《最高考系列 高考总复习》2014届高考数学总复习（考点引领+技巧点拨）第三章 三角函数、三角恒等变换及解三角形第6课时
简单的三角恒等变换
1. (必修4P 115复习题7(2)改编)函数y ＝3cos4x ＋sin4x 的最小正周期为________．
答案：π2
解析：y ＝3cos4x ＋sin4x ＝2(32cos4x ＋12sin4x)＝2⎝ ⎛⎭
⎪⎫cos π6cos4x ＋sin π6sin4x ＝
2cos ⎝
⎛⎭⎪⎫4x －π6，故T ＝2π4＝π2. 2. 在△ABC 中，若cosA ＝45，cosB ＝5
13，则cosC ＝________.
答案：16
65
解析：在△ABC 中，0＜A ＜π，0＜B ＜π，cosA ＝45＞0，cosB ＝513＞0，得0＜A ＜π
2，0
＜B ＜
π2，从而sinA ＝35，sinB ＝12
13
，所以cosC ＝cos[π－(A ＋B)]＝－cos(A ＋B)＝sinA·sinB－cosA·cosB＝35×1213－45×513＝16
65
.
3. (必修4P 113练习3(2)改编)已知cos θ＝45，且270°＜θ＜360°，则sin θ
2＝
________，cos θ
2
＝________．
答案：
1010 －31010
解析：∵ 270°＜θ＜360°， ∴ 135°＜
θ2＜180°.∴ sin θ2
＝1－cos θ
2
＝1－452＝1010；cos θ2
＝－
1＋cos θ
2
＝－1＋
452＝－31010
. 4. (必修4P 115复习题5改编)已知sin α＝3
5，α是第二象限角，且tan(α＋β)＝1，
则tan2β＝________．
答案：－7
24
解析：由sin α＝35且α是第二象限角，得tan α＝－3
4，
∵ (α＋β)－α＝β，
∴ tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan （α＋β）－tan α
1＋tan （α＋β）tan α＝7.
∴ tan2β＝2tan β1－tan 2
β＝－7
24
. 5. (必修4P 115复习题1(1)改编)已知sin2α＝55，且α∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π4，则sin 4α－cos
4α＝________．
答案：－25
5
解析：sin 4
α－cos 4
α＝sin 2
α－cos 2
α＝ －cos2α＝－1－sin 2
2α＝－255
.
三角函数的最值问题
(1) 用三角方法求三角函数的最值常见的函数形式 ① y ＝asinx ＋bcosx ＝a 2
＋b 2
sin(x ＋φ)，其中cos φ＝
a
a 2
＋b
2
，sin φ＝b a 2
＋b
2
.
② y ＝asin 2
x ＋bsinxcosx ＋ccos 2
x 可先降次，整理转化为上一种形式．
③ y ＝asinx ＋b csinx ＋d ⎝ ⎛
⎭⎪⎫或y ＝acosx ＋b ccosx ＋d 可转化为只有分母含sinx 或cosx 的函数式或sinx ＝f(y)(cosx ＝f(y))的形式，由正、余弦函数的有界性求解．
(2) 用代数方法求三角函数的最值常见的函数形式
① y ＝asin 2
x ＋bcosx ＋c 可转化为cosx 的二次函数式．
② y ＝asinx ＋c bsinx (a 、b 、c>0)，令sinx ＝t ，则转化为求y ＝at ＋c
bt (－1≤t≤1)的
最值，一般可用基本不等式或单调性求解．
[备课札记]
题型1 三角形中的恒等变换
例1 已知△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2sin 2C
2＋cos C 2＝2，
求角C 的大小．
解：由2sin 2C
2＋cos C 2＝2，
得2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－cos 2C 2＋cos C 2＝2， 整理得cos C 2⎝
⎛
⎭⎪⎫2cos C 2－1＝0.
因为在△ABC 中，02.
所以cos C 2＝22⎝ ⎛
⎭⎪⎫舍去cos C 2＝0，
从而C 2＝π4，即C ＝π
2
.
备选变式（教师专享）
在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2asinB ＝3b .求角A 的大小．
解：由已知，得2sinAsinB ＝3sinB ，且B∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2，
∴ sinB ≠0，∴ sinA ＝
32，且A∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2，∴ A ＝π3.
题型2 角的构造技巧与公式的灵活运用
例2 求sin 210°＋cos 2
40°＋sin10°cos40°的值．
解：(解法1)因为40°＝30°＋10°，于是原式＝sin 210°＋cos 2
(30°＋10°)＋sin10°cos(30°＋10°)＝sin 2
10°＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫32cos10°－12sin10°2
＋sin10°·(32cos10°－
1
2
sin10°)＝ 34(sin 210°＋cos 2
10°)＝34
. (解法2)设x ＝sin 2
10°＋cos 2
40°＋sin10°cos40°，y ＝cos 2
10°＋sin 2
40°＋cos10°sin40°.则x ＋y ＝1＋1＋sin10°cos40°＋cos10°sin40°＝2＋sin50°＝2＋cos40°，x －y ＝cos80°－cos20°－12＝－sin50°－12＝－cos40°－12.因此2x ＝3
2，故x
＝3
4
. 变式训练
求sin 220°＋cos 2
80°＋3sin20°cos80°的值．
