区）在平行四边形ABCD中，对角线AC与边CD垂直，，四边形ABCD的周长是16，点E是在AD延长线上的一点，点F是在射线AB上的一点，∠CED＝∠CDF．（2）如图2，点F在边AB上的一点．设AE＝x，BF＝y，求y关于x的函数关系式并写出它的定义域；（3）如果BF：FA＝1：2，求△CDE的面积．3．（金山区）已知：如图，AD⊥直线MN，垂足为D，AD＝8，点B是射线DM上的一个动点，∠BAC＝90°，边AC交射线DN于点C，∠ABC的平分线分别与AD、AC相交于点E、F．（1）求证：△ABE∽△CBF；（2）如果AE＝x，FC＝y，求y关于x的函数关系式；（3）联结DF，如果以点D、E、F为顶点的三角形与△BCF相似，求AE的长．4．（静安区）如图1，四边形ABCD中，∠BAD的平分线AE交边BC于点E，已知AB＝9，AE＝6，AE2＝AB•AD，且DC∥AE．（1）求证：DE2＝AE•DC；（2）如果BE＝9，求四边形ABCD的面积；（3）如图2，延长AD、BC交于点F，设BE＝x，EF＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域．5．（杨浦区）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝5，点D为射线AB上一动点，且BD＜AD，点B关于直线CD的对称点为点E，射线AE与射线CD交于点F．（1）当点D在边AB上时，①求证：∠AFC＝45°；②延长AF与边CB的延长线相交于点G，如果△EBG与△BDC相似，求线段BD的长；（2）联结CE、BE，如果S△ACE＝12，求S△ABE的值．6．（浦东新区）在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点O是边AC上的一个动点，过O 作OD⊥AB，D为垂足，在线段AC上取OE＝OD，联结ED，作EP⊥ED，交射线AB于点P，交射线CB于点F．（1）如图1所示，求证：△ADE∽△AEP；（2）设OA＝x，AP＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）当BF＝1时，求线段AP的长．7．（奉贤区）如图1，已知锐角△ABC的高AD、BE相交于点F，延长AD至G，使DG＝FD，联结BG，CG．（1）求证：BD•AC＝AD•BG；（2）如果BC＝10，设tan∠ABC＝m．①如图2，当∠ABG＝90°时，用含m的代数式表示△BFG的面积；②当AB＝8，且四边形BGCE是梯形时，求m的值．8．（松江区）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，BC＝4，D是边AB上一点（与点A、B不重合），DE平分∠CDB，交边BC于点E，EF⊥CD，垂足为点F．（1）当DE⊥BC时，求DE的长；（2）当△CEF与△ABC相似时，求∠CDE的正切值；（3）如果△BDE的面积是△DEF面积的2倍，求这时AD的长．9．（青浦区）在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝，AD＝2，DC＝，tan∠ABC＝2（如图）．点E是射线AD上一点，点F是边BC上一点，联结BE、EF，且∠BEF＝∠DCB．（1）求线段BC的长；（2）当FB＝FE时，求线段BF的长；（3）当点E在线段AD的延长线上时，设DE＝x，BF＝y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．10．（徐汇区）如图，在△ABC中，∠C＝90°，cot A＝，点D为边AC上的一个动点，以点D 为顶点作∠BDE＝∠A，射线DE交边AB于点E，过点B作射线DE的垂线，垂足为点F．（1）当点D是边AC中点时，求tan∠ABD的值；（2）求证：AD•BF＝BC•DE；（3）当DE：EF＝3：1时，求AE：EB．11．（长宁区）已知，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点E是射线CA上的动点，点O是边BC 上的动点，且OC＝OE，射线OE交射线BA于点D．（1）如图，如果OC＝2，求的值；（2）联结AO，如果△AEO是以AE为腰的等腰三角形，求线段OC的长；（3）当点E在边AC上时，联结BE、CD，∠DBE＝∠CDO，求线段OC的长．12．（崇明区）已知：如图，正方形的边长为1，在射线AB上取一点E，联结DE，将△ADE绕点D逆时针旋转90°，E点落在F处，联结EF，与对角线BD所在的直线交于点M，与射线DC交于点N．（1）当AE＝时，求tan∠EDB的值；（2）当点E在线段AB上，如果AE＝x，FM＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）联结AM，直线AM与直线BC交于点G，当BG＝时，求AE的值．13．（黄浦区）如图，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠ACB＝∠DAB＝90°，AB2＝BC•BD，AB＝3，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，延长AE、CB交于点F，联结DF．（1）求证：AE＝AC；（2）设BC＝x，＝y，求y关于x的函数关系式及其定义域；（3）当△ABC与△DEF相似时，求边BC的长．14．（宝山区）如图，已知正方形ABCD，将边AD绕点A逆时针方向旋转n°（0＜n＜90）到AP 的位置，分别过点C、D作CE⊥BP，DF⊥BP，垂足分别为点E、F．（1）求证：CE＝EF；（2）联结CF，如果＝，求∠ABP的正切值；（3）联结AF，如果AF＝AB，求n的值．15．（虹口区）已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，tan B＝，点D是边BC延长线上的点，在射线AB上取一点E，使得∠ADE＝∠ABC．过点A作AF⊥DE于点F．（1）当点E在线段AB上时，求证：＝；（2）在（1）题的条件下，设CD＝x，DE＝y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）记DE交射线AC于点G，当△AEF∽△AGF时，求CD的长．2022年上海市15区中考数学一模考点分类汇编专题11 几何综合一．解答题（共15小题）1．（普陀区）如图，在△ABC中，边BC上的高AD＝2，tan B＝2，直线l平行于BC，分别交线段AB，AC，AD于点E、F、G，直线l与直线BC之间的距离为m．（1）当EF＝CD＝3时，求m的值；（2）将△AEF沿着EF翻折，点A落在两平行直线l与BC之间的点P处，延长EP交线段CD于点Q．①当点P恰好为△ABC的重心时，求此时CQ的长；②联结BP，在∠CBP＞∠BAD的条件下，如果△BPQ与△AEF相似，试用m的代数式表示线段CD的长．【分析】（1）根据＝tan B＝2，可得：BD＝1，再由EF＝CD＝3，DG＝m，可得：BC＝4，AG ＝2﹣m，利用EF∥BC，可得＝，建立方程求解即可；（2）①由翻折可得：BD＝CD＝1，AP＝2PD，即PD＝AD＝，AP＝AD＝，进而得出：AG ＝，推出DP＝GP，再由EF∥BC，可得出EG＝，利用ASA证明△PQD≌△PEG，即可求得答案；②分两种情况：Ⅰ．当△BPQ∽△FAE时，由△FAE∽△CAB，推出△BPQ∽△CAB，建立方程求解即可；Ⅱ．当△BPQ∽△AFE时，由△AFE∽△ACB，推出△BPQ∽△ACB，建立方程求解即可．【解答】解：（1）如图1，在△ABC中，边BC上的高AD＝2，tan B＝2，∴＝tan B＝2，∴BD＝1，∵EF＝CD＝3，DG＝m，∴BC＝BD+CD＝4，AG＝AD﹣DG＝2﹣m，∵EF∥BC，∴＝，即＝，解得：m＝，∴m的值为；（2）①如图2，∵将△AEF沿着EF翻折，点A落在△ABC的重心点P处，∴BD＝CD＝1，AP＝2PD，即PD＝AD＝，AP＝AD＝，∴AG＝GP＝AP＝，∴DP＝GP，∵EF∥BC，∴∠PGE＝∠PDQ＝90°，△AEG∽△ABD，∴＝，即＝，∴EG＝，在△PQD和△PEG中，，∴△PQD≌△PEG（ASA），∴DQ＝EG＝，∴CQ＝CD﹣DQ＝1﹣＝，∴此时CQ的长为；②在Rt△ABD中，AB＝＝，∵将△AEF沿着EF翻折，点A落在两平行直线l与BC之间的点P处，∴∠PBQ＜∠ABD，∵EF∥BC，∴∠AEF＝∠ABD，∴∠PBQ＜∠AEF，∵∠CBP＞∠BAD，∴∠BAD＜∠PBQ＜∠AEF，∵GP＝AG＝2﹣m，DG＝m，∴DP＝DG﹣GP＝m﹣（2﹣m）＝2m﹣2，∴m＞1，∴1＜m＜2，∵∠AEF＝∠ABD，∴＝tan∠AEF＝tan∠ABD＝2，∴＝2，∴EG＝，∵EF∥BC，∴△PEG∽△PQD，∴＝，即＝，∴DQ＝m﹣1，∴BQ＝BD+DQ＝m，∵∠AEF＝∠PEG＝∠BQP，∠PBQ＜∠AEF，∴△BPQ与△AEF相似，则△BPQ∽△FAE或△BPQ∽△AFE，Ⅰ．当△BPQ∽△FAE时，∵△FAE∽△CAB，∴△BPQ∽△CAB，∴＝，即＝，∴BC＝，∴CD＝BC﹣BD＝﹣1＝；Ⅱ．当△BPQ∽△AFE时，∵△AFE∽△ACB，∴△BPQ∽△ACB，∴＝，即＝，∴BC＝，∴CD＝BC﹣BD＝﹣1＝，综上，线段CD的长为或．【点评】本题考查了全等三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角函数，翻转变换的性质等，熟练掌握全等三角形判定和性质、相似三角形的判定和性质等相关知识，运用分类讨论思想和方程思想思考解决问题是解题关键．2．（嘉定区）在平行四边形ABCD中，对角线AC与边CD垂直，，四边形ABCD的周长是16，点E是在AD延长线上的一点，点F是在射线AB上的一点，∠CED＝∠CDF．（1）如图1，如果点F与点B重合，求∠AFD的余切值；（2）如图2，点F在边AB上的一点．设AE＝x，BF＝y，求y关于x的函数关系式并写出它的定义域；（3）如果BF：FA＝1：2，求△CDE的面积．【分析】（1）设AB＝3k，则AC＝4k，由勾股定理求出BC＝＝5k，由四边形ABCD 的周长求出k＝1，求出AM的长，则可得出答案；（2）证明△CDE∽△DAF，由相似三角形的性质得出，得出AD＝BC＝5，DE＝x﹣5，DC ＝AB＝3，AF＝3﹣y，由比例线段可得出答案；（3）分两种情况：①当点F在边AB上，②当点F在AB的延长线上，求出AF的长，由相似三角形的性质及三角形面积公式可得出答案．【解答】解：（1）如果点F与点B重合，设DF与AC交于点M，∵AC⊥CD，∴∠DCA＝90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，∴∠CAB＝∠DCA＝90°，在Rt△CAB中，设AB＝3k，∵，∴AC＝4k，∴BC＝＝5k，∵四边形ABCD的周长是16，∴2（AB+BC）＝16，即 2（3k+5k）＝16，∴k＝1，∴AB＝3，BC＝5，AC＝4，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AM＝CM＝AC＝2，∴cot∠AFD＝；（2）解：∵CD∥AB，∴∠EDC＝∠FAD，∠CDF＝∠AFD，∵∠CED＝∠CDF，∴∠CED＝∠AFD，∴△CDE∽△DAF，∴，由题意，得AD＝BC＝5，DE＝x﹣5，DC＝AB＝3，AF＝3﹣y，∴，∴y＝﹣，定义域是：5＜x≤．（3）解：点F在射线AB上都能得到：△CDE∽△DAF，∴，①当点F在边AB上，∵BF：FA＝1：2，AB＝3，∴AF＝2，由题意，得S△DAF＝AF•AC，∵AC＝4，∴S△DAF＝×2×4＝4，∴，∴S△CDE＝，②当点F在AB的延长线上，∵BF：FA＝1：2，AB＝3，∴AF＝6，由题意，得S△DAF＝AF•AC，∴S△DAF＝AF•AC＝12，∴，∴S△CDE＝．综上所述，△CDE的面积是或．【点评】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．3．（金山区）已知：如图，AD⊥直线MN，垂足为D，AD＝8，点B是射线DM上的一个动点，∠BAC ＝90°，边AC交射线DN于点C，∠ABC的平分线分别与AD、AC相交于点E、F．（1）求证：△ABE∽△CBF；（2）如果AE＝x，FC＝y，求y关于x的函数关系式；（3）联结DF，如果以点D、E、F为顶点的三角形与△BCF相似，求AE的长．【分析】（1）根据同角的余角相等得到∠BAD＝∠BCF，根据角平分线的定义得到∠ABE＝∠CBF，根据相似三角形的判定定理证明△ABE∽△CBF；（2）作FH⊥BC于点H，根据相似三角形的性质、补角的概念得到∠AEF＝∠CFE，得到AE＝AF ＝x，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算即可；（3）分∠BAE＝∠FDE、∠BAE＝∠DFE两种情况，根据相似三角形的性质计算即可．【解答】（1）证明：∵AD⊥直线MN，∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠ABD＝90°，∠BCF+∠ABD＝90°，∴∠BAD＝∠BCF，∵BF平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBF，∴△ABE∽△CBF；（2）解：作FH⊥BC，垂足为点H．∵△ABE∽△CBF，∴∠AEB＝∠CFB，∵∠AEB+∠AEF＝180°，∠CFB+∠CFE＝180°，∴∠AEF＝∠CFE，∴AE＝AF＝x，∵BF平分∠ABC，FH⊥BC，∠BAC＝90°，∴AF＝FH＝x．∵FH⊥BC，AD⊥直线MN，∴FH∥AD，∴＝，即＝，解得：y＝（4＜x＜8）；（3）解：设AE＝x，∵△ABE∽△CBF，∴如果以点D、E、F为顶点的三角形与△BCF相似时，以点D、E、F为顶点的三角形与△ABE相似．∵∠AEB＝∠DEF，∴∠BAE＝∠FDE或∠BAE＝∠DFE，当∠BAE＝∠FDE时，DF∥AB，∴∠ABE＝∠DFE，∵∠ABE＝∠DBE，∴∠DBE＝∠DFE，∴BD＝DF，∵DF∥AB，∴∠DFC＝∠BAC＝90°，∴∠DFC＝∠ABD＝90°，∵∠BAD＝∠BCF，∴△ABD≌△CDF（AAS），∴CF＝AD＝8，即＝8，解得：x1＝﹣4+4，x2＝﹣4﹣4（舍去），∴AE＝﹣4+4；当∠BAE＝∠DFE，＝时，∵∠ABF＝∠BED，∴△AEF∽△BED，∴∠AFE＝∠BDE，因为∠AFE是锐角，∠BDE是直角，所以这种情况不成立，综上所述，如果以点D、E、F为顶点的三角形与△BCF相似，AE的长为﹣4+4．【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、函数解析式的确定，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．4．（静安区）如图1，四边形ABCD中，∠BAD的平分线AE交边BC于点E，已知AB＝9，AE＝6，AE2＝AB•AD，且DC∥AE．（1）求证：DE2＝AE•DC；（2）如果BE＝9，求四边形ABCD的面积；（3）如图2，延长AD、BC交于点F，设BE＝x，EF＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域．【分析】（1）先证明△ABE∽△AED，可得∠AEB＝∠ADE，再由平行线性质可推出∠ADE＝∠DCE，进而证得△ADE∽△ECD，根据相似三角形性质可证得结论；（2）如图2，过点B作BG⊥AE，运用等腰三角形性质可得G为AE的中点，进而可证得△ADE≌△ECD（SAS），再求得S△ABE＝×AE×BG＝18，根据△ABE∽△AED且相似比为3：2，可求得S＝S△CDE＝8，由S四边形ABCD＝S△ABE+S△AED+S△CDE可求得答案；△AED（3）由△ABE∽△AED，可求得：DE＝x，进而得出DC＝x2，再利用△ADE∽△ECD，可得：CE＝x，再利用DC∥AE，可得△AEF∽△DCF，进而求得：CF＝EF，再结合题意得出答案．【解答】（1）证明：如图1，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∵AE2＝AB•AD，∴＝，∴△ABE∽△AED，∴∠AEB＝∠ADE，∵DC∥AE，∴∠AEB＝∠DCE，∠AED＝∠CDE，∴∠ADE＝∠DCE，∴△ADE∽△ECD，∴＝，∴DE2＝AE•DC；（2）解：如图2，过点B作BG⊥AE，∵BE＝9＝AB，∴△ABE是等腰三角形，∴G为AE的中点，由（1）可得△ADE、△ECD也是等腰三角形，∵AE2＝AB•AD，AB＝BE＝9，AE＝6，∴AD＝4，DE＝6，CE＝4，AG＝3，∴△ADE≌△ECD（SAS），在Rt△ABG中，BG＝＝＝6，∴S△ABE＝×AE×BG＝×6×6＝18，∵△ABE∽△AED且相似比为3：2，∴S△ABE：S△AED＝9：4，∴S△AED＝S△CDE＝8，∴S四边形ABCD＝S△ABE+S△AED+S△CDE＝18+8+8＝34；（3）解：如图3，由（1）知：△ABE∽△AED，∴＝，∵BE＝x，AB＝9，AE＝6，AE2＝AB•AD，AD＝4，∴＝，∴DE＝x，由（1）知：DE2＝AE•DC，∴DC＝x2，∵△ADE∽△ECD，∴＝＝，∴CE＝x，∵DC∥AE，∴△AEF∽△DCF，∴＝＝，∴CF＝EF，∴＝＝＝，∴y＝EF＝CE＝×x＝，∵即，∴3＜x＜9，∴y关于x的函数解析式为y＝，定义域为3＜x＜9．【点评】本题是相似三角形综合题，考查了角平分线定义，平行线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形面积等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．5．（杨浦区）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝5，点D为射线AB上一动点，且BD＜AD，点B关于直线CD的对称点为点E，射线AE与射线CD交于点F．（1）当点D在边AB上时，①求证：∠AFC＝45°；②延长AF与边CB的延长线相交于点G，如果△EBG与△BDC相似，求线段BD的长；（2）联结CE、BE，如果S△ACE＝12，求S△ABE的值．【分析】（1）①如图1，连接CE，根据轴对称的性质可得：EC＝BC，∠ECF＝∠BCF，设∠ECF ＝∠BCF＝α，则∠BCE＝2α，∠ACE＝90°﹣2α，再利用等腰三角形性质即可证得结论；②如图2，连接BE，CE，由△EBG∽△BDC，可得出∠G＝∠BCD＝22.5°，过点D作DH⊥AB交BC于点H，则△BDH是等腰直角三角形，推出CH＝DH＝BD，再根据CH+BH＝BC＝5，建立方程求解即可；（2）分两种情况：Ⅰ．当点D在AB上时，如图3，过点C作CM⊥AE于点M，连接BF，利用勾股定理、三角形面积建立方程求解即可；Ⅱ．当点D在AB的延长线上时，如图4，过点C作CM⊥AE于点M，连接BF，利用勾股定理、三角形面积建立方程求解即可．【解答】解：（1）①证明：如图1，连接CE，∵点B关于直线CD的对称点为点E，∴EC＝BC，∠ECF＝∠BCF，设∠ECF＝∠BCF＝α，则∠BCE＝2α，∴∠ACE＝90°﹣2α，∵AC＝BC，∴AC＝EC，∴∠AEC＝∠EAC＝[180°﹣（90°﹣2α）]＝45°+α，∵∠AEC＝∠AFC+∠ECF＝∠AFC+α，∴∠AFC＝45°；②如图2，连接BE，CE，∵B、E关于直线CF对称，∴CF垂直平分BE，由（1）知：∠AFC＝45°，∴∠BEF＝45°，∵△EBG与△BDC相似，∠BEG＝∠DBC＝45°，∵∠EBG与∠BDC均为钝角，∴△EBG∽△BDC，∴∠G＝∠BCD＝∠BAG，∵∠G+∠BAG＝∠ABC＝45°，∴∠G＝∠BCD＝22.5°，过点D作DH⊥AB交BC于点H，则△BDH是等腰直角三角形，∴DH＝BD，BH＝BD，∠BHD＝45°，∵∠CDH＝∠BHD﹣∠BCD＝45°﹣22.5°＝22.5°＝∠BCD，∴CH＝DH＝BD，∵CH+BH＝BC＝5，∴BD+BD＝5，∴BD＝＝5﹣5，∴线段BD的长为5﹣5；（2）Ⅰ．当点D在AB上时，如图3，过点C作CM⊥AE于点M，连接BF，∵AC＝EC＝BC＝5，∴AM＝EM＝AE，∴①AM2+CM2＝AC2＝25，∵S△ACE＝AE•CM＝12，∴②AM•CM＝12，①+②×2，得：（AM+CM）2＝49③，①﹣②×2，得：（AM﹣CM）2＝49③，∵CM＞AM＞0，∴AM＝3，CM＝4，∴AE＝6，由（1）知：∠AFC＝45°，BE⊥CF，∴∠BEF＝45°，∵∠AFC＝∠ABC＝45°，∴A、C、B、F四点共圆，∴∠AFB+∠ACB＝180°，∴∠AFB＝90°，∴△BEF是等腰直角三角形，∴EF＝BF，设EF＝BF＝x，则AE＝x+6，在Rt△ABF中，AF2+BF2＝AB2，∴（x+6）2+x2＝50，解得：x＝1或x＝﹣7（舍去），∴BF＝1，∴S△ABE＝AE•BF＝×6×1＝3；Ⅱ．当点D在AB的延长线上时，如图4，过点C作CM⊥AE于点M，连接BF，由（1）知：∠AFC＝45°，CF垂直平分BE，∴∠BEF＝45°，BF＝EF，∴∠EBF＝∠BEF＝45°，∴∠BFE＝90°，∵AC＝EC＝BC＝5，∴AM＝EM＝AE，与Ⅰ同理可得：AM＝EM＝4，CM＝3，AE＝8，设BF＝EF＝y，则AF＝8﹣y，在Rt△ABF中，AF2+BF2＝AB2，∴（8﹣x）2+x2＝50，解得：x＝1或x＝7（舍去），∴BF＝1，∴S△ABE＝AE•BF＝×8×1＝4；综上，S△ABE的值为3或4．【点评】本题考查了三角形面积，等腰直角三角形性质和判定，相似三角形的判定和性质，轴对称变换的性质，勾股定理等，解题关键是添加辅助线构造直角三角形，运用分类讨论思想和方程思想解决问题．6．（浦东新区）在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点O是边AC上的一个动点，过O作OD ⊥AB，D为垂足，在线段AC上取OE＝OD，联结ED，作EP⊥ED，交射线AB于点P，交射线CB于点F．（1）如图1所示，求证：△ADE∽△AEP；（2）设OA＝x，AP＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）当BF＝1时，求线段AP的长．【分析】（1）利用等腰三角形的性质可证∠ADE＝∠AEP，且∠A＝∠A，可证结论成立；（2）由OD∥BC，得，可知AD＝，DO＝EO＝，由（1）知△ADE∽△AEP，得AE2＝AD•AP，有（x+）2＝，变形即可得出答案；（3）当点P在线段AB上时，由△PBF∽△PED，得，由△ADE∽△AEP，得，则，代入解方程即可；当点P在AB的延长线上时，首先通过导角得出∠CEF＝∠CFE，得EC＝FC＝2，过点E作EG⊥CF于点G，由相似得，则EG＝，CG＝，再利用EG∥BP，得，从而解决问题．【解答】（1）证明：∵OE＝OD，∴∠ODE＝∠OED，∵OD⊥AB，EP⊥ED，∴∠ADO＝∠PED，∴∠ADO+∠ODE＝∠PED+∠OED，∴∠ADE＝∠AEP，∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△AEP；（2）解：∵OD⊥AP，BC⊥AB，∴OD∥BC，∴，∴AD＝，DO＝EO＝，由（1）知△ADE∽△AEP，∴∴AE2＝AD•AP，∴（x+）2＝，∴y＝；（3）解：①当点P在线段AB上时，如图1，BP＝4﹣y＝4﹣，∵△PBF∽△PED，∴，∴△ADE∽△AEP，∴，∴，∴，∴x＝，∴AP＝2，②当点P在AB的延长线上时，如图2，∵∠CFE＝∠PFB＝∠PDE，∠CEF+∠DEO＝∠PDE+∠EDO，∴∠CEF＝∠CFE，∴EC＝FC＝2，过点E作EG⊥CF于点G，∴，∴EG＝，CG＝，∴EG∥BP，∴，∴PB＝2，∴AP＝2+4＝6，综上所述，AP＝2或6．【点评】本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例等知识，运用分类讨论思想是正确解题的关键．7．（奉贤区）如图1，已知锐角△ABC的高AD、BE相交于点F，延长AD至G，使DG＝FD，联结BG，CG．（1）求证：BD•AC＝AD•BG；（2）如果BC＝10，设tan∠ABC＝m．①如图2，当∠ABG＝90°时，用含m的代数式表示△BFG的面积；②当AB＝8，且四边形BGCE是梯形时，求m的值．【分析】（1）利用同角的余角相等可证∠BGF＝∠ACD，且∠BDG＝∠ADC＝90°，则△BDG∽△ADC，可证明结论；（2）①通过导角可利用ASA证△ADB≌△ADC，得BD＝CD＝BC＝5，再通过tan∠BGD＝m，可得GD＝，则GF＝2GD＝，代入三角形的面积公式即可；②分两种情形，当BG∥AC或BE∥CG，分别通过导角发现数量关系，从而解决问题．【解答】（1）证明：∵△ABC的高AD、BE相交于点F，∴∠AEB＝∠ADC＝90°，又∵∠EAF＝∠DAC，∴∠AFE＝∠ACD，∵∠BFD＝∠AFE，∴∠BFD＝∠ACD，∵BD⊥FG，DF＝DG，∴BD垂直平分GF，∴BG＝BF，∴∠BGF＝∠BFG，∴∠BGF＝∠ACD，又∵∠BDG＝∠ADC＝90°，∴△BDG∽△ADC，∴，∴BD•AC＝AD•BG；（2）解：①∵∠ABG＝90°，∴∠ABD+∠GBC＝90°，∵∠GBD+∠BGD＝90°，∴∠ABD＝∠BGD，同理∠GBD＝∠BAD，由（1）知△BDG∽△ADC，∴∠GBD＝∠DAC，∴∠BAD＝∠CAD，又∵AD＝AD，∠ADB＝∠ADC，∴△ADB≌△ADC（ASA），∴BD＝CD＝BC＝5，∵tan∠ABC＝m．∴tan∠BGD＝m，∴GD＝，∴GF＝2GD＝，∴S△BFG＝×FG×BD＝＝；②当BG∥AC时，∴∠ACB＝∠GBC，∵∠GBC＝∠CAD，∴∠ACB＝∠CAD＝45°，设CD＝AD＝x，则BD＝10﹣x，由勾股定理得，x2+（10﹣x）2＝82，解得x＝5±，当x＝5+时，BD＝10﹣x＝5﹣，此时m＝，当x＝5﹣时，BD＝10﹣x＝5+，此时m＝；当BE∥CG时，∴∠EBC＝∠BCG，则∠CBG＝∠BCG，∴BG＝CG，∴BD＝CD＝5，由勾股定理得AD＝，∴m＝，综上，m＝或或．【点评】本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角函数等知识，综合性较强，熟练掌握角之间的转化发现解题思想是关键．8．（松江区）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，BC＝4，D是边AB上一点（与点A、B不重合），DE平分∠CDB，交边BC于点E，EF⊥CD，垂足为点F．（1）当DE⊥BC时，求DE的长；（2）当△CEF与△ABC相似时，求∠CDE的正切值；（3）如果△BDE的面积是△DEF面积的2倍，求这时AD的长．【分析】（1）证明△DCE≌△DBE（ASA），可得CE＝BE＝2，根据＝tan∠B＝，即可求得答案；（2）分两种情况：①当△CEF∽△ABC时，可证得∠CDB＝90°，再根据DE平分∠CDB，可得∠CDE＝45°，再由特殊角的三角函数值即可求得答案；②当△CEF∽△BAC时，则∠ECF＝∠ABC，得出DC＝DB，再由DE平分∠CDB，可得DE⊥BC，推出∠CDE＝∠BAC，利用三角函数定义即可求得答案；（3）如图，过点E作EG⊥AB于点G，根据角平分线性质可得出EF＝EG，推出DF＝DG，再由△BDE的面积是△DEF面积的2倍，可得出BD＝2DF，进而推出DE＝BE，设BE＝x，则DE＝x，CE＝BC﹣BE＝4﹣x，BG＝BE•cos B＝x，BD＝2BG＝x，DG＝DF＝BG＝x，AD＝AB﹣BD＝6﹣x，根据△CDE∽CBD，得出＝＝，建立方程求解即可．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，BC＝4，∴AC＝＝＝2，∵DE平分∠CDB，∴∠CDE＝∠BDE，∵DE⊥BC，∴∠DEC＝∠DEB＝90°，在△DCE和△DBE中，，∴△DCE≌△DBE（ASA），∴CE＝BE，∵CE+BE＝BC＝4，∴CE＝BE＝2，∵＝tan∠B＝，∴＝，∴DE＝；（2）∵EF⊥CD，∴∠CFE＝90°＝∠ACB，∵△CEF与△ABC相似，∴△CEF∽△ABC或△CEF∽△BAC，①当△CEF∽△ABC时，则∠ECF＝∠BAC，∵∠ACB＝90°，∴∠BAC+∠ABC＝90°，∴∠ECF+∠ABC＝90°，∴∠CDB＝90°，∵DE平分∠CDB，∴∠CDE＝∠CDB＝×90°＝45°，∴tan∠CDE＝tan45°＝1；②当△CEF∽△BAC时，则∠ECF＝∠ABC，∴DC＝DB，∵DE平分∠CDB，∴DE⊥BC，∴∠CDE+∠ECF＝90°，∵∠BAC+∠ABC＝90°，∴∠CDE＝∠BAC，∴tan∠CDE＝tan∠BAC＝＝＝，综上所述，∠CDE的正切值为1或；（3）如图，过点E作EG⊥AB于点G，∵DE平分∠CDB，EF⊥CD，EG⊥AB，∴EF＝EG，∵DE＝DE，∴Rt△DEF≌Rt△DEG（HL），∴DF＝DG，∵△BDE的面积是△DEF面积的2倍，∴BD＝2DF，∴DG＝BG，∵EG⊥BD，∴DE＝BE，设BE＝x，则DE＝x，CE＝BC﹣BE＝4﹣x，BG＝BE•cos B＝x，∴BD＝2BG＝x，DG＝DF＝BG＝x，∴AD＝AB﹣BD＝6﹣x，∵DE平分∠CDB，∴∠CDE＝∠BDE，∵DE＝BE，∴∠BDE＝∠B，∴∠CDE＝∠B，∵∠DCE＝∠BCD，∴△CDE∽CBD，∴＝＝，即＝＝，解得：CD＝3，x＝，∴AD＝6﹣x＝6﹣×＝，故这时AD的长为．【点评】本题是几何综合题，考查了直角三角形性质，勾股定理，全等三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质，角平分线性质，三角形面积，三角函数等知识，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质等相关知识，运用分类讨论思想和方程思想解决问题．9．（青浦区）在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝，AD＝2，DC＝，tan∠ABC＝2（如图）．点E是射线AD上一点，点F是边BC上一点，联结BE、EF，且∠BEF＝∠DCB．（1）求线段BC的长；（2）当FB＝FE时，求线段BF的长；（3）当点E在线段AD的延长线上时，设DE＝x，BF＝y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．【分析】（1）如图1，过点A、D分别作AH⊥BC、DG⊥BC，垂足分别为点H、点G．根据矩形的性质得到AD＝HG＝2，AH＝DG，解直角三角形即可得到结论；（2）如图1，过点E作EM⊥BC，垂足为点M，根据矩形的性质得到EM＝AH＝2，解直角三角形即可得到结论；（3）如图2，过点E作EN∥DC，交BC的延长线于点N．根据平行四边形的性质得到DE＝CN，∠DCB＝∠ENB，根据相似三角形的性质得到BE2＝BF•BN，过点E作EQ⊥BC，垂足为点Q，根据矩形的性质得到EQ＝DG＝2，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：（1）如图1，过点A、D分别作AH⊥BC、DG⊥BC，垂足分别为点H、点G．∴AH∥DG，∵AD∥BC，∴四边形AHGD是矩形，∴AD＝HG＝2，AH＝DG，在Rt△ABH中，tan∠ABC＝2，AB＝，∴＝2，∴AH＝2BH，∵AH2+BH2＝AB2，∴（2BH）2+BH2＝（）2，∴BH＝1，∴AH＝2，∴DG＝2，在Rt△DGC中，DC＝，∴CG＝＝＝4，∴BC＝BH+HG+GC＝1+2+4＝7；（2）如图1，过点E作EM⊥BC，垂足为点M，∴AH∥EM，∵AD∥BC，∴四边形AHME是矩形，∴EM＝AH＝2，在Rt△DGC中，DG＝2，CG＝4，∴tan∠DCB＝＝，∵FB＝FE，∴∠FEB＝∠FBE．∵∠FEB＝∠DCB，∴∠FBE＝∠DCB，∴tan∠FBE＝．∴＝，∴BM＝4，在Rt△EFM中，FM2+EM2＝FE2，∴（4﹣FB）2+22＝FB2，∴BF＝；（3）如图2，过点E作EN∥DC，交BC的延长线于点N．∵DE∥CN，∴四边形DCNE是平行四边形，∴DE＝CN，∠DCB＝∠ENB，∵∠FEB＝∠DCB，∴∠FEB＝∠ENB，又∵∠EBF＝∠NBE，∴△BEF∽△BNE，∴＝，∴BE2＝BF•BN，过点E作EQ⊥BC，垂足为点Q，则四边形DGQE是矩形，∴EQ＝DG＝2，∴BQ＝x+3．∴BE2＝QE2+BQ2＝（x+3）2+22＝x2+6x+13，∴y（7+x）＝x2+6x+13．∴．【点评】本题考查了四边形综合题，梯形的性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．10．（徐汇区）如图，在△ABC中，∠C＝90°，cot A＝，点D为边AC上的一个动点，以点D为顶点作∠BDE＝∠A，射线DE交边AB于点E，过点B作射线DE的垂线，垂足为点F．（1）当点D是边AC中点时，求tan∠ABD的值；（2）求证：AD•BF＝BC•DE；（3）当DE：EF＝3：1时，求AE：EB．【分析】（1）过点D作DG⊥AB于G，设AC＝a，BC＝a，由勾股定理得AB的长，在△ABD中，利用面积法可表示出DG的长，再利用勾股定理得出AG的长，从而解决问题；（2）首先利用两个角相等可证明△ADB∽△DEB，得，再证明△ACB∽△DFB，得，从而证明结论；（3）设DE＝x，EF＝3x，得DF＝4x，由cot，可表示出BF的长，再利用勾股定理得出BE、BD的长，由（2）可知，△ADB∽△DEB，得，可表示出AB的长，从而解决问题．【解答】（1）解：如图，过点D作DG⊥AB于G，在Rt△ABC中，cot A＝，设AC＝a，BC＝a，∵∠ACB＝90°，∴AB＝＝＝a，∵D是AC的中点，∴AD＝，∵S，∴DG＝，在Rt△ADG中，AG＝＝＝，∴BG＝AB﹣AG＝a﹣＝，在Rt△GDB中，tan；（2）证明：∵∠BDE＝∠A，∠DBE＝∠ABD，∴△ADB∽△DEB，∴，∵∠F＝∠C＝90°，∠A＝∠BDE，∴△ACB∽△DFB，∴，∴，∴AD•BF＝BC•DE；（3）解：∵，∴设DE＝x，EF＝3x，∴DF＝4x，∵∠A＝∠BDE，∴cot A＝cot∠BDE＝，在 Rt△BDF中，cot，∴BF＝x，在Rt△BEF中，BE＝＝＝x，在Rt△BDF中，DB＝＝＝2x，由（2）可知，△ADB∽△DEB，∴，∴，∴AB＝x，∴AE＝AB﹣BE＝x﹣x＝x，∴，即AE：EB＝7：17．【点评】本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，三角函数，勾股定理，三角形的面积等知识，利用代数方法解决几何问题是解题的关键．11．（长宁区）已知，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点E是射线CA上的动点，点O是边BC上的动点，且OC＝OE，射线OE交射线BA于点D．（1）如图，如果OC＝2，求的值；（2）联结AO，如果△AEO是以AE为腰的等腰三角形，求线段OC的长；（3）当点E在边AC上时，联结BE、CD，∠DBE＝∠CDO，求线段OC的长．【分析】（1）通过证明△ABC∽△OEC，可求EC的长，AE的长，通过证明△ADE∽△ODB，可求解；（2）分两种情况讨论，利用相似三角形的性质可求解；（3）通过证明△CDA∽△BEO，可得，通过证明△ABE∽△ODC，可得，列出等式可求解．【解答】解：（1）∵AB＝AC＝5，OE＝OC＝2，∴∠B＝∠C，∠C＝∠OEC，∴∠B＝∠OEC＝∠AED，又∵∠C＝∠C，∴△ABC∽△OEC，∴，∴＝，∴EC＝，∴AE＝，∵∠ADE＝∠ADE，∠AED＝∠B，∴△ADE∽△ODB，∴＝（）2＝（）2＝；（2）如图1，当点E在AC上时，∵∠AEO＞90°，△AEO是等腰三角形，∴AE＝EO，由（1）可知：△ABC∽△OEC，∴，∴，∴EC＝OC，∵AC＝AE+EC＝OC+OC＝5，∴OC＝；当点E在线段CA的延长线上时，如图2，∵∠EAO＞90°，△AEO是等腰三角形，∴AE＝AO，∴∠E＝∠AOE，∵∠B＝∠C＝∠OEC，∴∠B＝∠AOE，∴△ABC∽△AOE，∴，∴，∴AE＝OC，由（1）可知：△ABC∽△OEC，∴，∴，∴EC＝OC，∵AC＝EC﹣AE＝5，∴OC﹣OC＝5，∴OC＝，综上所述：线段OC的长为或；（3）如图3，当点E在线段AC上时，∵∠ABE＝∠CDO，∠ABC＝∠OEC，∴∠ABC﹣∠ABE＝∠OEC﹣∠ODC，∴∠EBO＝∠DCA，∵∠DAC＝∠ABC+∠ACB＝2∠ACB，∠BOE＝∠ACB+∠OEC＝2∠ACB，∴∠DAC＝∠BOE，∴△CDA∽△BEO，∴，∵∠ABE＝∠ODC，∠BAC＝∠DOC，∴△ABE∽△ODC，∴，∴，∴，∴OC＝8﹣或OC＝8+（不合题意舍去），∴OC＝8﹣．【点评】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键．12．（崇明区）已知：如图，正方形的边长为1，在射线AB上取一点E，联结DE，将△ADE绕点D逆时针旋转90°，E点落在F处，联结EF，与对角线BD所在的直线交于点M，与射线DC交于点N．（1）当AE＝时，求tan∠EDB的值；（2）当点E在线段AB上，如果AE＝x，FM＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）联结AM，直线AM与直线BC交于点G，当BG＝时，求AE的值．【分析】（1）如图1中，过点E作ER⊥BD于点R．解直角三角形求出ER，DR即可；（2）如图2中，过点M作MP⊥AB于点P，MQ⊥BC于点Q．证明＝＝＝，构建关系式，可得结论；（3）分两种情形：如图3﹣1中，当点G在线段BC上时，过点M作MT⊥AB于点T．如图3﹣2中，当点G在CB的延长线上时，过点M作MT⊥AB交AB的延长线于点T．分别求解即可．【解答】解：（1）如图1中，过点E作ER⊥BD于点R．∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝BC＝CD＝1，∠A＝90°，∠BD＝90°，∴BD＝＝＝，∵ER⊥BD，∴∠EBR＝∠BER＝45°，∵AE＝，∵BE＝，∴ER＝BR＝，∴DR＝﹣＝，∴tan∠EDB＝＝＝；（2）如图2中，过点M作MP⊥AB于点P，MQ⊥BC于点Q．∵∠ADC＝∠EDF＝90°，∴∠ADE＝∠CDF，∵DA＝DC，DE＝DF，∴△ADE≌△CDF（SAS），∴AE＝CF＝x，在Rt△ADE中，DE＝＝，∵DE＝DF，∠EDF＝90°，∴EF＝DE＝，∵∠EBM＝∠FBM＝45°，MP⊥BE，MQ⊥BF，∴MP＝MQ，∴＝＝＝，∴＝，∴y＝﹣x（0≤x≤1）；（3）如图3﹣1中，当点G在线段BC上时，过点M作MT⊥AB于点T．∵BG∥AD，∴＝＝，∵BD＝，∴BM＝，∴BT＝TM＝，∴ET＝EB﹣BT＝1﹣x﹣＝﹣x，∵MT∥BF，∴＝，∴＝，解得x＝±，经检验，x＝是分式方程的解，且符合题意．∴AE＝．如图3﹣2中，当点G在CB的延长线上时，过点M作MT⊥AB交AB的延长线于点T．∵BG∥AD，∴＝＝，∵BD＝，∴BM＝，∴BT＝TM＝，∴ET＝EB﹣BT＝﹣（x﹣1）＝﹣x，∵MT∥BF，∴＝，∴＝，解得x＝±，经检验，x＝是分式方程的解，且符合题意．∴AE＝，综上所述，满足条件的AE的值为或．【点评】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．13．（黄浦区）如图，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠ACB＝∠DAB＝90°，AB2＝BC•BD，AB＝3，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，延长AE、CB交于点F，联结DF．（1）求证：AE＝AC；（2）设BC＝x，＝y，求y关于x的函数关系式及其定义域；（3）当△ABC与△DEF相似时，求边BC的长．【分析】（1）将AB2＝BC•BD转化为，进而根据勾股定理和比例性质推出，进而△ABC∽△DAB，进一步证明△BAE≌△BAC，从而命题得证；（2）作AG∥BE交BC的延长线于G，作GH⊥AB，推出△FBE∽△FGA和cos∠ABC＝，再根据比例性质求得结果；（3）两种情形：△ACB∽△DEF和△ACB∽△FED，当△ACB∽△DEF时，由y＝1求得结果，当△ACB∽△FED时，推出DF∥AB，从而＝，根据△ABE∽△DBA，推出BD＝，进而可求得结果．【解答】（1）证明：∵AB2＝BC•BD，∴，∴＝，∴＝，即：＝，∴，∵∠C＝∠BAD＝90°，∴△ABC∽△DAB，∴∠ADB＝∠BAC，∵∠BAD＝90°，∴∠ADB+∠ABD＝90°，∵AE⊥BD，∴∠AEB＝90°，∴∠EAB+∠ABD＝90°，∴∠BAE＝∠ADB，∴∠BAE＝∠BAC，∵∠AEB＝∠C，AB＝AB∴△BAE≌△BAC（AAS），∴AE＝AC；（2）如图1，作AG∥BE交BC的延长线于G，作GH⊥AB，∴△FBE∽△FGA，∠ABE＝∠BAG，∴，由（1）得，∠EAB＝∠BAC，∵∠AEB＝∠ACB＝90°，∴∠ABE＝∠ABC，∴∠ABC＝∠BAG，∴AG＝BG，∴BH＝AH＝AB＝，∵cos∠ABC＝，∴，∴BG＝，∴AG＝，∴，∴，∴，∴＝，∴y＝（0＜x＜）；（3）如图2，当△ACB∽△DEF时，∠EDF＝∠BAC，∴∠EDF＝∠ADE，∵∠DEF＝∠DEA，DE＝DE，∴△DEF≌△DEA（ASA），∴EF＝AE，∴y＝1，∴＝1，∴x1＝，x2＝﹣（舍去），∴BC＝，如图3，当△ACB∽△FED时，∠BAC＝∠DFE，∵∠BAE＝∠BAC，∴∠DFE＝∠BAE，∴DF∥AB，。