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研究生矩阵论

矩阵论是数学中一个重要的分支领域，其中包含了丰富而复杂的理论和应用。研究生矩阵论作为一门专业课程，是研究生阶段数学学习的重要内容之一。本文将介绍研究生矩阵论的基本概念、主要内容以及其在实际应用中的重要性。

研究生矩阵论主要研究矩阵及其相关性质。矩阵是由m行n列元素所组成的矩形阵列，常用大写字母表示。矩阵的运算包括加法、乘法、转置等。在矩阵的乘法中，两个矩阵相乘的条件是第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。矩阵的转置是将矩阵的行与列互换得到的新矩阵。矩阵的转置有许多重要的性质和应用。

研究生矩阵论的主要内容包括矩阵的基本运算、矩阵的特征值与特征向量、矩阵的相似、矩阵的对角化等。研究生矩阵论通过系统地研究这些内容，使学生能够深入理解矩阵的性质和运算法则，为进一步研究和应用奠定基础。

矩阵的特征值与特征向量是研究生矩阵论中的重要内容之一。特征值是一个数，特征向量是与特征值相对应的非零向量。矩阵的特征值与特征向量在许多实际问题中有着重要的应用，比如在物理学中，特征值与特征向量可以描述物体的运动状态；在工程学中，特征值与特征向量可以用于分析电路的稳定性。

矩阵的相似是研究生矩阵论中的另一个重要内容。如果两个矩阵A

和B满足存在一个可逆矩阵P，使得P-1AP=B，那么矩阵A和B就是相似矩阵。相似矩阵具有许多重要的性质和应用，比如可以通过相似变换将矩阵化简为对角矩阵，从而简化问题的求解。

矩阵的对角化是研究生矩阵论中的另一个重要内容。对于一个n阶方阵A，如果存在一个可逆矩阵P，使得P-1AP=D，其中D是一个对角矩阵，那么矩阵A就可以被对角化。对角化可以使得矩阵的计算更加简单，从而方便解决实际问题。

研究生矩阵论在实际应用中具有重要的意义。矩阵论在计算机图形学、信号处理、机器学习等领域中有广泛的应用。例如，在计算机图形学中，矩阵论可以用于描述图像变换和投影等操作；在信号处理中，矩阵论可以用于矩阵分解和降维等技术；在机器学习中，矩阵论可以用于矩阵求逆和矩阵分解等算法。

研究生矩阵论是一门重要的数学课程，它涵盖了矩阵的基本概念、运算法则以及矩阵的特征值与特征向量、相似、对角化等内容。研究生矩阵论的学习将使学生深入理解矩阵的性质和应用，为进一步的研究和应用打下坚实的基础。矩阵论在实际应用中具有广泛的应用领域，为解决实际问题提供了有力的数学工具。因此，研究生矩阵论的学习对于培养学生的数学建模和问题解决能力具有重要意义。

研究生矩阵论试题及答案

09级-研-矩阵论试题及参考答案一（15分）设实数域上的多项式 321()223p x x x x =+++，322()23p x x x x =+++ 323()45p x x x x =-+--，324()367p x x x x =-++ （1）求线性空间()1234span ,,,W p p p p =的一组基和维数；（2）求多项式32()41p x x x =++在你所求基下的坐标。解：（1）11111 0021130 1012246001233570 00r A -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ =−−→ ⎪ ⎪ -- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ 123,,p p p 是W 的一组基，dim 3W =；（2）123()()()()p x p x p x p x =++，p 的坐标为(1,1,1)T x =。或：x^3+1 , x^2 , x+1.这三个基形式是最简单的。坐标为（1，4，0）。二（15分）(1)设2 T ()tr()F f X X X X ==,其中()m n ij m n X x R ⨯⨯=∈是矩阵变量，求 df dX ；（2）设()m n ij m n A a R ⨯⨯=∈，12(,,,)T n n x x x x R =∈ 是向量变量，()F x Ax =，求T dF dx . 解（1）211 ()m n ij i j f X x === ∑∑， 2ij ij f x x ∂=∂， ()22ij m n ij m n df f x X dX x ⨯⨯⎛⎫ ∂=== ⎪ ⎪∂⎝⎭；

(2) 11 1()n k k k n mk k k a x F x Ax a x ==⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ∑∑ ，1,1,2,,i i mi a F i n x a ⎛⎫∂ ⎪ == ⎪∂ ⎪ ⎝⎭ ， 11111(,,)n T n m mn a a dF F F A dx x x a a ⎛⎫ ∂∂ ⎪ === ⎪∂∂ ⎪⎝⎭ 。三（15分）已知微分方程组 0d d (0)x Ax t x x ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪=⎩ ，200031011A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，0111x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，（1）求矩阵A 的Jordan 标准形J 和可逆矩阵P 使1 P AP J -= （2）求矩阵A 的的最小多项式)(λA m （3）计算矩阵函数At e ；（4）求该微分方程组的解。解：（1） 3(2)I A λλ-=-，rank(2)1I A -=，2λ=对应两个线性无关的特征向量 A 的Jordan 标准形J 2212⎡⎤ ⎢⎥=⎢⎥ ⎢⎥⎣⎦ 12212P AP J -⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦，其中101111110P -⎡⎤ ⎢⎥=⎢⎥ ⎢⎥⎣⎦ （不唯一）（2）由A 的Jordan 标准形知 2()(2)A m λλ=-

研究生矩阵论

研究生矩阵论矩阵论是数学中的一个重要分支，它研究的对象是矩阵及其性质。研究生在学习矩阵论时，需要深入理解矩阵的基本概念和性质，并掌握一些重要的定理和推论。本文将介绍研究生矩阵论的一些重要内容，以帮助读者更好地理解和应用矩阵论知识。矩阵是由数个数按照一定的规律排列成的矩形数组。矩阵的行和列分别代表其维度。在矩阵论中，我们通常用大写字母表示矩阵，如A、B、C等。矩阵中的每个元素用小写字母表示，如a、b、c等。矩阵的运算包括加法、减法、数乘和矩阵乘法等。这些运算满足一定的性质，如结合律、分配律等。矩阵的转置是指将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。转置矩阵的性质有：(A^T)^T = A，(A + B)^T = A^T + B^T，(kA)^T = kA^T，其中A、B是矩阵，k是数。矩阵的逆是指对于一个可逆方阵A，存在一个方阵B，使得AB = BA = I，其中I是单位矩阵。如果一个矩阵没有逆矩阵，我们称其为奇异矩阵。逆矩阵的性质有：(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T，(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}，(kA)^{-1} = \frac{1}{k}A^{-1}，其中A、B是可逆矩阵，k是非零数。矩阵的秩是指矩阵中非零行（列）的最大个数。矩阵的秩具有一些

重要的性质：如果矩阵A的秩为r，则A的任意r阶子式不等于0，而r+1阶子式等于0。矩阵的特征值和特征向量是矩阵论中的重要概念。对于一个方阵A，如果存在一个非零向量x，使得Ax = \lambda x，其中\lambda是一个数，那么\lambda称为A的特征值，x称为对应于特征值\lambda的特征向量。特征值和特征向量具有一些重要的性质：矩阵A和其转置矩阵A^T具有相同的特征值；A的特征值之和等于A 的迹，即矩阵A的所有特征值之和等于A的主对角线上元素之和。矩阵的相似性是矩阵论中的一个重要概念。对于两个方阵A和B，如果存在一个可逆矩阵P，使得P^{-1}AP = B，那么我们称A和B 是相似的。相似矩阵具有一些重要的性质：相似矩阵具有相同的特征值；相似矩阵具有相同的秩。矩阵论在实际应用中有着广泛的应用。在物理学、工程学、计算机科学等领域，矩阵论被广泛应用于建模和求解问题。例如，线性方程组可以用矩阵的形式表示，矩阵论提供了求解线性方程组的方法。此外，矩阵论还在图论、最优化等领域中有着重要的应用。矩阵论是研究生数学中的重要内容之一。通过研究和掌握矩阵论的基本概念、性质和应用，研究生可以在数学和其他学科中有更深入的理解和应用。希望本文对研究生矩阵论的学习有所帮助。

矩阵论研究生复习题

矩阵论研究生复习题矩阵理论及应用证明题复习题正规矩阵（包括Hermite 矩阵；Hermite 正定矩阵等） 1. 设()ij n n A a ?=是n 阶Hermite 矩阵，12,,,n λλλ 是A 的特征值，且12n λλλ≥≥≥ ，证明：（1）1H n H x Ax x x λλ≤≤ ；（2）{}11max n kk k n a λλ≤≤≤≤. 2.假设n 阶Hermite 矩阵A 是正定的。证明：(1)存在正定矩阵S 使得2 A S =；（2）对任意n 维列向量,X Y ，有2 H H H Y AX X AX Y AY ≤，并且，等号成立当且仅当,X Y 线性相关。 3.证明：设,A B 都是Hermite 矩阵，A 的特征值都大于a ，B 的特征值都大于b ，则A B +的特征值都大于a b +。 4.设A 为n 阶正定Hermite 矩阵，证明（1）H nn A G a ββ?? = 是正定的的充分必要条件为1H nn a A ββ->，（2）H nn A G a ββ = 正定时有不等式：nn G a A ≤. 5.A 是n 阶Hermite 矩阵，证明：

2 46A A I -+是正定Hermite 矩阵 6.A 、B 都为n 阶正定Hermite 矩阵，且AB BA =，则AB 亦为正定Hermite 矩阵范数 1.设?为n n C ?上的矩阵范数，λ为复矩阵A 的特征值，证明：m m A λ ≤（m 为正整数） 2.设λ是n 阶可逆矩阵A 的特征值，A 是A 的任意一种范数证明：1 1 A λ -≥ 3.设A 是n 阶可逆矩阵，A 是A 的任意一种范数.证明：A 的谱半径()1 1A A ρ-≥ 4.A 是n 阶复矩阵，证明22 1A A A ∞ ≤ 5.假设A 是s n ?矩阵，,U V 分别是s s ?、n n ?酉矩阵。证明：F F A UAV =， 22A UAV =。 6.设()

研究生矩阵论课后习题答案（全）习题二

研究生矩阵论课后习题答案（全）习题二习题二 1．化下列矩阵为Smith 标准型：（1）222211λλλλ λλλλλ?? -?? -+-?? ; （2）2222 00 000 00(1)00000λλλλλλ -? -?? -?? ; （3）2222 232321234353234421λλλλλλλλλλλλλλ?? +--+-??+--+-+---?? ; (4)23014360220620101003312200λλλλλλλλλλλλλλ++?? -----?? . 解：（1）对矩阵作初等变换 23221311(1)100 10 000000(1)00(1)c c c c c c r λλλλλλλλλ+--?-→-→? -++

，则该矩阵为Smith 标准型为 +)1(1λλλ；（2）矩阵的各阶行列式因子为 44224321()(1),()(1),()(1),()1D D D D λλλλλλλλλλ=-=-=-=, 从而不变因子为 22 2341234123()()() ()1,()(1),()(1),()(1)()()() D D D d d d d D D D λλλλλλλλλλλλλλλλ== =-==-==-故该矩阵的Smith 标准型为 2210000(1)0000(1)00 00(1)λλλλλλ?? --?? -??；（3）对矩阵作初等变换故该矩阵的Smith 标准型为 +--)1()1(112 λλλ; (4)对矩阵作初等变换在最后的形式中，可求得行列式因子 3254321()(1),()(1),()()()1D D D D D λλλλλλλλλ=-=-===, 于是不变因子为 2541234534()() ()()()1,()(1),()(1)()() D D d d d d d D D λλλλλλλλλλλλλ==== =-==-故该矩阵的Smith 标准形为 2 1

研究生矩阵论第1讲线性空间

研究生矩阵论第1讲线性空间矩阵论 1、意义随着科学技术的发展，古典的线性代数知识己不能满足现代科技的需要，矩阵的理论和方法业巳成为现代科技领域必不可少的工具．有人认为：“科学计算实质就是矩阵的计算”．这句话概括了矩阵理论和方法的重要性及其应用的广泛性．因此，学习和掌握矩阵的基本理论和方法，对于理、工科研究生来说是必不可少的数学工具．2、内容《矩阵论》与工科《线性代数》课程在研究矩阵的内容上有较大的差异：线性代数：研究行列式、矩阵的四则运算(加、减、乘、求逆) 以及第一类初等变换(非正交的)、对角标准形(含二次型) 以及n阶线性方程组的解等基本内容．矩阵论：研究矩阵的几何理论(线性空间、线性算子、内积空间等)、第二与第三类初等变换(正交的)、分析运算(矩阵微积分和级数)、矩阵的范数与条件数、广义逆与分解、若尔当标准形以及几类特殊矩阵与特殊运算等,内容十分丰富． 3、方法在研究的方法上，矩阵论与线性代数也有很大的不同：线性代数：引入概念直观，着重计算．矩阵论：着重从几何理论的角度引入矩阵的许多概念和运算，把矩阵看成是线性空间上线性算子的一种数量表示．深刻理解它们对将来正确处理实际问题有很大的作用．第1讲线性空间内容： 1.线性空间的概念； 2.基变换与坐标变换； 3.子空间与维数定理； 4.线性空间的同构

线性空间与线性变换是矩阵分析中经常用到的两个极其重要的概念，也是通常几何空间概念的推广和抽象，线性空间是某类客观事物从量的方面的一个抽象． §1 线性空间的概念 1. 群，环，域代数学是用符号代替数（或其它）来研究数（或其它）的运算性质和规律的学科，简称代数．代数运算：假定对于集A中的任意元素a与集B中的任意元素b，按某一法则与集C中唯一确定的元素c对应，则称这个对应为A、B的一个（二元）代数运算．代数系统：指一个集A满足某些代数运算的系统． 1.1群定义1.1 设V 是一个非空集合，在集合V 的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法，记为“+”．即，对V 中给定的一个法则，对于V 中任意元素βα,，在V 中都有惟一的一个元ν与他们对应，称ν为βα,的和，记为βαν+=．若在“+”下，满足下列四个条件，则称V 为一个群． 1）V 在“+”下是封闭的．即，若,,V ∈βα有V ∈+βα； 2) V 在“+”下是可结合的．即，)()(γβαγβα++=++ ，V ∈γ； 3）在V 中有一个元e ，若,V ∈β有βββ=+=+e e ；e 称为单位元； 4）对于,V ∈β有e =+=+αββα．称α为β的逆元．注：对V 任意元素βα,，都有αββα+=+，则称V 为交换群或阿贝尔群． 1.2 环定义1.2 设V 是一个非空集合，在集合V 的元素之间定义了两种代数运算，分别叫做加法、乘法，记为“+”与“*”．即，对V 中给定的一个法则，对于V 中任意元素α,β，在V 中都有惟一的一个元ν与他们对应，称ν为α,β的和与积，记为βαν+=（βαν*=）．满足下列三个条件，则称V 为一个环． 1）V 在“+”下是阿贝尔群；

研究生矩阵论试题与答案

中国矿业大学级硕士研究生课程考试试卷考试科目矩阵论考试时间年月研究生姓名所在院系学号任课教师

一（15分）计算 (1) 已知A 可逆，求 10 d At e t ? （用矩阵A 或其逆矩阵表示）；（2）设1234(,,,)T a a a a =α是给定的常向量，42)(?=ij x X 是矩阵变量，求T d()d X αX ；（3）设3阶方阵A 的特征多项式为2(6)I A λλλ-=-，且A 可对角化，求k k A A ??? ? ??∞→)(lim ρ。

二（15分）设微分方程组 d d (0)x Ax t x x ?=???? ?=?，508316203A ?? ?= ? ?--??，0111x ?? ? = ? ??? （1）求A 的最小多项式)(λA m ；（3）求At e ；（3）求该方程组的解。

三（15分）对下面矛盾方程组b Ax = 312312 111x x x x x x =?? ++=??+=? （1）求A 的满秩分解FG A =；（2）由满秩分解计算+A ；（3）求该方程组的最小2－范数最小二乘解LS x 。

四（10分）设 11 13A ?=?? 求矩阵A 的QR 分解（要求R 的对角元全为正数，方法不限）。五（10分）设(0,,2)T n A R n αβαβ=≠∈≥ （1）证明A 的最小多项式是2 ()tr()m A λλλ=-；（2）求A 的Jordan 形（需要讨论）。

六（10分）设m n r A R ?∈，（1）证明rank()n I A A n r + -=-；（2）0Ax =的通解是(),n n x I A A y y R +=-?∈。七（10分）证明矩阵 21212123 111222222243333 33644421(1)(1)n n n n n n n n n n ---? ? ? ? ? ? ?= ? ? ? ? ? ?+++? ? A （1）能与对角矩阵相似；（2）特征值全为实数。

北航研究生矩阵论课后参考答案

矩阵论课后参考答案：第1章线性代数引论习题1.1 2 （1）解：由定义知 n m C n m ⋅=⨯)dim( 故可知其基为n m ⋅个n m ⨯阶矩阵，简单基记为在矩阵上的某一元素位置上为1，其他元素为0 ，如下 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡00 00 0000000 1 ，⎥⎥ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎢⎣⎡00 00 0010 000 （2）解：对约束A A T =分析可知，其为一个上下对称的矩阵（对称阵），则其维数为 2 ) 1(1)1()dim(+=++-+=n n n n V 其基为 2 ) 1(+n n 个n n ⨯阶的矩阵，故基可写为 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡00 000000 1 ，⎥⎥ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎢⎣⎡00 00 0001 001 0 ， ⎥⎥⎥⎦ ⎤⎢⎢⎢⎣⎡1000 0000000 （3）解：同上理，对A A T -=分析可知其为一个上下成负对称的矩阵，且对角元全为0，则其维数为 2 ) 1(2)1)1)((1(1)2()1()dim(-=+--=++-+-=n n n n n n V 其基为 2 ) 1(-n n 个n n ⨯阶的矩阵，故基可写为

⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-00 00 00000001001 0 ，⎥⎥⎥⎥ ⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-00 00 00010000010 ， ⎥⎥⎥⎥⎦ ⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-011 0000 0000000 00 3 解：由题可得 },,,{212121ββααspan W W =+ 不难看出其秩为3，则3)dim(21=+W W 设21W W x ∈,则存在2121,,,l l k k 有 22112211ββααl l k k x +=+= 则 ⎪⎩⎪⎨⎧=--=-+=+++=---070 30 20 221 222121212121l l k l k k l l k k l l k k ，故有⎪⎩⎪⎨⎧-==-=21222 134l l l k l k 即)4,3,2,5()4(21222211-=-=+=l l k k x αααα 所以1)dim(21=W W 8 (先补充定理：定理：设n 元齐次线性方程组的系数矩阵A 的秩n r A r <=)(，则齐次线性方程组的基础解析存在，并且基础解系所含线性无关的解向量的个数等于r n -) 证：1）对任意的21V V B ∈,则有0=AB 且0)(=-B I A 成立，故0=B 所以{0}21=V V 。 2）明显n V V F 21⊂+

研究生矩阵论课后习题答案(全)习题四

习题四 1．求下列微分方程组的通解（1）⎪⎩⎪⎨⎧+=+=;34,2212211 x x dt dx x x dt dx （2）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=-+=+= . ,3 233212321 ,x x dt dx x x x dt dx x x dt dx 解：(1)设,3421⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛=A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21x x x ,则原方程组可写为 Ax dt dx =，矩阵A 的特征方程为 0)1)(5(3 4 2 1 =+-=----= -λλλλλA I ，则矩阵A 的特征值为51=λ,12-=λ,求得矩阵A 的特征向量分别为⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11,21, 令⎥⎦ ⎤⎢ ⎣⎡-=1211P ,则⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-1211311 P ,有 Λ=⎥ ⎦ ⎤⎢⎣⎡-=-10051 AP P ,1-Λ=P P A , 则 ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣⎡+--+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==------Λt t t t t t t t t t t At e e e e e e e e e e P Pe e 555551 22231121100121131. 故该方程组的通解为 ⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛--+-++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--+==------t t t t t t t t t t t t At e c c e c c e c c e c c c c e e e e e e e e c e x )2()22()2()(31222312152121521215555其中21,c c 为任意常数.

(2)设,110111110⎥⎥ ⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=A ⎪⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛=321x x x x ,则原方程可写为 Ax dt dx =，矩阵A 的特征方程为 0)1(2=-=-λλλA I ，则矩阵A 的特征值为01=λ,132==λλ. A 的属于特征值01=λ的特征向量为 ⎪⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-=1121η, 由方程组 ⎩⎨ ⎧+==3 232 2ηηηηηA A 解得A 的属于特征值132==λλ的广义特征向量为 ⎪⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111,10132ηη. 令[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==111101112,,321ηηηP ,则⎥⎥⎥⎦ ⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=-111312101 1 P ,有 11,100110000--==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=PJP A J AP P ,由于⎥⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎣⎡=t t t Jt e te e e 0 00001, 则

重庆大学研究生矩阵论小论文

矩阵的奇异值分解在信号处理中的应用摘要机械工程上无论在设计、制造、运行、试验、测试等过程中，经常要处理许多变量和变量之间的关系，这些变量间常存在着线性关系，某些不是线性变量的也可以通过最小二乘法等进行拟合。对于现目前所选择的方向，接触最多的就是对外界信号的测量，当通过传感器接收到信号之后，进行FFT变换。但是还是会有一些频率相近的信号会被丢失，需要一种方法将信号在时域和频域进行分段，对需要进行分析的频率段进行有效分析。这就是基于矩阵的奇异值分解信号的方法。关键词：微型直流电机，信号处理，奇异值分解 1 前言微型直流电机的参数包括转速，换向频率等。通过电刷的换向可以检测到一定时间内电机两端的电压出现脉冲尖峰个数，从而得到电机的换向频率[1]。但是由于电机的运转，必然存在一些振动，造成需要的信息信号失真。引起振动的原因很多，例如可能是同轴度不高，造成电机轴的转动不平衡，也可能是实验平台的水平度不够。经典的频谱分析方法对这一问题的解决效果并不是很好，提出采用奇异值分解的方法对信号进行分析[2]。将奇异值分解应用于信号处理的关键是如何利用信号序列构造出合适的矩阵，即如何确定矩阵的行数m和列数n，这对奇异值分解的分析效果有很大影响。奇异值的大小决定着相应分量信号的信息量，因此综合考虑所有奇异值的信息来确定矩阵结构。其次奇异值分解分离的各分量信号是两两正交的，而且还是一种零相位分离方法，没有相位失真;同时综合考察所有奇异值的信息来确定矩阵的合理结构。在此基础上，可以比传统的FFT分析更加精确，甚至优于小波基的频谱分析。

2 基于奇异值分解的信号分离原理奇异值分解是指:对于一个实矩阵m n A R ⨯∈必定存在正交矩阵12[,....]m m m U u u u R ⨯=∈和正交矩阵12[,....]n n n V v v v R ⨯=∈，使得 T A U S V = (1) 其中12[(...),]p S diag σσσ=O 或者其转置，这取决于mn ，m n S R ⨯∈ ，O 为零矩阵，p=min(m, n)，123...0p σσσσ≥≥≥≥≥。将奇异值分解应用于信号处理的关键是如何利用信号序列构造出合适的矩阵A ，矩阵构造一般是通过对信号采用连续截断的方式来构造矩阵，其具体构造过程为:对于一个信号序列[(1),(2)...()]X x x x N =，取两个正整数m 和n 。对此序列按每次n 个点连续截取m 段，构造一个m 行n 列的矩阵A 如下: 式中2,2m n ≥≥，且i n t (/)n N m =，N 为采样的点数，一般是1024或者2048等2的幂次方。仅利用式(1)还不能实现信号的分离，可将其改写成用列矢量i u 和i v ，表示的形式 111222333....T T T T p p p A u v u v u v u v σσσσ=++++ (2) 式中，1m i u R ⨯∈，1n i v R ⨯∈ i=1,2,3,4…p 由奇异值分解理论可知i u 之间是两两正交的， i v 之间也是两两正交的。令T i i i i A u v σ∈，则有m n i A R ⨯∈。如果将i A 的各行首尾相接，则可以构成一个信号i S ，它就是从原信号中分离出的一个分量，而所有i A 构成的分量就形成了对原始信号X 的一个分解。设i A 用行矢量,1i S ,2i S ,3i S …,i k S …,i m S 表示，1,n i k S R ⨯∈。而A 用行矢量1X 2X 3X …k X …p X 表示，11n X R ⨯∈。则根据式(2)可得 1,2,,...k k k p k X S S S =++ k=1,2,3…m (3) 由于原始信号X 是由1X 2X 3X …k X …m X 首尾相接而成，可用矢量形式表示X =（1X ，2X ，3X ，…，m X ），而分量信号i S 由,1i S ,2i S ,3i S …,i k S …,i m S 首尾相接而成，也可用矢量形式S =（,1i S ，,2i S ，…，…,i m S ）表示，则所有分量信号的和可写为 123...p S S S S ++++= (1,1S +2,1S +3,1S +…+,1p S ,1,2S +2,2S +3,2S +…+,2p S ,…, 1,m S +2,m S +3,m S +…+,p m S ) 而根据式(3)，上式的右边可改写为 123...p S S S S ++++ =（1X ，2X ，3X ，…，m X ）=X (4) (1)()((1)1)()x x n A x m n x mn ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-+⎝⎭

研究生数学研究：线性代数与矩阵论

研究生数学研究：线性代数与矩阵论导论研究生阶段是对数学学科的深入研究和专业发展的重要时期。在数学领域中，线性代数与矩阵论是一门基础而广泛应用的学科，被广泛用于解决各种实际问题以及其他数学领域的研究中。什么是线性代数与矩阵论？线性代数与矩阵论是研究向量空间和线性变换的数学学科。它研究线性方程组以及线性方程组在向量空间中的几何解释。同时，矩阵论是线性代数的一个重要分支，它主要关注矩阵的代数性质和运算。线性代数的基础概念在学习线性代数之前，我们首先需要了解一些基础概念。首先，线性代数是研究向量空间的学科，而向量是具有大小和方向的量。在二维空间中，向量可以用一个二维坐标表示。在三维空间中，向量可以用一个三维坐标表示。此外，线性代数还涉及向量的加法和乘法运算，以及向量之间的点积和叉积等运算。向量空间向量空间是线性代数的核心概念之一。一个向量空间是具有一组基础向量的集合，它包含了所有由这些基础向量线性组合而成的向量。线性代数通过研究向量空间的性质和结构来解决线性方程组和线性变换等问题。

线性方程组线性方程组是线性代数中的重要问题之一。一个线性方程组由一组线性方程组成，其中未知量的系数是实数或复数。解线性方程组的问题可以转化为在对应的向量空间中寻找特定的向量或空间。线性方程组的求解方法解线性方程组的方法有很多种，包括高斯消元法、矩阵法和向量法等。其中，高斯消元法是一种非常常用和基础的方法，它通过进行一系列的行变换将线性方程组转化为简化的行阶梯形式，从而求解方程组的解。线性变换线性变换是线性代数中的重要概念之一。一个线性变换是指将一个向量空间映射到另一个向量空间的映射，它保持向量空间的线性性质。线性变换可以用矩阵表示，其中矩阵的每一列对应于向量空间中的一个基向量。线性变换的应用线性变换在实际问题中有广泛的应用。例如，线性变换可以用于图像处理和计算机图形学中的空间变换，也可以用于信号处理和通信系统中的数据编码和解码，还可以用于机器学习和统计学中的数据分析和模型建立等。矩阵论的基础概念矩阵论是研究矩阵的代数性质和运算的数学学科。在学习矩阵论之前，我们需要了解一些基础概念。首先，矩阵是一个由数值排列成的矩形阵列。一个矩阵

研究生矩阵论考点精要

⎪⎩ ⎪⎨⎧=--=-=-⎪⎩⎪⎨⎧=+==0 )2()(0 )(,231213321211p A I p p A I p A I p Ap p p Ap p Ap 即8 223)()23104()()()(2234-+--+++=÷λλλψλλλλλλψλg g 得1、求下列矩阵的Jordan 标准型和所用相似变化矩阵：⎪⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛--=304021101A ，首先用特征向量法求出Jordan 矩阵 J=⎪⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛2111，设相似变换矩阵为P=（p 1 p 2 p 3）,由可见p 1,p 3是A 的对应特征值1和2的特征向量，而p 2由求解非齐次线性方程组(I-A)x=-p 1得到，特征值1和2的2特征向量分别为p 1=（1，-1,2）T ，p 3=（0,1,0）T 。求解方程（I-A ）x=-p 1，得到x 的通解，x=(-0.5，-0.5,0)T ，取k=1，得p 2=（0，-1,1）T ，故所用相似变换矩阵P=（p 1，p 2，p 3） 2、已知矩阵⎥⎥⎥⎦ ⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=201034011A ，计算（1）A 7-A 3-19A 4+28A 3+6A-4I ，（2）A -1（3）A 100：（1），算出)(λψ=det （A I -λ），令4-62819--)(3437 λλλλλλ++=g ，用由哈密顿凯莱定理 )(A ψ=O ，于是g （A ）=I A A 82232-+-；（2）、由)(A ψ=A 3-4A 2+5A-2I=O 得 I I A A A =+-)]54(2 1[2,故A -1可算出。（3），设0122100)()(b b b q +++=λλλψλλ，注意到0)1()1()2(='==ψψψ，分别将λ=2和λ=1代入上式，再对上式求导数将λ=1代入，解出b 0，b 1，b 2故A 100可算出。 3、各类范数总结范数，称为向量，设1),,,(x 1 121∑===n k k T n x ξξξξ ，范数，称为向量，设∞==k k T n x ξξξξmax ),,,(x 121 范数，向量，设p )(),,,(x 1 1 21∑===n k p p k p T n x ξξξξ ，范数，称为矩阵，设1 11 1)(m a A a A n j ij n i m n n ij ∑∑==⨯== 范数，称为矩阵，设F a A a A n j ij n i F n n ij 21 1 )(∑∑==⨯= =，范数，称为矩阵，设∞⨯==∞ m a n A a A ij j i m n n ij ,max )( 范数，称为矩阵，设1max )(1ij j n n ij a A a A ==⨯，范数，称为矩阵，设2)(12λ==⨯A a A n n ij (1λ为A H A 最大特征值)。范数，称为矩阵，设∞==∑=∞⨯n j ij i n n ij a A a A 1 max )(。 4、判断矩阵是否为收敛矩阵：定理：设A 是n*n 方阵，则A 为收敛矩阵的充要条件是1max )(<=j n A λρ 推论：若A 是n*n 矩阵，若对方阵某一矩阵范数有1