上海市黄浦区2022届初三一模数学试卷
2022.01
一. 选择题（本大题共6题，每题4分，共24分）
1. 4和9的比例中项是（ ）
A. 6
B. 6±
C. 169
D. 814 2. 如果两个相似三角形的周长比为1:4，那么它们的对应角平分线的比为（ ）
A. 1:4
B. 1:2
C. 1:16
D. 1:2
3. 已知a 、b 、c 是非零问量，下列条件中不能判定a ∥b （ ）
A. a ∥c ，b ∥c
B. 3a b =
C. ||||a b =
D. 12
a c =，2
b
c =- 4. 在Rt △ABC 中，∠C =90°，如果AC =2，BC =3，那么下列各式中正确的是（ ）
A. 2sin 3A =
B. 2cos 3A =
C. 2tan 3A =
D. 2cot 3
A = 5. 如图，D 、E 分别是△ABC 的边A
B 、A
C 上的点，下列各比例式不一定能推得DE ∥BC 的是（ ）
A. AD AE BD CE =
B. AD AE AB AC =
C. AD DE AB BC =
D. AB AC BD CE
= 6. 二次函数2y ax bx c =++的图像如图所示，那么点(,)a P b c 在第（ ）象限
A. 一
B. 二
C. 三
D. 四
二. 填空题（本大题共12题，每题4分，共48分）
7. 如果23x y =，那么x y y
-= 8. 如图. 已知AB ∥CD ∥EF ，它们依次交直线1l 、2l 于点A 、D 、F 和点B 、C 、E . 如果 23
AD DF =，2BE =，那么线段BC 的长是 9. 如图，D 、E 分别是△ABC 的边BA 、CA 延长线上的点，DE ∥BC ，EA : AC =1 : 2， 如果ED a =，那么向量BC = (用向最a 表示)
10. 在Rt △ABC 中，∠C =90°，如果32AC AB =，那么B ∠= 11. 已知一条抛物线经过点(0,1)，且在对称轴右侧的部分是下降的，该抛物线的表达式 可以是 (写出一个即可)
12. 如果抛物线21y x bx =-+-的对称轴是y 轴，那么顶点坐标为
13. 已知某小山坡的坡长为400米，山坡的高度为200米，那么该山坡的坡度i =
14. 如图. △ABC 是边长为3的等边三角形，D 、E 分别是边BC 、 AC 上的点，∠ADE =60°， 如果BD =1，那么CE =
15. 如图. 在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD 是AB 边上的中线，若CD =5，BC =6， 则cos ∠ACD 的值是
16. 如图，在△ABC 中，中线AD 、BE 相交于点O ，如果△AOE 的面积是4，那么四边形OECD 的面积是
17. 如图，在△ABC 中，AB =4，AC =5，将△ABC 绕点A 旋转，使点B 落在AC 边上的点D 处，点C 落在点E 处，如果点E 恰好在线段BD 的延长线上，那么边BC 的长等于
18. 若抛物线2111y ax b x c =++的顶点为A ，抛物线2222y ax b x c =-++的顶点为B ，且满 足顶点A 在抛物线2y 上，顶点B 在抛物线1y 上，则称抛物线1y 与抛物线2y 互为“关联抛
物线”，已知顶点为M 的抛物线2(2)3y x =-+与顶点为N 的抛物线互为“关联抛物线”，
直线MN 与x 轴正半轴交于点D . 如果3tan 4
MDO ∠=
，那么顶点为N 的抛物线的表达式为
三. 解答题（本大题共7题，共10+10+10+10+12+12+14=78分）
19. 计算：22tan30cot 45sin 452cos30
︒
︒︒︒+-.
20. 已知二次函数2y x bx c =++的图像经过(2,3)A -、(5,0)B 两点.
（1）求二次函数的解析式；
（2）将该二次函数的解析式化为2()y a x m k =++的形式，并写出该二次函数图像的开口方向、顶点坐标和对称轴.
21. 已知如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，
AF AD DF DB =. （1）求证：EF ∥CD ；
（2）如果
45
EF CD =，15AD =，求DF 的长.
22. 已知如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，过点D 作DF ∥CB ，分别交AC 、AB 于 点E 、F ，且满足AB ⋅AF =DF ⋅BC .↓
（1）求证：∠AEF =∠DAF ；↓ （2）求证：2
2
AF DE AB CD =
23. 如图，在东西方向的海岸线l 上有一长为1千米的码头MN ，在距码头西端M 的正西方向58千米处有一观测站O ，现测得位于观测站O 的北偏西37°方向，且与观测站O 相距60千米的小岛A 处有一艘轮船开始航行驶向港口MN ，经过一段时间后又测得该轮船位于观测站O 的正北方向，且与观测站O 相距30千米的B 处.
（1）求AB 两地的距离；（结果保留根号）
（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否行至码头MN 靠岸？请说明理由. （参考数据：sin37︒≈0.60，cos37︒≈0.80，tan37︒≈0.75）
24. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线234y ax ax a =--(0a <)与x 轴交于 (1,0)A -、 B 两点，与y 轴交于点C ，点M 是抛物线的顶点，抛物线的对称轴l 与BC 交于点D ，与x 轴交于点E
（1）求抛物线的对称轴及B 点的坐标；
（2）如果MD 158
=，求抛物线234y ax ax a =--(0a <)的表达式； （3）在（2）的条件下，已知点F 是该抛物线对称轴上一点，且在线段BC 的下方， ∠CFB =∠BCO ，求点F 的坐标.
25. 如图，在Rt △ABC 与Rt △ABD 中，∠ACB =∠DAB =90°，2AB BC BD =⋅，AB =3，过点A 作AE ⊥BD ，垂足为点E ，延长AE 、CB 交于点F ，联结DF .
（1）求证：AE =AC ；
（2）设BC =x ，AE y EF
=，求y 关于x 的函数关系式及其定义域； （3）当△ABC 与△DEF 相似时，求边BC 的长.
参考答案
一. 选择题
1. B
2. A
3. C
4. D
5. C
6. C
二. 填空题 7. 1
3- 8. 45
9. 2a 10. 60°
11. 21y x =-+ 12. (0,1)- 13. 14.
23
15.
45 16. 8 17. 18. 2557()416y x =--+
三. 解答题 19. 56
. 20.（1）265y x x =-+；
（2）2(3)4y x =--，开口向上，顶点坐标(3,4)-，对称轴3x =.
21.（1）略；（2）3
22. 略.
23.（1）（2）6059>，不能.
24.（1）32x =，(4,0)B ；（2）213222y x x =-++；（3）35(,)22
F -
25.（1）略；（2）22922x y x -=(02x <<；（3）32
